Образовательный стандарт дисциплины "Системное моделирование"

1. Информация о дисциплине


.1 Предисловие


Дисциплина «Системное моделирование» изучается студентами бакалавриата направления 220100.62 всех форм обучения в течение одного семестра. Предметом дисциплины являются процедуры и приемы моделирования объектов, требующих концептуального системного подхода, а также модели подсистем, классические методы оценки качества и анализа процессов, протекающих в них.

Целью изучения дисциплины является внедрение в сознание студентов теоретических знаний и практических навыков, необходимых для постановки и решения типовых задач моделирования как на идейном, так и на формальном уровнях; прививать им чувство высокой личной ответственности за научное обоснование и качество разрабатываемых рекомендаций и подготавливаемых менеджерских решений.

Задачи изучения дисциплины - изучение методик, методов и процедур системного моделирования, практическое использование современного пакета прикладных программ.

В результате этого студенты должны:

Иметь представление:

о проблемных вопросах теории и практики системного моделирования и о перспективах развития инструментария и математического сопровождения моделирования процессов в подсистемах и системах.

Знать:

сущность классических методов моделирования систем, принципы их анализа и оценки адекватности;

методологические основы имитационного моделирования как дискретных, так и непрерывных процессов;

методы сокращения размерности моделей больших систем, оценки их качества;

основы и порядок применения существующих аппаратно-программных средств для проведения вычислительного эксперимента пользовательского, сгенерированного системой и оптимизационного.

Уметь:

осуществлять постановку задач системного моделирования по уровням: декомпозиция, агрегирование и координация (прогнозирование, согласование, развязывание взаимодействий);

применять основные приемы формализации содержательных задач, строить оптимальное пространство возможных ограничений и допущений;

осуществлять разработку моделей подсистем, проводить их анализ и калибровку;

использовать методы планирования вычислительного эксперимента с целью повышения качества моделей состояний систем.

Владеть:

научно-методическим аппаратом моделирования сложных систем и планирования вычислительного эксперимента.

Место дисциплины в учебном процессе

Дисциплина базируется на знаниях, полученных при изучении дисциплин: «Математика», «Вычислительная математика», «Информатика», а также «Теория и технология программирования».


.2 Содержание дисциплины и виды учебной работы


.2.1 Содержание дисциплины по государственному образовательному стандарту высшего профессионального образования

Направление 220100.62 (553000) - Системный анализ и управление

ОПД.Ф.10 - Системное моделирование

Введение, примеры объектов, требующих системного подхода к моделированию: энергосистемы, гидравлические системы; связанные системы; постановка задач системного моделирования: система и ее части, декомпозиция, агрегирование, координация (прогнозирование, согласование, развязывание взаимодействий); модели подсистем (математические, физические и химические), классические методы анализа моделей подсистем; методы анализа процессов в подсистемах и системах, состоящих из многих подсистем; анализ стационарных состояний больших систем; методы анализа устойчивости больших систем; оценка качества больших систем; синтез больших систем; проблема сокращения размерности моделей больших систем (методы удаления переменных, методы теории жестких систем).


.2.2 Объем дисциплины и виды учебной работы


Вид учебной работыВсего часовФорма обученияОчнаяОчно-заочнаяЗаочнаяОбщая трудоёмкость дисциплины102Работа под руководством преподавателя (включая ДОТ)626262в т.ч.: аудиторные занятия лекции (Л)34108практические занятия (ПЗ)16166лабораторные работы (ЛР)семинары (С)другие виды аудиторных занятийСамостоятельная работа студента404040Промежуточный контроль, количество111в том числе: курсовая работа контрольная работа 1 0 1 0 1 0Вид итогового контроля (зачет, экзамен)экзаменэкзаменэкзаменПеречень видов практических занятий и контроля:

одна курсовая работа (для всех форм обучения);

практические занятия - 16 часов (для очной формы обучения), 16 часов (для очно-заочной формы обучения) и 6 часов (для заочной формы обучения);

экзамен.


2. Рабочие учебные материалы


.1 Рабочая программа


Объем 102 часа)

Введение (2 часа)

[1], с. 10...21; [3], с. 5...31

Предмет и задачи дисциплины. Примеры объектов, требующих системного подхода к моделированию: энергосистемы, гидравлические системы; связанные системы.

РАЗДЕЛ 1. Основные принципы, подходы и процедуры системного моделирования (16 часов)

[1], с. 17...52; [2], с. 62...108; [3], с. 5…52

Постановка задачи системного моделирования: система и ее части, декомпозиция, агрегирование, координация (прогнозирование, согласование, развязывание взаимодействий). Методы анализа процессов в подсистемах и в системах. Модели подсистем (математические, физические, химические). Классификация моделей. Принципы построения моделей, требования, предъявляемые к ним. Пути повышения адекватности моделей.

РАЗДЕЛ 2. Численные методы системного моделирования (32 часа)

[2], с. 119...191; [3], c. 53…129

Методы анализа процессов в подсистемах и системах, состоящих из многих подсистем. Анализ стационарных состояний больших систем. Вычислительный эксперимент как метод системного моделирования. Предпосылки и области применения имитационного моделирования. Роль случайных чисел. Метод Монте-Карло. Приемы построения и эксплуатации имитационных моделей. Получение наблюдений при моделировании. Статистический анализ результатов моделирования. Аппаратно-программные средства имитационного моделирования сложных систем. Прикладные задачи системного моделирования.

РАЗДЕЛ 3. Оценка качества моделей и планирование вычислительного эксперимента (32 часа)

[3], c. 152…183; [4], с. 62...201

Оценка качества моделей. Методы повышения качества оценок показателей эффективности. Пассивные методы повышения качества оценивания показателя эффективности функционирования системы. Активные методы. Косвенные методы.

Планирование имитационных экспериментов. Общая схема испытаний. Полные факторные планы испытаний. Дробные факторные планы. Планирование испытаний. Анализ результатов испытаний. Оптимальные планы. Решение примера.

РАЗДЕЛ 4. Принятие решений по результатам моделирования (18 часов)

[1], c. 82…103; [3], с. 184...191; [5], с. 5…88

Подготовка исходных данных и проверка статистических гипотез. Проверка гипотез о параметрах и о стабильности экспериментов. Критерии согласия. Проверка гипотезы о виде закона распределения. Сокращение размерности моделей больших систем. Анализ конкретной ситуации. Решение примеров.

Заключение (2 часа)

[1], с. 105...183; [3], c. 200…215

Проблемные вопросы теории системного моделирования. Перспективы развития инструментария моделирования.


.2 Тематический план дисциплины


.2.1 Тематический план дисциплины для студентов очной формы обучения


№ п/пНаименование раздела (отдельной темы)Кол-во часов по очной форме обученияВид занятийлекцииПЗ (С)ЛРСам. раб.ТестыКонтрольная работаПЗ (С)аудиторныеДОТаудиторныеДОТаудиторныеДОТ12345678910111213Всего часов102348164--40Введение2201.Раздел 1. Основные принципы, подходы и процедуры системного моделирования168№11.1Постановка задачи системного моделирования. Методы анализа процессов в подсистемах и системах21.2Модели подсистем (математические, физические, химические). Классификация моделей21.3Принципы построения моделей, требования, предъявляемые к ним21.4Адекватность моделей. Пути ее повышения22.Раздел 2. Численные методы системного моделирования3212№22.1Методы анализа процессов в системах, состоящих из многих подсистем22.2Анализ стационарных состояний больших систем22.3Вычислительный эксперимент как метод системного моделирования. Предпосылки и области применения имитационного моделирования22.4Роль случайных чисел. Метод Монте-Карло. Метод инверсий2№1№22.5Приемы построения и эксплуатации имитационных моделей2№3№42.6Статистический анализ результатов моделирования. Получение наблюдений при моделировании222.7Аппаратно-программные средства имитационного моделирования22№5№62.8Прикладные задачи системного моделирования2№7№83.Раздел 3. Оценка качества моделей. Планирование вычислительного эксперимента3212№33.1Оценка качества моделей. Методы повышения качества оценок показателей эффективности223.2Пассивные, активные и косвенные методы повышения качества оценивания показателя эффективности функционирования системы23.3Планирование имитационных экспериментов. Общая схема испытаний223.4Полные факторные планы испытаний23.5Дробные факторные планы испытаний23.6Статистический анализ результатов испытаний22№9№10№11№123.7Оптимальные планы. Решение примера2№13№144.Раздел 4. Принятие решений по результатам моделирования188№44.1Подготовка исходных данных и проверка статистических гипотез24.2Проверка гипотез о параметрах и о стабильности вычислительных экспериментов24.3Критерии согласия. Проверка гипотезы о виде закона распределения22№15№16№17№184.4Сокращение размерности моделей больших систем. Анализ конкретной ситуации. Решение примеров2№19№20Заключение220

2.2.2 Тематический план дисциплины для студентов очно-заочной формы обучения

№ п/пНаименование раздела (отдельной темы)Кол-во часов по очной форме обученияВид занятийлекцииПЗ (С)ЛРСам. раб.ТестыКонтрольная работаПЗ (С)аудиторныеДОТаудиторныеДОТаудиторныеДОТ12345678910111213Всего часов1021032164--40Введение2201.Раздел 1. Основные принципы, подходы и процедуры системного моделирования168№11.1Постановка задачи системного моделирования. Методы анализа процессов в подсистемах и системах21.2Модели подсистем (математические, физические, химические). Классификация моделей21.3Принципы построения моделей, требования, предъявляемые к ним21.4Адекватность моделей. Пути ее повышения22.Раздел 2. Численные методы системного моделирования3212№22.1Методы анализа процессов в системах, состоящих из многих подсистем22.2Анализ стационарных состояний больших систем22.3Вычислительный эксперимент как метод системного моделирования. Предпосылки и области применения имитационного моделирования22.4Роль случайных чисел. Метод Монте-Карло. Метод инверсий2№1№22.5Приемы построения и эксплуатации имитационных моделей2№3№42.6Статистический анализ результатов моделирования. Получение наблюдений при моделировании42.7Аппаратно-программные средства имитационного моделирования22№5№62.8Прикладные задачи системного моделирования23.Раздел 3. Оценка качества моделей. Планирование вычислительного эксперимента3212№33.1Оценка качества моделей. Методы повышения качества оценок показателей эффективности43.2Пассивные, активные и косвенные методы повышения качества оценивания показателя эффективности функционирования системы23.3Планирование имитационных экспериментов. Общая схема испытаний223.4Полные факторные планы испытаний23.5Дробные факторные планы испытаний23.6Статистический анализ результатов испытаний22№9№10№11№123.7Оптимальные планы. Решение примера2№13№144.Раздел 4. Принятие решений по результатам моделирования188№44.1Подготовка исходных данных и проверка статистических гипотез24.2Проверка гипотез о параметрах и о стабильности вычислительных экспериментов24.3Критерии согласия. Проверка гипотезы о виде закона распределения22№15№16№17№184.4Сокращение размерности моделей больших систем. Анализ конкретной ситуации. Решение примеров2№19№20Заключение220

2.2.3 Тематический план дисциплины для студентов заочной формы обучения


№ п/пНаименование раздела (отдельной темы)Кол-во часов по очной форме обученияВид занятийлекцииПЗ (С)ЛРСам. раб.ТестыКонтрольная работаПЗ (С)аудиторныеДОТаудиторныеДОТаудиторныеДОТ12345678910111213Всего часов102834614--40Введение2201.Раздел 1. Основные принципы, подходы и процедуры системного моделирования168№11.1Постановка задачи системного моделирования. Методы анализа процессов в подсистемах и системах21.2Модели подсистем (математические, физические, химические). Классификация моделей21.3Принципы построения моделей, требования, предъявляемые к ним21.4Адекватность моделей. Пути ее повышения22.Раздел 2. Численные методы системного моделирования3212№22.1Методы анализа процессов в системах, состоящих из многих подсистем22.2Анализ стационарных состояний больших систем22.3Вычислительный эксперимент как метод системного моделирования. Предпосылки и области применения имитационного моделирования22.4Роль случайных чисел. Метод Монте-Карло. Метод инверсий2№1№22.5Приемы построения и эксплуатации имитационных моделей2№3№42.6Статистический анализ результатов моделирования. Получение наблюдений при моделировании42.7Аппаратно-программные средства имитационного моделирования22№5№62.8Прикладные задачи системного моделирования23.Раздел 3. Оценка качества моделей. Планирование вычислительного эксперимента3212№33.1Оценка качества моделей. Методы повышения качества оценок показателей эффективности43.2Пассивные, активные и косвенные методы повышения качества оценивания показателя эффективности функционирования системы23.3Планирование имитационных экспериментов. Общая схема испытаний223.4Полные факторные планы испытаний23.5Дробные факторные планы испытаний23.6Статистический анализ результатов испытаний22№9№10№11№123.7Оптимальные планы. Решение примера2№13№144.Раздел 4. Принятие решений по результатам моделирования188№44.1Подготовка исходных данных и проверка статистических гипотез24.2Проверка гипотез о параметрах и о стабильности вычислительных экспериментов24.3Критерии согласия. Проверка гипотезы о виде закона распределения22№15№16№17№184.4Сокращение размерности моделей больших систем. Анализ конкретной ситуации. Решение примеров2№19№20Заключение220

.3 Структурно-логическая схема дисциплины «Системное моделирование»


2.4 Временной график изучения дисциплины при использовании информационно-коммуникационных технологий


№Название раздела, темыПродолжительность изучения раздела (из расчёта 4 часа в день)1Введение1 день2РАЗДЕЛ 1. Основные принципы, подходы и процедуры системного моделирования4,0 дня3РАЗДЕЛ 2. Численные методы системного моделирования8,0 дней4РАЗДЕЛ 3. Оценка качества моделей. Планирование вычислительного эксперимента8,0 дней5РАЗДЕЛ 4. Принятие решений по результатам моделирования4,5 дня6Заключение0,5 дняИТОГО26 дней

.5 Практический блок


.5.1 Практические занятия


Практические занятия (очная форма обучения)

Номер и название раздела (темы)Название темы практических занятийКол-во часовАуд.ДОТ1234Раздел 2. Численные методы системного моделирования2.4. Роль случайных чисел. Метод Монте-Карло. Метод инверсий202.5. Приемы построения и эксплуатации имитационных моделей202.7. Аппаратно-программные средства имитационного моделирования202.8. Прикладные задачи системного моделирования20Раздел 3. Оценка качества моделей. Планирование вычислительного эксперимента3.6. Статистический анализ результатов испытаний223.7. Оптимальные планы. Решение примера20Раздел 4. Принятие решений по результатам моделирования4.3. Критерии согласия. Проверка гипотезы о виде закона распределения224.4. Сокращение размерности моделей больших систем. Анализ конкретной ситуации. Решение примеров20ИТОГО164

Практические занятия (очно-заочная форма обучения)

Номер и название раздела (темы)Название темы практических занятийКол-во часовАуд.ДОТ1234Раздел 1. Основные принципы, подходы и процедуры системного моделирования1.4. Адекватность моделей. Пути ее повышения20Раздел 2. Численные методы системного моделирования2.5. Приемы построения и эксплуатации имитационных моделей202.7. Аппаратно-программные средства имитационного моделирования222.8. Прикладные задачи системного моделирования20Раздел 3. Оценка качества моделей. Планирование вычислительного эксперимента3.6. Статистический анализ результатов испытаний223.7. Оптимальные планы. Решение примера20Раздел 4. Принятие решений по результатам моделирования4.3. Критерии согласия. Проверка гипотезы о виде закона распределения224.4. Сокращение размерности моделей больших систем. Анализ конкретной ситуации. Решение примеров20ИТОГО164

Практические занятия (заочная форма обучения)

Номер и название раздела (темы)Название темы практических занятийКол-во часовАуд.ДОТ1234Раздел 2. Численные методы системного моделирования2.4. Роль случайных чисел. Метод Монте-Карло. Метод инверсий022.5. Приемы построения и эксплуатации имитационных моделей022.7. Аппаратно-программные средства имитационного моделирования202.8. Прикладные задачи системного моделирования02Раздел 3. Оценка качества моделей. Планирование вычислительного эксперимента3.6. Статистический анализ результатов испытаний223.7. Оптимальные планы. Решение примера02Раздел 4. Принятие решений по результатам моделирования4.3. Критерии согласия. Проверка гипотезы о виде закона распределения224.4. Сокращение размерности моделей больших систем. Анализ конкретной ситуации. Решение примеров02ИТОГО614

.6 Рейтинговая система оценки знаний


Максимальное количество баллов 100:

баллов - лекционные занятия (теоретический материал);

баллов - практические занятия;

балл - за активную работу.

Лекционные занятия - 90 баллов.


Количество правильных ответовБалл Тест №1 (20)0-10х22-31х24-52х26-73х28-94х210-115х212-136х214-157х216-178х218-199х22010х2Тест №2 (20)0-10х22-31х24-52х26-73х28-94х210-115х212-136х214-157х216-178х218-199х22010х2Тест №3 (20)0-10х22-31х24-52х26-73х28-94х210-116х212-137х214-158х216-179х218-1910х22011х2Тест №4 (30)0-10х22-31х24-52х26-73х28-94х210-115х212-136х214-157х216-178х218-199х220-2110х222-2311х224-2512х226-2713х228-2914х23015х2Итого максимальное количество баллов: 90 баллов.

Практические занятия - 9 баллов.


Вид практических занятий (тема)Кол-во заданийКол-во баллов за заданиеПриемы построения и эксплуатации имитационных моделей13Статистический анализ результатов испытаний13Проверка гипотезы о виде закона распределения13

Итого максимальное количество баллов: 9 баллов.

Дополнительно, активно работая на занятиях, выполняя творческие задания, студент может заработать ещё 1 балл. Он складывается из следующих видов работ:


ТемаКол-во заданийКол-во баллов за заданиеИтогоОптимальные планы. Решение примера 1 1 1Итого максимальное количество баллов:1

Итого каждый студент может получить не более 100 баллов.

Оценивание результатов обучения проводится в соответствии со следующей схемой:


ОценкаКол-во набранных балловнеудовлетворительно<70удовлетворительно70-79хорошо80-89отлично90-100

3. Информационные ресурсы дисциплины


.1 Библиографический список


Основной:

Карпов, Ю.Г. Имитационное моделирование систем. Введение в моделирование с AnyLogic 5 [Текст] /Ю.Г. Карпов. - СПб.: БХВ-Петербург, 2005. - 390 с.

Рыжиков, Ю.И. Имитационное моделирование: теория и технологии [Текст] /Ю.И. Рыжиков. - СПб.: КОРОНА принт; М.: Альтекс-А, 2004. - 380 с.

Дополнительный:

. Голик, Е.С. Системное моделирование. Ч.1. Имитационное моделирование. Факторный эксперимент: учебно-методический комплекс: учеб. пособие /Е.С. Голик, О.В. Афанасьева. - СПб.: Изд-во СЗТУ, 2007. - 211 с.

. Ильичев, А.В. Эффективность проектируемой техники: основы анализа. /А.В. Ильичев. - М.: Машиностроение, 1991. - 335 с.

. Мартыщенко, Л.А. Системное моделирование. Ч. II: учеб. пособие /Л.А. Мартыщенко, Е.С. Голик, О.В. Афанасьева. - СПб.: Изд-во СЗТУ, 2008. - 102 с.


.2 Опорный конспект


Введение

Рост масштабов экономики, усложнение производственных связей, быстрое развитие информационной составляющей процессов предъявляют новые требования к управлению в технических и социально-экономических системах.

Управление в современных условиях предполагает, прежде всего, глубокую научную обоснованность, высокую надежность разрабатываемых программ и их комплексный, всесторонний и всеобъемлющий характер. В связи с этим системный подход, системный анализ проблем управления, применение средств вычислительной техники и математического аппарата исследования операций и моделирование приобретают одно из первостепенных значений для теории и практики управления.

раздел 1. Основные принципы, подходы и процедуры системного моделирования

Введение

В данном разделе рассмотрены основные принципы, подходы и процедуры системного моделирования

После изучения данного раздела рекомендуется ответить на вопросы для самопроверки и на вопросы теста 1.

В случае если ответы на какие-либо вопросы вызовут затруднение или неуверенность, рекомендуется прочитать учебное пособие Голик, Е.С. Системное моделирование. Ч.1. Имитационное моделирование. Факторный эксперимент: учебно-методический комплекс (учебное пособие) /Е.С. Голик, О.В. Афанасьева. - СПб.: Изд-во СЗТУ, 2007. - 211 с., (с. 5 - 52).

. Понятия системного подхода и большой системы

Системный подход означает стремление изучить явление или объект с учетом его внутренних связей и внешних факторов, определяющих функционирование объекта, то есть стремление изучить его во всей диалектической сложности, вскрыв все внутренние противоречия. Такой подход позволяет исследовать разные по своей природе и сложности объекты с единой системной точки зрения, дает основу для представления внутренних и внешних факторов в виде единого интегрированного целого и выделения наиболее существенных факторов.

Системный анализ - это методология исследования любых объектов посредством представления их в виде систем.

Особенно велико значение системного подхода и системного анализа при разработке и эксплуатации больших человеко-машинных систем. Системный подход и системный анализ основаны на ряде фундаментальных понятий и положений, среди которых основными являются понятия системы, среды, структуры, иерархии, управления, потоков информации.

Первичным понятием является понятие системы. В общем случае под системой понимается множество элементов вместе со связями между ними и их свойствами, объединенных общностью цели. Таким образом, система функционирует как единое целое и каждый элемент системы действует в интересах единой цели, стоящей перед системой в целом.

Рассмотрим термины, входящие в определение системы. Элементы - это части системы, отражающие в каждом конкретном случае последний этап ее деления.

Связи объединяют элементы системы в единое целое. По существу только наличие многих видов связи (причинных, логических, случайных и т. д.) делает понятие системы полезным. Связи, подлежащие рассмотрению в данном множестве элементов, зависят от стоящей перед системой задачи: важные связи включаются в рассмотрение, несущественные исключаются.

Свойства элементов дают возможность описывать элементы количественно, выражая их в единицах, имеющих определенную размерность, либо качественно, если они не поддаются измерению.

В зависимости от природы элементов различают системы физические и абстрактные. Физическими называют системы, состоящие из естественных или искусственных элементов. В абстрактных системах элементы представлены символами. Для изучения физической системы ее описывают с помощью математических зависимостей, выражающих соотношения между элементами физической системы. Система математических зависимостей представляет собой абстрактную систему. Абстрактные системы могут также описывать соотношения между понятиями, не имеющими физического содержания.

Системы существуют в окружающей их среде. Для данной системы среда есть множество всех элементов вне системы, изменение свойств которых влияет на систему, и сами свойства которых изменяются вследствие поведения системы. Важно отметить, что физические системы не просто существуют в окружении среды - они существуют благодаря окружению среды.

Какую совокупность элементов принять за систему, и какую отнести к среде - в конечном счете, определяется характером решаемой задачи, целями исследования. Например, производственное объединение можно рассматривать как систему, тогда производственные и административные организации, с которыми объединение связано, будут для него представлять среду.

Чтобы указать среду полностью, необходимо знать все факторы, воздействующие на систему или испытывающие воздействие с ее стороны. В систему и среду включают элементы и связи, являющиеся наиболее важными с точки зрения решаемой задачи, пренебрегая теми, которые не играют существенной роли.

Из определения системы, ее элементов и среды следует, что всякая система допускает дальнейшее разбиение на подсистемы. Элементы, принадлежащие одной подсистеме, можно рассматривать как элементы среды другой подсистемы. Переход к подсистеме, естественно, ведет к возникновению новых связей. Заметим здесь, что разбиение системы на подсистемы выражает свойства иерархической упорядоченности систем. Можно сказать, что подсистемы - это системы низшего порядка по отношению к системе, в которую они входят.

В результате поступательного развития возникли качественно новые сложные производственно-экономические, технические, научные, военные и прочие комплексы. Понятие «большая система» введено как выражение системного подхода к постановке и решению задач управления такими сложными комплексами. Отдельные отрасли и звенья экономики, промышленные предприятия и технические объекты, программы разработки и осуществления крупных проектов, виды техники, системы снабжения мегаполисов и т.д., короче говоря, бесчисленное многообразие комплексов можно рассматривать как большие системы.

В настоящее время еще не сложилось общепринятое формальное и строгое определение большой системы. В ряде работ сформулированы характерные отличительные признаки больших систем, которые позволяют на научно-техническом уровне воспринимать понятие большой системы достаточно однообразно. Наиболее важными отличительными признаками являются:

целенаправленность и управляемость системы, то есть наличие у всей системы общей цели и общего назначения, задаваемых и корректируемых в системах более высокого уровня или в самой системе;

многоплановый характер задач, в решении которых участвуют большие коллективы специалистов разных областей. Чтобы обеспечить целенаправленные действия этих коллективов, организуется процесс управления системой;

сложная иерархическая структура организации системы, то есть определенная соподчиненность подсистем различных уровней, предусматривающая сочетание централизованного управления с автономностью отдельных частей;

наличие функциональных подсистем. Формально любая совокупность элементов данной системы вместе со связями между этими элементами может рассматриваться как ее подсистема. Однако выделение подсистемы целесообразно в тех случаях, когда она представляет собой более или менее самостоятельно функционирующую часть системы с определенной целью функционирования, причем можно оценивать эффективность ее функционирования;

наличие сложных информационных связей внутри системы(между подсистемами и внутри каждой подсистемы), материальных и энергетических связей, а также связей с другими системами (внешней средой);

свойства адаптации и самоорганизации, способность выбора наиболее целесообразного поведения в условиях случайных и конфликтных ситуаций и воздействия внешних и внутренних возмущающих факторов;

многомерность. Огромный объем перерабатываемой информации формально описывается математическими зависимостями, содержащими большое число переменных;

высокая степень автоматизации, широкое применение вычислительной техники, резко расширившей возможности реализации сложных систем управления.

Таким образом, большие системы выступают, как правило, в виде целостных человеко-машинных систем с централизованным управлением, целенаправленно функционирующих и совершенствующихся в условиях возмущающих внешних и внутренних воздействий и конфликтных ситуаций.

В современных условиях большие системы могут эффективно функционировать только при использовании автоматизированных систем управления.

В структуре большой системы, как и всякой управляемой системы, выделяют две основные подсистемы: управляемую подсистему (объект управления) и управляющую подсистему (орган управления). Обе подсистемы тесно связаны между собой каналами прямой и обратной связи.

Управляемая подсистема является, по существу, исполнительной частью всей системы, принимающей на свои входы-выходы управляющей подсистемы и воздействия среды. Именно она реализует цели, поставленные перед всей системой. Таким образом, основное назначение управляемой подсистемы - реализация целей, введенных в систему извне, либо сформированных внутри нее.

Управляющая подсистема предназначена для выбора целей и для формирования процесса, задающего желаемое (с точки зрения выбранных целей) поведение управляемой подсистеме. Входами, влияющими на процессы в управляющей системе, являются выходы управляемой подсистемы и воздействие окружающей среды.

Необходимо отметить, что вследствие иерархичности структуры каждая из рассмотренных подсистем может в свою очередь состоять из двух подсистем - управляемой и управляющей более низкого уровня.

Главная особенность системного подхода заключается в том, чтобы учесть:

сложность управляемой системы, наличие выделяемых частей, связанных друг с другом сложными взаимодействиями;

неопределенность поведения этих частей, являющуюся результатом участия людей в функционировании системы или действия случайных возмущений, которые не могут быть идеально скомпенсированы управляющими воздействиями;

связи рассматриваемой системы с другими системами (с окружающей средой).

Классификация больших систем может производиться на различной основе и по различным признакам. Однако вследствие сложности и многообразия больших систем разделение их на классы не является строгим и подчеркивает лишь различия в основных признаках, положенных в основу классификации.

. Эффективность больших систем

Проблема эффективности является центральной проблемой управления большими системами. Целью управления в конечном итоге является достижение эффективности функционирования системы.

Под эффективностью системы понимают степень ее приспособленности к выполнению стоящих перед ней задач или, другими словами, степень ее соответствия целевому назначению.

Эффективность системы в целом зависит от ряда ее отдельных свойств (качеств). Например, эффективность средств поражения определяется дальностью действия, точностью, надежностью, стоимостью и т.д.; эффективность соединения, выполняющего боевую задачу, зависит как от качества вооружения, так и от боевой выучки состава, от морального и боевого духа войск, от одаренности командного и политического состава.

Таким образом, свойства, определяющие эффективность системы, могут иметь количественный и качественный характер. В первом случае свойства измеряются в физических единицах и могут быть выражены количественно.

Математические методы исследования операций, предметом изучения которых являются и большие системы, позволяют получить количественную основу для оценки эффективности системы. Естественно, что используемые при этом понятия также должны допускать количественные выражения. При количественной оценке эффективности системы оперируют понятиями «показатель» и «критерий».

Под показателем понимают количественную характеристику какого-либо свойства системы или процесса. Например, важнейшим свойством сложной системы является ее надежность; показатель надежности обычно понимается и количественно выражается как вероятность того, что система будет правильно функционировать в требуемых условиях дольше, чем некоторое заданное время.

Мы уже отмечали, что эффективность системы зависит от многих свойств, следовательно, она может быть оценена с помощью набора частных показателей, удовлетворяющих определенным требованиям: каждый из показателей должен иметь однозначный и ясный смысл, частично характеризовать качество системы, а совокупность показателей должна характеризовать систему как можно полнее. Если отдельные показатели носят качественный характер, необходимо (если это возможно) дать им такое истолкование, которое допускает количественное выражение.

С понятием эффективности органически связана проблема оптимизации.

Допустим, что перед большой системой поставлена какая-то цель. Так как система является управляемой, то это значит, что в распоряжении руководителей имеются какие-то способы воздействия на систему, от которых зависит окончательный результат. Как правило, существуют такие условия, что поставленная цель может быть достигнута не единственным образом, а возможны различные способы действий.

Различные взаимоисключающие способы действий, различные возможные варианты решения задачи, направленные на достижение поставленной цели, называют альтернативными решениями или просто альтернативами.

Возникает проблема оптимизации - нужно выбрать одно из альтернативных решений, именно то, которое является наилучшим в некотором смысле или, как говорят, оптимальное решение.

Оптимизация системы заключается в установлении таких значений управляемых параметров системы, при которых достигается максимально возможная в данных условиях эффективность системы. Соответствующие значения управляемых параметров называют оптимальными.

Теперь возникает другая задача - необходимо найти меру эффективности системы, то есть такой количественный показатель, который может характеризовать степень выполнения системой своего основного назначения. Такой показатель называется критерием эффективности (его также называют показателем эффективности). Ясно, что цель системы и критерий эффективности должны измеряться в одних единицах.

Выбор критерия эффективности является в общем случае неформализуемой процедурой. Это значит, что критерий эффективности не является логическим следствием структуры и поведения самой системы. В системах, созданных человеком, критерии эффективности выбираются в зависимости от того, что хотят получить от системы, то есть в зависимости от того, как должна вести себя система в составе более общей системы. Иными словами, критерий эффективности выбирается, из соображений, выходящих за рамки данной системы и определяемых необходимостью выполнения системой некоторых задач в составе системы более высокого иерархического уровня. Здесь уместно привести высказывание известного советского математика А.А. Ляпунова: «При постановке математико-экономических задач чрезвычайно существенную роль играет учет большого количества содержательных обстоятельств и представлений, которым трудно дать строго математическое обоснование. Вопрос о том, что признается удачным или неудачным... как сформулировать тот критерий, по которому производится оценка производственных действий, лежит вне математики» [1].

Выбор критерия эффективности имеет решающее значение для принятия правильного решения и является одним из самых ответственных этапов в деятельности руководителя. Покажем это на примере.

В начальный период Великой Отечественной войны, когда фашистская авиация еще господствовала в воздухе, на наших эшелонах с войсками и техникой, отправляемых из тыла к фронту, для прикрытия устанавливали МЗА и зенитные пулеметы. Это было сделано за счет вооружения, крайне необходимого в других местах. Статистические данные показали, что сбивалось незначительное число самолетов, атаковавших эшелоны. По критерию ущерба, наносимого самолетам противника, установка зенитных средств на эшелонах была явно нецелесообразна и даже возник вопрос о том, чтобы отказаться от этой меры.

Цель же состояла не в том, чтобы нанести возможно больший урон атаковавшим самолетам противника, а в том, чтобы обеспечить защиту эшелонов от авиации противника и их прибытие на пункты назначения. Поэтому и в качестве критерия следовало взять не ущерб, наносимый самолетам противника, а наши потери. Оказалось, что наши потери при наличии зенитного прикрытия были значительно меньше, чем при его отсутствии. Анализ показал, что установка МЗА и зенитных пулеметов оправдала себя.

При математической формулировке задачи оптимизации критерий эффективности представляется в виде функции, экстремум которой требуется найти, и называется целевой функцией. Целевая функция представляет собой краткое математическое изложение Цели системы зависят от всех управляемых параметров системы, представленных в выражении для целевой функции в виде зависимых переменных. Различным наборам значений этих переменных соответствуют различные значения целевой функции, различные альтернативные решения, различная эффективность системы. Набору значений параметров, при которых целевая функция достигает экстремума, соответствуют оптимальное решение и максимальная эффективность системы. Таким образом, целевая функция является количественным показателем качества альтернативных решений и соответствующей эффективности системы.

При математической постановке задачи оптимизации в том же смысле, что и целевая функция, используется понятие критерия оптимальности, как показателя, экстремальное значение которого характеризует максимально достижимую эффективность системы.

Максимальная эффективность в зависимости от конкретных условий может означать:

получение максимального эффекта (результата) при заданных затратах;

достижение заданного эффекта при минимальных затратах;

максимальное отношение эффекта к затратам, то есть максимальный эффект на единицу затрат.

Под эффектом (результатом) понимают степень достижения определенных целей. Затратами считается расход материальных, трудовых и энергетических ресурсов.

Задача оптимизации может быть в общем случае математически решена только для одного критерия оптимальности или, что то же, для одного критерия эффективности. Однако эффективность больших человеко-машинных или даже чисто технических сложных систем характеризуется набором частных показателей, и их не удается свести в один общий показатель, пригодный для оценки эффективности. Поэтому в качестве критерия оптимальности выбирают такой доминирующий показатель, который позволит в наибольшей степени определить способность системы выполнить свое основное предназначение.

Для уяснения изложенного рассмотрим следующий пример.

Пусть требуется организовать систему снабжения регионом с нескольких пунктов отправления различными транспортными средствами в разные пункты назначения. В зависимости от организации системы ее эффективность будет различной. Допустим, что на время перевозок ограничения не наложены. В этом случае имеем систему с одним показателем, характеризующим ее эффективность, таким показателем является стоимость перевозок. Естественно взять стоимость перевозок в качестве критерия оптимальности. Если выразить этот критерий в виде некоторой функции от параметров, определяющих систему перевозок, то набор значений параметров, при котором функция достигает экстремума (в данном случае минимума) и будет оптимальным, то есть при этих значениях стоимость перевозок будет минимальной.

Теперь допустим, что требуется обеспечить перевозки за ограниченное время. Уменьшение времени перевозок повышает их стоимость, поэтому для оценки эффективности системы уже нужно учитывать два показателя - время и стоимость, причем, как нетрудно заметить, оба показателя противоречивы. Если перевозки должны быть обеспечены за возможно меньшее время (например, при подготовке или проведении операции), то критерием оптимальности будет время перевозок.

В общем случае применяются следующие способы выделения критерия оптимальности при наличии нескольких показателей:

часть показателей превращают в ограничения. Так, если в рассмотренном примере задано время перевозок, то его можно представить в виде ограничения, а критерием оптимальности считать стоимость перевозок. Возможна и обратная постановка задачи оптимизации: минимизировать время перевозок при заданной стоимости (при имеющихся средствах перевозки);

несколько показателей свертывают (объединяют) в один обобщенный показатель (путем постановки общей цели, введением весовых коэффициентов и др.). Применение этого способа сопряжено с большими трудностями, заключающимися в сложности определения единой меры для разнородных показателей;

варьируют постановку задачи, то есть производят оптимизацию

при разных критериях оптимальности и решение принимают по оптимизируемым требованиям на основании полученных результатов (метод уступок).

Необходимо отметить, что в иерархической системе значимость одного и того же показателя меняется в зависимости от уровня иерархии. Показатель высшей ступени системы не всегда обязателен для низшей его ступени; в то же время показатель низшей ступени всегда входит в показатель высшей ступени или прямо, или, что бывает чаще, опосредствованно. В каждой иерархически организованной системе показатель любого низшего ее уровня находится в области показателей высшего уровня.

. Управление в больших системах

Управление присуще обществу на любой стадии развития. Оно обусловлено единой природой общества, ибо «Всякий непосредственно общественный или совместный труд, осуществляемый в сравнительно крупном масштабе, нуждается в большей или меньшей степени в управлении, которое устанавливает согласованность между индивидуальными работами и выполняет общие функции, возникающие из движения всего производственного организма в отличие от движения его самостоятельных органов» [1].

Под управлением в самом общем смысле этого слова понимают процесс целенаправленного воздействия органа управления на объект управления.

Сущность управления большой системой в общем случае заключается в согласовании действий ее подсистем и элементов и формировании такого их поведения, при котором достигается максимально возможная в данных условиях эффективность решения стоящих перед системой в целом задач.

Ранее указывалось, что процесс управления в большой системе осуществляется подсистемой управления. В литературе широко применяется и термин «система управления», которым мы также будем пользоваться.

В зависимости от характера управляемых объектов различают управление техническими системами (например, технологическими линиями) и управление организационными системами. Под организационными понимают системы, включающие наряду с техникой и материальными средствами большие человеческие коллективы. К организационным относятся административные системы, социально-экономические, производственные и др. Несмотря на сходство процессов управления техническими и организационными системами, заключающееся в общности основных принципов управления, имеется и существенное различие.

При управлении техническими системами известны условия протекания процессов в системе и предусмотрены способы нормализации поведения системы в зависимости от возмущений. Поэтому процесс управления может быть, алгоритмизирован и, следовательно, автоматизирован до конца.

При управлении организационными системами может отсутствовать часть необходимой информации и возникает сложная теоретическая и практическая проблема - принятие решения в условиях неполноты информации, или, как говорят, в условиях неопределенности; не исключена противоречивость целей всей системы и локальных целей ее подсистем и элементов; возможны различные варианты достижения цели, причем выбор наиболее предпочтительного варианта нельзя обосновать математическими, формализованными методами. Вследствие этого процесс управления организационными системами не может быть формализован, алгоритмизирован и автоматизирован до высших уровней иерархии, на которых происходит выработка и принятие решения.

Можно указать следующие основные причины, обусловливающие неполноту информации:

)исходная статистическая информация недостаточно полна и достоверна;

)существует большая группа явлений и факторов, информация о которых может быть оценена лишь с помощью вероятностных показателей;

) часть информации имеет качественный характер и либо не поддается количественным измерениям, либо может быть выражена количественно сугубо приближенно;

) могут возникнуть ситуации, когда информация в принципе может быть достаточно точно определена и измерена, но в момент выработки и принятия решения ее просто нет.

Далее рассматриваем вопросы управления организационными системами.

В общем случае процесс управления состоит из выполнения следующих основных функций:

постановка задачи;

выработка и принятие решения;

планирование действий;

организация действий;

контроль выполнения принятого решения.

К выполнению функций обычно приступают в приведенной последовательности, в дальнейшем отдельные этапы процесса управления, соответствующие перечисленным функциям, могут совпадать во времени и заканчиваться не обязательно в том же порядке.

Постановка задачи. Для отыскания решения любой задачи необходимо сначала ее поставить и сформулировать, причем сделать это нужно так, чтобы принятие решения основывалось на научных методах. Для того же, чтобы правильно поставить и сформулировать задачу, необходимо знать, в чем она заключается.

Понятие задачи имеет очень широкий диапазон применения. Термин «задача» широко используется как синоним термина «проблема» и в этом случае под постановкой задачи в системотехнике понимают формулировку проблемы.

Постановка задачи заключается в том, чтобы определить:

цели (результаты), которые должны быть достигнуты, и их относительную значимость;

условия среды, в которой функционирует система или, другими словами, какие имеются факторы, которые должны быть учтены, но на которые влиять нельзя (неуправляемые параметры);

возможные способы действия и факторы, на которые можно влиять (управляемые параметры);

критерий выбора наиболее предпочтительного способа действия (критерий оптимальности).

Постановку задачи можно разделить на две части: уяснение задачи и выбор целей.

Уяснение задачи есть выделение и связывание друг с другом факторов, характеризующих систему и окружающую ее среду. Уяснение задачи можно определить как сбор, анализ и обобщение данных, описывающих условия функционирования системы, требования вышестоящей инстанции, экономические соображения, возможные случайные воздействия и т. д.

Уяснение задач - процесс не менее творческий, чем их решение и умение схватить суть задачи, отделить главное от второстепенного, существенное от несущественного, представляет характерную черту творческих личностей.

Выбор целей есть логическое завершение уяснения задачи. Выбранные цели направляют поиски альтернативных решений и дают критерии для выбора оптимального решения.

Выбор целей имеет два аспекта. Один аспект связан с определением и оценкой целей, которые должны быть достигнуты. Такое определение сопряжено с оценочными суждениями, и это объясняет второй аспект функции выбора целей. Дело в том, что оценочные суждения, описывающие качество целей, предполагают существование системы разнородных ценностей, разнородных показателей. Возникает трудная и важная проблема установления иерархии ценностей, шкалы приоритетов. Как соизмерить, например, качество и стоимость, сложность и надежность? Это - труднейшая проблема измерения и сравнения многих разнородных переменных.

Рассмотрим пример. Пусть разрабатывается технический комплекс. Эффективность комплекса определяется набором технических, экономических и эксплуатационных свойств. Эти свойства в свою очередь можно выразить рядом показателей: стоимость разработки, изготовления и эксплуатации, использование недефицитных материалов, возможность модернизации, надежность, помехозащищенность, точность, дальность действия и т. д.

Очевидно, что многие показатели взаимно противоречивы в том смысле, что улучшение одного показателя вызывает ухудшение других. Точно сформулировать, каким комплекс должен быть, выбрать показатели, установить их значимость, определить доминирующие, согласовать выбранные показатели между собой и с реальными возможностями и найти разумный компромисс - в этом по существу и заключается выбор целей. Отсюда видно значение этой части постановки задачи: неправильно выбрать цель - значит неправильно решить задачу.

Отправным пунктом при выборе целей является выбранный критерий эффективности. Именно критерий дает исходные посылки для оценки неопределенности, установления значимости отдельных показателей, их согласования между собой, поиска наиболее целесообразного решения и вообще постановки задачи оптимизации. Рассмотренный пример показывает, какой высокий уровень знаний, творческих способностей и опыт требуется от руководителя при выборе критерия.

Выработка и принятие решения. При постановке задачи формулируется, в чем состоит задача и чему она служит, какие цели должны быть достигнуты в результате ее решения. На этапе выработки и принятия решения определяется, как решить задачу наилучшим, оптимальным образом.

Выработка и принятие решения заключается в описании возможных решений, прогнозе и оценке результатов каждого из решений, в сравнении этих результатов с поставленными целями и выборе наиболее предпочтительного решения. Предпочтительность определяется с помощью некоторого критерия. В соответствии с этим выработка и принятие решения включают три последовательные операции, соответствующие общему ходу решения задач в любой области:

синтез альтернативных решений;

анализ сформулированных альтернативных решений;

выбор и принятие оптимального решения.

Общая цель синтеза - составить обширный (в идеальном случае исчерпывающий) перечень решений, способных осуществить цели, поставленные при постановке задачи. Каждая альтернатива должна разрабатываться достаточно подробно, чтобы ее можно было оценить также с точки зрения реальных возможностей ее реализации.

Методы синтеза колеблются от чисто логических, математически формализуемых до чисто психологических, творческих, неформализуемых. Существует много задач, которые можно полностью формализовать и решить с помощью ПЭВМ. Такие задачи решаются методами исследования операций, а синтез возможных решений сводится к построению математической модели и производится, как правило, путем выбора известной математической модели, пригодной для данной задачи, или построением новой модели.

При управлении большими техническими, специально-техническими, экономическими и организационными системами возникают проблемы, особенно на верхних уровнях иерархии управления, которые нельзя описать формализованным математическим языком. В этих случаях синтезировать альтернативные решения позволяют только неформализуемые методы мышления - опыт, творческие способности, интуиция.

В общем случае синтез альтернативных решений основывается на объединении формализованных (математических) и неформализуемых методов.

Анализ альтернативных решений состоит в выведении всех существенных следствий, вытекающих из решений. Эти следствия сравниваются с целями, которые нужно достичь.

Нельзя принять не только оптимальное, но просто разумное решение, не учитывая элемента неопределенности или недостоверности в некоторых следствиях. Эти неопределенности во многих случаях учитываются с помощью вероятностных суждений об исходах. Вероятности для таких суждений иногда получают объективно - путем сбора и обработки опытных данных, иногда же субъективно - путем интуитивной оценки. Субъективно полученная вероятность есть просто степень уверенности.

Принятие решения является кульминационной точкой всего процесса управления. От принятого решения в конечном итоге зависит эффективность всей системы, будет ли достигнута поставленная цель и какой ценой.

Принятие решения заключается в выборе наиболее предпочтительной альтернативы. Предпочтительность определяется, как уже говорилось, с помощью установленного критерия.

Когда все следствия всех альтернативных решений достоверны, независимы и измеримы по одной шкале ценностей и значения критерия оптимальности выражаются в единицах той же шкалы, процедура принятия решения проста: сопоставляются следствия всех решений и выбирают то, которому отвечает экстремальное значение критерия.

Когда следствия недостоверны, взаимозависимы и требуют нескольких различных шкал ценностей (возможно также, что некоторые следствия носят субъективный характер и трудно измеримы или вообще неизмеримы), ситуация становится неопределенной и слишком сложной, чтобы можно было указать общую процедуру принятия решения, существуют лишь отдельные приемы для отдельных классов задач. Акт принятия решения в таких случаях состоит просто в прямом суждении, опирающимся на опыт, интуицию, творческие способности и количественные рекомендации, полученные с помощью методов исследования операций.

Основными причинами, затрудняющими постановку задачи, выработку и принятие решения, являются:

неполнота исходной информации;

наличие факторов, которые не поддаются контролю;

невозможность точного предсказания последствий синтезируемых и принимаемых решений;

неповторяемость и невозможность экспериментальной проверки результатов принимаемых решений.

Из всего изложенного видно, что процесс постановки задачи и выработки принятия решений имеет несколько четко различимых элементов:

) перечень целей;

) перечень альтернативных решений;

) методы для предсказания следствий решений и определения вероятности (если они существуют) наступления этих следствий;

) систему ценностей для определения значимости следствий;

) критерий решения, указывающий, как по перечисленным элементам определить наилучшую альтернативу.

Планирование. По определению, план есть намеченный образ действия, следовательно, планирование означает установление того, что надо делать для выполнения принятого решения, для достижения поставленной цели.

Перечислим некоторые из важнейших свойств планирования:

планирование обеспечивает организованные и целенаправленные действия системы;

планирование предусматривает трудности и предупреждает задержки в функционировании элементов системы и системы в целом;

планирование дает логическую основу для координации и контроля действий отдельных подсистем и элементов системы.

В зависимости от характера решаемых задач - стратегические или тактические - различают два вида планирования: стратегическое или перспективное, и тактическое или текущее.

Стратегические задачи можно характеризовать тремя особенностями: большим временным диапазоном, большими масштабами и необходимостью определять конечные и промежуточные цели и подцели (в тактических задачах они, как правило, известны или задаются извне).

Примером стратегической задачи является разработка новых комплексов или образцов вооружения.

Стратегические задачи связаны с перспективным (долговременным) планированием.

Основными источниками неопределенности при стратегическом планировании, связанном с задачами научно-технического прогресса вообще и прогресса в развитии исследуемой системы в частности, являются:

стратегическая неопределенность, возникающая вследствие невозможности предсказания всех факторов, которые могут оказать в будущем влияние на развитие науки и техники;

техническая неопределенность, возникающая из-за невозможности точной оценки характеристик техники будущего, сроков и затрат на ее создание;

статистическая неопределенность, являющаяся следствием вероятностной природы многих процессов.

Стратегическую задачу можно расчленить на множество взаимосвязанных тактических задач. Соответственно стратегический план можно разбить на тактические планы. Тактическое планирование ориентировано на достижение промежуточных целей (подцелей), при этом средства, ресурсы, последовательность, сроки и способы решения задачи определяются детально, и чем ниже уровень тактической задачи в иерархии системы, тем более детально она планируется.

По признаку регулярности действия планы делят на разовые и постоянные. Разовые определяют образ действий для некоторой частной ситуации и исчерпываются, когда цели достигнуты. К разовым можно отнести планы отдельных операций, разработки новых образцов техники и др. Постоянные планы, будучи однажды разработаны, применяются повторно с небольшими изменениями или вовсе без них. К постоянным можно отнести планы, связанные с оперативными расчетами МЧС, планы проведения полигонных испытаний образцов вооружения и техники по определенным показателям (нормалям). Разумеется, существует множество таких планов, среди которых разовые и постоянные представляют лишь крайние случаи.

Организация. Организация заключается в объединении материальных и людских ресурсов во взаимосвязанную систему, в распределении функций, прав и обязанностей между частями системы таким образом, чтобы обеспечить эффективное управление и достижение поставленных целей.

За время, необходимое для реализации решения, состояние системы и внешней среды может существенно измениться. Эти изменения могут быть такого рода, что повлияют на характер задачи, следовательно, и на эффективность ее решения. К ним относятся:

изменение полезности получаемых результатов, влияющее на выбор критерия;

изменение набора управляемых переменных. Так, например, в системе обеспечения мегаполисом могут выйти из строя отдельные пункты отправления, назначения, коммуникации;

изменение ограничений, наложенных на управляемые переменные. Например, могут изменяться сроки доставки продукции, готовности, транспорт;

изменение состава неуправляемых переменных (появление новых факторов внешней среды);

изменение различных параметров системы;

изменения в структуре системы.

Вследствие таких изменений методы и планы реализации, разработанные даже самым тщательным и оптимальным образом, неизбежно теряют свою эффективность. Поэтому должны быть предусмотрены специальные предупредительные и корректировочные меры. Нет необходимости подчеркивать, насколько это важно в экстремальных ситуациях, когда ситуация меняется очень быстро, а времени для принятия корректировочных мер очень мало.

Контроль выполнения принятого решения обеспечивает функционирование системы в соответствии с принятым решением и намеченным планом. Контроль заключается в периодическом или непрерывном сравнении фактически полученных результатов с запланированными и в последующей корректировке действий.

Из всего изложенного видно, что процесс управления представляет собой последовательные этапы сбора, передачи и переработки большого объема информации. «...Система управления с точки зрения технологии ее функционирования решает три основные задачи. Это сбор и передача информации об управляемом объекте, переработка информации и, наконец, выдача управляющих воздействий в той или иной форме» [4].

. Структура систем управления

Структура системы управления имеет исключительно важное значение для эффективного функционирования системы.

Под структурой системы понимается организация системы из отдельных элементов с их взаимосвязями, которые определяются целями системы и распределением функций между ее элементами. Другими словами, это способ, которым части системы связаны между собой в одно целое и подчинены общей задаче.

Под структурой организационной системы понимается форма распределения задач и полномочий между лицами или группами лиц (структурными подразделениями), составляющими систему, направленную на достижение общесистемных целей.

Структуры систем управления можно классифицировать по следующим основным признакам:

по числу уровней управления - одноуровневые и многоуровневые, иерархические;

по принципам управления и подчиненности - централизованные, децентрализованные и смешанные.

В централизованной системе все существенные решения принимаются центральным органом, осуществляющим функции управления и координации деятельности всех подсистем.

Но централизованная структура управления требует сосредоточения и переработки в центральном органе огромного объема информации, относящейся к функционированию всей системы и необходимой для принятия решения. Может оказаться, что полностью централизованный сбор и обработка информации либо технически невозможны, либо приводят к значительному запаздыванию в принятии решения, то есть к принятию решений по устаревшей информации. В обоих случаях это приводит к увеличению неопределенности при принятии решения, а следовательно, к снижению эффективности системы управления.

В децентрализованных системах решения принимаются отдельными подсистемами независимо и не корректируются подсистемой более высокого уровня.

В смешанных системах управление выполнением некоторых действий происходит централизованно, а некоторых - децентрализовано.

По выполняемым функциям и целевому назначению различают структуры систем планирования, оперативного управления, информационных систем и др.

По принципу разбиения систем на подсистемы различают структуры систем, в которых элементы объединяются по функциональному или объектному принципу.

Большие организационные системы обычно имеют иерархическую структуру со смешанным управлением.

В иерархических системах трудности, вызванные большим объемом информации и сложностью ее обработки, преодолеваются распараллеливанием процедур обработки информации, то есть разделением системы управления на звенья, каждое из которых работает только с небольшой частью общего объема информации. Для принятия решений в отдельных звеньях необходимо уже иметь значительно меньший объем информации, следовательно, эти решения будут приниматься в условиях значительно меньшей неопределенности. Иерархическая структура управления - это прежде всего разделение функций обработки информации и принятия решений.

Таким образом, иерархическая структура управления приводит к некоторой децентрализации управления, так как отдельные решения получают право самостоятельно принимать решения по тем или иным вопросам.

Наиболее характерными особенностями иерархической структуры являются:

автономность отдельных подсистем;

уплотнение (агрегирование) информации при движении вверх по иерархии;

наличие целей для каждой подсистемы и общесистемных целей;

взаимовлияние и взаимозависимость подсистем из-за наличия общих ограничений.

С иерархической структурой управления логически связан метод декомпозиции целей (задач).

Управление большими системами требует достижения многих конечных и промежуточных целей, учета многих разнообразных связей и ограничений. В связи с этим находит широкое применение метод декомпозиции, сущность которого заключается в том, что исходная цель разбивается на цели меньшей сложности. Из целей всей системы вытекают цели для звеньев второго уровня. Из целей второго уровня, в свою очередь, вытекают цели третьего уровня и т. д.

Метод последовательного расчленения основных целей позволяет построить так называемое дерево целей. Дерево целей строится таким образом, что достижение цели нижестоящего уровня обеспечивает достижение целей более высокого уровня.

Построение дерева целей обеспечивает согласованность целей для различных подсистем и элементов, входящих в систему. Причем, если для верхних уровней цели носят общий, иногда (для очень крупных систем) качественный характер, то по мере понижения уровня они конкретизируются, доходя до количественно определяемых характеристик, которые должны быть достигнуты.

Для построения дерева целей необходимы следующие данные: четко определенные цели на всех уровнях; оценки относительной важности целей каждого уровня.

Построение дерева целей рассмотрим на следующем примере. Пусть требуется разработать новый комплекс летательных аппаратов (ЛА).

Расчленение общей цели на подцели по иерархическим уровням и построение дерева целей видно из рис. 1.1. На рисунке расчленение показано только для одной составной части - ЛА. Аналогичным образом расчленяются цели и для остальных составных частей.


Уровень


Составные части


2-й


Основные элементы


3-й


Составляющие элементы


4-й


Комплектующие элементы


5-й

Рис. 1.1 Агрегатирование по уровням иерархии

Дерево целей помогает увязать перспективы проблемы с планом работы на текущий период, облегчает разбиение процесса выполнения всей программы на ряд последовательных во времени этапов.

Оценка относительной важности целей на высоких уровнях представляет сложную задачу, ибо, как правило, она трудно формализуема или вообще неформализуема. Цели могут быть определены количественно или качественно. Чтобы оценить их относительную важность или степень их достижения, нужно найти для их общую меру измерения. Если это сделать не удается, задача решается методом экспертных оценок. На нижних уровнях, где цели сводятся к решению конкретных научных или технических задач, они (цели) формализуются и сравнительную оценку можно произвести формальными же методами.

Рассмотрим обобщенную структурную схему автоматизированной системы управления. Каналы связи и передачи информации показаны стрелками. Жирными стрелками обозначена командная информация.

В ПЭВМ поступает информация о внешней среде, о состоянии управляемых объектов и с каждого уровня управления. С помощью математического обеспечения ПЭВМ поступившая информация обрабатывается и направляется на хранение в информационную базу. Математическое обеспечение АСУ использует эту информацию для решения задач управления. С его помощью на ЭВМ осуществляется поиск оптимальных решений и выдаются варианты решений на каждый уровень управления.

Чем выше уровень математического обеспечения АСУ, тем более сложные задачи управления можно решать с применением ПЭВМ.

К руководителю системы (1-й уровень управления) поступает информация о внешней среде, состоянии управляемых объектов и количественные данные и варианты решений, выработанные ПЭВМ. На основании этих данных, а также целей системы и критериев выбора руководитель принимает решение, которое поступает в инстанции 2-го уровня управления. Здесь осуществляются функции планирования, организации и управления процессом реализации решения. Разработанные здесь решения передаются на управляемые объекты и ПЭВМ.

Управляемые объекты могут, в свою очередь, состоять из двух подсистем - управляемой и управляющей, причем они могут иметь свои промежуточные уровни и собственные ПЭВМ.

На схеме с целью ее упрощения изображена одна ПЭВМ. Реально же в силу иерархической структуры системы ПЭВМ и другие средства обработки информации могут быть на каждом уровне управления.

. Основные понятия системного моделирования

Практически задачи системотехники, которые решаются методами моделирования, можно разбить на две большие группы. К первой относятся задачи определения оптимальных методов использования как организационных систем в целом, так и их подсистем. Другими словами, это задачи управления существующими системами. Специфическая особенность этой группы задач состоит в том, что технические устройства, входящие в структуру этих систем, уже созданы и их характеристики не изменяются. Такими задачами являются оценка эффективности систем управления процессами и производствами, нахождение оптимальных вариантов технологических целей, логистическое сопровождение и др., организация ремонта вооружения и т. д. Вторая группа включает задачи, связанные с определением оптимальных характеристик разрабатываемых и перспективных систем техники и технологии.

Понятия оптимальности, показателей и критериев, применяемые для оценки эффективности функционирования систем, естественно, справедливы и для оценки эффективности моделей.

Уместно еще раз подчеркнуть, что решения, обоснованные методами моделирования больших систем, используются преимущественно как количественные рекомендации для принятия решения. Решение принимают руководители, которым приходится также учитывать и факторы, не поддающиеся формализации.

Под моделированием понимают научный метод исследования, основанный на наличии определенного соответствия (аналогии) между исследуемым объектом и другим вспомогательным объектом и позволяющий по результатам исследования второго объекта делать научные выводы о первом объекте. Изучаемый объект называют оригиналом, натурой, а вспомогательный - моделью. Таким образом, моделирование дает возможность результаты исследования модели переносить на оригинал, замещать при исследовании оригинал моделью.

Моделирование - один из самых эффективных методов познания окружающего мира. Можно сказать, что каждая наука - это модель тех явлений, которые она изучает.

Полное сходство между оригиналом и моделью не является необходимым, да и достигнуть его невозможно. Явления объективного мира обладают бесконечным числом свойств. Чтобы построить модель какого-либо явления, рассматривается не вся совокупность его свойств, а только часть, весьма незначительная и самая существенная для целей данной задачи.

Среди признаков, по которым классифицируют модели, выделим два основных: по характеру подобия и по характеру использования.

По характеру подобия различают модели геометрического подобия, модели-аналоги и математические модели. По характеру использования - модели без управления, оптимизационные модели, игровые и имитационные.

Модели геометрического подобия отображают внешние характеристики оригинала и, как правило, имеют ту же физическую природу. Поэтому моделирование с использованием таких моделей называется физическим моделированием. Примерами моделей геометрического подобия являются модели ракет, снарядов, самолетов для обдувки в аэродинамических трубах.

В моделях-аналогах набор свойств модели используется для отображения набора совершенно иных по своей природе свойств оригинала. Примерами моделей-аналогов являются схемы информационных и материальных потоков, карты с нанесенной боевой обстановкой и схемой операции, транспортные сети, представленные в виде графов, электрические схемы, содержащие сопротивления, емкости и индуктивности и отображающие свойства динамической механической системы и т.д.

Под математической моделью понимают систему математических и логических соотношений, описывающих при определенных ограничениях и допущениях структуру и процессы, протекающие в моделируемом объекте. С помощью математической модели можно по известным исходным данным получить новые, заранее неизвестные данные об исследуемом объекте или явлении. Математическая модель является наиболее общей и абстрактной моделью. Математическое моделирование основано на свойстве математических соотношений одинаково описывать различные по своей природе явления, выявляя формально схожие, аналогичные функциональные связи. В связи с этим можно привести слова небезызвестного классика: «Единство природы обнаруживается в поразительной аналогичности дифференциальных уравнений, относящихся к разным областям явлений». Указанная аналогичность математических соотношений является философской основой математического моделирования.

В системном моделировании, как правило, используются математические модели. По характеру переменных и виду математических зависимостей между ними различают математические модели: непрерывные, дискретные, линейные, нелинейные, детерминированные, стохастические (вероятностные), статистические и динамические.

Перейдем к рассмотрению моделей, классифицированных по характеру их использования.

Модели без управления являются описательными и не содержат управляемых параметров. Они математически описывают системы или процессы, изменение которых в основном определяется данным состоянием. К ним относятся модели многих явлений физики, механики, баллистики и др.

Под оптимизационными понимают модели, содержащие управляемые параметры и позволяющие исследовать, как влияют на эффективность системы или операции изменения управляемых параметров, и найти оптимальные значения этих параметров (оптимальное решение).

Задачи оптимизации, следовательно и оптимизационные модели, составляют основное содержание исследования операций.

Игровые модели описывают задачи, возникающие при необходимости найти наиболее целесообразное решение при конфликтных ситуациях и в условиях неопределенности. В этих случаях нельзя говорить об оптимизации, и для нахождения решения используются методы и подходы теории игр и статистических решений.

И оптимизационные, и игровые модели сводят, в конечном счете, исследования системы к математической задаче. При этом должны быть сформулированы также на языке математики цели и критерии. Однако в сложных ситуациях, особенно связанных с военными задачами, только отдельные части проблемы можно представить в виде оптимизационных и игровых моделей (не говоря уже о том, что аппарат теории игр практически позволяет находить решения относительно простых игровых задач).

Имитационное моделирование дает возможность исследовать большие системы и сложные ситуации во всей их полноте, а также реально невоспроизводимые ситуации и объединять в процессе моделирования формальные и неформальные методы исследования.

Под имитацией в широком смысле этого слова понимают замену экспериментов (исследований) в реальных условиях экспериментами в искусственной среде (примером имитаторов являются различного рода тренажеры). Машинная имитация - это процесс управляемого эксперимента, проводимого на вычислительной машине над моделью системы.

Под имитационной моделью понимают алгоритмическое описание со всей доступной для исследования полнотой изучаемой системы и процесса ее функционирования.

Имитационное моделирование не требует строгого математического описания всей системы. Достаточно знать в общих чертах алгоритм функционирования и взаимодействия частей системы. Этот алгоритм может быть задан описательно и затем переведен в машинную программу.

Построение моделей помогает привести сложные и подчас неопределенные ситуации, в которых приходится принимать решение, в логически стройную схему, доступную для детального анализа. Такая модель позволяет выявить альтернативные решения и оценить результаты, к которым они приводят. Другими словами, модель является средством формирования четкого представления о действительности.

Модель должна строиться таким образом, чтобы отражать сущность задачи управления и вместе с тем быть свободной от второстепенных деталей. Это позволяет отыскать более эффективное решение, которое можно проще реализовать на практике. Необходимая степень соответствия между моделью и объектом, а также возможность получения из модели реализуемого решения в значительной степени определяется уже на этапе постановки задачи. Поэтому, хотя построение математической модели является делом специалистов-математиков, руководители должны быть знакомы с подходом и методами построения моделей и разработанными моделями основных классов практических задач исследования операций.

Нахождение и анализ решения. В подавляющем большинстве операционных задач нахождение решения сводится к определению таких значений управляемых параметров (или к приближенной оценке этих значений), при которых достигается экстремум показателя эффективности и допустимые уровни других показателей. Построение алгоритма решения и нахождение решения с его помощью относится к компетенции специалистов-математиков и программистов.

Имеется большое количество разработанных алгоритмов для различных моделей. Во многих случаях удается свести решение к готовому алгоритму. В противном случае приходится строить новый.

Анализ решения имеет две стороны: первая связана с оценкой решения руководителями с точки зрения его соответствия целям операции и практическим возможностям его реализации; вторая - с определением чувствительности решения к различным параметрам модели и их изменениям. Если модель слишком упрощена, решение может оказаться нереалистичным. Чрезмерно усложненная модель может привести к значительным трудностям в получении решения и его реализации. Чтобы достичь удовлетворительных результатов, возникает необходимость проверки и корректировки модели на этапах постановки задачи, построения модели и отыскания решения.

Проверка и корректировка модели. К числу основных недостатков модели, приводящих к необходимости ее корректировки, относятся следующие:

модель может не содержать некоторых существенных переменных;

модель может включать несущественные переменные;

в модели неточно оценен диапазон изменения значений существенных переменных;

может оказаться неправильно сформулированной зависимость показателей, в том числе и показателя эффективности, от управляемых и неуправляемых переменных.

В большинстве операционных задач фигурирует очень большое число переменных. Однако, как правило, лишь небольшая их часть играет важную роль. Именно они и должны учитываться, так как цель состоит в том, чтобы построить модель, включающую минимальное число переменных и описывающую реальную действительность с необходимой точностью и полнотой.

В то же время число включенных в модель переменных не столь существенно, как соотношения между ними. Модель, содержащая часть переменных, может отображать действительность более точно, чем модель, описываемая большим числом переменных, если в первой соотношения между переменными ближе к реальным зависимостям, чем во второй.

В зависимости от полноты и характера информации, необходимой для принятия решения, различают три основных типа задач, решаемых с помощью моделирования: детерминированные задачи, вероятностные задачи, задачи в условиях неопределенности.

Детерминированные задачи возникают в ситуациях, когда имеется множество альтернативных решений и известно, что каждое из них неизменно приводит к одному и тому же результату. В детерминированных задачах значения всех факторов, влияющих на результат, известны, и информация о состоянии и поведении системы на некотором интервале позволяет полностью и однозначно описать поведение системы вне этого интервала. О детерминированных задачах говорят, что нахождение решения осуществляется в условиях определенности.

Необходимо отметить, что детерминированные задачи широко распространены в исследовании операций, аппарат построения моделей и нахождения решения хорошо разработан, и иногда для получения ориентировочных результатов к детерминированной схеме искусственно сводят задачи других типов.

Вероятностные задачи возникают в ситуациях, когда известны все альтернативы, возможные исходы по каждой альтернативе и вероятности каждого исхода. О таких задачах говорят, что решение принимается в условиях риска. Определенность есть частный случай риска, когда вероятность равна нулю или единице.

Задачи третьего типа возникают в ситуациях, когда альтернативы известны, но неизвестны вероятности результатов по каждой альтернативе либо даже неизвестно, какие возможны наборы результатов. Основной причиной возникновения таких ситуаций является неполнота информации, необходимой для нахождения решений.

Методы поиска решения в условиях неопределенности изучаются в теории игр и статистических решений. Задачи делятся на классы. Классом задач называется такое множество задач, постановка, модель и алгоритм решения которых имеют общую структуру. Задачи, входящие в один класс, могут иметь разное конкретное содержание, но одинаковое формальное математическое описание.

Различают задачи следующих классов: распределительные, управления запасами, массового обслуживания, замены и ремонта оборудования, упорядочения, сетевого планирования и управления (СПУ), выбора маршрута, состязательные.

Охарактеризуем кратко особенности каждого класса.

Задачи распределения возникают, когда:

существует ряд операций, которые необходимо выполнить, и ряд различных путей их выполнения;

нет в наличии ресурсов или средств, обеспечивающих выполнение каждой из операций наиболее эффективным образом. Задача в таком случае заключается в отыскании такого распределения ресурсов по операциям, при котором либо минимизируются общие затраты, либо максимизируется некоторая мера эффективности.

К этому классу относятся задачи целераспределения, использования транспорта при организации перевозок, выбора оптимальной системы техники.

Задачи управления запасами - задачи, связанные с проблемой запасов и требующие либо обоих, либо одного из двух следующих решений: а) сколько заказывать (производить или покупать) и б) когда заказывать. Сущность задач заключается в определении такого уровня запасов, который минимизирует сумму ожидаемых затрат по хранению запасов, а также потерь из-за их дефицита.

В качестве примера можно привести задачу определения складского запаса, обеспечивающего отсутствие дефицита с заданной вероятностью.

Задачи массового обслуживания - возникают при следующих условиях: а) имеется случайный и неуправляемый поток требований, нуждающихся в обслуживании; б) существуют потери, обусловленные ожиданием удовлетворения требований, отказом в обслуживании или простоем средств обслуживания.

Задача массового обслуживания заключается в определении количества средств обслуживания, при котором минимизируются суммарные затраты, связанные с ожиданием обслуживания требований и потерями от простоя средств обслуживания, или обеспечивается заданная пропускная способность системы обслуживания.

К задачам массового обслуживания относятся: организация ремонта техники, логистические задачи.

Задачи замены и ремонта оборудования - сюда относятся задачи, связанные: а) с заменой оборудования, с целью предупреждения его полного выхода из строя (отказа), когда вероятность отказа возрастает с увеличением срока службы; б) с выбором некоторого плана предупредительного ремонта и профилактического обслуживания, с целью уменьшения вероятности отказа.

Задачи упорядочения - включают задачи оптимального упорядочения во времени множества операций, выполняемых на заданном оборудовании (задачи календарного планирования). Наиболее часто используемые критерии оптимальности - оптимизация общей продолжительности всех операций, минимизация общего или максимального запаздывания и др.

Задачи сетевого планирования и управления (СПУ). В этом классе задач рассматриваются комплексы работ, состоящих из конечного множества отдельных работ, которые должны выполняться во времени в заданной последовательности. Требуется спланировать сроки начала и окончания каждой работы, а также ресурсы так, чтобы оптимизировать некоторый критерий, например минимизировать время завершения всего комплекса работ.

Задачи выбора маршрута. Задачи этого класса чаще всего встречаются в транспортных системах, в них требуется определить наиболее экономичный маршрут по выбранному критерию оптимальности. К ним сводятся и некоторые задачи других классов.

Состязательные задачи возникают в условиях конфликтных ситуаций, столкновения интересов сторон, преследующих противоположные цели.

. Принципы построения математических моделей

Как число объектов и процессов, так и число отображающих их моделей для многообразия возможных решаемых задач - бесконечно. В этой связи классификация моделей эквивалентна классификации окружающих нас объектов на огромном множестве возможных задач. Попытки классификации моделей, как правило, отражают лишь отдельные аспекты исследований. В то же время, представляется возможным выделить некоторые принципы классификации моделей.

Модели можно классифицировать по объектам моделирования (например, модель СМО, СУЗ), по целям моделирования (анализ, синтез и т.д.), по средствам (физические, математические и т.д.) и способам конкретного представления (аналитические, графические и т.д.) объектов, а также по методам проведения анализа (экспериментальные, асимптотические, аксиоматические и т.д.).

Выделяют два предельных случая воспроизведения натурного объекта или процесса (натуры): материальное (предметное) и идеальное (абстрактное). Материальное воспроизведение натуры предполагает исследование объекта на физических моделях, при котором изучаемый процесс (объект) воспроизводится с сохранением его физической природы или используются другие аналитические физические явления. Примерами физического воспроизведения являются: действующая модель какого-либо агрегата, аэродинамическая модель ракеты, командно-штабные учения объединения и т.д.

Натурное моделирование - частный случай материального моделирования. Основное требование материального воспроизведения:

соблюдение подобия оригинала и модели.

Идеальное (абстрактное) воспроизведение - это описание объекта определенными символами. Особое место в абстрактном воспроизведении играют математические модели, исследования в которых проводятся на основе идентичности формы уравнений и однозначности соотношений между переменными в сравниваемой натуре и модели. Выделяется квазианалоговое моделирование, при котором изучают не исследуемое явление, а явление другой физической природы, которое списывается математическими соотношениями, эквивалентами относительно получаемых результатов. В последнее время для трудно формализуемых задач значение приобретают методы эвристического (интуитивного) моделирования.

Важное место в исследованиях эффективности занимают имитационные модели, которые воспроизводят в виде специального (как правило, реализуемого на ПЭВМ) моделирующего алгоритма формализованный процесс функционирования технической системы (например, модель функционирования СПУ в ПР). Влияние на течение процесса случайных факторов имитируется при помощи датчика случайных чисел с законными или выработанными в ходе моделирования вероятностными характеристиками.

В условиях широкого применения систем автоматизированного

проектирования образцов (комплексов) ВВТ, имитационные модели

приобретают все возрастающее значение. На основе имитационного

моделирования вырабатываются тактико-технические требования

к разрабатываемым образцам техники с позиций оценки их эффективности.

Рассмотрим некоторое направление создания моделей, требуемых для обоснования программного развития ВВТ.

Построение моделей может основываться на использовании следующих принципов:

принцип информационной достаточности;

принцип агрегатирования;

принцип последовательного наращивания моделей;

принцип параметризации;

принцип эксперимента;

принцип осуществимости.

Принцип информационной достаточности, предполагающий наличие определенной периодичной информации о натуре. В самом деле, если нет информации об объекте, то его модель в принципе невозможно построить; если есть полная информация об объекте, то пропадает целесообразность построения модели. Таким образом, существует некоторый критический уровень априорных сведений (критический уровень неопределенности), при котором можно построить адекватную модель объекта.

Принцип агрегатирования, предполагающий условное распределение модели на частные модели (субмодели). Этот принцип предполагает возможность структурного представления системы вооружения, состоящей из подсистем, агрегатов, экспериментов и т.д., а операцию их применения - из периодов, этапов, фаз и т.д. Для адекватного математического описания таких компонентов могут оказаться пригодными некоторые типовые математические схемы, модели, блоки. Такие типовые блоки могут объединяться с помощью операторов сопряжения в единую имитационную модель.

Принцип последовательного наращивания моделей предполагает создание некоторого каркаса модели с дальнейшим наращиванием частных моделей, учитывающих особенности процесса. Этот принцип отражает динамичность самой модели по этапам жизненного цикла системы вооружения, когда по мере конкретизации ее характеристик и изменения задач моделирования в модели все более тонко отражается влияние тех или иных факторов и процессов.

Принцип параметризации предполагает соответствующую замену модели определенными параметрами. Этот принцип позволяет некоторые, относительно изолированные компоненты или обеспечивающие системы не описывать в модели функционально, а задавать их выходными характеристиками (реакциями) относительно разрабатываемого элемента. Такая параметризация может задаваться в виде аналитической функции, таблицы, графика и т.д. Это позволяет значительно упростить модель, сократить объем моделирования. Вместе с тем, возможность параметризации должна быть обоснована с точки зрения обеспечения адекватности модели.

Принцип направленного эксперимента предполагает учет отдельных компонентов модели на основе специально проводимого эксперимента. Обычно на основе эксперимента (испытания) проверяются или подтверждаются те параметры объекта и процесса его функционирования, которые затруднительно получить непосредственно имитационным моделированием. Планирование испытаний в интересах анализа эффективности предусматривает имитацию условий функционирования разрабатываемого вооружения, близких к реальным.

И, наконец, при разработке моделей в целях обоснования программного планирования развития вооружения следует ориентироваться также на принцип осуществимости (достижение цели исследования за ограниченное время с заданной возможностью).

Основными особенностями моделей, системного моделирования, программного планирования развития вооружения, являются:

1) необходимость получения в качестве выходного результата моделирования показателя эффективности W системы при фиксированных (заданных) затратах , либо показателя затрат при фиксированной эффективности W3. При этом, модель должна предусматривать возможность анализа влияния отдельных факторов или параметров на соответствующий показатель;

) отображение всех этапов жизненного цикла образца (комплекса) с учетом соответствующих изменений его параметров и условий применения, наличия информации об этих параметрах, а также с учетом специфики задач анализа эффективности на каждом из этапов;

) необходимость учета ЛПР на моделирование, так как здесь может проявляться субъективизм как в выборе методов и средств моделирования, так и в совокупности принятых допущений и предпосылок, а также в анализе и представлении полученных результатов;

) необходимость учета требований пользователя модели и результатов моделирования как в части ответа на первоочередные поставленные задачи, так и в плане его заинтересованности в более широком использовании модели для решения аналогичных задач по другим перспективным системам;

) последняя особенность требует разработки моделей, основанных на методах, алгоритмах и процедурах, которые допускают возможность оперативной переналадки, уточнения и наращивания моделей в зависимости от решаемых задач. В основу таких моделей могут быть положены:

блочный принцип формирования с использованием заблаговременно разработанных типовых блоков и последующей их композицией;

широкое использование метода статистических испытаний;

использование параметрических соотношений для описания разрабатываемых элементов;

разработка типовых элементов.

Представление результатов моделирования должно удовлетворять ряду требований, среди которых можно отметить следующие требования:

наглядности и ясности для пользования, а также удобству использования;

наличия иллюстраций физической сущности моделируемого объекта или процесса;

выделения принятых допущений и предположений с анализом их влияния на результаты;

представления результатов анализа чувствительности модели к определяющим параметрам исследуемого объекта;

определения области работоспособности модели и точности получаемых результатов;

выделения основных положений моделирования по модели для пользования, так как она может быть составной частью более общей модели и др.

Для оформления результатов моделирования удобно использовать типовые формы, бланки и т.д.

. Требования, предъявляемые к математическим моделям

В общем случае любая модель, предназначенная для изучения некоторого объекта или процесса должна удовлетворительно отвечать на поставленный вопрос, то есть модель, в первую очередь, зависит от задачи исследования.

Объектом моделирования при программном планировании развития вооружения, а значит при исследовании эффективности образцов (комплексов) ВВТ является операция, отражающая функционирование технической системы в неопределенных условиях боевого применения, а задачей моделирования - расчет показателей эффективности для обоснования тактико-технических требований к рассматриваемому элементу. К решению данной задачи привлекаются различные виды моделирования. Однако сложность, а иногда невозможность физического моделирования разрабатываемой системы в операции повышают значимость математических моделей. В основе построения таких моделей лежат объективность отображения схемы операции, критичность к параметрам рассматриваемого элемента, необходимая точность определения количественных характеристик, возможность проведения расчетов в установленные сроки, учет специфики решаемой задачи. Но эти требования противоречивы, так как, с одной стороны, должны быть учтены все факторы, от которых существенно зависит ход и исход операции, а с другой - модель должна быть достаточно простой, чтобы можно было установить зависимости между входящими в нее параметрами и сделать результаты исследований легко обозримыми. К числу основных требований, предъявляемых к моделям для программного планирования развития вооружения, можно отнести: адекватность, точность, реализуемость, применимость (рис. 1.3).

Под адекватностью понимают степень соответствия модели тому реальному явлению, для описания которого строится модель.

Таким образом, адекватность определяется с позиции решаемой задачи исследования. Поэтому основой построения модели является доказательство ее адекватности.

При разработке адекватной модели обычно исходят из цели исследования, учитывают возможность получения соответствующей информации, а также реальную возможность довести решение до конца с помощью применяемого математического аппарата и имеющихся вычислительных средств.

Уровень сложности модели, используемый математический аппарат, наличие допущений - в значительной мере определяют адекватность модели реальному объекту. Адекватность зависит от решения вопроса возможности использования тех или иных показателей и соотношений для правильного воспроизведения объекта.

системное моделирование профессиональное образование


Мера


Рис. 1.3. Требования, предъявляемые к моделям


В качестве основных путей обеспечения адекватности моделей можно указать:

выбор рациональной последовательности построения модели с учетом располагаемых возможностей моделирования;

использование итеративного процесса разработки модели (процесс, в основу которого положен метод последовательных приближений);

уточнение моделей на основе учета экспериментальных данных (калибровка моделей);

уточнение моделей на основе получения экспертных оценок результатов функционирования объекта и др.

При выборе последовательности построения модели могут быть выделены два подхода: приближенное решение точно поставленной задачи, и точное решение задачи в упрощенной формулировке.

В первом случае вначале дается исчерпывающая формулировка задачи, даже если очевидно, что она в такой постановке не поддается решению, а затем обосновываются необходимые допущения и упрощения, позволяющие формализовать процесс.

В случае второго подхода уже на этапе постановки задачи могут быть сделаны упрощения без их количественной оценки.

Использование итеративного процесса разработки моделей предусматривает многоэтажное ее построение с оценкой полученных результатов, анализа их точности и коррекцией модели предыдущей итерации.

Уточнение модели на основе учета экспериментальных данных предполагает физическое моделирование исследуемого процесса или использование имеющихся данных по аналогичным процессам и объектам моделирования.

Уточнение модели на основе полученных экспертных оценок предусматривает привлечение специалистов в области моделирования, проектирования, физической сущности: исследуемого процесса и других для получения и обработки необходимой информации по оценке адекватной модели.

К требованию адекватности моделей непосредственно примыкают также другие требования, определяющие облик моделей и влияющие на их адекватность. К числу таких требований можно отнести непротиворечивость, чувствительность, реалистичность и др. Первое из них характеризует непротиворечивость результатов логике процесса, в частности в особых точках близких к экстремальным. Проверка этого требования может осуществляться путем анализа реакции модели на изменение предельных значений входных параметров.

Чувствительность модели характеризует соответствие относительных изменений выходных показателей небольшим изменениям входных параметров модели. Анализ чувствительности модели обычно базируется на количественных оценках. Чувствительность может быть обеспечена выбором соответствующего иерархического уровня моделируемого объекта или процесса. Реалистичность модели характеризуется соответствием результатов моделирования тем частным случаям, по которым имеются, или могут быть получены фактические данные.

Выделяют следующие способы косвенной проверки адекватности:

ретроспективный анализ, предполагающий сравнение данных модели и натуры в прошлом (на основе совпадения данных моделирования с натурным экспериментом);

логико-аналитический анализ, предполагающий проверку предположений и информационных потоков от входа до выхода;

экспертная оценка адекватности (в том числе сопоставления данных построенной модели с другими данными, полученными по другим моделям и имеющим определенную точность относительно натуры.

Точность модели - это частный случай количественного выражения ее адекватности. Точность зависит от характера моделируемых процессов, используемых методов и средств моделирования, квалификации исполнителей и т.д. Каждая модель должна сопровождаться информацией о ее точности, так как только в этом случае можно уверенно эксплуатировать модель и использовать результаты моделирования. Оценка точности модели базируется на определении погрешностей ее результата по сравнению с некоторыми данными, достоверность которых может быть подтверждена экспериментально, с помощью других более точных моделей либо другими способами. Среди путей оценки погрешностей моделей можно указать метод наименьших квадратов, метод максимального правдоподобия, статистическая проверка гипотез, дисперсионный анализ и др.

Реализуемость модели определяется возможностью ее создания в заданные сроки и с требуемой точностью моделирования. При этом следует учитывать, что противоречивые требования по срокам точности приводят к необходимости определенного компромисса.

Требование применимости модели исходит в первую очередь из необходимости удовлетворить потребности заказчика в соответствии с поставленной задачей исследования. В этом плане должна быть отражена соответствующая характеристика модели: по результатам моделирования и возможности их получения; по точности моделирования; по ограничениям модели, принятым допущениям и т.д.

Применимость модели связана с решением вопросов возможности ее эксплуатации на основе оценки ее качества. Оценка качества обычно завершает процесс создания модели. Качество модели - это совокупность ее целевых, эксплуатационных и модификационных свойств, целевые свойства объединяют рассмотренные выше (соответственно, адекватность, точность и др.).

Вопросы для самопроверки к разделу 1

Что означает системный подход?

Что такое системный анализ?

Что понимается под термином «элемент»?

Какие отличительные признаки больших систем Вы знаете?

Что такое подсистема?

Для чего предназначена управляющая подсистема?

В чем заключается главная особенность системного подхода?

Что понимается под эффективностью системы?

В чем заключается сущность управления большой системы?

Какие причины, обусловливающие неполноту информации Вы знаете?

Из каких функций состоит процесс управления организационными системами?

В чем заключается функция постановки задачи?

Какие аспекты имеет выбор целей?

В чем заключается функция выработки и принятия решений?

Какие основные причины затрудняют постановку задачи, выработку и принятие решений?

В чем заключается функция планирования?

Какие основные источники неопределенности при стратегическом планировании, связанном с задачами научно-технического прогресса Вы знаете?

В чем заключается функция организации?

По каким признакам можно классифицировать структуры систем управления?

Какие наиболее характерные особенности иерархической структуры Вы знаете?

Что такое дерево целей?

Что понимается под моделированием?

Что отражают модели геометрического подобия?

Что такое модели-аналоги?

Что понимают под математической моделью?

Какие модели, классифицированные по характеру их использования, Вы знаете?

Что дает имитационное моделирование?

Что понимается под функцией «проверка и корректировка моделей»?

Какие существуют основные типы задач, решаемых с помощью моделирования?

Когда возникают задачи распределения?

Что понимается под задачами управления запасами?

При каких условиях возникают задачи массового обслуживания?

Какие задачи относятся к задачам массового обслуживания?

Что такое натурное моделирование?

Что такое идеальное воспроизведение?

В чем заключается принцип информационной достаточности?

В чем заключается принцип агрегатирования?

В чем заключается принцип последовательного наращивания моделей?

В чем заключается принцип параметризации?

В чем заключается принцип направленного эксперимента?

Какие требования предъявляются к математическим моделям?

Раздел 2. Численные методы системного моделирования

Введение

В данном разделе рассматриваются численные методы системного моделирования, проведен анализ процессов в системах, состоящих из многих подсистем, стационарных состояний больших систем, рассмотрены методы Монте-Карло и метод инверсии, а также прикладные задачи системного моделирования.

После изучения данного раздела рекомендуется ответить на вопросы для самопроверки и на вопросы теста 2.

В случае если ответы на какие-либо вопросы вызовут затруднение или неуверенность, рекомендуется прочитать учебное пособие Голик, Е.С. Системное моделирование. Ч.1. Имитационное моделирование. Факторный эксперимент: учебно-методический комплекс (учебное пособие) /Е.С. Голик, О.В. Афанасьева. - СПб.: Изд-во СЗТУ, 2007. - 211 с., (с. 53 - 129).

. Моделирование больших систем методом статистических испытаний. Сущность метода статистических испытаний. Точность метода

Решение вопросов управления невозможно без всестороннего применения методов прикладной математики. Также невозможны, как невозможен, например, полет космического аппарата без предварительного детального «проигрывания» этого полета на ПЭВМ.

В современных условиях, условиях все убыстряющегося «взрывного» развития человечества, решение управленческих вопросов не может быть отложено на неопределенный срок, счет в настоящее время идет не на десятилетия, а на годы, а то и месяцы. При этом жизненно важен комплексный подход, учет на основе научного прогноза всех ближайших и отдаленных последствий совершаемых действий. Поэтому вопросы развития и применения прикладной математики, которая на современном этапе переходит к непосредственному моделированию и, следовательно, прогнозированию и оптимизации самых разнообразных и сложных процессов, явлений, технических систем и управлению ими, приобретают громадное значение.

За последние десятилетия в прикладной математике произошли существенные сдвиги, коренным образом изменившие ее облик и подготовившие ее к решению крупных современных научно-технических и военных проблем. Эти изменения стали возможны благодаря внешне случайному, а в действительности закономерному сочетанию двух факторов: появление быстродействующих ПЭВМ и выдвижение практикой перед наукой, в частности перед математикой, качественно новых задач невиданной до сих пор сложности. Речь идет об овладении ядерной и термоядерной энергией и о создании летательных аппаратов, способных осваивать космическое пространство. Впервые за всю историю науки специалисты, владевшие ранее лишь пером и бумагой, получили в свои руки совершенный инструмент, отвечающий требованиям научно-технического прогресса. Недаром современную прикладную математику часто (и справедливо) отождествляют с вычислительной математикой. Вычислительная математика обеспечила теоретическую основу для создания ракетно-ядерного щита нашей страны.

Возникновение таких ПЭВМ позволило колоссально расширить интеллектуальные возможности человека, раскрепостить его умственные силы.

Однако необходимо постоянно помнить, что ПЭВМ - всего лишь инструменты и сами по себе не являются панацеей. Чрезвычайно важно придерживаться правильной концепции их использования.

Возможности ПЭВМ раскрываются только в сочетании со всеми существующими методами исследования, с учетом всего накопленного опыта. Многолетние и трудные поиски привели прикладную математику к формированию нового научного метода, получившего название - вычислительный эксперимент (или, как еще говорят, математический эксперимент, математическое моделирование).

Вопрос 1

Что понимается под названием вычислительный эксперимент?

Коротко говоря - создание и изучение математических моделей исследуемых объектов с помощью ПЭВМ

Уместно ли здесь слово «эксперимент». Безусловно. При математическом моделировании мы имеем дело не с самим явлением, а с некоторым теоретическим «слепком» с него, с моделью, выражающей в математической форме основные закономерности, которым она подчиняется. В результате исследователь, проводя вычислительный эксперимент, испытывает как бы саму природу (конструкцию, технологический процесс, объект вооружения, операцию), задавая ей вопросы и получая строгие и относительно полные ответы.

Возможность замены исходного объекта его математической «концепцией» и дальнейшего «диалога» с нею таит в себе большие преимущества и означает серьезное изменение методологии и технологии военно-научных исследований. Становится все более ясной неизбежность широкого использования математического моделирования для реализации государственных комплексных научно-технических программ вообще и программ развития отраслей в частности.

Концепция вычислительного эксперимента (его также называют методом статистических испытаний) в настоящее время детально разработана и очерчена сфера его приложения.

Он имеет свои особенности в различных областях науки и предназначен для изучения, прогнозирования, оптимизации сложных многопараметрических стохастических нелинейных процессов, теоретическое и экспериментальное исследование которых традиционными методами затруднено или невозможно (например, прогнозирование хода и исхода боевых действий, задачи баллистики, эргономики и т.д.).

Метод статистических испытаний - один из основных методов моделирования больших систем. Широкое применение метода объясняется тем, что он позволяет заменить эксперимент с реальной системой экспериментом с моделью этой системы на ПЭВМ. При моделировании методом статистических испытаний не требуется строгого математического описания системы: достаточно знать в общих чертах алгоритм ее функционирования. Этот алгоритм может быть задан описательно и переведен в машинную программу.

Во многих практических задачах построение математической модели функционирования системы в целом трудно осуществимо, но можно аналитически описать поведение отдельных элементов и построить моделирующий алгоритм функционирования системы, реализуемый на ПЭВМ. В этих случаях статистическое моделирование оказывается единственно приемлемым средством исследования.

Статистическое моделирование представляет собой численный метод исследования модели системы. Строго говоря, ПЭВМ не является принципиально обязательным инструментом метода. Однако огромное количество вычислений, которое при этом требуется выполнить, делает возможным практическое применение метода только с помощью ПЭВМ.

Сущность метода состоит в имитации на ПЭВМ случайных процессов, протекающих в реальной системе, с учетом структуры системы, связей и взаимовлияний между ее элементами. Имитация осуществляется реализацией соответствующего моделирующего алгоритма.

Вследствие того, что моделируемый процесс является случайным, результаты, полученные при однократном моделировании, не могут характеризовать его. Искомые величины, характеризующие исследуемый процесс, находят статистической обработкой данных, полученных многократным моделированием. Если число испытаний достаточно велико, то в силу закона больших чисел полученные оценки приобретают статистическую устойчивость и с достаточной для практики точностью могут быть приняты в качестве характеристик процесса.

Пусть моделируется процесс, зависящий от случайных параметров . Законы распределения вероятностей этих параметров известны. В каждом из независимых испытаний получается некоторая величина , где - номер испытания. Требуется определить характеристики процесса. Ход моделирования - метод статистических испытаний можно представить следующим образом. Строится модель, описывающая структуру и функционирование системы с учетом связей и взаимовлияний между ее элементами, на основе модели строится моделирующий алгоритм.

Следующим шагом является моделирование случайных параметров системы. Например, параметр может быть распределен по нормальному закону с математическим ожиданием и дисперсией , параметр - также по нормальному закону с математическим ожиданием и дисперсией , параметр - равномерно в интервале и т. д.

Далее производится испытаний. В результате каждого испытания получают случайное значение . Значения запоминаются и используются для вычисления величин, характеризующих процесс функционирования системы. Для обеспечения статистической устойчивости эти величины определяются как средние значения по большому числу испытаний . Выбор зависит от требований точности, предъявляемых к результатам моделирования.

Таким образом, можно выделить три основные составные части метода статистических испытаний:

построение математической модели и моделирующего алгоритма исследуемой системы;

) формирование случайных величин с заданным законом распределения вероятностей;

статистическая оценка результатов моделирования.

Нельзя указать общих правил построения модели и моделирующего алгоритма. Однако имеются приемы, позволяющие представить формализованный процесс функционирования системы в виде последовательности операций (или групп операций), выполняемых ПЭВМ. В качестве примера далее будет рассмотрено построение структуры алгоритма, моделирующего работу системы массового обслуживания (СМО). Методы формирования случайных величин с заданным законом распределения излагаются в следующем параграфе. Здесь же рассмотрим вопросы оценки точности метода статистических испытаний и определения необходимого числа испытаний .

Статистическая обработка и оценка точности результатов моделирования основывается на предельных теоремах теории вероятностей: теореме Чебышева и теореме Бернулли.

Согласно теореме Чебышева, при неограниченном увеличении числа независимых испытаний среднее арифметическое значение случайной величины сходится по вероятности к математическому ожиданию этой величины, то есть


, (1)


где - сколь угодно малое положительное число,

.

Теорема Бернулли доказывает, что при неограниченном увеличении числа независимых испытаний частота наступления случайного события сходится к вероятности этого события, то есть


. (2)

Пусть случайная величина характеризуется математическим ожиданием и дисперсией . В качестве приближенного значения величины берется среднее арифметическое значение , определяемое по результатам независимых испытаний. Отклонение величины от искомого математического ожидания и есть ошибка метода. Величина , удовлетворяющая неравенству , называется точностью оценки.

Из теоремы Чебышева следует, что ошибка метода может быть оценена лишь вероятностно, с определенной степенью достоверности. Обозначим через вероятность того, что выполняется неравенство :


. (3)


Вероятность характеризует степень достоверности оценки, ее надежность. Это означает, что с надежностью можно быть уверенным, что среднее арифметическое значение не выйдет за пределы интервала , то есть, что

.

Вероятность называют доверительной вероятностью, а границы интервала , в которых с заданной доверительной вероятностью заключена ошибка метода - доверительными границами.

Из теории вероятностей известно, что при нормальном законе распределения вероятность отклонения случайной величины от ее математического ожидания менее, чем на равна


, (4)


где - функция Лапласа (интеграл вероятностей);

- аргумент функции Лапласа;

- среднее квадратическое отклонение величины .

Также известно, что если производится большое число опытов, то среднее арифметическое есть также случайная величина, приближенно распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением .

Из сказанного следует, что вероятность любого отклонения может быть вычислена по формуле


. (5)

Положим


, (6)


тогда получим


. (7)


Сравнивая выражения (3) и (7), найдем условие, при котором ошибка метода не превысит величину с вероятностью :


. (8)


Задаваясь доверительной вероятностью , найдем из уравнения (8) с помощью таблиц функции Лапласа численное значение . Подставив далее величину в выражение (6), получим формулу для вычисления искомого числа испытаний , при котором выполняется условие (8):


. (9)


Из формулы (9) видно, что для определения необходимо еще знать величину дисперсии . Так как она неизвестна, обычно поступают следующим образом. Задаются некоторым достаточно большим значением и находят приближенное значение (статистическую оценку) дисперсии по формуле


. (10)


Величину подставляют в формулу (9) и находят уточненное значение . Таким образом, достигаемая точность может быть хорошо оценена только в процессе моделирования.

Задавая доверительную вероятность , получаем из формул (5), (8) доверительную оценку


(11)


с надежностью . Отсюда вытекает, что ошибка метода статистических испытаний пропорциональна величине . Следовательно, чтобы уменьшить ошибку в 10 раз (то есть, чтобы получить в ответе еще один верный знак), нужно увеличить число испытаний в 100 раз. Чтобы получить достаточно высокую точность, необходимо провести тысячи испытаний. Метод особенно эффективен при решении задач, в которых результат нужен с точностью порядка 5 - 10 %.

Мы рассмотрели точность моделирования процесса, в котором при каждом из независимых испытаний получается величина , имеющая математическое ожидание . Рассмотрим теперь случай моделирования события , вероятность появления которого в каждом из независимых испытаний равна . Обозначим через величину, равную единице, если на -м испытании произошло событие , и равную нулю, если событие не произошло. Следовательно, общее число испытаний, в каждом из которых событие произошло, равно , а частота появления события равна .

Так как есть искомая величина, а - ее приближенное значение, то есть ошибка метода.

Введя снова величину , удовлетворяющую неравенство , и доверительную вероятность , получим на основании теоремы Бернулли


. (12)


Можно показать, что в этом случае необходимое число испытаний определяется по формуле


, (13)


где также находится из условия (8).

Так как до начала испытаний величина неизвестна, то в формулу (13) вместо подставляют значение частоты , вычисленное при достаточно большом числе испытаний , и определяют уточненное значение .

Основными достоинствами метода статистических испытаний являются:

применимость для моделирования очень сложных систем и процессов любой физической природы. Система может содержать элементы непрерывного и дискретного действия, быть подверженной воздействию многочисленных случайных факторов, описываться сложными линейными и нелинейными зависимостями и т. д.;

простота осуществимости. Составляется программа для одного испытания, затем испытание повторяется раз. Нет необходимости в создании специальных устройств;

простота оценки точности полученных результатов.

Наиболее существенным недостатком метода, ограничивающим его применение, является большое количество испытаний, которые необходимо провести для получения характеристик исследуемой системы с высокой точностью.

Кроме того, методу присущ общий недостаток любых численных методов, связанный с трудностями установления функциональных зависимостей между параметрами системы. Это объясняется тем, что результаты каждого испытания носят частный характер и характеризуют поведение системы лишь для тех значений параметров, при которых проводилось моделирование.

. Моделирование системы массового обслуживания

Методы теории массового обслуживания применяются для исследования функционирования широкого класса систем. Однако ее аналитический аппарат позволяет получить достаточно полные результаты для сравнительно простых случаев.

Метод статистических испытаний дает возможность более полно, по сравнению с аналитическими методами, характеризовать зависимость качества функционирования системы от параметров потока заявок и обслуживающей системы. При этом он допускает более широкие предположения о природе потоков заявок, структуре обслуживающей системы и дисциплине обслуживания, чем аналитические методы. Например, он позволяет получить решение задач для многофазных систем при весьма общих предположениях об их структуре; доступных же аналитических методов исследования многофазных систем в настоящее время нет.

Применение метода статистических испытаний для моделирования процесса функционирования системы массового обслуживания рассмотрим на конкретном примере системы с отказами.

Система, в которую в отдельные случайные моменты времени поступают заявки, состоит из каналов (пунктов обслуживания). Поток заявок представляет собой простейший поток, интервал времени между двумя последовательными событиями есть случайная величина, распределенная по экспоненциальному закону, и вычисляется по формуле:


,


где - интенсивность потока заявок (среднее число заявок в единицу времени);

- случайная величина, равномерно распределенная в интервале .

Каждая заявка поступает для обслуживания в канал, который освободился раньше всех. Если есть каналы, освободившиеся одновременно, заявка поступает в канал с меньшим номером. Время обслуживания -й заявки является случайной величиной, равномерно распределенной в интервале , и вычисляется по формуле:

.


Если в момент поступления заявки все каналы заняты, система выдает отказ.



-й канал

Рис.2.1 Показатели эффективности системы за время функционирования

Требуется определить показатели эффективности системы за время функционирования .


Рис. 2.2 Логическая схема алгоритма процесса обслуживания заявок


Введем следующие обозначения (рис. 2.1):

- момент поступления -й заявки;

- -й интервал между двумя последовательными заявками (между -й и заявками);

- момент освобождения -го канала:

За начальный примем момент поступления первой заявки .

В этот момент все каналы свободны .

На рис. 2 изображена логическая схема алгоритма, моделирующего процесс обслуживания заявок рассмотренной системы. Каждый оператор представляет, как правило, подалгоритм, реализующий в процессе моделирования определенную функцию системы.

Оператор 1 осуществляет ввод исходной информации: число каналов системы , параметры законов распределения потока заявок и времени обслуживания , время работы системы , заданное число испытаний .

Оператор 2 устанавливает перед началом каждого испытания значения и . Тем самым устанавливает начальное состояние системы и фиксируется факт появления первого требования.

Оператор 3 определяет, принадлежит ли -я заявка заданному интервалу времени функционирования системы. Если условие выполняется, заявка поступает на обслуживание, управление передается оператору 4. В противном случае испытание заканчивается и управление передается на счетчик числа испытаний.

Оператор 4 сравнивает между собой моменты освобождения каналов системы и выбирает канал, освободившийся раньше всех. Если есть каналы, освободившиеся одновременно, выбирается канал с меньшим номером. Пусть номер выбранного канала равен . Заявка поступает для обслуживания в этот канал. Очевидно, в каждом испытании первая заявка поступает в первый канал, вторая заявка - во второй канал, третья - в третий, так как в начальный момент .

Оператор 5 сравнивает момент освобождения выбранного канала с моментом поступления -й заявки . Если условие не выполняется, это означает, что все каналы к моменту заняты, система выдает отказ и управление передается оператору 6. Если же указанное условие выполняется, канал с номером свободен и управление передается оператору 10.

Оператор 6 представляет собой счетчик числа отказов, после каждого отказа показание счетчика увеличивается на единицу.

После отказа -й заявке необходимо формировать следующую заявку. Для этой цели предназначены операторы 7, 8 и 9.

Оператор 7 формирует поток заявок, то есть по формуле

определяет интервал времени между двумя последовательными заявками (между -й и ). Из формулы видно, что для определения оператор также формирует значения .

Оператор 8 формирует момент поступления следующей заявки

.

Оператор 9 формирует номер очередной заявки (за новым номером сохраняется прежнее обозначение ). С оператора 9 управление передается на оператор 3, где момент поступления новой заявки (за ним сохраняется прежнее обозначение ) сравнивается с временем , и начинается новый цикл.

Если условие , проверку которого осуществляет оператор 5, выполняется, то выбранный оператором 4 канал с номером свободен и заявка передается в этот канал для обслуживания. Дальше необходимо определить время обслуживания -й заявки, найти время освобождения канала, зафиксировать обслуженную заявку и формировать следующую заявку. Эту задачу выполняют операторы 10, 11 и 12.

Оператор 10 определяет время обслуживания -й заявки согласно формуле

.

Оператор 11 вычисляет время освобождения канала с номером по формуле

.

Оператор 12 представляет собой счетчик числа обслуженных заявок, после каждой обслуженной заявки показание счетчика увеличивается на единицу.

С оператора 12 управление передается на оператор 7 и дальше формируется следующая заявка так же, как и в рассмотрением случае отказа в обслуживании.

Если неравенство не выполняется (следовательно , это означает, что -я заявка уже не принадлежит заданному интервалу, и реализация на этом заканчивается.

Оператор 13 представляет собой счетчик числа испытаний.

Оператор 14 проверяет, получено ли уже заданное число испытаний . Если неравенство выполняется, управление передается оператору 15.

Оператор 15 осуществляет подготовку к следующему испытанию. При этом очищаются рабочие ячейки, хранящие значения и , а содержимое ячеек, хранящих число отказов и обслуженных заявок, пересылаются в специальный массив для последующей статистической обработки. Дальше управление передается на оператор 3, и начинается очередное испытание.

Если неравенство не выполняется, управление передается оператору 16.

Оператор 16 осуществляет статистическую обработку полученных результатов и вычисляет требуемые показатели эффективности функционирования системы за время .

Можно моделировать работу системы за целый месяц в течение нескольких минут машинного времени. Преимущество «сжатия времени» при моделировании становится очевидным, если попытаться получить такую же информацию, используя физическую систему.

Пример. Рассмотрим, как можно моделировать однофазные системы обслуживания с помощью ручных вычислений. Этот пример должен пояснить основные идеи, описанные выше.

Пусть мы хотим моделировать систему массового обслуживания, поступление требований в которой подчинено пуассоновскому распределению со средним 3 клиента в час, а время обслуживания равно 0,2 ч с вероятностью 0,5 или 0,6 ч с вероятностью 0,5. Клиенты обслуживаются согласно дисциплине «первым пришел - первым обслуживаешься»; длина очереди, а также источник поступления клиентов не ограничены. Предположим, что в начальный момент моделирования клиентов нет.

Для пуассоновского входного потока со средней интенсивностью клиента в час промежутки времени между требованиями имеют экспоненциальное распределение и, как показано ранее, могут быть получены из формулы

.

Поскольку время обслуживания равно либо 0,2, либо 0,6 ч с равными вероятностями, время обслуживания определяется как

Как указывалось выше, в однофазной системе обслуживания возможны события только двух типов: поступление клиентов и их уход (окончание обслуживания). Действия, вызываемые этими событиями, можно охарактеризовать следующим образом.

Событие, связанное с поступлением клиента

Генерация момента времени, в который поступает следующее требование на обслуживание, путем вычисления промежутка времени между требованиями и добавления его к текущему времени моделирования. (Это действие необходимо для обеспечения непрерывности процесса моделирования.)

Проверка состояния системы (простой или работа).

а) Если система простаивает, то начать обслуживание поступившего клиента, сгенерировать время обслуживания и вычислить время окончания обслуживания (текущее время ); изменить состояние системы на рабочее и скорректировать протокол простоя системы.

б) Если система работает, поставить поступившего клиента в очередь и увеличить ее длину на единицу.

Событие, связанное с окончанием обслуживания

Проверка состояния очереди (пустая или непустая).

а) Если очередь пуста, объявить простой системы.

б) Если очередь непуста, то начать обслуживание первого по очереди клиента, уменьшить длину очереди на единицу и скорректировать протокол времени ожидания; получить время обслуживания клиента и вычислить время окончания обслуживания (текущее время ). Поскольку в этом примере система начинает работу при пустой очереди, она начинает функционировать с состояния простоя. Первая заявка на обслуживание поступает через

ч.

Последовательность случайных чисел, используемая в данном примере, из следующего ряда

Таким образом, модель переходит из в . В момент происходит событие, связанное с поступлением требования на обслуживание, поэтому, следуя приведенной выше схеме, вычисляем время поступления следующего требования: .


Поступление Поступление Конец обслуживания


Рис. 2.3 События, связанные с окончанием обслуживания


Теперь, поскольку система простаивает, начинается обслуживание текущего клиента; время его обслуживания, задаваемое , равно ч. Время окончания обслуживания вычисляется как

.

Система объявляется работающей, а время простоя корректируется следующим образом: Время простоя ч.

Осуществившиеся до настоящего момента события показаны на рис. 2.3.

Следующее по времени событие - поступление требования в момент . Поскольку система продолжает работать, требование ставится в очередь, а длина очереди корректируется:

(в момент ).

Следующее требование поступает в момент времени

.

(В рассматриваемом примере полезно наносить новые события на рис. 2.3 по мере их получения.)

Заметим, что все события, осуществившиеся в момент или ранее (рис. 2.3), относятся к предыстории, и их можно исключить из рассмотрения. Другими словами, в процессе моделирования необходимо хранить информацию лишь о будущем. Это замечание очень важно в связи с использованием ЭВМ, поскольку позволяет экономить память.

Следующее событие состоит в поступлении требования на обслуживание в момент . Поскольку система все еще находится в рабочем состоянии, длина очереди должна быть скорректирована

(в момент ),

а следующее требование поступит в момент

.

Следующее событие, происходящее в момент , представляет собой окончание обслуживания. Поскольку очередь непуста, начинается обслуживание первого по очереди клиента. Длина очереди изменяется

(в момент ),

а суммарное время ожидания становится равным

ч.


Доля времени простоя системы, %= Суммарное время простоя Период моделирования


100 Среднее время ожидания клиентом обслуживания= Суммарное время ожидания

Число поступающих клиентов


Используя , получаем время завершения обслуживания данного клиента:

.

Теперь становится понятным, как получаются данные в ходе эксплуатации имитационной модели. Процедура повторяется до тех пор, пока не будет промоделирован весь интервал . После можно определить различные операционные характеристики, исходя из периода моделирования

Вычисление средней длины очереди осуществляется несколько иначе. Из рис. 2.4 видно, каким образом обычно меняется длина очереди в зависимости от за моделируемый период времени продолжительности . Например, в рассматриваемой здесь обслуживающей системе длина очереди в период между и , между и и между и . Эта информация необходима для получения графика на рис. 4. Средняя длина очереди представляет собой среднее значение, изображенное пунктирной линией, то есть


Средняя длина очереди = Площадь

Моделируемый период

Заметим, что для получения необязательно ждать истечения периода поскольку можно вычислять через приращения каждый раз, когда меняется . Так, в данном примере между и и ; между и и, следовательно, ; между и и . Этот процесс приращений продолжается до тех пор, пока не станет равным .


Средняя длина очереди = A/t

Площадь A


,07 1,09 1,14 Моделируемое время t

Рис. 2.4 Распределение числа клиентов и времени ожидания


Моделирование дает и другую информацию, например, о распределении числа клиентов и распределении времени ожидания, которую можно восстановить с помощью соответствующих показателей, представленных в форме гистограммы.

Процедура имеет большое сходство с физическим экспериментом.

Выполнив упражнение с помощью «ручных» вычислений, можно убедиться в необходимости использования ПЭВМ при моделировании. Использование ПЭВМ становится еще более привлекательным из-за возможности применения таких специализированных языков моделирования, как GASP, SIAM, GPSS и SIMSCRIPT. Эти языки разработаны для того, чтобы избавить пользователя от утомительной необходимости программирования многочисленных деталей. Например, все языки дают возможность автоматически генерировать и запоминать события в хронологическом порядке с помощью всего одного оператора. Кроме того, все языки обладают очень простыми операторами для автоматического табулирования операционных характеристик системы. Имея подобные языки, пользователь может сосредоточить усилия на улучшении модели.

. Получение результатов наблюдений при моделировании

Изложив приемы построения и эксплуатации имитационных моделей, рассмотрим теперь важный вопрос, касающийся получения результатов наблюдений при моделировании. Поскольку моделирование представляет собой эксперимент, получаемые результаты наблюдения должны быть статистически независимы и одинаково распределены, с тем, чтобы была обеспечена возможность правильной статистической интерпретации моделируемой системы.

В любом физическом эксперименте оценка результата обычно основывается на среднем значении независимых наблюдений. Величина выбирается таким образом, чтобы был гарантирован определенный доверительный уровень. При моделировании оценка операционной характеристики системы также должна основываться на наблюдениях. Тем не менее, получение результатов независимых наблюдений при моделировании намного сложнее, чем при обычном лабораторном эксперименте. Мы уже видели в примере применения метода Монте-Карло, что первоначально результаты моделирования имеют неустойчивый характер (переходное состояние), а устойчивость (стационарность) обычно достигается при достаточно продолжительном прогоне модели. Таким образом, следует не начинать наблюдения слишком рано, поскольку полученные при этом данные характеризуются значительным разбросом и поэтому не могут давать представление о подлинном поведении системы. Для нас представляет интерес в основном получение результатов наблюдении после того, как достигнуто стационарное состояние, так как в этом случае выборочная ошибка (измеряемая средним квадратичным отклонением) уменьшается, и, следовательно, результаты становятся более точными.

При дискретном моделировании достижение стационарного состояния зависит от начальных условий системы, а также от параметров системы. Например, в однофазной модели моделирование может начинаться (в момент ) при отсутствии клиентов в системе или же при непустой очереди. Эти два начальных условия влияют на продолжительность прогона модели, необходимого для достижения стационарного состояния. Что касается характеристик системы, то в одной и той же модели относительные значения интенсивности поступления требований на обслуживание и скорости обслуживания непосредственно сказываются на продолжительности моделирования, необходимого для достижения стационарного состояния. Чем меньше отношение интенсивности поступления требований к скорости обслуживания, тем быстрее модель достигнет стационарного режима.

Поскольку основная цель состоит в получении результатов наблюдений с возможно меньшей ошибкой, этого можно достичь с помощью:

) очень длительных прогонов модели, позволяющих увеличить вероятность достижения стационарного состояния;

) повторения прогонов модели с различными последовательностями случайных чисел, каждый из которых дает одно наблюдение. Использование различных последовательностей случайных чисел приводит к желаемой независимости получаемых результатов наблюдений. Выборочная ошибка уменьшается, если результаты наблюдения получены в стационарных условиях, но ее можно сделать еще меньше, взяв среднее этих наблюдений, поскольку среднее квадратичное отклонение среднего наблюдений составляет среднего квадратичного отклонения отдельных наблюдений.

Несмотря на то, что описанная выше процедура дает небольшую выборочную ошибку, следует обратить внимание на усилия, необходимые для получения результатов наблюдений. Другими словами, хотя уменьшение выборочной ошибки важно, нельзя добиваться этой цели любой ценой. Очевидно, что очень продолжительные прогоны модели, осуществляемые для преодоления переходного состояния, неэкономичны, поскольку они требуют больших затрат машинного времени.

На практике при получении результатов наблюдений при моделировании необходимо иметь в виду два следующих соображения:

затраты на моделирование могут существенно зависеть от продолжительности прогонов модели;

выборочную ошибку можно уменьшить за счет использования улучшенных методов получения выборок, направленных на уменьшение статистической ошибки.

Вполне естественно, что нельзя получить что-то из ничего. Как будет показано ниже, продолжительность прогонов модели можно уменьшать, либо получая выборки в переходном состоянии системы, либо достигая устойчивого состояния, но жертвуя при этом некоррелированностью результатов наблюдений. Полезны методы уменьшения выборочной ошибки, называемые методами уменьшения дисперсии, однако их реализация при построении имитационной модели связана с рядом трудностей. Оба положения будут обсуждены ниже.

Рассмотрим два метода получения наблюдений: 1)метод повторения, 2)метод подынтервалов. Имеются и другие методы, однако эти два, по-видимому, наиболее подходят для практических приложений.

В любом методе получения результатов наблюдений важную роль играет начальный период, во время которого модель переходит в стационарный режим. Естественно, что этот период зависит от типа имитационных моделей и начальных условий. Однако существуют методы, позволяющие определять с точностью до систематической ошибки, можно или нельзя достичь стационарного состояния. Эти методы получили название прерывающих процедур, поскольку в них фиксируется продолжительность начального периода моделирования, который прерывается раньше, чем начинается получение результатов наблюдений.

Метод повторения

При использовании этого метода каждое наблюдение получается при помощи отдельного прогона модели, причем все прогоны начинаются при одних и тех же начальных условиях, но используются различные последовательности случайных чисел. Преимуществом этого метода является статистическая независимость получаемых результатов наблюдений - основное предположение, необходимое для использования любого статистического теста. Недостаток состоит в том, что наблюдения могут оказаться сильно смещенными под влиянием начальных условий (переходное состояние). Как уже отмечалось выше, мы не можем преодолеть этот недостаток за счет длительных прогонов, поскольку имеются ограничения на продолжительность использования ПЭВМ.

Пусть представляют собой наблюдений некоторой характеристики системы, получаемых при помощи метода повторения. Тогда лучшая оценка операционной характеристики задается как среднее


и -й доверительный интервал для точного значения

среднего вычисляется как

,

и есть -статистика с степенями свободы.

Метод подынтервалов

Метод подынтервалов направлен на уменьшение влияния переходных условий, которому подвержен метод повторения. Метод основан на разбиении каждого прогона модели на равные промежутки времени. Начало каждого интервала совпадает с началом записи информации о новом наблюдении.


Рис. 3.1 Графическая интерпретация метода подынтервалов


Преимущество этого метода состоит в том, что со временем влияние переходных условий уменьшается и, таким образом, наблюдения все лучше отражают реальные условия.

Недостатком метода является то, что предположение независимости не выполняется, поскольку величины, возникающие в начале интервала, очевидно, зависят от конечных условий предыдущего интервала. Отсюда следует, что между последовательными интервалами существует автокорреляция. Влияние автокорреляции можно уменьшить, во-первых, увеличивая число наблюдений , и, во-вторых, увеличивая длину интервала, соответствующего каждому наблюдению. Заметим, однако, что обе рекомендации приводят к увеличению машинного времени, а следовательно, и к росту затрат на моделирование.


4. Прикладные задачи имитационного моделирования


.1 Ориентированный процесс случайного блуждания как метод прогнозирования


Применение аналитических и статистических моделей связано с априорным поиском структуры этих моделей чаще всего при ограниченной информации о характере развития процесса. Определение параметров статистической модели и оценка точности прогноза требуют к тому же наличия необходимых статистических данных, характеризующих поведение объекта на периоде основания прогноза. Указанные обстоятельства в первую очередь снижают достоверность выводов в задачах прогнозирования развития технических систем.

Для выполнения прогноза предлагается подход, не связанный с использованием жесткой структуры модели и серьезными требованиями к объему априорной информации. Сущность метода заключается в представлении используемого для прогнозирования динамического ряда в качестве определенным образом ориентированного процесса случайного блуждания.

Значение изменяющегося параметра объекта прогнозирования для каждого момента на периоде основания можно представить в виде


,


где - значение динамического ряда в -й момент времени (год) периода основания;

- значение динамического ряда в предыдущий момент времени;

- приращение переменной объекта прогнозирования в -й момент времени по сравнению с предыдущими;

- число значений динамического ряда.

Поскольку приращения носят случайный характер, для них можно определить вид закона распределения и его параметры. При этом нужно учесть характер зависимости последующих приращений от предыдущих.

Предполагается, что в период упреждения характер изменения динамического ряда сохраняется. Тогда, используя характеристики приращений, метод статистических испытаний можно применить для моделирования приращений в период упреждения прогноза. Значение единичной реализации прогноза на каждом последующем шаге прогнозирования будет


,


где - номер шага на периоде упреждения;

- число шагов на периоде упреждения;

- значение переменной объекта прогнозирования на предыдущем шаге;

- моделируемое значение приращения на -м шаге.

Производя данную процедуру до момента прогнозирования, получим значение точечного прогноза


,

где - точечный прогноз на -й период упреждения;

- конечное значение динамического ряда.

При разыгрывании данной процедуры многократно образуется совокупность случайных значений точечного прогноза. По полученной выборке значений определяются среднее значение прогноза и его дисперсия:


; (4.1)

, (4.2)


где - число реализаций точечного прогноза;

- разыгрываемое значение приращения на -м шаге периода упреждения в -й реализации точечного прогноза;

- значение -й реализации точечного прогноза, определяемое по зависимости (1).

Рис. 4.1 Графическое отображение процесса случайного блуждания


Таким образом, процедура прогнозирования сводится к многократной имитации приращений на периоде упреждения и последующему определению статистических характеристик (среднего и дисперсии) реализаций точечного прогноза. График предлагаемого метода показан на рис. 4.1.

Как видно из изложенного, процедура определения характеристик прогноза при предлагаемом подходе отличается простотой, но вместе с тем характеризуется некоторой громоздкостью, обусловленной применением метода статистических испытаний. Поэтому коренным вопросом является рациональное моделирование приращений.

При наличии динамических рядов, имеющих продолжительный период основания, позволяющий получить репрезентативную выборку приращений, моделирование можно осуществлять в соответствии с определенным по этой выборке эмпирическим законом распределения приращений.

Для коротких динамических рядов можно применить допущение о нормальности отклонений значений динамического ряда от тренда. При этом допущении плотность распределения приращений также является нормальной.

При наличии на периоде основания информации малого объема (короткие динамические ряды) для моделирования приращений целесообразно использовать двумерное нормальное распределение. Двумерная плотность вероятности зависит в этом случае от пяти параметров:

,


где - случайные значения, математические ожидания и среднеквадратические отклонения предыдущих и последующих приращений переменной объекта прогнозирования соответственно; - коэффициент корреляции последующих приращений на предыдущие.


Рис. 4.2 График определения предыдущих и последующих приращений


Графически определение предыдущих и последующих приращений показано на рис. 4.2.

Очевидно, что одно и то же приращение в зависимости от того, относительно какой точки оно рассматривается, может быть как предыдущим, так и последующим. Однако первое приращение является только предыдущим.

При обработке исходного динамического ряда определяются оценки математических ожиданий и дисперсий предыдущих и последующих приращений. Множество предыдущих приращений определяется по зависимости

.

Множество последующих приращений определяется по зависимости

или

.

По множеству определяются среднее значение и оценка дисперсии предыдущих приращений:


(4.3)


Соответственно, по множеству определяются среднее значение и оценки дисперсии последующих приращений:

(4.4)


Оценка значения коэффициента корреляции определится по зависимости


. (4.5)


Для моделирования случайных приращений на периоде упреждения используется алгоритм моделирования двумерного нормального распределения. Для рассматриваемого случая моделирующая зависимость последующих приращений имеет вид


(4.6)


При моделировании случайного значения на первом шаге в каждой -й реализации предыдущее значение равно значению последнего приращения на периоде основания ,то есть

При моделировании приращений на следующих шагах периода упреждения

.

Оценка коэффициента корреляции, определяемая по выборкам малых объемов, является случайной. Плотность вероятности выборочного коэффициента корреляции имеет сложный вид. При принятом допущении о нормальности распределения приращений используется нормализующее преобразование Фишера.

Случайная величина распределена нормально с параметрами


; (7)

,


где - значение выборочного коэффициента корреляции, определяемое по зависимости (4.5).

Моделируем значения как нормально распределенную случайную величину по зависимости


, (4.8)


где - нормированная нормально распределенная случайная величина, моделируемая с помощью алгоритма.

Осуществляя обратный по отношению к преобразованию Фишера переход, получим случайное значение коэффициента корреляции


. (4.9)


Рис. 4.3. Блок-схема алгоритма прогнозирования с использованием ориентированного процесса случайного блуждания

С учетом изложенного моделирование приращений на периоде упреждения включает выполнение следующих действий:

обращение к датчику нормированных нормально распределенных случайных чисел и получение ;

вычисление случайного значения по зависимостям (4.8) и (4.9);

обращение к датчику равномерно распределенных случайных чисел и получение числа ;

вычисление приращения по зависимости (4.6) при полученном в п. 2 значении коэффициента корреляции , определенном в п. 3 значении .

Многократно имитируя приращения и используя зависимости (4.1) и (4.2), вычисляются характеристики прогноза. Блок-схема алгоритма изображена на рис.4.3.

К достоинствам рассмотренного метода прогнозирования относятся:

простота вычислительного алгоритма;

возможность использования при ограниченной на периоде основания информации (начиная с 7-9 значений динамического ряда);

простота оценивания точности прогноза (определения дисперсии).


.2 Модифицированный имитационным моделированием метод экспоненциального сглаживания


Для прогнозирования характеристик образцов техники, математическое описание которых имеет вид

, (4.10)

целесообразно применять метод экспоненциального сглаживания. Сложившаяся практика использования этого метода предполагает ограничение числа членов ряда Тейлора


,(4.11)


аппроксимирующего выражение (4.10), несколькими членами .

В зависимости (4.11) - -я производная функции по переменной в точке ; ; - число наблюдений; - значение величины шага упреждения.

Для условий, когда ошибки прогнозирования не удовлетворяют заданным требованиям, можно осуществить анализ их источников. Известно [4], что точность прогнозной задачи можно определить по зависимости


, (4.12)


где;

- погрешность, обусловленная приближенностью исходной информации;

- погрешность, связанная с методом прогнозирования;

- погрешность, вызванная неточностью вычислений;

- нерегулярная погрешность, обусловленная вероятностью непредсказуемых в настоящее время событий, влияющих на характер изменения прогнозируемой величины.

Одной из наиболее весомых является методическая ошибка, зависящая от числа членов разложения. В работах [1], [2] приводятся аналитические зависимости для выполнения параметров аппроксимирующего многочлена при . Вывод таких зависимостей для представляет значительные трудности. Кроме того, любое увеличение числа членов выражения (4.11) влечет за собой потребность увеличения объема исходных данных, необходимых для определения оценок начальных значений коэффициентов (методом наименьших квадратов или в более общем случае методом максимального правдоподобия), далее предлагается модификация метода экспоненциального сглаживания, основанная на принципах группового учета аргументов. Сущность метода заключается в том, что математическая модель объекта прогнозирования

,

называемая в соответствии с терминологией работы [1] его «полным описанием», заменяется набором «частных описаний» вида

.

По принятому критерию, значение которого вычисляется для каждого «частного описания», из множества отбирается некоторое число, называемое «свободой выбора», наиболее регулярных описаний, образующих подмножество . Вычисленные значения промежуточных аргументов принимаются в качестве аргументов «частных описаний» следующего уровня фильтрации, то есть

.

Аналогичная процедура повторяется до тех пор, пока величина критерия фильтрации уменьшается или увеличивается в зависимости от его содержания (при этом исходная информация делится на две выборки: обучающую и проверочную). Для практических расчетов в качестве такого критерия рекомендуется принимать среднеквадратическую ошибку аппроксимации модели на проверочной выборке, которая, как установлено в работе [10], при увеличении числа уровней фильтрации, а, следовательно, сложности модели, достигает экстремального значения. Сложность модели (измеряется числом ее членов), соответствующая экстремальному значению критерия, является оптимальной. На последнем уровне фильтрации фиксируется «частное описание», значение которого минимально. На предпоследнем уровне выбираются «частные описания», являющиеся аргументами последнего уровня, и т.д. Так как «частные описания» являются функцией двух аргументов, их коэффициенты легко определяются по небольшому количеству исходных данных. Исключая промежуточные переменные можно получить модель исследуемых характеристик объекта прогнозирования в виде аналога «полного описания»


,


где в общем случае .

Как известно, особые трудности при увеличении числа членов в разложении Тейлора связаны с получением аналитических зависимостей для определения вектора коэффициентов . Из работы [2] следует, что


,

где - вектор-столбец размером сглаженных значений процесса

;

- вектор-столбец размером неизвестных коэффициентов

;

- матрица размером , элементы которой, соответствующие -й строке и -му столбцу, вычисляются по зависимости

. (4.13)

В связи с тем, что сглаженные значения процесса могут быть определены по зависимости

вектор выражается зависимостью . (4.14)

Анализ зависимости (4.13) показывает, что наибольшую сложность вызывает вычисление суммы бесконечного ряда, представляющего собой произведение степеней показательной функции и отношения факториалов, которое можно упростить путем несложных преобразований:


, (4.15)

где;


Рис. 4.4 Блок-схема алгоритма прогнозирования по методу модифицированного экспоненциального сглаживания


- коэффициенты многочлена с переменной .

С учетом, что при ряд (4.15) вырождается в бесконечно убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем , сумма которой равна , сумма любого ряда вида (4.15) может быть вычислена по рекуррентной зависимости

, (4.16)


где.


Рис. 4.4. Блок-схема алгоритма прогнозирования по методу модифицированного экспоненциального сглаживания (продолжение)


Расчеты по формуле (4.16) при машинной реализации алгоритма можно осуществлять только численным дифференцированием, использование которого нецелесообразно. Поэтому вычисление элементов матрицы рекомендуется выполнять на ЭВМ по зависимости (4.13) с заданной точностью при ограниченном значении . Получив, таким образом, элементы матрицы и вычислив обратную матрицу , вектор коэффициентов определяется по формуле (4.14). Далее, не нарушая общности рассуждений, заметим, что в качестве частных описаний целесообразно использовать зависимость вида

.

Блок-схема алгоритма прогнозирования, составленного в соответствии с изложенными положениями, изображена на рис.4.4.

Автоматический подбор вида экстраполируемой функции

Методы экстраполяции в прогнозировании основаны на выявлении основной тенденции и проведении на ее базе необходимых расчетов. Поэтому выбор правильной формы связи между фактором-функцией и фактором-аргументом является важным этапом. Для прогнозирования применяются различные формы связи: линейная, параболическая, степенная, показательная и др. Но эти формы имеют жесткую, раз и навсегда заданную структуру. В связи с этим при прогнозировании во многих случаях целесообразно использовать так называемые функции с гибкой структурой (ФГС), форма которой может изменяться и автоматически приспосабливаться к изучаемому процессу. Функция с гибкой структурой характеризует не только зависимость одного фактора от другого, но и собственно тенденцию развития каждого фактора. Заманчивая идея метода автоматического получения вида и параметров аппроксимирующей функции принадлежит Н. К. Куликову. Однако на пути практической реализации метода имеется немало трудностей, например при решении систем трансцендентных уравнений, которые возникают в процессе поиска параметров ФГС или при вычислении соответствующих производных в случае табличного способа задания функции. Очевидно, по мере преодоления трудностей практической реализации функции с гибкой структурой будут занимать все более заметное место в арсенале экстраполяционных методов прогностики. Особую роль в развитии метода следует отвести ЭВМ, что способствует разработке новых эффективных алгоритмов, пригодных для решения задач прогнозирования на основе ФГС. Два частных случая использования ФГС рассматриваются далее.

Известно [1], [2], [3], что любой процесс можно представить в


, (4.17)


где - исходный процесс (функция одного переменного);

- приближенная модель процесса (описание с помощью ФГС);

- остаток (некоторая функция точности приближения).

В наиболее общем виде ФГС для одного аргумента записывается в виде [1], [2]


, (4.18)


где - некоторое фиксированное натуральное число;

- начальное значение фактора-аргумента на рассматриваемом интервале;

- постоянные действительные параметры;

- специальный (степенной) определитель -го порядка;

- функция, получаемая из определителя заменой строки на соответствующие функции

, .

При функция с гибкой структурой имеет вид


, (4.19)


где - начальное значение функции и ее производной в точке ; - корень специального уравнения , в рассматриваемом случае .

Нахождение параметров функции связано с минимизацией базисной функции


. (4.20)


Далее представляется логичным определить порядок расчета параметров ФГС. В том случае, когда имеется всего один фактор, базисная функция имеет вид


. (4.21)


При на рассматриваемом отрезке функция равна нулю, и если проинтегрировать выражение (2.4.21) для того, чтобы избавиться от производных, можно получить

. (4.22)


Подставляя в это уравнение значение начальной точки, легко установить, что величина первой производной связана со значением величины и соотношением . (4.23)

Если проинтегрировать уравнение (22) еще раз, то можно записать выражение вида


. (4.24)


При условии, что , определяется . Тогда уравнение (4.24) целесообразно представить следующей зависимостью:


. (4.25)


Из этого уравнения видно, что оно содержит неизвестные величины. Теперь значение интеграла можно вычислить, так как функция УМ задана таблицей, а для определения и можно образовать систему двух уравнений с двумя неизвестными на основе уравнения (4.25). Это нетрудно сделать, если подставить в (4.25) значение еще двух точек, взятых из временного ряда. Тогда

(4.26)


После вычисления данных интегралов находятся неизвестные коэффициенты и . Затем определяется значение первой производной путем подстановки в уравнение (4.23) , и . Корень базисного уравнения равен параметру со знаком минус. Вычисленные параметры подставляются в формулу ФГС (4.19) для получения математического выражения формы связи между и .

В качестве примера применения функции с гибкой структурой для прогнозирования в военном деле рассматривается задача по определению вида зависимости между коэффициентом выпуска серийных образцов условных технических систем и объемом задач, выполняемых с помощью данных образцов. Эта зависимость в дальнейшем используется для получения прогноза. Исходные данные представлены в табл. 1.


Таблица 1

0,5970,5970,6080,6180,6150,6180,63131,232,333,434,334,535,537,8

Из этой таблицы выбираются значения трех опорных точек, одна из которых (начальное значение) должна лежать в середине ряда с тем, чтобы полученная функция одинаково точно приближала данное значение как в конце, так и в начале ряда. Следовательно,

Определяются коэффициенты уравнения (4.26):

Следующий шаг - переход к вычислению необходимых интегралов (рис. 4.5).


Рис. 4.5 Определение необходимых интегралов для ФГС


Интеграл вида есть площадь, ограниченная графиком и значениями , равными 34,3 и 31,2. Так как верхний предел интеграла меньше нижнего, то значение интеграла отрицательное. Площадь, ограниченная значениями равными 34,3 и 31,2, будет складываться из площадей трех трапеций:

.

Значение интеграла будет

.

Полученные коэффициенты подставляются в систему уравнений (4.26):

Решая эту систему, определяются

.

Затем находится значение первой производной в начальной точке путем подстановки в уравнение (4.23) вычисленных коэффициентов и .

Тогда

.


Для базисное уравнение имеет вид

или .

Таким образом, получены все параметры. Подставив в уравнение функции с гибкой структурой значение первой производной и значение , можно получить

.

Подстановкой вместо его перспективного значения на определенный год определяется ожидаемая величина коэффициента выпуска. Необходимо отметить, что основной задачей при использовании ФГС для прогноза является определение корней базисного уравнения , значения которых зависят от коэффициентов . Последние должны определяться из принципа оптимальной аппроксимации, заключающегося в минимизации остатка и установлении таких значений коэффициентов , для которых значение остатка в каждой точке таблицы исходных данных не превышает некоторой заданной величины (ошибки аппроксимации). При машинной реализации метода, базирующегося на применении ФГС, необходимо принимать допущение о дифференцируемости функции раз, с учетом которого можно записать, что


; (4.27)

, (4.28)


где - значение производной функции порядка в точке ;


- выражение, получаемое из определителя

(4.29)


заменой последней строки определителя на функции вида , ;


. (4.30)


Значения коэффициентов определяются в результате решения уравнения (4.30) путем приравнивания его к нулю. В связи с тем, что производные неизвестны, переходят к системе линейных алгебраических уравнений [1], [2] вида


, (4.31)

где, ;

- постоянная интегрирования; ;

, , ;

; .

Результатом решения этой системы является определение коэффициентов , что позволяет по базисному уравнению вычислить параметры . Неизвестные как следует из (4.18), (4.27), равны значениям производных функций в точке , то есть

.



Рис. 4.6 Блок-схема алгоритма параметрического прогнозирования на основе ФГС


Рис. 4.6. Блок-схема алгоритма параметрического прогнозирования на основе ФГС (продолжение)



Рис. 4.6. Блок-схема алгоритма параметрического прогнозирования на основе ФГС (продолжение)


Рис. 4.6. Блок-схема алгоритма параметрического прогнозирования на основе ФГС (продолжение)

Рис. 4.6. Блок-схема алгоритма параметрического прогнозирования на основе ФГС (продолжение)


На основе изложенного разработан алгоритм параметрического прогнозирования, блок-схема которого изображена на рис. 4.6.

Согласно работам [1], [2] можно утверждать, что ошибка аппроксимации в значительной степени зависит от системы опорных точек и , которые необходимо выбрать для вычисления коэффициентов при неизвестных и и свободных членов системы уравнений (31). Поэтому в рамках алгоритма имеется специальная процедура выбора системы опорных точек (блоки 1-19), использование которой обеспечивает минимальную ошибку аппроксимации. Смысл этой процедуры сводится к следующему:

в качестве начальной точки последовательно выбирается каждая точка таблицы исходных данных (блоки 4а, 5а, 15а);

при зафиксированном значении вычисляются значения (блоки 6а-11а);

составляется система уравнений (4.31) (блок 12а);

решается система уравнений (4.31) по МНК и определяются значения Си , (блок 13а);

устанавливается структура модели, например в виде регрессионного уравнения

(4.32)

параметры которого определены выше, и задают ошибку аппроксимации по зависимости (блок 14а)


, (4.33)


где - число наблюдений над прогнозируемой характеристикой;

осуществляются ранжировка исходных данных по возрастанию , выбор опорных точек по правилу (блок 16а)

и их запись;

описанная процедура повторяется для каждого значения (блоки 2а, За, 18а).

После выбора опорных точек в алгоритме предусмотрены операторы по подготовке к составлению системы уравнений порядка. С этой целью по соответствующим зависимостям методом численного интегрирования (методом трапеций) вычисляются , а также значения и (блок 5). При этом

.

Если число членов ФГС-модели , то значения параметров функции и относительного отклонения функции от в -й точке рассчитываются в соответствии с выражениями блоков 7-3. На основе выбора из множества значения и сравнения его с заданным (блоки 45, 47), принимается решение либо продолжать усложнять модель, либо удовлетвориться достигнутой сложностью. При осуществляется составление системы уравнений порядка вида (4.31) (блок 14) и решение ее методом Гаусса относительно параметров и постоянных интегрирования (блок 15).

В блоке 16 осуществляется вычисление параметров

по зависимостям

(4.34)


Вычисление корней базисного уравнения производится методом Ньютона с использованием стандартной программы (блок 17). Поскольку в общем случае корни уравнения могут быть действительными, комплексными или действительными и комплексными, в блоках 18, 27 производится их анализ с целью определения дальнейшей расчетной схемы. При условии, что все корни действительные, функция принимает вид


, (4.35)


где - степенной определитель -го порядка (4.29), значение которого вычисляется методом перекрестного умножения (блоки 19, 20);

- определитель, получаемый из (4.29) заменой -й строки на функции - блок 23;

- вычисленная ранее производная.

Значение функции в каждой точке и ее отклонения вычисляются в блоках 21, 22, 24-26. При подстановке значений , и зависимость (4.35) принимает вид суперпозиции экспоненциальных законов, параметрами которых являются аргументы прогнозирующих зависимостей.

Если все корни комплексные, то имеет вид


,(4.36)


где - нечетное натуральное число;

- действительная часть корня; ; .

Значения функции и ее отклонения вычисляются в блоках 28, 29. Если в результате анализа устанавливается, что корней комплексные, а корней действительные, то принимает вид


,


где вычисляется по зависимости (4.36) с использованием корней блок 38); при вычисляется по зависимости (4.35) с использованием корней (блоки 33, 34, 35, 41), при - в соответствии с блоками 32, 39, 40. Значения функции и ее отклонения от вычисляются в блоках 36, 37, 42, 43, 44. Результаты расчетов выводятся на печать. После вычисления функции и в каждом из приведенных случаев выбирается максимальное значение отклонения , которое сравнивается с заданным (блоки 45, 47).

По результатам сравнения принимается решение о наращивании сложности модели либо о его прекращении. В блоке 48 осуществляется проверка достаточности числа наблюдений для заданной сложности модели.

Вопросы для самопроверки к разделу 2

В чем сущность метода статистических испытаний?

Что понимается под названием вычислительный эксперимент?

Что представляет собой статистическое моделирование?

Какие основные составные части метода статистических испытаний Вы знаете?

Какие основные достоинства метода статистических испытаний Вы знаете?

Каким образом возможно моделирование системы массового обслуживания?

Что такое однофазная система обслуживания?

Каким образом происходит оценка результатов наблюдений при моделировании?

В чем суть метода повторений?

В чем суть метода подынтервалов?

Какие прикладные задачи имитационного моделирования Вы знаете?

В чем суть метода экспоненциального сглаживания?

Раздел 3. Оценка качества моделей. Планирование вычислительного эксперимента

Введение

В данном разделе рассматриваются методы, позволяющие оценить качества модели, методы повышения качества оценок показателей эффективности.

После изучения данного раздела рекомендуется ответить на вопросы для самопроверки и на вопросы теста 3.

В случае если ответы на какие-либо вопросы вызовут затруднение или неуверенность, рекомендуется прочитать учебное пособие Голик, Е.С. Системное моделирование. Ч.1. Имитационное моделирование. Факторный эксперимент: учебно-методический комплекс (учебное пособие) /Е.С. Голик, О.В. Афанасьева. - СПб.: Изд-во СЗТУ, 2007. - 211 с., (с. 152 - 183).

. Планирование имитационных экспериментов

Целью имитационных экспериментов является, возможно, более глубокое изучение моделируемых систем при ограниченных затратах. С этой целью необходимо планировать и проектировать не только модель системы, но и процесс проведения экспериментов с ней.

В практике имитационных исследований наиболее распространены следующие типы экспериментов:

сравнение средних и дисперсий результатов операций для различных альтернатив;

определение значимости влияния тех или иных факторов и необходимости их учета при исследовании конкретной системы;

отыскание оптимальных альтернатив (в частности, стратегий управления) на некотором множестве возможных значений.

Математические методы отыскания целесообразных планов проведения экспериментов указанных типов и проведения расчетов с целью вычисления искомых оценок получили название методов планирования эксперимента.

.1. Общая схема испытаний

При планировании испытаний (в узком смысле) принципиально возможны два подхода: пассивный и активный. Пассивные испытания заключаются в наблюдении и регистрации входных и выходных параметров объектов в режиме нормального функционирования (при фиксированных нагрузках). Планирование испытаний сводится к выбору стационарного режима испытаний. Активные испытания проводятся посредством наблюдения и регистрации процесса после внесения в него возмущений. Сущность активного подхода заключается в одновременном варьировании по определенному закону значений из совокупности факторов , которое ведется по целесообразно составленной программе, называемой матрицей планирования.

План испытания характеризуется спектром плана (нормированным спектром)


или , (1)


где определяет уровни, на которых находится каждый из факторов в -м испытании; - число повторных испытаний;

, - суммарное количество испытаний, , .

Схему планирования испытаний рассмотрим применительно к случаю доводочных испытаний, проводимых с целью достижения экстремального (заданного) значения выходного параметра. Планирование включает: определение пространства факторов, выбор стратегии испытаний.

Совокупность факторов должна быть достаточно полной (включать все существенные факторы), а каждый из факторов отвечать требованиям однозначности, управляемости, независимости и совместимости с другими факторами. Так, при опытной отработке двигателя внутреннего сгорания, когда при выбранном типе двигательной установки и виде топлива решается задача обеспечения требуемой тяги и ресурса , в качестве могут использоваться тип форсунок, их количество, соотношение, размещение, тип головки, литраж и геометрия блока цилиндров, способ охлаждения и т. д.

При выборе стратегии испытаний в общем случае можно выделить три основных этапа.

Планирование и проведение испытаний в ограниченной области с конечной целью установить градиентное направление (направление, в котором угол наклона функции отклика максимален). Решение задачи может осуществляться с помощью линейных уравнений регрессии.

Последовательное движение в градиентном направлении (в частном случае «крутое восхождение»). На этом этапе, зная градиентное направление, выбирают другую ограниченную область в факторном пространстве, где и проводят новую серию испытаний. Крутое восхождение ведется до тех пор, пока не будет достигнута так называемая «почти стационарная область», в которой вариации факторов слабо влияют на значение выходных параметров.

Планирование и проведение испытаний в почти стационарной области, где окончательно определяется совокупность значений факторов , при которых обеспечивается экстремальное (требуемое) значение . На этом этапе учитывается нелинейный характер связей между и .

Основу современного подхода к планированию многофакторных испытаний составляют активные методы, из числа которых широкое распространение получили полные и дробные факторные планы (ПФП и ДФП). Пассивные методы сохраняют свое значение в ходе проведения промышленных экспериментов на стадии серийного производства вооружения, при изучении опыта эксплуатации ракетных и артиллерийских комплексов в войсках, а также в тех случаях, когда при испытании не удается устранить шумовое поле, вызываемое неуправляемыми переменными или случайными помехами, накладываемыми на управляемые факторы.


.2 Полные факторные планы испытаний


Планирование по схеме полного факторного плана предусматривает реализацию всех возможных комбинаций на каждом из выбранных уровней. Общее количество испытаний , где - количество уровней, - число факторов. , если при каждом сочетании факторов проводится только одно испытание. Если испытания проводятся при двух уровнях факторов , то реализуется план , при и т. д. Формирование ПФП включает два этапа.

На первом этапе выбирается совокупность факторов , удовлетворяющих сформулированным требованиям, после чего определяется локальная область факторного пространства, в которой намечается проведение испытаний. При планировании по схеме эта область устанавливается посредством задания основного уровня и интервала варьирования. Основным уровнем (центром плана) называют многомерную точку в факторном пространстве. В зависимости от целей испытаний координаты могут соответствовать номинальным значениям параметров или выбираться в центре области их изменения, подлежащей изучению. Интервал варьирования устанавливают симметрично относительно основного уровня и определяют для каждого из факторов по формуле


, (2)


где, - максимальные и минимальные значения каждого из факторов (определяющих фактор параметров).

Интервал варьирования выбирается из прогнозируемых значений выходного параметра и условий технической осуществимости вариаций входных воздействий с учетом затрат на выполнение работ.


Рис. 1. Схемы ПФП типа и


ПФП составляют в виде матрицы планирования, используя кодированную (безразмерную) систему координат. Переход к безразмерной системе координат осуществляется по формулам


;. (3)

В кодированной системе верхний уровень изменения любого фактора равен , нижний , а координаты центра плана равны нулю и совпадают с началом координат. На рис. 3.1 изображены схемы ПФП типа и - соответственно прямоугольник и куб. Матрица ПФП , приведена в табл. 1, а (обозначение 1 в таблице опущено), где столбцы (вектор-столбцы) показывают, какие значения принимает каждый из факторов в очередном испытании, а строки (вектор-строки) характеризуют режим каждого отдельного испытания. Так, например, при изучении влияния условий подачи компонентов топлива на выходные параметры ЖРД первый опыт проводится при минимальных расходах горючего и окислителя, четвертый - при максимальных, второй - при максимальной подаче горючего и минимальной окислителя и т. д.


Таблица 1

Номер опытаНомер

опыта1+--1+--+2+-+2+-+-3++-3++--4+++4++++

Первый столбец используется только для выполнения расчетов ( - фиктивная переменная). В последнем столбце записываются результаты испытания.

Порядок перехода от плана к плану показан в табл. 2. Аналогично методом «перевала» можно перейти к планам с большим числом факторов.

Таблица 2

Номер опытаНомер

опыта1+---5+--+2+-+-6+-++3++--7++-+4+++-8++++

Приведенные в табл. 1 и 2 матрицы планирования обладают свойствами ортогональности, симметричности и нормировки.

Свойство симметричности относительно центра опыта заключается в том, что алгебраическая сумма элементов вектор-столбцов каждого из факторов равна нулю:


; ; . (4)


Условие нормировки подтверждается равенством суммы квадратов элементов каждого столбца числу опытов:


; . (5)


Свойство ортогональности определяется равенством нулю произведений любых двух вектор-столбцов:


;. (6)

Предполагается, что при перемножении элементов с одноименными знаками получаем , с разноименными .

Свойство ортогональности позволяет резко уменьшить трудоемкость вычислений коэффициентов регрессии, так как матрица нормальных уравнений становится диагональной, причем ее диагональные элементы равны числу испытаний , заданных матрицей ПФП.

Воспользуемся матрицей планирования (табл.1) для получения уравнения регрессии вида


. (7)


При вычислении оценок коэффициентов регрессии по формуле последовательно получим

Отсюда

; ;

; .

Таким образом, каждый из коэффициентов вычисляется независимо и по простой формуле, которая в общем случае имеет вид


. (8)


Поскольку все диагональные элементы матрицы ошибок равны между собой, каждая из оценок получена с одинаковой (и минимальной) дисперсией

, (9)


где - ошибка опыта.

Рассмотренные ПФП являются оптимальными в том смысле, что при их реализации для данного числа испытаний определитель матрицы ошибок минимален. Геометрически это означает, что сведен к минимуму объем эллипсоида рассеивания оценок параметров. Важным свойством полученных планов является также рототабельность, которая заключается в том, что точность предсказания значений выходной характеристики одинакова на равных расстояниях от центра плана и не зависит от направления.

План типа позволяет получить модель в виде уравнения второго порядка

.

Для вычисления коэффициента , характеризующего совместное воздействие факторов и вводится дополнительный вектор-столбец (табл.1), элементы которого определяют, перемножая попарно элементы столбцов и .

Расширенная матрица ПФП , обеспечивающая получение модели в виде более сложного полинома

представлена в табл. 3. В нижней строке таблицы приведены вычисленные по формуле (8) оценки коэффициентов . Значения содержатся в последнем столбце.

Например,

;

.


Таблица 3

Номер опыта1+---+++-82+-+--+-+43++----++54+++-+---105+--+++-+66+-++--+-87++-+----78++++++++127,5110,6251,5-20,75-0,75

.3 Дробные факторные планы испытаний. Планирование испытаний


Можно сократить число испытаний, если от ПФП перейти к дробным факторным планам, или дробным репликам от полного факторного эксперимента. При переходе от ПФП к ДФП важно сохранить ортогональность матрицы планирования. С этой целью в качестве реплики (ДФП) пользуются ПФП для меньшего числа факторов. Такая возможность существует, поскольку в ПФП число испытаний значительно превосходит количество определяемых коэффициентов линейной модели.

Пусть требуется получить уравнение регрессии вида


. (10)


Для решения задачи можно ограничиться четырьмя испытаниями , если в ПФП (табл. 4, а) столбец использовать в качестве плана для (табл. 4, а). Теперь элементы столбца служат не для расчета оценки , а характеризуют уровень фактора в каждом из опытов. Использованный план составляет половину ПФП , называется полурепликой (-репликой) от и записывается формулой . В рассмотренной задаче возможны два варианта ДФП (табл. 4, а, б).


Таблица 4

а) б)

Номер опытаНомер

опыта1--+1---2-+-2-++3+--3+-+4+-+4++-

Общее правило перехода от ПФП к ДФП сводится к следующему: для сокращения числа испытаний новому фактору присваивается вектор-столбец, принадлежащий взаимодействию, которым можно пренебречь. Формула ДФП имеет вид , где - количество факторов, введенных посредством замещения исключаемых из рассмотрения взаимодействий. В зависимости от соотношения чисел и реализуются , , и т. д. реплики ПФП.

Сокращение числа испытаний в рассмотренном примере достигнуто за счет утраты части информации: из рассмотрения исключено парное взаимодействие . В результате полученные оценки , , оказались смешанными оценками генеральных коэффициентов

;;,

поскольку соответствующие вектор-столбцы совпадают ( неразличимо с и т. д.). Эффективность ДФП определится тем, насколько удачно выбрана система смешивания линейных эффектов и эффектов взаимодействий. Поэтому при обращении к ДФП необходимо уметь заранее установить, какие из , являются несмешанными оценками соответствующих генеральных коэффициентов - определить разрешающую способность дробных реплик. Для этого находят применение понятия генерирующего соотношения и определяющего контраста.

Соотношение, показывающее, с каким из эффектов смешан рассматриваемый эффект, называют генерирующим. В рассмотренном примере это или . Определяющим контрастом называется символическое обозначение произведения столбцов. Умножая левую и правую части определяющего контраста на и памятуя, что , получим определяющий контраст или . Теперь, последовательно умножая левые и правые части на , , , можно выявить систему смешивания факторов. Для ДФП (табл. 4,б)

;;,

откуда следует система смешивания

;;.

Для ДФП (табл. 2.5, а) аналогичным путем получаются приведенные ранее соотношения.

Обращаясь к ДФП , заметим, что матрица (табл. 4, а, б) совпадает с ПФП (табл. 1). Иначе план является опорным при построении дробной реплики . При с помощью ДФП удается учесть только один дополнительный фактор. Оценим, сколько же дополнительных факторов можно учесть, используя в качестве опорного ПФП . Из табл. 3 видно, что можно частично или полностью замещать четыре взаимодействия то есть вводить дополнительно до четырех факторов. При замещении одного фактора имеет место ДФП (-реплика от ПФП ), двух - (от ПФП ),трех - ( от ), четырех - ( от ПФП ). Если замещению подлежат все взаимодействия, то план называют насыщенным. В этом случае в модели учитываются только линейные взаимодействия. Для всех рассмотренных ДФП . Сравним, что при реализации ПФП, если , то (используется ПФП ); при (); при (); при (). В табл. 5 приведен пример формирования ДФП при различном выборе генерирующих соотношений.

Последовательность формирования ДФП включает: уяснение количества факторов и допустимого числа (в примере ), выбор реплики (), построение опорного плана (), установление генерирующих соотношений, нахождение определяющего контраста (обобщенного контраста), уяснение системы смешивания.

Выбор системы смешивания осуществляется на основе анализа физической сущности процесса, изучения конструкторской документации и данных предшествующих этапов испытаний. В общем случае стремятся отсеивать взаимодействия относительно высоких порядков.


Таблица 5

Генерирующее соотношениеОпределяющий контрастСистема смешивания, , , , , , Система оценокВид моделиПри выборе, например, ДФП (-реплики) возможны 12 вариантов решения. Если принять , , то система смешивания задается обобщающим определяющим контрастом, который получают, перемножая определяющие контрасты и между собой:

.

Тогда получается следующая система совместных оценок:

; ;

; ;

; ;

; ;

; ;

; ;

; ;

; .

Соответствующий план испытаний показан в табл. 6.


Таблица 6

Номер опытаНомер

опыта1----+5--+++2-+-+-6-++--3+--+-7+-+--4++--+8+++++

ДФП типа , как и ПФП, обладают следующими преимуществами: они ортогональны; каждый из коэффициентов вычисляется по всем испытаниям; все коэффициенты вычисляются с одинаковой и минимальной дисперсией.

При проведении испытаний учитывают, что изменение выходного параметра из-за влияния неконтролируемых факторов имеет случайный характер. Поэтому предусматривается случайный порядок проведения испытаний (рандомизация факторов). С этой целью последовательность испытаний (реализация строк матрицы планирования) определяется с помощью таблицы случайных чисел.


.4 Анализ результатов испытаний


Завершающим этапом испытаний по полному или дробному факторному плану является статистический анализ полученных данных, который включает: оценку воспроизводимости результатов испытаний; оценку значимости коэффициентов регрессии и уточнение вида модели; проверку адекватности модели.

Целью проверки воспроизводимости является установление однородности результатов испытаний, проводимых на различных уровнях . В ходе опытно-конструкторских работ при проведении лабораторных и стендовых испытаний обычно используется освоенная аппаратура, обеспечивающая стабильность условий. Поэтому предварительное заключение относительно воспроизводимости ожидаемых результатов часто может быть сделано до начала испытаний. При необходимости проверки воспроизводимости содержание задачи совпадает с задачей проверки гипотезы о стабильности условий испытаний. Пусть результаты испытаний представлены, как показано в табл. 7.

Проверке подлежит гипотеза , где - количество строк матрицы планирования. Условием проверки гипотезы является наличие параллельных опытов в каждой из строк.

Тогда в каждой строке могут быть вычислены

; ; ,


где - количество повторных испытаний.


Таблица 7

Номер опытаПлан испытанийРезультаты испытанийВычисляемые оценки1+--...+...2+-+...+......+-+...-...

Для проверки гипотезы можно воспользоваться критериями Кохрена или Бартлетта. Если , расчетное значение статистики критерия Кохрена определяется по формуле и гипотеза принимается, если , где , . Если дисперсии однородны (принята гипотеза ), то дисперсия опыта (или, что то же самое, дисперсия воспроизводимости) подсчитывается по зависимости


, (11)

где знаменатель характеризует число степеней свободы . В общем случае, подсчитывается как среднее взвешенное значение


. (12)


Проверка значимости коэффициентов регрессии позволяет лучше осмыслить математическое описание процесса, а также уточнить вид модели путем отсеивания факторов, слабо влияющих на значение выходного параметра. Проверка значимости каждого из коэффициентов производится независимо, с помощью проверки гипотезы 0 по -критерию. Расчетные значения статистики критерия можно определить по соотношению


. (13)


Если , то коэффициент является значимым и соответствующий фактор оказывает существенное влияние на величину . Статистическая незначимость может быть вызвана следующими причинами:

интервал варьирования был выбран слишком малым;

уровень начального режима по фактору оказался близок к точке частного экстремума ;

велика ошибка опыта из-за влияния неуправляемых и неконтролируемых факторов;

данный фактор (совокупность факторов) не оказывают заметного влияния на величину выходного параметра.

Поскольку план ортогонален и коэффициенты оцениваются независимо друг от друга, оказавшиеся незначимыми коэффициенты могут быть отброшены без пересчета остальных.

Проверка адекватности заключается в подтверждении предположения, что полученная математическая модель достаточно верно описывает характер процесса. Формальное содержание гипотезы состоит в том, что предсказанные уравнением (расчетные) значения выходного параметра отклоняются от опытных на величину, не превышающую некоторый наперед заданный уровень, и модель пригодна для обоснования инженерных решений. Для проверки гипотезы оценивается дисперсия адекватности


; . (14)


Если дисперсия адекватности не превышает дисперсии опыта , то есть основание полагать, что модель адекватно описывает процесс. Согласно п. 1.3 для проверки гипотезы о дисперсиях используется -критерий. Статистика критерия

. (15)


Модель считается адекватной процессу, если , где , . Если ,то для получения адекватного описания необходимо увеличить порядок аппроксимирующего полинома. Очевидно, что проверка адекватности возможна лишь в том случае, если , то есть число разных испытаний превосходит количество включаемых в модель факторов.

Если гипотеза адекватности принимается, то модель может использоваться для управления процессом (при доводочных испытаниях для определения значений факторов, при которых достигается экстремальное или заданное значение выходного параметра). Незначимые коэффициенты могут быть отброшены, однако при этом необходима основанная на анализе физической сущности явления уверенность, что эти факторы не влияют на выходной параметр. В противном случае следует стремиться продолжить испытания (расширив, если позволяют технические возможности, по незначимым факторам).

Если модель неадекватна, возможны следующие решения: перейти к модели более высокого порядка (когда можно предположить, что опыты проводились в области, близкой к оптимальной); продолжить испытания, уменьшив интервал варьирования, или перенося центр плана в другую точку.

Рассмотрим примеры использования ДФП при организации испытаний технических систем.

Планируются испытания двигателя на надежность при эксплуатации. В качестве основных эксплуатационных факторов выделены: механические воздействия при транспортировании, воспроизводимые на вибростенде , температура и влажность воздуха , имитируемые попеременным термостатированием и выдержкой в термобарокамере; старение при хранении, достигаемое проведением ускоренных испытаний узлов двигателя ; излучение и прогрев элементов , с помощью секционных термобарокамер, с использованием электронагревательных приборов и холодильной установки. В качестве выходного параметра оценивалась величина давления в блоке цилиндров двигателя . Для испытаний выделялось двигателей. Поскольку для полного учета всех факторов (при числе уровней ) необходимо образца, было принято решение применить ДФП , причем , . Тогда обобщенный определяющий контраст . Получаемая в этом случае математическая модель принимает вид

.

Поскольку реализация плана возможна при , оставшиеся четыре образца использовались для проведения контрольной серии испытаний. План испытаний показан в табл. 8.

Планируются испытания двигателя, проводимые с целью эмпирического определения коэффициента усиления, величина которого в общем виде представляется как , где - изменение -го регулируемого выходного параметра двигателя, - изменение регулирующего параметра по -му каналу регулирования. Исполнительными органами систем регулирования являются регуляторы расхода, регуляторы давления, дроссели. Величина обычно включается в ТЗ на разработку.

Таблица 8

Номер опытаНомер

опыта1----+7-++-+2+--++8+++++3-+-+-9+++++4++---10000005--++-11----+6+-+--12-+-+-

Из практики опытной отработки известно, что расчетные значения обычно не подтверждаются в ходе испытаний. Поэтому возникает потребность настройки регулирующих органов с последующей опытной проверкой. Для обеспечения эффективности организации работ по определению и настройке коэффициентов усиления по каналам регулирования двигателя находят применение полные и дробные факторные планы. Рассмотрим случай, в котором для проведения испытаний реализуется ПФП при числе испытаний (табл. 8). В каждом испытании значения факторов и ( и ) определяют крайние положения органов в выбранной области изменения этих факторов. Матрица планирования и полученные из опыта результаты представлены в табл. 9. В нижней строке таблицы приводятся вычисленные по формуле (8) значения коэффициентов


Таблица 9

РежимПланРезультаты испытаний1+--+0,71660,67690,71660,57850,67210,69392+-+-0,81000,81000,87000,75450,81110,78933++--0,66150,60760,52500,60710,60030,62214++++0,60710,55330,49410,53750,54800,52630,6578- 0,08370,0216- 0,0478

Рассмотрим порядок статистического анализа результатов испытаний. Для проверки условия воспроизводимости по формуле (11) определим

; ; ; .

Затем вычислим расчетное значение статистики критерия Кохрена:

.

При уровне значимости и числе степеней свободы , находим . Поскольку , принимается гипотеза об однородности данных (воспроизводимости результатов испытаний). Следовательно, дисперсия испытаний может быть определена по всем испытаниям согласно зависимости (12):

.

Из (9) видно, что погрешность оценивания

.

Для проверки значимости коэффициентов и уточнения вида модели вычислим расчетные значения статистики -критерия по формуле (13):

; ; .

Из таблицы Приложения при и получим . Следовательно, для и имеет место и эти коэффициенты значимо отличаются от нуля. Поскольку коэффициент оказался незначимым. Поэтому фактор из дальнейшего рассмотрения исключаем. Уточненная модель принимает вид

.

Для проверки адекватности модели определим предсказанные этой моделью значения ; ; ; . Согласно зависимости (14) мера неадекватности модели оценивается дисперсией

.

Тогда определяемое по (15) расчетное значение статистики критерия

.

При , , находим , что позволяет принять гипотезу об адекватности модели изучаемому процессу и использовать ее в дальнейшем для настройки двигателя.


.5 Оптимальные планы


Если целью испытаний является изучение характера процесса, то с получением адекватной модели они могут быть завершены. При доводочных испытаниях, когда - параметры конструкции, работа продолжается для получения координат точки в которой соответствует заданному (или экстремальному) значению. Рассмотрим два основных подхода к отысканию области оптимума : крутое восхождение и симплексный метод.

Крутое восхождение (метод Бокса-Уилсона) выгодно отличается от традиционной организации многофакторного эксперимента, при проведении которого последовательно отыскивается экстремум по каждому из факторов. Сущность крутого восхождения заключается в шаговом движении в направлении наибольшего изменения функции (направлении градиента)


, (16)


с корректировкой этого направления после достижения частного экстремума функции. На пути движения к экстремуму производится регулярный статистический анализ. В (16) - единичные векторы в направлении координатных осей.

Определению служит реализация ПФП (ДФП), обеспечивающая получение адекватной модели чаще всего в виде линейного уравнения регрессии. Дальнейшие операции сводятся к следующему.

Вычисляются произведения . Фактор, для которого имеет место принимается за базовый . Для базового фактора исходя из анализа физической сущности процесса устанавливается шаг варьирования (в направлении экстремума), после чего для других шаг рассчитывается пропорционально наклону поверхности отклика, характеризующемуся величиной :


. (17)


Рис. 2. Графическое представление проведения испытаний по схеме крутого восхождения


Затем производятся «мысленные опыты», которые заключаются в вычислении предсказываемых уравнением регрессии значений в точках факторного пространства. Через несколько (обычно два - пять) шагов проводятся реальные испытания. Сравнивая опытные значения с расчетными, определяют наиболее близкие к экстремальным значения , где и проводится новая серия испытаний, после чего при необходимости крутое восхождение продолжается. Испытания прекращаются, когда все или почти все значения незначимы или близки к нулю.

Пример проведения испытаний по схеме крутого восхождения содержится в табл. 10.

В качестве параметра оптимизации рассматривалась удельная тяга ЖРД - , максимума которой добивались подбором форсунок окислителя разного диаметра сопла - фактор и изменением выходного сечения сопла - фактор . Предварительно по ПФП получена модель, с помощью которой определено градиентное направление .


Таблица 10

УровеньммОсновной………………………… Интервал…………………………. Нижний…………………………... Верхний………………………….. 4,5 0,2 4,3 4,7350 20 330 370Коэффициент …………

Шаг при ……………….1,2

,10,8

Номер опытаВид испытанияммн?с/кг1 2 3 4 5 6Начальная точка………….... Мысленный опыт………….. Реализованный…………….. Мысленный………………... Реализованный ……………. Реализованный…………….4,7 4,8 4,9 5,0 5,1 5,2370 375 380 385 390 395- - 2760 - 2920 3000- - 2620 - 2710 2640

В дальнейшем проведение реальных испытаний чередовалось с мысленными опытами. При подсчете предсказанных значений натуральные значения переводились в кодированные по формуле. Как видно из табл. 2.11, переход от условий испытаний № 5 к условиям испытания № 6 не обеспечивает приращения удельной тяги. Далее в точке (рис. 3.2) была проведена контрольная серия из четырех испытаний, которая подтвердила, что дальнейшие вариации и не ведут к увеличению .

Симплексный метод заключается в том, что испытания проводятся в точках факторного пространства, соответствующих вершинам симплексов. Под -мерным симплексом подразумевают выпуклую геометрическую фигуру, имеющую вершину, соединенные прямыми отрезками-ребрами. Одномерным симплексом будет отрезок прямой, двумерным - плоский треугольник, трехмерным - тетраэдр и т.д. При планировании испытаний обычно используют правильные симплексы, у которых вершины находятся друг от друга на одинаковом расстоянии. В отличие от крутого восхождения, при использовании симплексного метода процесс изучения поверхности отклика совмещается с движением к экстремуму. Схема поиска экстремума симплекс-методом при показана на рис. 2. Сначала проводится серия испытаний в вершинах правильного -мерного симплекса (точки ) с целью выявить точку, характеризующую условия, при которых получаются худшие результаты. Следующую серию испытаний проводят в вершинах нового симплекса, который получают заменой точки, соответствующей худшему результату (точка ), ее зеркальным отображением. Тем самым достигается смещение центра тяжести симплекса в направлении экстремума. В дальнейшем процедура повторяется, и образуется последовательность симплексов, перемещающихся в факторном пространстве в направлении к экстремуму. На близость экстремума указывает начинающееся вращение симплекса вокруг одной из его вершин.

Шаговое движение к экстремуму продолжается до тех пор, пока будет достигнута «почти стационарная область», которая не может быть описана линейной моделью, и где значимы совместные (квадратичные) эффекты воздействия.

Близость «почти стационарной области» можно установить, если провести серию испытаний в центре плана и определить значение выходного параметра . Вычисляемое для линейной модели значение при реализации ПФП или ДФП в «почти стационарной области» является совместной оценкой для свободного члена и суммы квадратов членов. Следовательно, разность дает представление о кривизне поверхности отклика.

«Почти стационарную область» в большинстве случаев с приемлемой точностью можно описать уравнением второго порядка


. (18)


Поскольку для отыскания раздельных оценок параметров число уровней должно быть на единицу больше степени полинома, число уровней должно быть не менее трех. Однако применение ПФП типа приведет к резкому возрастанию количества испытаний. Для сокращения можно использовать центральные композиционные планы (ЦКП). Ядро ЦКП составляют ПФП или ДФП: ПФП, если число факторов , и ДФП при . Это приводит к тому, что если после реализации ПФП (ДФП) гипотеза о линейности модели не подтвердилась, нет необходимости проводить испытания заново. Для получения модели второго порядка достаточно добавить к ПФП (ДФП) несколько специальным образом подобранных точек, в которых и провести дополнительную серию испытаний.

Пусть для получения линейной модели реализован ПФП . Согласно рис. 1,б экспериментальные точки лежат в вершинах куба. Если линейная модель неадекватна, то в план включается так называемых «звездных точек» с координатами , расположенных на сфере диаметром (рис. 3). Таким образом, каждая из точек плана лежит на координатных осях на расстоянии от центра плана, называемым звездным плечом . Центром плана является центральная точка прямоугольника, если число факторов , куба при , гиперкуба, когда . Наличие звездных точек, собственно, и задает центральный композиционный план.

Представление о положении звездных точек в факторном пространстве дают следующие примеры: при и ядре плана, образованном ПФП , величина звездного плеча ; если , а в ядре реализован ПФП , то ; при и ПФП . Общее число испытаний при реализации ЦКП


,


где - ядро плана, - число звездных точек; - количество испытаний, проводимых в центре плана.

Рис. 3. «Звездные точки» с координатами


Пример ЦКП, в котором сохранено свойство ортогональности, приведен в табл. 11. В этом плане , , .

Поскольку в ЦКП ортогональность обеспечивается, оценки коэффициентов получаются независимо. Однако дисперсии , как видно из приводимой расчетной зависимости, неодинаковы для разных коэффициентов:


; (19)

; . (20)


Таблица 11

Номер опытаНомер

опыта1---9002-+-10003+--11004++-12005--+13006-++14007+-+150008+++

При реализации такого плана, как видно из табл. 11, , в то время как для ПФП .

Адекватная модель второго порядка может использоваться для нахождения оптимального значения факторов (в частном случае оптимальных конструктивных параметров).

Необходимо отметить, что кроме рассмотренных известно большое количество других методов оптимального планирования испытаний, развитых в специальной дисциплине - теории планирования эксперимента. К настоящему времени накоплен значительный опыт их использования при испытании составных частей технических систем, главным образом, в процессе опытно-конструкторских работ; известны пути приложения методов для оптимизации испытаний отдельных элементов образцов техники. Во всех случаях условием успешного планирования является правильное сочетание цели испытаний с возможностями выбранного метода и учет характера самого изучаемого явления.

Вопросы для самопроверки к разделу 3

Как происходит оценка качества модели?

Какие свойства модели Вы знаете?

В чем цель методов стратегического планирования имитационных экспериментов?

Какие методы повышения качества оценок показателей эффективности Вы знаете?

Какие основные этапы в общем случае можно выделить при выборе стратегии испытания?

Что такое полные факторные планы испытаний?

Что такое дробные факторные планы испытаний?

Что является целью проверки воспроизводимости?

Раздел 4. Принятие решений по результатам моделирования

Введение

В данном разделе рассматриваются методы, используемые для принятия решений по результатам моделирования.

После изучения данного раздела рекомендуется ответить на вопросы для самопроверки и на вопросы теста 4.

В случае если ответы на какие-либо вопросы вызовут затруднение или неуверенность, рекомендуется прочитать учебное пособие Голик, Е.С. Системное моделирование. Ч.1. Имитационное моделирование. Факторный эксперимент: учебно-методический комплекс (учебное пособие) /Е.С. Голик, О.В. Афанасьева. - СПб.: Изд-во СЗТУ, 2007. - 211 с., (с. 184 - 191) и учебное пособие Мартыщенко, Л.А. Системное моделирование. Ч. II: учебное пособие /Л.А. Мартыщенко, Е.С. Голик, О.В. Афанасьева. - СПб.: Изд-во СЗТУ, 2008. - 102 с., (с. 5 - 88).

. Методы принятия решений по результатам испытаний

.1. Общая процедура принятия решений

Эффективность имитационных испытаний, в конечном счете, определяется правильностью принимаемых инженерных решений: принять образец в эксплуатацию или произвести доработку (продолжить испытания); забраковать испытанный образец или допустить его к эксплуатации и т. д. Принятию инженерного решения предшествует операция принятия статистического решения. Применение статистических методов позволяет оценить риск принятия того или иного инженерного решения, тем самым, поставив процесс принятия решения на научную основу. Содержание процесса принятия статистического решения составляет статистическая проверка гипотез - предположений о свойствах генеральной совокупности, которые могут быть проверены по данным выборки. Статистические гипотезы выдвигаются: относительно значений характеристик систем (случайных величин, и случайных функций) и относительно законов распределения параметров.

В первом случае решаются следующие основные задачи:

) проверка соответствия полученных в ходе испытаний значений характеристик заданным в ТЗ или ТУ;

) проверка соответствия между собой опытных значений, полученных в разных выборках.

Во втором случае:

) проверка правомерности аппроксимации эмпирического распределения теоретическим (принадлежность выборки к известной генеральной совокупности);

) проверка однородности распределений выборочных параметров (принадлежности двух или нескольких параметров к общей совокупности).

В дальнейшем исходную (нулевую, основную) гипотезу, выдвигаемую для проверки, будем обозначать , а альтернативную (конкурирующую) . Если гипотеза содержит только одно предположение, например , то она называется простой. Гипотезу, состоящую из множества (конечного или бесконечного) гипотез, называют сложной, например .

Рассмотрим последовательность решения задачи статистической проверки гипотез. На первом этапе уточняется задача исследования, после чего выбираются исходная гипотеза и одна или несколько альтернативных. Следующим этапом является выбор критерия проверки гипотез, под которым будем понимать свод правил, указывающих, при каких результатах наблюдений гипотеза отклоняется, а при каких принимается. Выбранному критерию соответствует статистика критерия - непрерывная случайная величина с известным законом распределения, функционально связанная с результатами испытаний. Статистику критерия обозначают в соответствии с видом закона распределения (, , , -критерий). Безотносительно к виду закона распределения статистику критерия обозначим .

При принятии статистического решения возможны четыре случая (табл. 1), определяемые содержание гипотез и (верна, неверна) и тем, какая из гипотез окажется принятой. Вероятность опровергнуть гипотезу , когда она верна (совершить ошибку первого рода), называют уровнем значимости , а вероятность - отвергнуть при условии ее ложности - мощностью критерия, -вероятность - принять гипотезу , когда справедлива гипотеза (совершить ошибку второго рода). Мощность критерия зависит от содержания . Наиболее мощным критерием простой гипотезы относительно простой альтернативы является критерий, для которого . Предпочтительно выбирать равномерно наиболее мощный критерий, который является наиболее мощным относительно любой альтернативной гипотезы.

Таблица 1

Заключение по гипотезе Гипотеза ВернаНеверна (верна )Принята (правильное решение) (ошибка второго рода, риск заказчика)Отвергнута (принята ) (ошибка первого рода, риск поставщика) (правильное решение)

Выбор уровня значимости приводит к тому, что множество значений разбивается на два непересекающихся подмножества: область допустимых значений и критическую область (рис. 1). Область допустимых значений включает совокупность значений , при которых принимается гипотеза . Совокупность значений при которых отвергается (принимается ), образует критическую область. Критическая область может быть односторонней (правосторонней, левосторонней) и двусторонней (симметричной и несимметричной). Точки, разделяющие области, называют критическими точками .

Принцип проверки статистических гипотез состоит в том, что если расчетное значение попадает в область допустимых значений, то принимают гипотезу . При попадании в критическую область отвергается и принимается гипотеза . Заметим, что принятие не означает, что доказана ее справедливость, а свидетельствует лишь о том, что результаты испытаний выборки не противоречат выдвинутым предположениям о свойствах объекта (генеральной совокупности). Необходимо иметь в виду, что продолжение испытаний может привести к иному заключению.

Рис. 1. Область допустимых значений и критическая область


Таким образом, правильное определение вида критической области и уровня значимости наряду с выбором статистики критерия; в основном, определяют достоверность статистического решения. В основе выбора лежит анализ последствий совершения ошибки первого или второго рода, поскольку одновременно уменьшить и невозможно. Для случая правосторонней критической области это иллюстрируется рис. 2. Если смещать вправо [не изменяя положения кривых ], то с уменьшением мощность критерия снижается. Если переместить влево, увеличивается, зато возрастает мощность критерия. Формализованные методы установления критической области основываются на том, что величины и связаны с объемом испытаний .


Рис. 2. Случай правосторонней критической области

Если выбрана, то при фиксированном можно руководствоваться критерием Неймана-Пирсона, в соответствии с которым из всех областей фиксированного уровня в качестве критической выбирается наиболее мощная (обеспечивающая максимум величины ). Увеличение (возрастание затрат на испытание) является единственным способом одновременного снижения и . Интуитивно значения выбираются в диапазоне . При проверке гипотез относительно технических характеристик ракет, агрегатов наземного оборудования, артиллерийских комплексов . Оценивая показатели качества (надежности, эффективности), область допустимых значений целесообразно расширить (). Более жесткие условия могут задаваться при проверке однородности характеристик контрольно-испытательной аппаратуры и свойств элементов, испытываемых в лабораторных условиях .

. Проверка гипотез о параметрах

Рассмотрим первую группу задач статистической проверки гипотез, обеспечивающих принятие решений о средних значениях параметров. Возможны две основные задачи: проверка соответствия математических ожиданий одноименных параметров (задача проверки однородности), проверка соответствия этих математических ожиданий требованиям ТТЗ (ТУ).

В первом случае

и ,

или

, .

Во втором случае

; ; ; .

С точки зрения выбора статистики критерия, в первой задаче исходим из того, что генеральные средние неизвестны, а во второй - известны. К числу других признаков относятся: сведения о в генеральной совокупности (известно, неизвестно; или ) и объеме испытаний ( или ; или ). Заменяя в записи выборочными средними , приведем наиболее часто используемые при проверке однородности двух совокупностей статистики критериев. Если известно, то применяется статистика

. (1)

Критическое значение находится из таблицы Приложения по величине .

Гипотеза принимается, если . Формула (1) применима и в том случае, если неизвестно, но обеспечена равная точность измерений и . При малом числе испытаний и неизвестном значении используется статистика -критерия:

, . (2)

Когда , , , применяется статистика

. (3)

При меньшем числе испытаний и используется статистика

, . (4)

Число степеней свободы определяется из условия . Этот вариант соответствует случаю, когда испытания проводятся в различных условиях или различными приборами (методами).

Из приведенных зависимостей видно, что для проверки гипотез о средних необходимо предварительно проверить стабильность условий испытаний (гипотезы о дисперсиях).

При проверке гипотез , если значение известно, вместо формулы (1) применяется

,

а если сведения о отсутствуют, то


, . (5)


Вопросы для самопроверки к разделу 4

Опишите общую процедуру принятия решений?

Что такое статистика критерия?

Как происходит проверка гипотезы о параметрах?

На чем основано принятие решений стабильности условий испытаний?

Как происходит подготовка исходных данных и проверка статистических гипотез?

За счет чего происходит сокращение размерности моделей больших систем?

Заключение

В свете реформы высшей школы в вузах нашей страны все большее внимание уделяется научно-исследовательской работе студентов (НИРС). Однако научное творчество невозможно без умело поставленных экспериментов и грамотной обработки их результатов, которая позволяет извлечь из проделанной работы максимум количественно выраженной информации.


.3 Учебное пособие


[3] Учебное пособие - Голик, Е.С. Системное моделирование. Ч.1. Имитационное моделирование. Факторный эксперимент: учебно-методический комплекс (учебное пособие) /Е.С. Голик, О.В. Афанасьева. - СПб.: Изд-во СЗТУ, 2007. - 211 с.


.4 Глоссарий


Адекватность - это степень соответствия модели тому реальному явлению, для описания которого строится модель.

Большая система - термин, широко используемый в период становления системных исследований для того, чтобы подчеркнуть принципиальные особенности объектов и проблем, требующих применения системного подхода.

Генерирующее соотношение - это соотношение, показывающее, с каким из эффектов смешан рассматриваемый эффект.

Задачи массового обслуживания - это задачи, возникающие при следующих условиях: а) имеется случайный и неуправляемый поток требований, нуждающихся в обслуживании; б) существуют потери, обусловленные ожиданием удовлетворения требований, отказом в обслуживании или простоем средств обслуживания.

Задачи управления запасами - задачи, связанные с проблемой запасов и требующие либо обоих, либо одного из двух следующих решений: а) сколько заказывать (производить или покупать) и б) когда заказывать.

Игровые модели - это модели, которые описывают задачи, возникающие при необходимости найти наиболее целесообразное решение при конфликтных ситуациях и в условиях неопределенности.

Идеальное (абстрактное) воспроизведение - это описание объекта определенными символами.

Имитационная модель - это алгоритмическое описание со всей доступной для исследования полнотой изучаемой системы и процесса ее функционирования.

Имитационное моделирование (от англ. simulation) - в широком смысле представляет собой целенаправленные серии многовариантных исследований, выполняемых на компьютере с применением математических моделей.

Кибернетика - термин, принятий для названия новой науки об управлении в живых организмах и машинах» Норбертом Винером, и получивший широкое распространение в середине ХХ века.

Классом задач называется такое множество задач, постановка, модель и алгоритм решения которых имеют общую структуру.

Методы планирования эксперимента - это математические методы отыскания целесообразных планов проведения экспериментов указанных типов и проведения расчетов с целью вычисления искомых оценок.

Модели без управления - это модели, которые являются описательными и не содержат управляемых параметров. Они математически описывают системы или процессы, изменение которых в основном определяется данным состоянием.

Моделирование - это научный метод исследования, основанный на наличии определенного соответствия (аналогии) между исследуемым объектом и другим вспомогательным объектом и позволяющий по результатам исследования второго объекта делать научные выводы о первом объекте.

Модификационными называются свойства моделей, определяющие удобство внесения изменений в модель (в случае необходимости, например, устранения ошибок в программе), простоту модификации модели при развитии и совершенствовании исследуемой системы или при переходе на другой уровень исследования (например, при повышении степени детализации математического описания).

Натурное моделирование - частный случай материального моделирования.

Определяющим контрастом называется символическое обозначение произведения столбцов.

Оптимизационные модели - это модели, содержащие управляемые параметры и позволяющие исследовать, как влияют на эффективность системы или операции изменения управляемых параметров, и найти оптимальные значения этих параметров (оптимальное решение).

Подсистемы - это системы низшего порядка по отношению к системе, в которую они входят.

Показатель системы - это количественная характеристика какого-либо свойства системы или процесса.

Система - термин, используемый в тех случаях, когда хотят охарактеризовать исследуемый или проектируемый объект как нечто целое (единое), сложно, о котором невозможно сразу дать представление, показав его, изобразив графически или описав математическим выражением (формулой, уравнением и т. п.).

Система (в общем случае) - это множество элементов вместе со связями между ними и их свойствами, объединенных общностью цели.

Системный анализ - это методология исследования любых объектов посредством представления их в виде систем.

Системный подход означает стремление изучить явление или объект с учетом его внутренних связей и внешних факторов, определяющих функционирование объекта, то есть стремление изучить его во всей диалектической сложности, вскрыв все внутренние противоречия.

Структура системы - это организация системы из отдельных элементов с их взаимосвязями, которые определяются целями системы и распределением функций между ее элементами.

Точность модели - это частный случай количественного выражения ее адекватности.

Целевыми называются свойства модели, характеризующие степень ее соответствия целям и задачам конкретного исследования.

Эквифинальность - одна из закономерностей функционирования и развития систем, характеризующая предельные возможности системы.

Эксплуатационными называются свойства моделей систем, определяющие удобство эксплуатации модели пользователем.

Элементы - это части системы, отражающие в каждом конкретном случае последний этап ее деления.

Эффективность системы - это степень ее приспособленности к выполнению стоящих перед ней задач или, другими словами, степень ее соответствия целевому назначению.


3.5 Технические средства обеспечения дисциплины


Компьютерная программа Mathcad Professional.

Компьютерная программа Statgraphics.


4. Блок контроля освоения дисциплины


.1 Задание на курсовую работу и методические указания к её выполнению


.1.1 Цель и выбор темы курсовой работы

Курсовая работа выполняется в течение семестра. Целью курсовой работы является приобретение студентами следующих навыков:

применять знания, полученные на лекциях и практических занятиях, для самостоятельной разработки модели процесса;

теоретически грамотно и логически последовательно излагать рассматриваемую проблему;

самостоятельно формулировать проблему, ставить задачу и разрабатывать обоснование предложений в сфере моделирования;

использовать математические методы исследования, повышающие репрезентативность и обоснованность самостоятельно сформулированных предложений.

Выполнение курсовой работы является одним из важных моментов подготовки бакалавра, поэтому целесообразно выбирать тему курсовой работы с учетом возможности ее дальнейшей разработки и использования в дипломной работе. Но даже если темы курсовой и дипломной работ будут различны, написание данной работы поможет студентам приобрести навыки увязки вопросов теории с практической деятельностью и опыт работы с литературой и статистическими данными.

Тема курсовой работы выбирается студентом по сумме двух последних цифр шифра студента на основе тематики, утвержденной кафедрой. Тема может быть выбрана и индивидуально, с учетом личного практического опыта студента, но в этом случае требуется ее согласование с научным руководителем. После выбора темы следует ознакомиться со всеми вопросами, связанными с ней, по программе курса и изучить методические пособия по этой дисциплине, а затем литературу, рекомендованную в учебной программе. Результатом этой работы должен стать предварительный вариант плана курсовой работы по выбранной теме. Затем предстоит самостоятельно расширить круг литературных источников, подобрать фактический материал и составить окончательный вариант плана курсовой работы, согласовав ее с научным руководителем. Окончательный вариант плана определяет содержание курсовой работы.


.1.2 Содержание курсовой работы

Курсовая работа состоит из введения, нескольких глав основной части, заключения, списка использованной литературы, в необходимых случаях имеет приложения. Общий объем курсовой работы - 30-40 страниц рукописного или 20 страниц машинописного (компьютерного) текста.

Во введении на 2-3 страницах обосновывается актуальность выбранной темы, формулируются цель и задачи исследования, раскрывается структура работы, определяются ее основные этапы, информационная база, объект и методика исследования.

В теоретической главе курсовой работы следует проследить развитие избранной проблемы, особое внимание, уделяя специальной литературе. В этой главе должно быть отражено современное понимание рассматриваемого вопроса, при этом характер изложения не должен быть сугубо описательным. Следует обратить внимание на расхождения в трактовках вопроса, даваемых разными авторами, и на основе критического обзора имеющихся точек зрения обосновать и изложить собственную позицию по данному вопросу. Не следует воспроизводить в работе литературные источники без оформления сносок на цитаты и цифровые данные.

Аналитическая глава должна содержать исследование проблемы и основываться на достоверной и полной информации об исследуемом предмете, содержащейся в статистической отчетности, данных оперативного и бухгалтерского учета и других рабочих документах фирмы, на базе которой осуществляется анализ. В этой главе следует обозначить рамки анализа, выявить тенденции в развитии изучаемых процессов, недостатки и отклонения от требований, предъявляемых на современном этапе к деятельности коммерческих фирм. Задача анализа не сводится только к выявлению недостатков, необходимо отражение и положительных сторон, что позволит представить рассматриваемые явления во всем их многообразии и всеобщей связи. При подготовке этой главы следует полнее использовать знания, приобретенные при изучении таких научных дисциплин, как математическая статистика и математические методы системного анализа. Применение всех современных способов и приемов анализа позволит провести правильное, грамотное изучение темы курсовой работы и сделать логически обоснованные выводы, дать предложения и практические рекомендации.

В заключительной главе (такая обязательно должна быть) намечаются основные направления и перспективы решения проблемы.

И наконец, в заключение на 2-3 страницах кратко, но аргументировано излагаются основные выводы, полученные в ходе анализа проблемы, и предложения, направленные на совершенствование существующей практики, а также дается оценка степени выполнения поставленной задачи.

Список литературы включает источники и литературу, которыми пользовался автор при написании курсовой работы. В приложениях помещаются материалы, использование которых в тексте работы неудобно из-за того, что они занимают большой объем (схемы, таблицы, алгоритмы, компьютерные программы решения задач и пр.), а также вспомогательные материалы и промежуточные расчеты. Таблицы, данные которых являются основным материалом для раскрытия темы курсовой работы, помещаются в тексте в соответствии с логикой изложения и должны быть тщательно проанализированы в основной части работы.

4.1.3 Оформление курсовой работы

Изложение всех вопросов в курсовой работе должно быть самостоятельным, последовательным, взаимосвязанным и строго выдержанным в соответствии с названиями глав, указанными в содержании. Изложение не следует перегружать общеизвестными положениями, обилием формул, изложением многочисленных инструкций. Приводимые в тексте цитаты должны точно соответствовать оригиналу; они заключаются в кавычки, и дается ссылка на первоисточник. При изложении материала необходимо правильно использовать экономическую терминологию, придерживаться официальной стилистики, не допускать произвольных сокращений.

Курсовую работу следует писать на отдельных сброшюрованных листах белой бумаги стандартного размера (210 х 297 мм) с одной стороны. Страницы нумеруются арабскими цифрами, номер страницы ставится в верхнем правом углу без знаков препинания. Первой страницей считается титульный лист, но на нем номер страницы не ставится. Титульный лист должен содержать такие данные, как наименование учебного заведения, название темы курсовой работы, фамилия и инициалы студента и руководителя и т. д.

Страницы нумеруются, начиная со второй, на которой приводится содержание курсовой работы с указанием страниц начала глав и параграфов (при их наличии).

Разделы курсовой работы должны иметь порядковую нумерацию, за исключением введения и заключения. Глава обозначается одной цифрой с точкой, номер параграфа состоит из двух цифр, первая из которых является номером главы, а вторая - номером параграфа. В тексте работы на страницах оставляются поля следующих размеров: слева - 30-35 мм, справа - 10-15 мм, сверху и снизу - 30-35 мм. В начале каждой главы или параграфа указывается их название; каждую главу необходимо начинать с новой страницы.

Если в работе имеются наглядные материалы (схемы, графики, диаграммы, чертежи), то они оформляются на отдельных страницах и обозначаются «Рис.»; название приводится под рисунком. Рисунки помещаются в соответствии с логикой изложения и нумеруются последовательно арабскими цифрами в пределах каждой главы (например, первый рисунок в первой главе будет обозначен: Рис. 1.1). Таблицы нумеруются также арабскими цифрами в пределах главы (например, первая таблица второй главы имеет обозначение: Табл. 2.1). Заголовок таблицы должен отражать ее содержание.


Теги: Образовательный стандарт дисциплины "Системное моделирование"  Методичка  Педагогика
Просмотров: 17307
Найти в Wikkipedia статьи с фразой: Образовательный стандарт дисциплины "Системное моделирование"
Назад