"Приближенные вычисления" – разработка факультативного курса и проектирование творческой задачи для 7-8 классов


Приближенные вычисления - разработка факультативного курса и проектирование творческой задачи для 7-8 классов

(Дипломная работа)


Оглавление


Введение

Глава 1. Приближенные вычисления в математике и школьной программе

. Математические задачи, приводящие к необходимости развития аппарата приближенных вычислений

. Тема Приближенные вычисления в школьной математике

. Понятия, связанные с приближенными вычислениями

. Анализ содержания школьных учебников

. Приближенные вычисления в школьной математике и их возможное место

Глава 2. Факультативный курс Приближенные вычисления для 7-8 классов

. Факультативные курсы как формы дополнительного образования школьников

. Цели, задачи, структура факультативного курса

. Описание содержания курса

. Апробация курса анализ результатов

Глава 3. Творческая работа как форма дополнительного образования школьников

. Творческая деятельность и математическое творчество

. Изучение скорости сходимости разных методов при решении квадратных уравнений - тема творческой работы

Заключение

Литература

Приложения


Введение


В школьной программе наиболее полно представлены понятия числа, функции. Приближенные вычисления затрагиваются намного меньше, для изучения предлагаются, главным образом, только два алгоритма: округление и нахождение погрешности. Необходимость изучения приближенных вычислений подчеркивал Брадис В.М. [8]: … отсутствие в школьных программах специального раздела, посвященного приближенным вычислениям, является серьезным дефектом этих программ, весьма неблагоприятно сказывающимся на математической культуре молодежи, оканчивающей среднюю школу. Школьникам тема представлена как вспомогательная, не важная, не представляющая интереса для изучения. Существует проблема: приближенные вычисления - самостоятельное и очень интересное направление в математике - не представлено учащимся. Расширить представления школьников об этой области математики, показать, что приближенные вычисления являются отдельным направлением, обогатить исследовательский опыт учащихся возможно в рамках дополнительных образовательных форм, например, в форме факультативного курса. Поэтому целью дипломной работы является разработка факультативного курса и выявление учебно-исследовательских задач на материале приближенных вычислений.

Для достижения цели решались следующие задачи:

-Определение места приближенных вычислений в математике и школьной программе. Для этого был проделан анализ методической литературы, анализ научной литературы, посвященной этим вопросам, анализ школьных учебников.

-Подбор материал к факультативному курсу.

Выделение исследовательских задач, выводящих учеников на понятия, связанные с приближенными вычислениями.

Изучение возможности введения материала в форме учебно-исследовательской задачи.

Дипломная работа состоит из трех глав, введения, заключения, списка литературы из 29 наименований и пяти приложений.

В первой главе мы определяем, какое место приближенные вычисления занимают в школьной программе и в математике как науке. В результате проделанного анализа научной и методической литературы, были найдены направления, в которых без приближенных вычислений обойтись практически невозможно:

)нахождение численного решения прикладных задач (например, изучение явлений природы);

2)приближенное нахождение иррациональных чисел; нахождение решений алгебраических и трансцендентных уравнений;

)приближенные формулы;

)приближение функции.

В результате анализа учебной литературы было выяснено, что эти направления в школьной программе не представлены. Существует несоответствие представления приближенных вычислений в школьной программе с той ролью, которую они играют как в теоретической, так и в прикладной математике. В школе дети учат два алгоритма (округление и нахождение погрешности), основное содержание приближенных вычислений не рассматривается. Мы обнаружили связь теоретической математики со школьной программой. Приближенное решение уравнений, в частности, квадратных, может вывести учеников на понятия приближенных вычислений, открыть для них новую область знаний.

Вторая глава посвящена разработке факультативного курса. К задачам факультативного курса относятся:

1.Расширение представлений учащихся о математике.

2.Создание условий школьникам для проведения самостоятельного учебного исследования.

Чтобы разработать факультативный курс был проанализирован материал, из научных задач отобраны подходящие для школьников, выбран адекватный возраст. Факультативный курс ориентирован на школьников 7 - 8 классов. Выбор возраста объясняется особенностью школьной программы.

Разработанный факультативный курс состоит из двух блоков.

В первом блоке изучаются базовые понятия, выделенные в результате анализа учебной литературы. Базовые понятия вводятся на основе логики введения понятий приближенных вычислений, разработанной Ковалевой С. А. [15]. Во втором блоке предлагаются учебно-исследовательские задачи:

- Погрешность суммы и разности. Накопление погрешности при предварительном округлении. Ученикам предлагается несколько примеров с несколькими знаками после запятой. В задании нужно найти сумму и разность с точностью до десятых двумя способами, а после сравнить полученные результаты. Учащимся предлагается обсудить свои способы решения (возможны два способа). При нахождении значения первым способом нужно сначала округлить слагаемые до десятых, а потом сложить или отнять. При нахождении значения вторым способом сначала складывают или отнимают, а потом округляют до десятых. В результате получаются разные ответы. Возникает вопрос, почему так произошло. Проанализировав каждое округление, ученики должны прийти к выводу, что произошло накопление погрешности.

Погрешность произведения. В задаче нужно произвести измерения, найти погрешность каждого измерения, а затем погрешность произведения. Далее нужно найти погрешность произведения не находя погрешности каждого измерения. В результате нужно прийти к формуле для нахождения погрешности произведения.

-Приближенное решение уравнений. Предлагается решить квадратное уравнение разными методами: подбора, последовательных приближений, половинного деления отрезка. В задаче формулируются проблемы. Какой из методов: подбора или последовательных приближений, наиболее эффективен? Какой из методов: подбора, последовательных приближений, половинного деления, наиболее эффективен? Любое ли уравнение можно решить методом последовательных приближений? Для каких уравнений метод работает?

Факультативный курс был опробован в лицее № 3 г. Красноярска, в 7 классе, в течение трех месяцев.

У разработчиков курса возникла гипотеза, что темами творческих работ могут быть исследовательские задачи из приближенных вычислений. Третья глава посвящена творческой задаче. Здесь приведен опыт написания творческой работы по теме: Изучение скорости сходимости разных методов при решении квадратных уравнений. В работе из нескольких способов для приближенного нахождения корней квадратного уравнения был выделен наиболее эффективный. Затем было обнаружено, что способ работает не для всех уравнений, после было найдено условие, при соблюдении которого способ работает. Работа была выполнена в рамках Школы молодого ученого при Гимназии № 1 Универс, защищена на школьной конференции. В работе была отмечена грамотность проделанного исследования.

Таким образом, ряд задач связанных с приближенными вычислениями, можно вводить в рамках факультативных курсов и предлагать в качестве тем творческих работ, что позволит расширить представление учащихся и откроет новую область для исследования.


Глава 1. Приближенные вычисления в математике и школьной программе


1. Математические задачи, приводящие к необходимости развития аппарата приближенных вычислений


Чтобы понять роль приближенных вычислений в школьной математике познакомимся с их ролью в науке. Подчеркнем важность и широкое применение приближенных вычислений.

В ходе анализа следующей [6, 13, 16, 17, 19, 29] литературы нами были выделены ряд направлений, с которыми связана необходимость приближенных вычислений.

1)нахождение численного решения прикладных задач (например, изучение явлений природы), [6];

2)приближенное нахождение иррациональных чисел; нахождение решений алгебраических и трансцендентных уравнений, [13, 16, 19, 29];

)приближенные формулы, [17];

)приближение функции, [13, 17].

Остановимся на каждом направлении подробнее.

1. Нахождение численного решения прикладных задач

При нахождении численного решения прикладных задач (напр., изучение явлений природы, получение их математического описания, т. е. математической модели явления и его исследования) нельзя обойтись без приближенных вычислений. Анализ усложненных моделей требует создания специальных, численных методов решения задач. Необходимо знание, насколько тот или иной метод точен, а для этого нужно обратиться к приближенным вычислениям.

2. Нахождение решений алгебраических и трансцендентных уравнений

Приближенное нахождение значений иррациональных чисел, нахождение решения алгебраических и трансцендентных уравнений - это задача теории чисел. При решении этой задачи необходимо оценивать точность приближения, в результате развивается аппарат, связанный с погрешностью.

Умение оперировать с приближенными числами дает возможность для приближенного решения уравнений (алгебраических и трансцендентных). В пособии [27, с. 78] алгебраическим называют комплексное или действительное число x0, удовлетворяющее уравнению вида


,


где числа a0, a1, …, an целые, и не все равны нулю, а n - натуральное. Всякое действительное или комплексное число, не являющееся алгебраическим, называется трансцендентным.

При нахождении решений алгебраических и трансцендентных уравнений решается две общих задачи:

) получить метод, дающий возможность улучшить приближения;

) получить приближенное решение с заранее заданной степенью точности.

В [13] различают методы для нахождения приближенных корней алгебраических и трансцендентных уравнений.

Нахождение корней алгебраического уравнения

Для приближенного нахождения корней алгебраического уравнения нужно по правилу Декарта определить число положительных и отрицательных корней, после отделить их. Отделив корень, мы получаем возможность, в качестве его приближенного значения взять любое число из выделенного отрезка.

Отделение действительных корней уравнения F(x) = 0 очень удобно производить графически. Значения действительных корней уравнения F(x) = 0 являются абсциссами точек пересечения графика функции y = f(x) с осью Ox. Чтобы указать отрезки, заключающие только по одному корню уравнения, не требуется особой точности.

Для улучшения приближения корней алгебраического уравнения используют четыре способа:

Способ 1. Способ Ньютона (способ касательных).

В этом способе приближенное значение действительного корня улучшается по формуле


= - .


Корень необходимо отделить, т. е. определить отрезок [a,b], в котором находится единственный действительный корень. За первое приближение корня следует взять значение того конца этого отрезка, на котором знак функции совпадает со знаком ее второй производной.

Например, найдем корень уравнения х2 - х - 1 = 0. Действительный корень находится на отрезке [2, 3].


= 3 - ;

= 2; - ;

= 5/3.


Способ 2.Способ линейной интерполяции (способ хорд).

Для вычисления (n + 1) - го приближения корня пользуются формулой

=


Заметим, что хn и хi - значения, между которыми находится искомый корень. За первое приближение корня можно принять значение любого из концов отрезка, на котором находится отделенный корень.

Способ 3. Служит для определения приближенного значения наибольшего и наименьшего по абсолютной величине корня алгебраического уравнения.

Если дано уравнение , то простой, наибольший по абсолютной величине корень можно приближенно найти из уравнения . Приближенное значение меньшего по абсолютной величине корня можно найти из уравнения .

Например,.

) - 1 = 0, = 1 приближенный больший по абсолютной величине корень.

) -- 1 = 0, = - 1 приближенный меньший по абсолютной величине корень.

Способ 4. В уравнении отбираем три последних члена и решаем квадратное уравнение .

Корни уравнения действительны, тогда решаем уравнение и за первое приближение корня берем = .

Левую часть уравнения делим на . Деление проводим по схеме Горнера. Деление проводим до тех пор, пока не останется двучлен вида:, который не делится без остатка на. . Из уравнения находим второе приближение корня = - .Левую часть уравнения делим на по схеме Горнера и получаем остаток в виде и т. д.

Обычно этот процесс приводит к ряду значений,…, приближающихся к искомому корню. После того, как мы остановились на некотором приближении корня и приняли его за искомое значение корня, разделим левую часть уравнения на . Получится многочлен степени на единицу меньшей, чем левая часть данного уравнения. Приравниваем этот многочлен нулю и с полученным новым уравнением поступаем, как было описано выше.

При решении алгебраических уравнений используют также методы последовательных приближений (итерационный метод) [13] и половинного деления отрезка [16, 29].

Метод последовательных приближений

Для того чтобы использовать метод последовательных приближений, уравнение нужно преобразовать к виду , где y(х)=х, j(х)=f(x). Подставляя последовательно в значения , находим - -е приближение к корню уравнения.

Заметим, что если последовательность х0, х1, х2, …, хn, … сходится, т.е. иметь предел, то этот предел будет корнем уравнения.

Например, решим уравнение х2 - х - 1 = 0


х = 1 + 1/х j(х) = 1 + 1/х.


х0 = 2 первое приближение корня;

х1 = 1,5 второе приближение корня;

х2 = 1третье приближение корня; и т. д.

Половинного деления отрезка

Представим уравнение F(x) = 0 в виде y(х) = j(х);

1.Построим графики у = y(х) и у = j(х);

2.Значение х точки пересечения графиков будет являться корнем уравнения.

.Выберем отрезок [а, b], содержащий точку пересечения.

.Отрезок [a, b] делим на две части точкой z1 = (a+b)/2;

.Если F(z1) = 0 то z1 - искомый корень. Если F(z1) ¹ 0, то из двух отрезков [a,z1] и [z1,b] выберем тот, для которого значение функции f(x) на его концах имеет разные знаки, и обозначим его через [a1,b1]. Если теперь взять точку z2=(a1+b1)/2 то снова или F(z2) = 0 или F(z2) ¹ 0 и т.д.

Например,


х2 - х - 1 = 0.

x = 1 + 1/х.


Точка пересечения графиков расположена на отрезке [2, 3].

Отрезок [1; 2] содержит точку пересечения графиков.


1)z1 = (1 +2)/2 = 1.5;


Получили два отрезка: [1; 1.5] и [1.5; 2].

Для отрезка [1.5; 2] значения функции имеют разные знаки. В самом деле,


- 1 - 1 = -1;

.52 - 1.5 - 1 = -0.25;

- 2 - 1 = 1;

) z2 = (1.5 + 2)/2 = 1.75;


Получили два отрезка: [1.5; 1.75] и [1.75; 2].

Для отрезка [1.5; 1.75] значения функции имеют разные знаки. В самом деле,


.52 - 1.5 - 1 = -0.25;

.752 - 1.75 - 1 = 0.3125;

- 2 - 1 = 1.


Таким образом, корень расположен на промежутке [1.5; 1.75]. Продолжая процесс можно найти корень с некоторой заданной степенью точности.

Нахождение корней трансцендентных уравнений

При решении трансцендентных уравнений необходимо уравнение F(х) = 0 представить в виде j(х) = y(х). После используют два способа приближенного решения уравнений:

1)Графическое решение.

Строят графики кривых у = j(х) и у = y(х); абсциссы точек пересечения кривых будут искомыми корнями данного уравнения. Далее пользуются методами для нахождения корней алгебраических уравнений.

2) Итерационный метод.

Пусть х = j(х) и y(х) = j(х).

а) графически или методом проб находят первое приближение корня

х = х0, х0 = первое приближение корня.

б) в правую часть уравнения х = j(х) подставим х0 и тогда х1 = j(х).

х1 - второе приближение корня.

в) подставляем в правую часть уравнения х = j(х) значение х1 вместо

х, х2 = j(х1), х2 - третье приближение корня.

г) таким образом, приближения получаются по следующей схеме:


х1 = j(х0);

х2 = j(х1);

х3 = j(х2);

х4 = j(х3) и т.д.


Важно отметить, что трансцендентное число можно представить при помощи числового ряда. Так, например в энциклопедии [29], сумма ряда 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - … равна Õ/4; сумма ряда 1/12 +1/22 + 1/32 + ¼2 + … равна Õ2/6. Эти суммы дают возможность приближенно вычислить число Õ с любой, наперед заданной, степенью точности (если взять достаточно много членов ряда). Точность будем определять, пользуясь понятиями верных и значащих цифр.

3. Приближенные формулы

Существует еще один раздел, тесно связанный с приближенными вычислениями - приближенные формулы. В энциклопедии [17, с.489] приближенная формула определяется как формула f(х)»f*(х), получаемая из формулы вида f(х) = f*(х) + e(х), где e(х) рассматривается как погрешность и после оценки отбрасывается. Приближенные формулы позволяют при вычислении с приближенными числами быстро найти приближенный ответ. Приведем несколько наиболее употребительных приближенных формул, причем отметим, при каких ограничениях на |х| формула будет давать k точных десятичных знаков.



В приложении 1 к данной дипломной работе представлены графики функций, позволяющие увидеть, насколько близки друг к другу точные и приближенные корни уравнений.

В учебнике Башмакова М. И. [7] представлены формулы для приближенных вычислений значений функции


f(x) - y0 » f/(x0)Dx; y » y0 + dy; у » у0 + f/(x0)(x - x0).


Применяя вышеперечисленные формулы можно построить несколько приближенных формул.

Дана степенная функция у = хn. Зафиксируем точку х0 и применим формулу: (х0 + Dх)n » х0n + nx0n-1Dх.

Дана функция у = .

Получаем приближенную формулу: » - .

4. Приближение функции

В БЭС [17, с. 487] приближение функций определяется как нахождение для данной функции f функции g из некоторого определенного класса, в том или ином смысле близкой к f, дающей ее приближенное представление. Задача о приближении функции - это задача о замене одних функций другими функциями. Эта задача постоянно возникает как в математике, так и в ее приложениях, т. к. существуют теоретические и прикладные потребности в ее решении.

Теоретические:

приближение функций является одним из мощных средств исследования свойств самих функций. Существует раздел комплексного анализа - приближение функций комплексного переменного - изучающий вопросы приближенного представления функций комплексного переменного посредством аналитических функций специальных классов. В БЭС [17, с. 489] отмечено, что теория приближений тесно связана с другими разделами комплексного анализа (теорией конформных отображений, интегральными представлениями). Многие теоремы, формулируемые в терминах теории приближений, являются, по существу, глубокими результатами о свойствах аналитических функций и природе аналитичности.

Прикладные:

появляется потребность заменять сложные функции более простыми; такая задача возникает, например, когда необходимо вычислять значения функции.

-требуется заменить данную функцию приближающей функцией, принадлежащей заданному семейству функций, определяемому физическими условиями задачи.

-закон изменения исследуемой функции известен лишь с некоторой погрешностью, то на основании этих сведений можно определить функцию только приближенно; таково происхождение так называемых эмпирических формул непосредственно связанных с обработкой результатов наблюдений.

В энциклопедии [19, с. 415] описаны шаги, на которые распадается фактическое решение каждой задачи о приближении функций.

1)Выбор средства приближения, т. е. выбор того семейства функций, с помощью которого будет осуществляться приближение заданной функции. Заметим, что классическим средством приближения функций являются алгебраические многочлены фиксированной степени n, рациональные дроби , где многочлены соответственно степеней n и m, тригонометрические полиномы заданного порядка n. Вообще в качестве средств приближения обычно выбирают полиномы вида , где -заданные функции.

2)Выбор способа измерения уклонения от заданной функции до приближающей функции, т. е. выбор способа судить о том, когда приближающая функция близка к заданной. Способ измерения уклонения определяется заданием меры уклонения приближающей функции от данной , то есть числом, которое характеризует это уклонение. Выделяют следующие меры уклонения:

-Если важно, чтобы приближающая функция на целом отрезке [a, b] равномерно мало отличалась от заданной функции:



Если важно, чтобы приближающая функция лишь в среднем мало отличалась от заданной, и допустимо, чтобы существовали весьма короткие отрезки, на которых отклонение достигает значительной величины:



-Если важны не сами значения функции , а требуется узнать приближенную величину интеграла от этой функции:



3)Выбор метода приближения, т. е. выбор такого правила, согласно которому из семейства приближающих функций выделяется одна приближающая функция. Заметим, что выделяют следующие методы:

-Интерполирование;

-Наилучшие методы приближения;

Суммы Фурье;

Частичные суммы рядов.

4)Фактическое построение этой приближающей функции. (Трудность построения приближающей функции зависит от выбранного метода приближения).

5)Оценка погрешности, возникающей от замены заданной функции приближающей ее функцией. (Алгебраические многочлены на любом конечном отрезке [a, b] и система тригонометрических функций относительно всех непрерывных периодических функций обладают свойством: погрешность приближения можно сделать сколь угодно малой, выбрав число параметров, от которых зависит семейство приближающих функций, достаточно большим).

Таким образом, важно развитие аппарата приближенных вычислений для прикладных и теоретических задач математики. В работе было выделено четыре направления, в которых не обойтись без приближенных вычислений. Из этих направлений для школьников недоступно приближение функции, так как здесь используется много новых понятий. Однако, приближенное решение уравнений для школьников вполне доступно, этот теоретический материал связан со школьной программой.


2. Тема Приближенные вычисления в школьной математике


1. Понятия, связанные с приближенными вычислениями

В настоящем пункте перечислим понятия теории приближенных вычислений, с которыми знакомятся школьники с 1 по 11 класс.

Приближение. В справочной литературе можно встретить несколько формулировок.

1)Так, в энциклопедиях [17, с.487] и [19, с.316] рассматривается более широкое понятие - апроксимация - замена одних математических объектов другими, в том или ином смысле близкими к исходным. Апроксимация позволяет исследовать числовые характеристики и качественные свойства объекта, сводя задачу к изучению более простых или более удобных объектов (таких, характеристики которых легко вычисляются или свойства которых уже известны).

2)В энциклопедии [8, с.20] также рассматривается приближение с недостатком и с избытком.

)В энциклопедии [19, с.249] приближение рассматривается как замена числа, а мало отличающимся от него числом а* - его приближением.

Обобщив имеющиеся формулировки, будем понимать приближение как замену одних математических объектов другими, в том или ином смысле близкими к исходным.

Если приближенное значение меньше точного, то это приближенное значение по недостатку, если больше - то по избытку. Термин приближение будем использовать в смысле приближенного значения величины.

Округление. Округление числа будем понимать как приближенное представление числа в десятичной (или иной, например двоичной) системе счисления с помощью конечного числа разрядов. Такое определение представлено в энциклопедии [19, с.238]. Здесь же сказано о приближении с округлением, но четкой формулировки нет. В методической литературе определение термина округления не предлагается, этот термин объясняется через правила округления. В литературе встречаются три вида правил:

1)формальный алгоритм округления, [8, 11, 12];

2)правила округления целых чисел и десятичных дробей, [22];

)правило четной цифры, [19, 8, 11, 12].

В приложении 2 к данной работе приведены формулировки правил.

Разные формулировки правил означают одно и то же. В учебниках используется, главным образом, формальный алгоритм округления.

Погрешность. В справочной литературе рассматриваются разные погрешности. Для определения погрешности важно знать об источниках ее возникновения. В источнике [6, с.17] выделены следующие причины возникновения погрешностей при решении задач:

1)математическое описание задачи является неточным, в частности неточно заданы исходные данные описания;

2)применяемый для решения метод часто не является точным: получение точного решения возникающей математической задачи требует неограниченного или неприемлемо большого числа арифметических операций; поэтому вместо точного решения задачи приходится прибегать к приближенному;

)при выполнении арифметических операций производятся округления.

4)Разработана типология погрешностей в соответствии с причинами, т. е. выделяют три типа погрешности.

Типы погрешности, соответствующие этим причинам:

1)неустранимая погрешность - это погрешность, являющаяся следствием неточности задания числовых данных, входящих в математическое описание задачи;

2)погрешность математической модели - это погрешность, являющаяся следствием несоответствия математического описания задачи реальности;

)погрешность метода;

)вычислительная погрешность.

Введем формальные определения.

Пусть

I - точное значение отыскиваемого параметра,

I* - значение этого параметра, соответствующее принятому математическому описанию,

I*h - решение задачи, получаемое при реализации численного метода в предположении отсутствия округлений,

I*h* - приближение к решению задачи, получаемое при реальных вычислениях.

Тогда

r1=I* - I неустранимая погрешность,

r2=I*h - I* погрешность метода,

r3=I*h* - I*h вычислительная погрешность,

r0=I*h* - I полная погрешность.

Полная погрешность удовлетворяет равенству r0 = r1 + r2 + r3.

Во многих случаях под термином погрешность того или иного вида понимают не рассмотренные выше разности между приближениями, а некоторые меры близости между ними. Например:

r0=|I*h* - I|

r1=|I* - I|

r2=|I*h - I*|

r3=|I*h* - I*h|


При таких обозначениях получаем r0 £ r1 + r2 + r3.

Выделим следующие группы погрешностей:

) Погрешность измерения и погрешность приближения.

В некоторых источниках [25, с.142] под погрешностью измерения понимают разность х - а, где х - истинное значение измеряемой величины, а - результат измерения. Под погрешностью приближения понимают разность между числом х и его приближенными значениями. Например, приближенные значения числа P.

) Погрешности абсолютная, относительная и предельная.

Итак, в [15, с.13] сказано, что абсолютная погрешность - модуль разности |х - а|, где а - данное число, которое рассматривается как приближенное значение некоторой величины, точное значение которой равно х.

Под относительной погрешностью будем понимать отношение абсолютной погрешности приближенного числа к самому этому числу.

В справочнике [11, с. 95] дается понятие предельной погрешности.

Число, заведомо превышающее абсолютную погрешность (или в худшем случае равное ей), называется предельной абсолютной погрешностью. Число, заведомо превышающее относительную погрешность (или в худшем случае равное ей), называется предельной относительной погрешностью.

) Погрешности, возникающие в результате арифметических операций над числами.

Отметим погрешности произведения, суммы и разности, частного.

В справочнике [11, с.98 - 100] сказано, что предельная абсолютная погрешность суммы равна сумме предельных абсолютных погрешностей отдельных слагаемых. При значительном числе слагаемых обычно происходит взаимная компенсация погрешностей; поэтому истинная погрешность суммы лишь в исключительных случаях совпадает с предельной погрешностью или близка к ней.

Предельная абсолютная погрешность разности равна сумме предельных абсолютных погрешностей уменьшаемого и вычитаемого.

Предельная относительная погрешность суммы лежит между наименьшей и наибольшей из относительных погрешностей слагаемых. Если все слагаемые имеют одну и ту же (или примерно одну и ту же) предельную относительную погрешность, то и сумма имеет ту же (или примерно ту же) предельную относительную погрешность. Т.е. точность суммы не уступает точности слагаемых. При значительном же числе слагаемых сумма, как правило, гораздо точнее слагаемых.

Разность приближенных чисел может быть менее точной, чем уменьшаемое и вычитаемое. Потеря точности особенно велика в том случае, когда уменьшаемое и вычитаемое мало отличаются друг от друга.

Здесь же в [11, с.100] о погрешности произведения сказано: предельная относительная погрешность произведения приближенно равна сумме предельных относительных погрешностей сомножителей. Правило для двух сомножителей запишется так: d »d1 + d2. Точное же выражение d будет: d = d1 + d2 + d1d2, т. е. предельная относительная погрешность произведения всегда больше, чем сумма предельных относительных погрешностей сомножителей; она превышает эту сумму на произведение относительных погрешностей сомножителей. Это превышение обычно так невелико, что его не приходится учитывать.

Погрешность частного в [11, с.106 - 107] находится двумя способами:

1)Предельная относительная погрешность частного приближенно равна сумме предельных относительных погрешностей делимого и делителя.

2)Пусть делимое и делитель имеют каждое по k значащих цифр. Тогда абсолютная погрешность частного в худшем случае близка к 1,05 единицы (k - 1) - го знака (этого значения она никогда не достигает).

Границы абсолютной и относительной погрешностей. В работе [15, с.13-14] даны следующие определения:

Граница абсолютной погрешности - это число D(а) такое, что |х - а|£D(а).

Граница относительной погрешности - это число d(а) такое, что |(х - а)/а|£d(а).

Высшая и низшая границы точного значения.

Высшая граница х: (ВГ х): g = а + Dа.

Низшая граница х: (НГ х): p = а - Dа.

При нахождении значения с заданной точностью, при нахождении погрешности, связанной с арифметическими операциями над числами важны понятия верных и значащих цифр. В [16, с.24] представлено следующее определение верных цифр: верными называют цифры, если представленный ими результат имеет погрешность не более ½ младшего разряда. В справочнике [11, с.93] значащими называют все верные цифры числа, кроме нулей, стоящих впереди числа. Верные и значащие цифры обозначают разное. Приведем пример. Так, если х = 20,024 и это значение имеет три верных цифры, то можно считать, что 19,95 < х < 20,05.

Большинство этих понятий встречается и в школьной программе.

2. Анализ содержания школьных учебников

Чтобы определить роль темы Приближенные вычисления в школьной программе было проанализировано по три учебника для 5 и 8 классов, а также просмотрены учебники для других классов, чтобы найти применение приближенных вычислений. Применение было обнаружено в учебнике для 11 класса.

Учебник для пятого класса [18]

Тема Округление чисел.

Используются понятия округления числа до единиц и приближенное значение с избытком.

Новый материал вводится на примере задачи: Сколько банок краски надо купить для того, чтобы покрасить пол в квартире площадью 148 м2, если известно, что на 10 м2 пола нужна 1 банка краски? При помощи задачи автор хотел подчеркнуть необходимость округления. Но задача подобрана неудачно, так как с практической точки зрения в ней возможно округление лишь к большему числу, независимо от правил округления.

Представлено два способа округления и вводится понятие округления числа до единиц.

Способы вводятся на частном примере, понятия округления тоже. Замену числа 14,8 приближенным значением 15 называют округлением этого числа до единиц (про округление других чисел вообще ничего не сказано). Приведено два примера округления и выделен особый случай.

Особый случай - это 14,5 одинаково удаленное от 14 и от 15. Принято приближенное значение с избытком, равное 15. Ранее про приближенные значения с избытком ничего не сказано. Используется понятие, которое не было введено. Кроме того, при объяснении оперировали числами 14 и 15; нет ссылки, что можно округлять и до другого числа. В заключении приводится правило округления и примеры на его применение. В примерах же вводится знак приближенно равно.

В результате анализа было выявлено, что:

-про приближение с недостатком вообще ничего не сказано;

-про приближение с избытком говорится вскользь;

округляются только десятичные дроби, про округление целых чисел ничего не сказано;

используется слово ближе, но не сказано, что при округлении число должно быть как можно ближе к первоначальному числу;

не различается округление и округление только в большую сторону.

Учебник для 5 класса [9]

Тема: Приближенные значения чисел. Округление чисел

Используются понятия приближенного значения с недостатком, приближенного значения с избытком и округления числа до целых.

Автор предлагает два иллюстрированных примера. В первом примере предлагаются два решения, из их сравнения видна необходимость округления. Пример подобран удачно, соответствует представлению детей. Пример 1: Масса тыквы больше чем 3 кг, но меньше чем 4 кг. Если обозначить массу тыквы (в килограммах) буквой х, то 3<х<4. Второй пример подтверждает первый. Пример 2: Длина отрезка АВ заключена между 6 см и 7 см. Если длина отрезка х, то 6<х<7. При помощи примеров Виленкин Н. вводит понятие приближенного значения с избытком и приближенного значения с недостатком.

Далее дано общее определение. Используется слово ближе: Если длина отрезка ближе к 6 см, чем к 7, то она приближенно равна 6. Рассматривается несколько возможных случаев из первого примера. Показывается возможность округления разных чисел к одному и тому же числу. Формулируется правило округления с использованием слова ближе.

Отмечено, что числа можно округлять не только до целых, но и до других разрядов. Сформулировано правило, которое необходимо применять при округлении до некоторого разряда.

В заключении автор приводит два примера:

на округление до десятых;

-на округление целого числа.

В результате анализа было выявлено, что:

показано округление целых и десятичных чисел;

-задача дает представление об округлении и о возможности округления, как с недостатком, так и с избытком.

предлагается два правила: для округления до целого числа и для округления до дробной части.

Учебник для 5 класса [22]

Предлагается две темы: Округление натуральных чисел и Округление десятичных дробей.

Округление натуральных чисел

Вводятся понятия округления, приближенно равны и прикидка.

Вначале автор предлагает решенную задачу. Она отражает необходимость округления, но для учеников пятого класса сложновата. (Не многие дети сталкивались с переписью населения). Задача: В день переписи населения число жителей города равнялось 57328 человек. Но число людей в городе постоянно изменяется (приезд, отъезд, рождение, смерть). Значит, полученное число уже вскоре станет неверным. Поэтому можно сказать, что в городе живет приблизительно 57000 человек.

На примере задачи вводятся понятия округления числа до тысяч. Подчеркивается возможность округления до десятков, сотен и т. д.

Отмечается, что округленное число должно быть как можно ближе к первоначальному. Из этого вытекает правило округления.

Далее приводится два примера. Знак приближенно равно вводится после. Хорошо то, что автор объясняет, как этот знак произносится.

После применения округления целых чисел показано, где и как школьник может реально применить умение округлять.

Округление десятичных дробей

Никаких новых понятий не используется. Изложение материала опирается на округление целых чисел.

Приведен пример округления:

1)определяется, между какими числами заключено округляемое число;

2)определяется, к какому из них округляемое число ближе, следовательно, то и есть результат округления.

Подчеркивается возможность округления до любого разряда. И формулируется правило округления. Обращается внимание учеников на запись 32,0. Описано, что 0 отбрасывать нельзя, так как число округляли до десятых, а не до единиц (отмечено, что в этом есть различие).

Общий анализ учебников для 5 класса

В пятом классе тема Приближенные вычисления вводится двумя способами: один параграф, включающий в себя округление всех чисел и отдельно округление целых чисел и десятичных дробей.

При этом в учебниках тема называется по-разному: Округление чисел; Приближенные значения чисел. Округление чисел; Округление натуральных чисел. Округление десятичных дробей.

В разных учебниках содержится разная информация об округлении, но из всех можно выделить общее:

-округление числа до единиц;

-приближенное значение с избытком;

приближенное значение с недостатком;

приближенно равные числа;

- прикидка.

Учебник для 8 класса [4].

Тема: «Приближенные вычисления»

Тема представлена в четырех параграфах: «Приближенные значения величин. Погрешность приближения», «Оценка погрешности», «Округление чисел», «Относительная погрешность».

Все четыре параграфа имеют примерно одинаковую структуру. Так, сначала обосновывается необходимость введения понятия, затем, приводится задача с использованием этого понятия (к ней прилагается подробно описанное решение), далее результат обобщается в формулу (строится форма, которую можно использовать при решении других задач), приводится задача, показывающая как применять формулу, и приводятся упражнения на отработку.

В данном учебнике можно выделить следующие понятия:

-приближенное значение различных величин;

-абсолютная погрешность;

оценка абсолютной погрешности;

приближенное значение с недостатком;

приближенное значение с избытком;

точность измерения;

округление чисел;

относительная погрешность;

Остановимся на каждом параграфе подробнее:

§1. Приближенные значения величин. Погрешность приближенности

Вводится понятие - приближенное значение различных величин. Далее предлагаются примеры (в них включены точные и приближенные значения величин).

Но школьнику не сказано, что за примеры. В учебнике написано: Рассмотрим несколько примеров и далее перечисляются. Такая запись может запутать школьника, так как многие думают, что это примеры с приближенными значениями величин.

После примеров ответы, где значения вычислены точно, а где приближенно.

Далее идет задача и ее решение. На ее примере вводится понятие абсолютной погрешности приближения. После формула для вычисления абсолютной погрешности (обобщение задачи, замена цифр буквами).

Далее приводится задача и ее решение, требующее нахождения абсолютной погрешности с использованием формулы.

Упражнения на отработку включают следующие задания: в примерах указать, какие числа являются точными значениями величин, а какие приближенными; нахождение абсолютной погрешности приближения.

Но есть упражнения, не соответствующие теоретической части: нужно указать несколько приближенных значений. Но ведь не упоминалось, что приближенных значений может быть несколько - несоответствие.

§2. Оценка погрешностей

Учащихся знакомят, когда можно дать оценку абсолютной погрешности и что для этого нужно. Возникает 3 новых понятия:

-оценка абсолютной погрешности;

-приближения с избытком;

приближения с недостатком;

Предлагается задача и ее решение (из решения видно, каким образом оценивать абсолютную погрешность). Предлагается способ записи равенства числа x числу a с точностью до h (но сначала эта запись вводится на частном примере). Про приближенные значения с недостатком и избытком сказано очень мало. В тексте эти термины не выделены, не представлены в виде определения, только на одном примере.

Большая часть параграфа посвящена обсуждению вопроса точности измерительных приборов. После сказано об использовании приближенных значений при замене обыкновенных дробей десятичными и приведен пример. Упражнения повторяют примеры из теоретической части (главным образом изменены только цифры).

§3. Округление чисел

Сказано, где округление используется и приведен пример. Обращено внимание на запись (x»a). После предлагается задача с решением. В ответе получилось 3.125 (говорят, что на практике такой результат округляют до десятых. - утверждение не совсем верное, ведь можно округлить и до целых, но об этом не упоминается).

На примере рассматривается правило округления. В результате предполагают 2 случая: округление с избытком и округление с недостатком. Далее правило округления в общем виде и несколько примеров.

§4. Относительная погрешность

Необходимость относительной погрешности иллюстрируется при помощи двух примеров. Понятие относительной погрешности вводится в виде определения, далее записано в виде формулы. Также приведена задача на использование формулы.

Учебник для восьмого класса. [20].

Тема: «Приближенные значения действительных чисел».

Тема включает в себя следующие понятия:

-приближенное решение уравнения;

-приближенное значение числа по недостатку;

приближенное значение числа по избытку;

приближенное значение числа с точностью до …;

округление;

абсолютная погрешность;

-погрешность приближения.

Автор на примере нахождения точек пересечения графиков говорит о приближенном решении уравнения. Здесь же показывают запись (x»a). Приводятся обоснования необходимости введения понятия приближенного значения действительного числа:

для нахождения решения уравнения графически;

-действительное число - это бесконечная десятичная дробь, но использовать такую запись на практике неудобно.

На примере вводят понятия по недостатку и по избытку с заданной точностью. Описывается возможность приближения с разной точностью (с точностью до 0,0001; 0,01 и т.д.). Разбираются примеры нахождения приближенных значений по недостатку и по избытку с заданной точностью. Вводится понятие округления числа как обобщающее приближение по недостатку и по избытку. Понятия погрешности приближения (абсолютной погрешности) вводится в виде определения.

Важно, что автор ставит вопрос: какое приближение лучше? По недостатку или по избытку (заостряет внимание, чтобы избежать дальнейшей путаницы).

Далее правило округления, и примеры на применение правила.

Автор отмечает важную деталь: существуют понятие приближения с точностью до h (подчеркивает, что точность может быть любой).

Упражнения на отработку отражают теоретический материал:

-найти приближенные значения по недостатку и по избытку с заданной точностью;

-вычислить с заданной точностью;

оценить погрешность приближенного равенства.

Учебник для восьмого класса. [1].

Тема: «Приближенные вычисления».

Тема представлена в двух параграфах: Запись приближенных значений и Действия над приближенными числами.

Можно выделить только одно понятие: верные цифры. В данном учебнике понятия абсолютной и относительной погрешности не вводятся, предполагается, что они известны, автор оперирует ими при объяснении записи приближенных значений.

§1. Запись приближенных значений

Главным образом показана запись с заданной точностью. Далее вводится определение верной цифры и примеры с ними. Далее идут примеры на нахождение и оценку абсолютной и относительной погрешности.

§2. Действия над приближенными числами

Приведены примеры на округление при сложении, вычитании, умножении и делении.

Таким образом, материал этого учебника совершенно не соответствует материалу, предложенному другими авторами. Предполагается изучение абсолютной и относительной погрешности в седьмом классе. Содержание усложнено.

Общий анализ учебников для 8 класса

В каждом учебники название темы включает в себя фразу «Приближенные вычисления».

Но содержание тем в трех учебниках разное:

Учебник [1] полностью не соответствует другим учебникам. В учебнике [4] изучается погрешность приближения: абсолютная и относительная, оценка абсолютной погрешности и округление чисел. В учебнике [20] для изучения предложены приближенные значения по недостатку и по избытку, округление и абсолютная погрешность.

Из этих учебников можно выделить основное содержание:

-приближенное значение по недостатку и по избытку;

-округление;

-абсолютная погрешность;

-относительная погрешность.

Общая характеристика учебников для 5, 8 классов

Вообще в 5 и 8 классах тема «Приближенные вычисления» включает в себя понятия:

-Округление;

-приближенное значение по недостатку;

приближенное значение по избытку;

абсолютная погрешность;

оценка абсолютной погрешности;

относительная погрешность.

Но есть существенный недостаток. Автор каждого учебника включает те понятия, которые считает нужными. В итоге и в пятом и в 8 классах вводятся приближения по недостатку и по избытку. Нет разграничения на классы.

Анализируя содержание школьных учебников в учебнике для 11 класса [7] были найдены задания, при выполнении которых используются знания по приближенным вычислениям.

- найти приближенное значение, используя графики функций;

на МК найти значения lg, log, тригонометрических функций и записать с точностью до h;

вычислить приближенное значение формул;

приближенные формулы;


3. Приближенные вычисления в школьной математике и их возможное место

Тема Приближенные вычисления в школьной программе вводится в V и VIII классах, причем материал никак не связан между собой. То, что вводилось в V классе, заново вводится в VIII, но уже на других основаниях. Рассматриваются лишь некоторые задачи, приводящие к приближенным вычислениям, причем не всеми авторами. Приближенные вычисления сводятся к округлению и нахождению абсолютной и относительной погрешностей. Из всего вышесказанного можно сделать вывод, что понятие точности приближения целостно не представлено в школьной математике, а значит определенного места (за исключением некоторых элементов), приближенные вычисления не имеют.

Таким образом, можно выделить двойное содержание темы:

-Общее, обязательное, предложенное всели авторами школьных учебников;

-Дополнительное, которое не вводится специальным образом, но может быть полезным при изучении других тем и помогает при решении обязательных задач.

Как отмечалось выше, в школьной программе тема вводится в пятом и в восьмом классах. И на нее отводится в среднем всего по два часа. Проанализировав учебники, было выявлено, что для обязательного изучения предлагается два алгоритма: округление и нахождение погрешности.

Таким образом, в пятом и восьмом классах изучаются одни и те же понятия, и учащимся остается неизвестным, какую роль тема играет в математике.

В то же время, в школьной математике приближенные вычисления присутствуют. Существуют темы, которые не могут обойтись без понятия точности приближения. Перечислим эти темы:

-Иррациональные числа;

-Бесконечные десятичные дроби;

Вычисление корня n - й степени;

Логарифмы;

Квадратные уравнения;

Приближенные формулы;

Построение графиков функций;

Предел.

Практически во всех перечисленных темах требуются знания о диапазоне разброса. Часто, без помощи МК ученик не может найти значение корня n - й степени, но ведь это можно сделать, применив знания из темы Приближенные вычисления.

С приближенными формулами учащиеся сталкиваются в восьмом и одиннадцатом классах. В восьмом классе, в пособии [25, с.151 - 153] приведены следующие приближенные формулы:

1)При малых значениях a и b верна приближенная формула


(1 + a)(1 + b) » 1 + a + b, если a = b, получим (1 + a)2»1 + 2a.


Отсюда следует, что если |b| мал по сравнению с |a|, то (a + b)2»a2 + 2ab.

2)Если a1, a2, …, an малы по сравнению с 1, то (1 + a1)(1 + a2) … (1 + an) » 1 + a1 + a2 + … + an, и потому (1 + a)n » 1 + na.

3)Если |a| мало по сравнению с единицей, то » 1 -a.

В учебнике для 11 класса [7] содержится ряд лабораторных работ, при выполнении которых учащиеся сталкиваются с приближенными вычислениями. В лабораторных работах встречаются следующие задания:

-Начертите примерный график скорости, изменения углового коэффициента касательной;

-Вычислите приближенно угловые коэффициенты касательных;

Вычислите с заданной точностью;

Найдите приближенное значение корня по приближенной формуле;

Найдите приближенное значение корня методом последовательных приближений;

Изучите влияние погрешности вычисления t на погрешность вычисления at

Вычислите приближенное значение натурального логарифма числа a с помощью формулы (ax) = (ln a)ax;

Вычислите приближенное значение интеграла с помощью интегральных сумм;

Решите приближенно дифференциальное уравнение методом Эйлера. (Начиная с некоторой точки строится ломаная с заданным шагом. Значение функции вычисляется по формуле уравнения прямой, угловой коэффициент находится из дифференциального уравнения).

Вычислите приближенно корни уравнения:

А) методом половинного деления;

В) методом касательных;

С) методом хорд.

Сопоставляя материал школьной программы по теме Приближенные вычисления с задачами, приводящими к понятиям приближенных вычислений, становится ясным, что предложенные алгоритмы (округление, накопление погрешности) не отражают направления. От учеников скрыты возможные исследовательские задачи. На самом деле, задача о приближении функций требует большого объема дополнительных знаний и недоступна для школьников. Однако, нами был обнаружен материал, связывающий школьную программу с теорией. Приближенное решение уравнений, в частности, квадратных уравнений, может вывести учеников на понятия приближенных вычислений, открыть для них новую область знаний. Возникла гипотеза, что задача о приближенном решении квадратных уравнений может быть исследовательской.


Глава 2. Факультативный курс Приближенные вычисления для 7-8 классов


1. Факультативные курсы как формы дополнительного образования школьников


Факультативные занятия по математике в средней школе, являющиеся одной из форм внеклассной работы, позволяют углубить и расширить знания учащихся по математике, развить интерес к предмету, привить вкус к самостоятельному приобретению знаний, приобщить к исследовательской работе.

В монографии [5] приводится следующие характеристики факультативного курса: Материал факультатива тематически жестко связан с материалом урока. Материалу урока задается прикладной контекст. Содержание факультатива проще содержания урока, не требует удержания сложно структурированных математических объектов. Отрабатывается искусство применения способов, приемов и знаний, полученных на уроке, решаются нетривиальные и занимательные задачи, некоторые олимпиадные задачи.

Существует и другой, нетрадиционный, взгляд на содержание факультативного курса. Он представлен в пособии [26], в котором собран опыт преподавателей саратовского педагогического института. Остановимся на этом понимании факультативного курса подробнее.

Иванова Н. Н. в пособии [26] отмечает вопросы, на которые нужно уделить внимание при проведении занятий:

1.Значение эмоциональности преподавания (яркий рассказ, просмотр диафильмов, эксперименты учащихся с моделями, игровые ситуации);

2.создание проблемных ситуаций и их разрешение (разработать систему вопросов, направляющих мысль ученика на поиск решения проблемы, приобщить учащихся к самостоятельному поиску, открытию, умению творчески осмыслить изученное);

.система поисковых задач. Поисковая задача - задача, при предъявлении которой учащиеся не знают заранее способа ее решения. Учащиеся решают все задачи самостоятельно или при небольшой помощи учителя.

.включение исторического материала. Оно целесообразно по следующим причинам:

яркий факт биографии ученого может вызвать у учащихся желание глубоко познакомится с его жизнью и творчеством;

полезно показать характер постановки проблемы, трудности, которые возникали перед учеными, попытки преодолеть трудности и почему это не удавалось. Указанные этапы задают хоть и очень упрощенную, но модель движения в науке.

5.развитие самостоятельности и творческой активности учащихся при работе с научно - популярной литературой по математике. Работа с дополнительной литературой имеет большое значение для повышения общего уровня развития учащихся, подготовки школьников к дальнейшему образованию и самообразованию, к практической творческой деятельности.

Опыт показывает, что основу группы учащихся, посещающих факультатив, составляют школьники с ярко выраженными математическими способностями, индивидуальность мышления которых очевидна. Петрова Е. С. в своей статье [26] ставит вопрос о дифференциации и индивидуализации в обучении, сочетание коллективной, групповой и индивидуальной учебно - познавательной деятельности. Автор предлагает сначала всем участникам факультативной группы предложить разные конкретные задачи, при попытке которые школьники отыскивают общий способ в решении задач такого вида, подмечая некоторые закономерности. Общий вывод делают ученики всей группой на основе исследований каждого, т. е. итог проделанным исследованиям подводит коллективная работа.

При проведении факультативного курса важна система вопросов и упражнений, предлагаемых учащимся. Важно охватить вопросами весь изученный материал.

В пособии [26] выделены методы, применяемые в целях пробуждения у слушателей школьного факультатива творческой активности:

-Эвристический. Используется при ознакомлении учащихся с новым материалом: в случае алгебраического и геометрического подходов к изучаемому, при составлении алгоритма нового для школьников математического метода, решении задач, выводе учащимися нового правила, формулы, доказательстве теорем, введении новых понятий.

-Проблемный. Создание проблемных ситуаций - необходимое условие побуждения учащихся к творческому поиску. Например, указание задач с практическим содержанием, занимательного или исторического характера, вызывающих желание учащегося их решить.

Важно отметить, что изучаемый на факультативе фактический материал может быть либо известен, либо неизвестен учащимся. На этот факт стоит обратить внимание. Если фактический материал содержания факультатива уже частично известен, то этим путем идти нельзя. Полезно задать участникам несколько вопросов на дом: перечислить, какие факты стоит повторить перед работой с данным материалом; выявить возможности реализации межпредметных связей при изучении данного вопроса, его практические приложения; постараться сформулировать проблему.

В процессе выполнения лабораторных работ у учащихся появляется интерес к получаемым результатам. Здесь удачно сочетаются два подхода к творческой деятельности:

учет эмоциональной стороны вопроса;

учет операционной структуры, возможность алгоритмического поэтапного руководства исследовательской деятельности учащегося. При этом учитель должен:

1)учитывать запас знаний учащихся;

2)выявлять способы их актуализации;

)продумывать новую информацию, сообщаемую учащимся, цель работы, ход выполнения работы, необходимое оборудование, оформление хода и результатов работы учащимися в рабочих тетрадях, выводы.

)Определение путей проверки выполнения работы учащимися;

)Выявление возможности индивидуализации и дифференциации обучения.

Работа с литературой. Это реализуется в следующих формах. Слушатели факультатива получают индивидуальные задания составить и написать реферат. Например, описать некоторые факты из истории, доказательства теорем. Подбор литературы в соответствии с тематикой.

Немаловажным условием является обеспечение активной познавательной деятельности учащихся на протяжении каждого занятия.

Частью факультатива являются задачи, предназначенные для организации учебно-исследовательской деятельности учащихся. Для решения учебно-исследовательской задачи недостаточно одной или нескольких блестящих идей, она естественно, разбивается на ряд более мелких задач - от простых, не требующих никаких предварительных знаний и доступных любому школьнику, до сложных проблем. Машевецкий Г. И. [26] выделяет общие характеристики учебно-исследовательских задач:

К основным группам требований относятся: мотивационные (условие задачи должно привлекать внимание, быть связана с окружающей действительностью, иметь практическое применение, задача должна приносить реальную пользу решаемому); доступности (условие задачи должно быть сформулировано на основе известных знаний, задача может быть естественно разбита на ряд вспомогательных задач от простых до весьма трудных); общеобразовательной и воспитательной ценности задачи (задача должна давать навыки исследования и эксперимента, умение обрабатывать и обобщать полученные результаты; задача призвана развивать познавательную активность и фантазию, творческие способности учащихся).

Петрова Е. С. в пособии [26] ставит вопрос о способах поощрения и порицания школьников, занимающихся на факультативах. Система оценок знаний в настоящее время фактически двухбалльная: 4 и 5. Система очков за решение задач привносит на занятия дух соревнования, элементы игры, заинтересовывает учащихся.

Часто проводится разделение слушателей факультатива на подгруппы. Разделение осуществляется по разным принципам, в зависимости от дидактических и воспитательных целей работы: разный уровень знаний учащихся; интересы учащихся; возможности взаимоконтроля; разную внеурочную информированность учащихся; взаимоотношения учащихся; различные способности.

При проверке выполнения заданий каждым слушателем используют: взаимопроверку; групповую проверку; коллективную проверку.

Такие способы проверки приучают школьников критически относится к выполнению заданий самими и товарищами. Умение коллективно работать дает ученикам представления о научной дискуссии, об обсуждении исследовательских работ.

Коллективная работа всей группы проводится в следующих формах:

-Проверка правильности алгоритма решения новым математическим методом, составленного отдельными учащимися;

-Обсуждение правильности и конкретности решения контрольных задач;

Выявление возможных ошибок школьников при изучении отдельной конкретной темы, указание путей устранения их;

Организация дискуссий на предложенную преподавателем тему.

Таким образом, на факультативном курсе материал излагается порционно, он проводится в соответствии с планом, который не претерпевает больших изменений, существует некоторая последовательность в изложении материала. Кроме того, существуют две точки зрения. Первая: изучение на факультативе того же материала, что и на уроке, но более глубоко, решение нетрадиционных задач, задач повышенной трудности. Целью здесь является поддержать интерес к предмету, включить учащихся в предмет. Вторая: курс включает в себя как изучение некоторого материала, так и творческий поиск. Факультативный курс подразумевает выполнение творческих работ. Творческая работа может опираться на новое, изученное на факультативе. Это новое служит источником тем творческих работ. Ключевое - возникший вопрос, проблема.

При проектировании курса по теме Приближенные вычисления, вы попробовали соединить две точки зрения. В курсе есть углубление уже изученного материала, так и задачи, требующие творческого поиска.


2. Цели, задачи, структура факультативного курса


Разработка факультативного курса проходила в несколько этапов.

На первом этапе из школьных учебников были выделены задачи, в которых могут быть полезны знания о приближенных вычислениях. Также были придуманы другие задачи, для решения которых нужны знания и приближенных вычислениях. Список задач приведен в приложении 3 к данной работе.

На втором этапе была проанализирована логика введения понятия точности приближения, которая приводится в работе [15]. Здесь выделяются исходные элементы клеточки понятия точности приближения:

точное значение x;

-приближенное значение a;

-мера отклонения (абсолютная погрешность) приближенного значения от точного.

Для разрабатываемого курса мы использовали первый этап развития клеточки понятия, в то время как в работе [15] их два.

Этап1: изменение в каком-либо из элементов клеточки. Например, если приближенная величина задана как изменяющаяся, тогда:

Схема 1


При этом предложенная схема была нами изменена, мы находили связь между всеми объектами:



Предполагалось, что в курсе будут опробоваться исследовательские задачи, с целью определить: являются ли для учеников задачи по этой теме исследованием, можно ли выделить задачу, которая станет для учеников творческой задачей? Поэтому на третьем этапе мы выделили возможные темы исследовательских задач:

1.Погрешность суммы и разности. Накопление погрешности при предварительном округлении.

2.Погрешность произведения.

.Приближенное решение уравнений.

К задачам факультативного курса относятся:

-Расширение представления учащихся;

-Создание условий для проведения самостоятельного учебного исследования.

Возможность проведения курса в 7, 8 классах объясняется не возрастом учащихся, а определяется особенностью школьной программы. Из анализа школьных учебников были выделены объекты школьной математики, связанные с приближенными вычислениями: периодическая десятичная дробь, число Õ, построение графика функции, извлечение корня n- й степени из числа, нахождение значений log и тригонометрических функций, для усвоения курса необходимы представления о корне и степени, поэтому курс возможен для учащихся 7, 8 классов.

Разработанный факультативный курс состоит из двух блоков.

Первый блок. Базовые определения

В первом блоке изучаются базовые понятия, выделенные в результате анализа учебной литературы. В начале каждого занятия, посвященного изучению нового материала, ученикам предлагается задача, для решения которой необходимо новое знание. Базовые понятия вводятся на основе логики введения понятий темы Приближенные вычисления, разработанной Ковалевой С. А. [15]. При проведении занятий вводятся дополнительные элементы: верные и значащие цифры.

Второй блок. Выполнение исследовательских заданий

Во втором блоке предложены исследовательские задачи. При изучении тем проводятся опыты, измерения объектов. Для контроля знаний ученикам предлагается составить свои задачи, в которых используются приближенные вычисления.

Ученикам предлагается задача, решая которую появляется затруднение, необходимость в новом знании. При этом сложность заданий постоянно увеличивается. Для решения последующих задач необходимо понимание предыдущих.

Факультативный курс сопровождают раздаточные материалы: шаблоны, памятки, тексты.

Шаблоны представляют собой построенные графики функций. Построение графиков функций - трудоемкий процесс, кроме того, это не является темой курса, поэтому возникла необходимость в их использовании. В итоге, было затрачено минимум времени на построения. Памятки выдавались ученикам для того, чтобы не возникало путаницы с только что изученными формулами, определениями; для систематизации знаний. Под текстами понимается список заданий, вопросов к занятию, требования к выполнению тех или иных заданий, тексты правил.

Программа факультативного курса

Блок I: Теоретическая часть. Знакомство с базовыми определениями.

1.Понятия точного, приближенного значений, абсолютная погрешность приближения.

2.Связь исходных элементов. ВГ и НГ, диапазон разброса. Нахождение точного как среднего.

.Округление. Округление с заданной точностью.

.Верные и значащие цифры.

Блок II: Выполнение учебно-исследовательских заданий.

5.Погрешность суммы и разности. Накопление погрешности при предварительном округлении.

6.Относительная погрешность. Предельные абсолютная и относительная погрешности.

.Погрешность произведения.

.Приближенное решение уравнений.

-Подбором;

-Метод последовательных приближений;

Деление отрезка пополам;

(Вопрос о выборе наиболее эффективного метода, о сходимости метода последовательных приближений).


3. Описание содержания курса


Приведем краткое описание содержания курса. Подробно темы занятий, задачи и комментарии представлены в приложении 4 к данной работе.

Тема 1: Понятие точного, приближенного значений. Абсолютная погрешность приближения.

Вводятся понятия: точное значение, приближенное значение, абсолютная погрешность.

В начале ученикам предлагается задача, в результате обсуждения которой выделяются ключевые понятия. Ключевое - первая задача. Далее составляется схема, показывающая связь между понятиями. Ученики должны сами предлагать схемы. В заключении задание на нахождение абсолютной погрешности - задание на отработку.

Тема 2: Связь точного, приближенного значений и абсолютной погрешности. ВГ и НГ, диапазон разброса. Нахождение точного как среднего.

Используются понятия: точное значение, приближенное значение, абсолютная погрешность.

Вводятся понятия: верхняя и нижняя границы, диапазон разброса, точное как среднее.

Изучение связей и зависимостей между точным, приближенным значениями и абсолютной погрешностью приближения. Нахождение ответа на вопрос, любой ли из трех элементов может быть неизвестным. Знакомство с верхней и нижней границей, диапазоном разброса происходит в форме коллективной работы. Ученики сами открывают новое знание. Знакомство с точным как средним происходит через задачу.

Тема 3: Округление. Округление с заданной точностью.

Вводятся понятия: Округление, округление с заданной точностью.

Требуется понять необходимость округления, систематизировать знания по теме. Ученики узнают новый способ - правило четной цифры. Правило их заинтересовывает и интригует.

Тема 4: Знакомство с верными и значащими цифрами.

Вводятся понятия: верные цифры, значащие цифры.

Ученикам предлагаются две записи, на первый взгляд обозначающие одно и то же число. Нужно найти различие. Различие объясняется значащими и верными цифрами. В дальнейшем эти знания могут быть полезны при написании творческой работы по теме.

Тема 5: Погрешность суммы и разности. Накопление погрешности при предварительном округлении.

Это исследовательская задача.

Здесь ученикам предлагается несколько примеров с несколькими знаками после запятой. В задании нужно найти сумму и разность с точностью до десятых двумя способами, а после сравнить полученные результаты. Учащимся предлагается обсудить свои способы решения. В результате остановились на двух способах. При нахождении значения первым способом нужно сначала округлить слагаемые до десятых, а потом сложить/отнять. При нахождении значения вторым способом сначала складывают/отнимают, а потом округляют до десятых.

Таким образом, получились разные ответы. Возник вопрос, почему так произошло. Проанализировав каждое округление, пришли к выводу, что произошло накопление погрешности. Это эмпирическое исследование.

Тема 6: Относительная погрешность. Предельные абсолютная и относительная погрешности.

Вводятся понятия: относительная погрешность, предельные абсолютная и относительная погрешности.

Ученики изучают понятия самостоятельно по карточкам. Понятия нужны для решения исследовательских задач.

Тема 7: Погрешность произведения.

Это исследовательская задача.

Ученики должны выйти на приближенную формулу для нахождения предельной относительной погрешности произведения.

Тема 8: Приближенное решение квадратных уравнений.

Это исследовательская задача.

-При решении этой задачи было поставлено три проблемы:

-Какой из методов: подбора или последовательных приближений, наиболее эффективен?

Какой из методов: подбора, последовательных приближений, половинного деления, наиболее эффективен?

Любое ли уравнение можно решить методом последовательных приближений? Для каких уравнений метод работает?

Таким образом, темы 1, 2, 3 предназначены, чтобы логически ввести ключевые понятия. Темами 4, 6 вводятся понятия, используемые в исследовательских задачах. Темы 5, 7, 8 - исследовательские задачи. Они направлены на выявление творческой задачи.


4. Апробация курса анализ результатов


Факультативный курс был опробован в Лицее № 3 г. Красноярска, в 7 классе. При выполнений исследовательских заданий дети включились в исследование. Часть детей были искренне заинтересованы получить ответ. Но самой увлекательной была для учеников задача о приближенном нахождении корня. При выполнении исследовательских заданий ученики обращались к полученным теоретическим сведениям.

На первом этапе, когда вводились понятия, ученикам было предложено составить аналогичные задачи, они не могли это сделать. Предлагались задачи с аналогичным сюжетом. После того, как были отработаны связи между основными элементами, школьники смогли составить аналогичные задачи.


Глава 3. Творческая работа как форма дополнительного образования школьников


. Творческая деятельность и математическое творчество


Понятие математического творчества.

В монографии [5] сказано, что при определенных условиях организации учебного процесса, возможно инициировать, «запустить» процесс детского математического творчества. Инициация такого рода детской активности, способствующей личностному росту ученика, развитию его мыслительных способностей, к самостоятельной деятельности и планированию является особенно важной при обучении.

Для обсуждения математического творчества необходимо конкретизировать понятие творчества.

А.Т. Шумилиным в своей работе [28] выделяет следующие важные характеристики творчества:

-Творчество тесно связанно с познавательной деятельностью. Акт творчества - это акт познания мира. Математическое творчество это форма овладения математическими знаниями.

-Необходимым условием начала творческого поиска (исследования) является осознание проблемы, ее постановка; процесс творчества - это процесс решения проблемы. В процессе творчества формулировка проблемы претерпевает изменения, уточняется; ее решение распадается на ряд задач. Разными авторами отмечается этапность, цикличность в решении проблемы, то есть наличие истории творческого поиска. Гипотеза или проба решения, даже если она не верна, подготавливает представление о верном пути решения, т. е. гипотеза - это средство решения проблемы.

Творческая деятельность оригинальна. В процессе творчества всегда создается новая вещь (получается новый математический результат), применяются либо новые средства, способы, либо новые программы деятельности, но при этом результат может быть объективно уже известным, но индивидуально, психологически новым, то есть достигнутым собственными силами. И в этом случае тоже говорят о творчестве [24].

Обсуждая творчество учащегося, специально отмечают наличие активной личностной позиции по отношению к познанию, личную заинтересованность в творческой деятельности, эмоционально окрашенное отношение к исследуемому материалу (14).

Самая простая структура творческой деятельности состоит из двух этапов:

-Постановка проблемы (задачи);

-Решение проблемы (задачи).

В монографии Шумилина А. Т. [28, с. 47] выделены четыре основных этапа творчества.

Первый этап - осознание, постановка, формулирование проблемы.

Второй этап - нахождение принципа решения проблемы нестандартной задачи.

Третий этап - обоснование и развитие найденного принципа. Конкретизация гипотезы, разработка плана экспериментальной проверки гипотезы, доказательство или опровержение ее.

Четвертый этап - практическая проверка гипотезы.

Предложенная структура отражает ситуацию с творческой работой; шаги, которые нужно пройти при написании ее.

Еще один важный фактор, связан с требованием представления результатов работы в форме письменного текста. Поскольку творческая работа должна быть представлена адресованным учителю и соученикам текстом, важное условие ее появления - наличие у учащихся опыта общения с учителем по поводу предмета математики посредством письменного текста.

В схеме А. М. Матюшкина как особые выделяются этапы нахождения принципа решения, его разработки и реализации. В своей работе [28, с. 32 - 51] он пишет: … Первый этап любого процесса решения задачи характеризуется как этап усвоения задачи. … Возникновение проблемной ситуации, главным элементом которой является неизвестное новое, то, что должно быть открыто для правильного выполнения задания, для выполнения нужного действия.

На втором этапе человек для решения ищет связи, не имевшие ранее прямого отношения к решаемой проблеме. На этом этапе выявляется такое новое отношение, которое ведет к переконструированию проблемы, к выявлению нового принципа действия, к пониманию решения.

Третий этап - реализация найденного принципа, которая сводится к применению некоторых операций, связанных с практикой, к выполнению вычислений, обоснованию доказательств. Возможно выявление новых проблем, которые повлекут поиски новых принципов реализации.

Четвертый этап - заключительный этап решения проблемной задачи - проверка правильности решения.

Остановимся на каждом из этапов подробнее. В постановке проблемы важное место занимает обоснование актуальности проблемы, т. к. убежденность в актуальности проблемы стимулирует поиски решения, устойчивость интереса исследователя. На этапе постановки проблемы начинается процесс обострения противоречия.

Авторы монографии [5] выделили условия, при выполнении которых можно считать деятельность учащегося творческой:

-Он сам сформулировал задачу, которую решает, причем формулирование учащимся задачи выступило как средство решения стоящей перед ним проблемы;

-Сам по себе полученный результат ценен и значим для учащегося;

Учащийся «вовлечен» в работу с проблемой, эмоционально переживает процесс исследования.

Вообще, наука развивается в гипотезах. Но отношение человек - наука могут быть очень разными. Можно выделить по крайней мере два аспекта:

потребительский аспект - человек использует результаты науки для решения практических задач различного типа.

-Поисковый аспект - связан с поиском новых закономерностей, с получением новых знаний. Это исследовательский аспект.

Гипотеза является формой творческого мышления и, следовательно, должна рассматриваться как категория диалектической логики. Исследования творчества показали, что содержание, механизм поиска решения проблемы состоит в выдвижении гипотез о путях решения проблемы и их проверки, генерации гипотез и их верификации - центральный механизм творчества.

Гипотеза - предположение о том, как разрешить противоречие проблемы. Гипотеза может быть либо предположением о свойствах и структуре вещи (объекта системы), разрешающие противоречие проблемы, либо предположением о способе деятельности разрешающим последнее. В процессе познания наступает момент, когда обращение к гипотезе оказывается необходимым и неизбежным когда движение познания без выдвижения гипотезы становится невозможным. Таким моментом является возникновение проблемной ситуации, проблемы.

Важно подчеркнуть, что строгая формулировка проблемы не всегда возможна из-за недостатка информации о закономерностях исследуемой (новой) области действительности. «Безупречная во всех отношениях постановка проблемы, - замечает И.И. Мочалов в [21, с. 56], - предполагает наличие у исследователя полной информации об изучаемом объекте. Но тогда бы не было проблемы!».

Некоторая нестрогость формулировки проблемы неизбежна на начальных этапах исследованию. В ходе исследования она уточняется. И только в работах, в которых излагаются уже найденные решения, возможна и необходима глубокая постановка проблем и их строгая формулировка.

Дж. Бернал считал «нахождение проблем» высшим показателем творчества. Решение проблемы и содержание творческой деятельности начинается с нахождения выявления принципа - идеи решения. (Идея - основная мысль, лежащая в основе теоретической системы, логического построения, плана действия. Понятие принцип в философии используется для обозначения основания, то есть того, что лежит в основе некоторой совокупности фактов, знаний, способа действия раскрывает суть их связей, движения).

Этап нахождения принципа или идеи решения является кульминационным в творческом поиске. Понятие «принцип» очень близко к понятию «идея» и часто употребляется как синоним.

Решение в самом общем виде состоит в открытии или создании новых связей вещей, такого их соединения, преобразования которое позволило бы решить проблему. Поиск решения состоит в нахождении носителя определенных новых отношений (в случае открытия) или в создании его (в случае изобретения).

Следует различать термины проблема и задача. Проблема выступает как вопрос, требующий разрешения, а задача включает в себя и вопрос, и условие (данные) решения задачи. Рубинштейн С. Л. дает следующее определение Задача - это всегда по своему словесная, речевая формулировка проблемы. Она - живое свидетельство единства мышления и речи. [28]

Существенное различие между проблемой и задачей, как показывает В.Е.Берков [28], состоит в том, что «понятие задачи связано с ситуацией, характеризующейся достаточностью, средств для достижения цели научного познания, а понятие проблемы - с их недостаточностью».

Высокие требования предъявляются к формулированию проблемы или задачи. Это объясняется тем, что в ней фиксируются результаты анализа проблемной ситуации, и что в самой постановке уже содержаться элементы ее решения. Формулирование задачи (проблемы) - важный этап в ее понимании. Глубокий анализ проблемных ситуаций, продуманность формулировок проблем и задач являются необходимыми условиями оптимизации творческого исследования. Речевая формулировка - это не внешний фактор по отношению к мышлению, но сам процесс его.


2. Изучение скорости сходимости разных методов при решении квадратных уравнений - тема творческой работы


При написании творческой работы подготовительным этапом является представление тем творческих работ. На этом этапе была предложена тема: Проблема оценки погрешности в решении задач. Следующий этап: этап обмена текстами и устные беседы. Здесь происходила ориентация учащегося в материале, знакомство с терминами, так как данная тема не представлена в школьной программе. Необходимо было понять, какое может быть исследование, какие могут возникнуть проблемы. На этом же этапе происходит накопление информации по изучаемому вопросу. В ходе работы были открыты новые области для исследования, вследствие чего был изменен ход работы.

Следующий этап - работа с полученными результатами. Систематизация, доработка, выполнение чертежей, оформление работы в соответствии с планом.

На выездной школе участникам для написания творческой работы была предложена тема: Приближенные вычисления. Накопление погрешности при предварительном округлении. Эту тему выбрал ученик 8 класса Гимназии №1.

В ходе совместной работы над темой мы пришли к выводу, что тема не является творческой. Отметим, что как в творческой задачи, так и в исследовательской необходимо провести исследование, но, кроме того, творческая задача должна заинтересовать человека, в отличии от исследовательской.

Тема Приближенные вычисления. Накопление погрешности при предварительном округлении заключалась в следующем. Были предложены два равенства, эти два равенства имели приблизительно один и тот же результат. Нужно было разобраться, как так получается, т. е. доказать, что эти два равенства выведены из одного квадратного уравнения. Также нужно было выделить наиболее точный способ и вывести правила, придерживаясь которых не происходило бы накопление погрешности или оно было бы минимальным и с известной точностью.

Работая над темой, было доказано, что два равенства выведены из одного квадратного уравнения, было выделить наиболее точный способ. Однако дальше исследование не заинтересовало. Были открыты новые области для исследования. Предложенная тема расширилась. В дальнейшем мы исследовали скорость сходимости разных методов при решении квадратных уравнений. Тема была переформулирована: Изучение скорости сходимости разных методов при решении квадратных уравнений.

Таким образом, задача нашей творческой работы заключается в исследовании скорости сходимости разных методов при решении квадратных уравнений.

Нами были выделены следующие этапы ее решения:

-Нахождение корня квадратного уравнения двумя способами и выбор наиболее эффективного способа.

-Изучение методов половинного деления и последовательных приближений.

Применение метода последовательных приближений к разным типам квадратных уравнений.

Выведение условия, при выполнении которого квадратное уравнение можно решить методом последовательных приближений.

Нами были выделены гипотезы:

1.Из равенств и , равенство, имеющее вид , дает более точный результат.

2.Методом последовательных приближений можно решить любое квадратное уравнение.

В первой части нашей работы представлены теоретические сведения, во второй части мы предлагаем ход нашего исследования.

Результатом нашей творческой работы является то, что равенство, имеющее вид , дает более точный результат и методом последовательных приближений можно решать лишь те квадратные уравнения, которые подчиняются выведенному условию.

Степень самостоятельности школьника в данном исследовании в следующем. Ученик доказал, что равенства получены из одного и того же уравнения. Доказал, какое из уравнений дает более точный результат. После он сам решил работать только с этим уравнением. Способы нахождения корней уравнения были предложены руководителем, применил способы к уравнению ученик самостоятельно, сам выбрал наиболее эффективный способ и решил исследовать его. Уравнение, корень которого нельзя найти методом последовательных приближений, было предложено руководителем. Далее ученик сам построил графики, показал геометрически, как значения приближаются к корню, и заметил, что в случае возможности нахождения корня методом последовательных приближений, значения стремятся к точке пересечения графиков, а в другом случае просто движутся по квадрату. Формулирование условия произошло при помощи руководителя.

Отказ от первоначальной темы и формулирование этой можно объяснить новизной материала. Раньше ничего не было известно про методы, кроме того, есть интрига, когда корень одного из уравнений нельзя найти методом последовательных приближений. Данная творческая работа может быть продолжена.

Творческая работа была защищена на школьной конференции и, а докладчик был награжден за лучший доклад и грамотное исследование. Текст дипломной работы приведен в приложении 4.

Заключение


В итоге проделанной работы были получены следующие результаты:

1)обнаружили связь теоретического знания со школьной программой. Приближенное решение квадратных уравнений может вывести учеников на понятия приближенных вычислений, открыть для них новую область знаний.

2)был разработан и опробован факультативный курс, направленный на выделение задач по теме приближенные вычисления, которые бы являлись исследованием для учеников.

)Была разработана и опробована тема творческой работы.

В дальнейшем работа над данной темой может быть продолжена. Во-первых, следует рассмотреть возможность разработать факультативный курс как самостоятельный, который бы являлся не только средством для выделения исследовательских задач. Во - вторых, возможна доработка выявленных исследовательских задач до тем творческих работ. В - третьих, возможно продумывание связей факультативной программы с элементами, представленными в школьной программе.


Литература


1.Алгебра. Учеб. для 8 кл. ср. шк. / Под ред. С.А. Теляковского. - М.: Просвещение, 1988.

2.Алгебра: Учебник для 8 класса средней школы / Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин и т. д. - М.: Просвещение, 1991.

3.Алимов Ш.А. Принцип сжатых отображений. Математика. Кибернетика. Подписная научно - популярная серия. М.: Знание, 1983.

4.Алимов Ш.А. Математика. Учебник для 8 кл. ср. шк. М.: Просвещение 1992.

.Аронов А.М., Ермаков С.В., Знаменская О.В. Учебно-образовательное пространство в педагогике развития: математическое образование: Монография. - Красноярск: КрасГУ, 2001.

.Бахвалов Н.С. Численные методы. М.: Наука, 1973.

7.Башмаков М.И. Алгебра. Учебник для 11 кл. - М.: Просвещение, 1997.

.Брадис В.М. Устный и письменный счет. Вспомогательные средства вычислений. // Энциклопедия элементарной математики. Кн. 1. Арифметика. Под ред. Александрова П.С., Маркушевича А.И., Хинчина А.Я. // М.: Гос. изд. Технико - теоретич. Литература, 1951.

.Виленкин Н.Я. Математика. Учебник для 5 кл. ср. шк. - М.: Просвещение, 1994.

.Виленкин Н.Я. Алгебра. Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. - М.: Просвещение, 1994.

.Выготский М.Я. Справочник по элементарной математике. Спб.: Санкт - Петербург оркестр, 1994.

.Зверкина Г.Л. Приближенные вычисления. / Энциклопедия для детей. Т. 11. Математика / Глав. Ред. М.Д. Аксенова. - М.: Аванта+, 1998.

.Каплан И.А. Практические занятия по высшей математике. Харьков, Харьковский университет, 1972.

.Кашапов М.М., Табакова Ю.А. Обучение творческому решению проблемных ситуаций в процессе преподавания психологии как средства формулирования интеллектуальных способностей старшеклассников // Педагогика развития: Проблемы современного детства и задачи школы: Материалы III научно - практической конференции. Красноярск, 1996. ч. I.

.Ковалева С.А. О месте приближенных вычислений в школьной математике. Дипломная работа, 2001.

.Куланин Е.Д., Лемешко Н.Н., Шамшурин В. Л. Микрокалькуляторы в курсе математике. - М.: Высшая школа, 1989.

.Математика БЭС/ Гл. Ред. Ю.В. Прохоров - 3-е изд. - М.: Большая советская энциклопедия, 1998.

.Математика: учебник для 5 класса средней школы / Н.Я. Виленкин и др. - Спб.: Свет, 1995.

.Математика: Школьная энциклопедия. М.: Дрофа, 1997.

20. Мордкович А.Г. Алгебра. 8 класс.: Учебник для общеобразовательных учреждений. - М.: Мнемозина, 1998.

. Мочалов И.И. Мнимые проблемы науки // Вопросы философии. 1966.№1.

. Нурк Э.Р., Тельгмаа А.Э. Математика. 5 класс: учебник для общеобразовательных учебных заведений. - М.: Дрофа, 1995.

. Степанов В.Д. Активизация внеурочной работы по математике в средней школе. Книга для учителей. Из опыта работы. М.: Просвещение, 1991.

. Табидзе О.И. Ценностный аспект творчества // Вопросы философии. 1981. № 6.

.Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. Под ред. Виленкина Н.Я. - М.: Просвещение, 1994.

26.Факультативный курс по математике в средней школе. Межвузовский научный сборник. Ред. Кол.: Петрова Е.С., канд. пед. Наук, Сухоруков В.И., канд. ф.- м. наук. Саратов: Саратовский государственный педагогический институт им. К. А. Федина, 1989.

.Цих А.К. Введение в специальность Математика: Учеб. Пособие / Красноярск: Краснояр. Гос. ун-т, 1997.

.Шумилин А.Т. Проблемы теории творчества. Монография - М.: Высшая школа, 1989.

.Энциклопедический словарь юного математика. М.: педагогика, 1989.


Приложение 1






Приложение 2


Правила округления


Правило 1: Если первая слева из отброшенных цифр меньше 5, то оставшиеся десятичные знаки не изменяются.

Правило 2: Если первая слева из отброшенных цифр больше 5, то к последней оставшейся цифре прибавляют 1.

Правило 3: Если первая слева из отброшенных цифр равна 5 и среди остальных отброшенных цифр имеются ненулевые, то к последней из оставшихся цифр прибавляют 1.

Правило 4: Если первая слева из отброшенных цифр равна 5 и все остальные отброшенные цифры равны нулю, то последняя оставшаяся цифра сохраняется, если она четная, и увеличивается на 1, если она нечетная (правило четной цифры).


Приложение 3


Задачи


Понятие точного, приближенного значений. Абсолютная погрешность приближения.

1)Сколько целых чисел, делящихся на 7 содержится

в) от 1 до 10 б) от 1 до 20 в) от 1 до 50 г) от 1 до 1000000?

Можно ли назвать точную цифру?

2)Опишите способы нахождения ответов

3)Почему получились разные результаты?

)Известно, что от 1 до 1000000 содержится 142857 цифр. На сколько вы ошиблись?

)Введение терминологии.

)Постройте схему отношения понятий.

)Сформулируйте определение точного значения, приближенного значения, абсолютной погрешности.

)Пусть а - приближенное значение числа х. Найти погрешность приближения, если:


а) х=5,346 а=5,3 б) х=15,9 а=16 в) х=4,82 а=4,9


9)В комнатном термометре верхний конец жидкости находится между отметками 21 и 22oC. В качестве приближенного значения температуры взято число 21,5 чему равна абсолютная погрешность приближения.

Приближение с заданной степенью точности.

10)Построить графики функций y= x, y= x-2, y= x-4.

11)Найти значения графически и решив уравнение.

)С точностью до какого разряда нашли корни уравнения по графику?

)Знакомство с приближенными значениями по недостатку и по избытку.

)Приближенное значение числа х=2,4, абсолютная погрешность меньше 0,1. Найти промежуток в котором заключено точное значение х.

)Пусть х=5,8±0,2 может ли точное значение оказаться равным:

а) 5,9 б) 6,001 в)5,81

16)Является ли число 4 приближенным значением дроби 4,3 с точностью до 0,5? До 0,1?

17)Указать приближенное значение числа х равное среднему арифметическому приближений с недостатком и с избытком


а) 20£x£22 б) 5£х£6 в) 3,7£х£4,1


18)Доказать, что число 0,43 является приближенным значением дроби 13/30 с точностью до 0,01.

19)Указать приближенное значение числа х, равное среднему арифметическому приближений с недостатком и избытком


а) 4,5£х£4,8 б) 2,81£х£2,83 в) 0,55£х£0,6


Округление.

20)Решить уравнение х·а=6,3, при а=0,428571…

21)Как можно решить уравнение? (Воспользоваться обыкновенными дробями, взять конечное число ).

)Правило округления.(читают)

)В день переписи населения число жителей города равнялось 57328, но число жителей в городе постоянно изменяется (приезд, отъезд…) сколько жителей в городе?

)Округлить числа последовательно до тысячных, сотых, десятых долей, единиц, десятков, сотен, тысяч: а) 3285,05384; б) 6377,00753; в) 1234,5336

)Представить в виде десятичной дроби с точностью до 0,1 число: а) 13/8 б) 17/25 в) 39/129

)Число 3,141592652 есть отношение длины окружности к ее диаметру. Округлить это число до миллионных, тысячных, сотых.

Методы нахождения результата. Их сравнение.

27)Найти значение выражения с заданной точностью (точность то трех знаков после запятой)


+


28)Найти корень уравнения с заданной степенью точностью (три знака после запятой) 5x2+x-3=4

29)Представьте свои способы. Обоснуйте их.

)Найти решение уравнения x=1+1/x. Каким методом быстрее получается результат?

)Округлите с другой степенью точности.

)Составьте аналогичные задачи.


Приложение 4


Задания к факультативному курсу, виды работ, комментарии.


Тема 1: Понятие точного, приближенного значений. Абсолютная погрешность приближения.

(40 мин)

Цели: Ввести представления о точном, приближенном значениях и абсолютной погрешностью в соответствии с логикой.

Методы:

oЭвристический поиск.

Формы:

oСеминар;

oЛекция.

Средства:

oЗаписи на доске;

oУстная речь.

Введение (3 мин): Несколько занятий будет посвящено теме приближенные вычисления. Мы изучим основные объекты, а после сформулируем вопросы, для ответа на которые нужно проделать творческую работу.


ЗаданияФормы работыКомментарииЗадача 1: Сколько целых чисел, делящихся на 7 содержится а) от 1 до 10 б) от 1 до 20 в) от 1 до 50 г) от 1 до 1000000? Можно ли назвать точную цифру? Опишите способы нахождения ответов Почему получились разные результаты? Известно, что от 1 до 1000000 содержится 142857 цифр. На сколько вы ошиблись?Самостоятельная работа учащихся (5 мин), после фронтальное обсуждение (10 мин).В результате обсуждения должны определится с терминами: Точное значение х; Приближенное значение а1, …, аn. Приближение - замена одних математических объектов другими, в том или ином смысле близких к исходным. Погрешность - задание точности приближенного числа. А. п. Обозначается e. e = |х - а|Задание 2: составьте схему отношения понятий х, а, e.фронтальное обсуждение (10 мин).Задание 3: Пусть а - приближенное значение числа х. Найти погрешность приближения, если: а) х=5,346 а=5,3 б) х=15,9 а=16 в) х=4,82 а=4,9Самостоятельная работа учащихся (10 мин)Тренировочное упражнение на нахождение А.п.

Тема 2: Связь точного, приближенного значений и абсолютной погрешности. ВГ и НГ, диапазон разброса. Нахождение точного как среднего.

(40 мин)

Цели:

Предметные:

oУказать связь точного, приближенных значений и абсолютной погрешности.

oВвести представления о ВГ и НГ, диапазоне разброса.

oВыявить способом нахождения точного значения как среднего.

Общекультурные:

oВвести норму высказывать свое мнение.

Методы:

oУяснение готового знания из устного источника.

Формы:

oСеминар;

oЛекция.

Средства:

oЗаписи на доске;

oУстная речь.


Блок 1: Работа с математической моделью.(20 мин)

ЗаданияФормы работыКомментарииЗадание 1: Вспомнить элементы, с которыми познакомились на прошлом занятии. Указать связь элементов.Фронтальный опрос. Устно.(x - точное значение величины, a - приближенное значение величины x, e=| x- a| - абсолютная погрешность.) Задание 2: В предложенных задачах выделить известные и неизвестные элементы. Можно ли их найти? Как? Указать на модели связь элементов. (10 мин) задача 1: Вес булочки должен равняться 120 граммам. Когда взвесили две готовые булочки, получили значения 123гр. и 118гр. Насколько ошиблись пекари? задача 2: Известно, что булочка должна весить 120гр. При взвешивании теста пользуются автоматическими весами, которые нечувствительны к уменьшению или увеличению веса на 5гр. Какая величина будет являться точной, а какая приближенной? Почему?Самостоятельное решение (5 мин); Фронтальное обсуждение (5 мин). Вопрос: Вы рассмотрели два варианта: Неизвестно а и e. Может ли быть еще вариант? Придумать свои задачи.Самостоятельное решение; Фронтальное обсуждение х неизвестным быть не может.

Блок 2: Понятия ВГ и НГ, диапазона разброса. Нахождение точного как среднего. (20 мин)

задача 1: а) На отрезке отметить точку 4/7. Б) На отрезок наложить другой отрезок, с отмеченными делениями.Игра. (коллективная работа) 10 мин.(ВГ, НГ, диапазон разброса). Точка 4/7 должна быть расположена между точками 3/7 и 5/7. Т.е. 3/7 - НГ; 5/7 - ВГ; (3/7; 5/7) диапазон разброса.Задача 2: Заданы границы изменяющейся величины х: А) 20 £ x £ 22; Б)3,7 £ x £ 4,1. Чему равно среднее значение? Назовите три приближенных значения х.Самостоятельная работа учащихся. 10 мин.Точное значение как среднее.

Подведение итогов.

Тема 3: Округление. Округление с заданной точностью.

(40 мин)

Цели:

oПовторить способы округления и округление с заданной точностью.

Методы:

oВыведение частных знаний из общих;

oУяснение готового знания из письменного источника.

Формы:

oСеминар.

Средства:

oЗаписи на доске;

oУстная речь;

oРаздаточный материал.


ЗаданияФормы работыКомментарииЗадание 1. (5 мин). Вопрос 1: Ответьте на вопрос, что значит округлять? Вопрос 2: Зачем бывает нужно округлять?Фронтальный опрос.Версии детей кратко записываются на доске: округлить - отбросить одну или несколько цифр, приближенно представить число с помощью конечного количества разрядов, Версии детей: уменьшить запись…Задание 2: Ответьте на вопросы, поставленные в задачах. (5 мин). Задача 1: Диаметр Земли составляет около 6400 км. Так пишут в учебниках географии. Каков порядок этого числа: измеряется ли расстояние в десятках, сотнях или тысячах километров? Задача 2: Расстояние от Красноярска до Москвы 3312км. Какое значение важно для путешественника?фронтальное обсуждениеЗадание 3: Прочтите правила округления. Есть ли среди этих правил неизвестное, малознакомое?Самостоятельная работа учащихся (5 мин.), фронтальное обсуждение (5 мин).Ученикам выдается текст: Вспомним правила округления. Правило 1: Если первая слева из отброшенных цифр меньше 5, то оставшиеся десятичные знаки не изменяются. Правило 2: Если первая слева из отброшенных цифр больше 5, то к последней оставшейся цифре прибавляют 1. Правило 3: Если первая слева из отброшенных цифр равна 5 и среди остальных отброшенных цифр имеются ненулевые, то к последней из оставшихся цифр прибавляют 1. Правило 4: Если первая слева из отброшенных цифр равна 5 и все остальные отброшенные цифры равны нулю, то последняя оставшаяся цифра сохраняется, если она четная, и увеличивается на 1, если она нечетная ( правило четной цифры).Задание 4: К одному из правил построить модель.Самостоятельная работа учащихся (3 мин.), фронтальное обсуждение (5 мин).На занятиях учеников обычно заинтересовывает правило 4, т. к. оно редко встречается и не предлагается в школьных учебниках. Можно построить следующую модель: H-нечетная цифра.Задание 5: Выполните. (10 мин) 1) Округлить, отбрасывая по одной цифре, Õ=3, 141592653… С какой точностью мы округляли? С точностью до какого разряда? 2) Округлить числа последовательно до тысячных, сотых, десятых долей, единиц, десятков, сотен, тысяч: 1. 3285,0584; 2. 6377,00753; 3. 1234,5336. 3) Представить в виде десятичной дроби с точностью до 0,1 число: 1. 13/8; 2. 17/25; 3. 39/129.Самостоятельная работа учащихся.Отработка. Округление с заданной точностью.

Подведение итогов. (2 мин.)

Тема 4: Знакомство с верными и значащими цифрами .

(40 мин)

Цели:

oВвести понятие верных цифр;

oВвести представление о значащих цифрах;

oРабота с верными и значащими цифрами.

Методы:

oУяснение готового знания из письменного источника;

oУяснение готового знания из устного источника.

Формы:

oСеминар;

oЛекция.

Средства:

oЗаписи на доске;

oУстная речь;

oРаздаточный материал.


ЗаданияФормы работыКомментарииЗадание 1: Отличаются ли записи 2,4 от 2,40; 4,05 от 4,050? С какой точностью округлили? (10 мин).фронтальное обсуждениеПредложенные версии детей кратко записываются на доске. Должны сформулировать следующее (предложат ученика или скажет учитель): Запись 2,4 означает, что верны только цифры целых и десятых (т.е. истинное значение числа может быть, например, 2,43 или 2,38). Запись 2,40 означает, что верны и сотые доли (истинное число может быть 2,403 или 2,398, но не 2,421 и не 2,382). Задание 2: Прочтите правило и примеры. Ответьте на вопросы. Понятно ли правило, если нет, то задайте вопросы. Придумайте свой пример. (15 мин).Самостоятельная работа. фронтальное обсуждение.Ученикам выдается текст: Верными называют цифры, если представленный ими результат имеет погрешность не более ½ младшего разряда. Пример 1: Если x = 20,04 и это значение имеет три верные цифры, то можно считать, что 19,95<x<20,05. Пример 2: x = 4,323 имеет две верные цифры. Каков диапазон разброса x? Пример 3: x = 4,3230 имеет 5 верных цифр. Каков диапазон разброса x?(5 мин). Задание 3: Выполните. 1) Приближенно значение числа x равно 3,6647. Если абсолютная погрешность равна 0,0007, то какие цифры числа будут верными? 2) Приближенно значение числа x равно 0,029560. Если абсолютная погрешность равна 0,00003, то какие цифры числа будут верными?Самостоятельная работа. фронтальное обсуждение.Задание на отработку.(8 мин). Задание 4: Прослушайте правило и выполните задание. Задание: Какие цифры в числах являются значащими? 0,09862; 652; 87200; 0,064504.Фронтальное объяснение. Фронтальное обсуждение.Объясняет учитель: Значащими называют все верные цифры числа, кроме нулей, стоящих впереди числа.

Подведение итогов. (2 мин).

Тема 5: Погрешность суммы и разности. Накопление погрешности при предварительном округлении.

(40 мин)

Цели:

oФормирование понимания возможности накопления погрешности.

oВыделение условий, при которых происходит накопление погрешности.

Методы:

oМетод эвристического поиска знаний.

oФормы:

oСеминар.

Средства:

oЗаписи на доске;

oРаздаточный материал.


ЗаданияФормы работыКомментарииЗадание 1: Найти сумму 25,3 + 0,442 + 2,741 а) не округляя слагаемые; б) округлить сумму до десятых долей; в) округляя до десятых долей каждое слагаемое. Самостоятельная работа учащихся. (5 мин).Ученики могут работать либо по парам, либо индивидуально. (задания выдаются ученикам на карточках).Задание 2: Найти сумму 52,861 + 0,2563 + 8,1 + + 57,35 + 0,0087 а) не округляя слагаемые; б) округлить сумму до десятых долей; в) округляя до десятых долей каждое слагаемое. Самостоятельная работа учащихся. (5 мин).Ученики могут работать либо по парам, либо индивидуально.Задание 3: а) сравните результаты в задании 1; б) сравните результаты в задании 2; в) что общего в полученных результатах? г) как можно объяснить получившиеся результаты? д) какой результат точнее? Самостоятельная работа учащихся. (5 мин). Фронтальное обсуждение. (12 мин).Работа разделена на два этапа: На первом этапе школьники обдумывают полученные результаты, обсуждают в парах. На втором этапе ученики обсуждают вместе, из-за чего получились разные ответы. При обсуждении должны заметить, что результаты отличаются на 0,1. В заключении нужно сформулировать, что разные ответы получились из-за накопления погрешности.Задание 4: Составьте пример, в котором бы происходило накопление погрешности при вычитании. Как вы придумали пример? Сравните свой пример с другими примерами, можно ли выделить что-то общее?Самостоятельная работа (3 мин). Фронтальное обсуждение (8 мин).Учащиеся должны представить свои примеры, рассказать, как они были придуманы.

Подведение итогов. (2 мин).

Тема 6: Относительная погрешность; предельные абсолютная и относительная погрешности.

(40 мин)

Цели:

oПредставление об относительной погрешности;

oПредставление о предельной абсолютной и относительной погрешностях;

Методы:

oМетод эвристического поиска знаний;

oУяснение готового знания из письменного источника.

Формы:

oСеминар;

oСамостоятельная работа.

Средства:

oЗаписи на доске;

oРаздаточный материал.


ЗаданияФормы работыКомментарииЗадание 1: Прочитать определение и выполнить задание.Самостоятельная работа, Фронтальное обсуждение (ученики предлагают свои способы, выбирают наиболее удачный вид записи). (10 мин).Раздаточный материал 1: Определение1: Относительной погрешностью приближенного числа называется отношение абсолютной погрешности приближенного числа к самому этому числу. Задание1: Составить формулу для нахождения относительной погрешности. Примечание: Относительную погрешность иногда записывают в процентах. Для этого нужно умножить результат на 100%.Задание 2: Прочитать определения и пример, ответить на предложенные вопросы. Затем вместе обсудить ответы. Самостоятельная работа, Фронтальное обсуждение. (10 мин).Раздаточный материал 2: Определение2: Число, заведомо превышающее относительную погрешность или равное ей, называется предельной относительной погрешностью. Определение3: Число, заведомо превышающее абсолютную погрешность или равное ей, называется предельной абсолютной погрешностью. Обозначения: D - дельта - предельная абсолютная погрешность; d - дельта малая - предельная относительная погрешность. Пример1: Продавец взвешивает арбуз на чашечных весах. В наборе гирь наименьшая - 50г. Взвешивание дало 6300г. Продавец нашел точный вес арбуза? 6300 - число приближенное. Абсолютная погрешность не превышает 50г. Объясните почему? Относительная погрешность не превосходит 50/6300»0,008. Почему? В данном примере, какие числа можно принять за предельные абсолютную и относительную погрешности? Задание 3: Придумать пример, аналогичный преложенному, и объяснить, по каким признакам пример аналогичный.Самостоятельная работа, Фронтальное обсуждение. (10 мин).Ученики придумывают примеры, затем предлагают их другим для общего обсуждения.Задание 4: Измерить длину и ширину тетрадного листа. Какова предельная относительная погрешность каждого измерения? Самостоятельная работа. (5 мин).Задание 5: Сравнить измерения, получившиеся у учеников.Фронтальное обсуждение. (5 мин).У учеников должны получиться разные результаты - иллюстрация возможности погрешности.

Тема 7: Погрешность произведения.

(40 мин)

Цели:

oПредставление о погрешности произведения.

Методы:

oМетод эвристического поиска знаний.

Формы:

oСеминар;

oСамостоятельная работа.

Средства:

oЗаписи на доске;

oРаздаточный материал.


ЗаданияФормы работыКомментарииЗадание 1: Найти площадь парты. Чему равна возможная ошибка?Самостоятельная работа. (5 мин).Ученики работают в парах.Вопрос: Каким способом вы находили площадь? Как находили погрешность измерений?Фронтальный опрос. (5 мин).В результате должны выделить два способа нахождения погрешности: Способ 1: найти погрешность каждого измерения (- предельные относительные погрешности сомножителей). Способ 2: сначала найти площадь, а потом погрешность.Задание 3: Найдите площадь при самых неблагоприятных случаях (две площади). Сравните три площади между собой. Самостоятельная работа. (10 мин).S - площадь, найденная перемножением полученных измерений; S< - площадь, если истинная величина больше получившейся. S> - площадь, если истинная величина меньше получившейся. - предельная относительная погрешность произведения.Задание 4: Сравните предельную относительную погрешность произведения и сумму предельных относительных погрешностей сомножителей.Фронтальное обсуждение. (5 мин).Сумма предельных относительных погрешностей сомножителей меньше, чем предельная относительная погрешность произведения.Задание 5: Предложите формулы, для нахождения предельной относительной погрешности произведения.Фронтальное обсуждение. (10 мин). Формула может и не быть получена. В этом случае работа может быть продолжена индивидуально.Задание 6: Как вы думаете, как записать формулу для n слагаемых?Фронтальное обсуждение. (5 мин).Постановка проблемы. Решение вопроса может быть продолжением работы.

Тема 8: Приближенное решение квадратных уравнений.

(2 часа, 40 мин.)

Цель: - Дать представление о месте приближенных вычислений;

-Познакомиться со способами нахождения приближенного решения квадратного уравнения;

Задача:

Формирование умения применять новые способы для решения задач.

математика факультативный творческий

План:

1. Организационный момент.2 мин. 2. Первый этап. О месте приближенных вычислений.10 мин. 3. Второй этап. Нахождение приближенного значения квадратного корня. 20 мин. 4. Четвертый этап. Способы приближенного решения квадратных уравнений. А) подбором.125 мин.: 20 мин. В) метод последовательных приближений. 45 мин. С) метод половинного деления. 25 мин. D) Аналогичная задача.35 мин.6. Подведение итогов.3 мин.

Предметные основания:

Необходимые знания учащихсяНеобходимые уменияПонятия: 1) точного, приближенного значений; 2) округления; 3) корня; 4) квадратного уравнения;1) находить значения функции по графику; 2) преобразовывать квадратные уравнения; 3) округлять.

Виды работ:

. Фронтальное объяснения;

. Работа учащихся у доски;

. Самостоятельная работа учащихся;

Средства:

1.записи на доске;

2.раздаточный материал.


План (развернутый).

Этапы.Формы/задачи/средства.Время.1. Организационный момент.2 мин.2. Первый этап. О месте приближенных вычислений. Формы: совместное обсуждение.10 мин.3. Второй этап. Нахождение приближенного значения квадратного корня.Задачи: Восстановление знаний о приближенном нахождении значения. Формы: совместное обсуждение (учащиеся предлагают свои версии, потом их обсуждают); Средства: записи на доске.20 мин.4. Третий этап. Способы приближенного решения квадратных уравнений. А) подбором. В) метод последовательных приближений. С) метод половинного деления. 125 мин.Формы: самостоятельная работа, совместное обсуждение.20 мин. Задачи: систематизировать знания о нахождении корня уравнения методом последовательных приближений; Формы: лекция (геометрическая интерпретация метода), совместное обсуждение (выведение метода последовательных приближений, нахождение приближенного корня уравнения), самостоятельная работа (нахождение приближенного корня уравнения); Средства: записи на доске, раздаточный материал (графики, теоретические карточки).45 мин. Задачи: систематизировать знания о нахождении корня уравнения методом половинного деления; Формы: совместное обсуждение (нахождение значения корня), лекция (представление метода); Средства: раздаточный материал (графики, теоретические карточки).20 мин. D) Аналогичная задача.Формы: совместное обсуждение.40 мин.6. Подведение итогов Примечание: постановка проблемы.3 мин.

ЗаданияФормы работыКомментарии Ответить на вопрос: Что является причиной появления приближенных чисел?совместное обсуждение (10 мин).(Учащиеся предлагают свои версии). У: (к предложенным версиям дополняется пропущенное, может быть будет предложено что-то новое, не отмеченное в а) - в). а) При измерении длин отрезков и площадей фигур, при взвешивании тел и других измерениях получаются числа, выражающие эти величины. Ввиду погрешностей измерения полученные числа являются приближенными значениями измеряемой величины. б) к ошибкам может привести неточность построения математической модели явления. (Неточная формула). в) использование традиционных методов решения алгебраических уравнений с помощью компьютера не может гарантировать точности результата вычислений. (При использовании простейших методов вычисления на компьютере используется восемь разрядов, при переполнении которых происходит накопление погрешности). Существует проблема: любой результат вычислений на МК выдается с конечным числом знаком из-за ограничений числа разрядов индикатора, ошибки округления накапливаются. Задание 1: -иррациональное число. Можно ли вычислить значение не пользуясь МК? Найдите минимальный интервал, в котором заключено значение это значение. Для облегчения работы предлагается проанализировать таблицу. (См. приложение 1). совместное обсуждение (20 мин).Любое действительное число можно заключить между двумя рациональными числами и, зажав между верхней и нижней границей, определить сколь угодно точно, но, тем не менее, приближенно.Вопрос: Как вы думаете, какое уравнение является квадратным? Задание 2: Приближенно найдите корень уравнения с точностью до сотых. х2 - 2х - 2=0. Для нахождения корня подставьте предложенные значения в уравнение и проанализируйте результаты. (См. значения в приложении 2). Задание 3: Нахождение приближенного корня методом последовательных приближений. х2 - 2х - 2 = 0 х2 = 2х +2 /х х = 2 + 2/х (См. приложение 3). Задание 4: Написать алгоритм нахождения корня.(кто-то из учеников должен пояснить, иначе пояснить учителю).самостоятельная работа (10 мин), совместное обсуждение (10 мин).Заметим, что для нахождения корня подбором нужно выбрать число, подставить его в уравнение. Если получится значение меньше 0, то нужно взять число больше, если получится значение больше 0, то взять число поменьше. самостоятельная работа (15 мин).На примере нужно найти значение корня. Для этого возьмем некоторое значение х и подставим в правую часть уравнения. Далее будем подставлять в правую часть уравнения те значения, которые получились в левой части. Выполнять до тех пор, пока не найдем значение корня с точностью до сотых, тысячных и т.д. совместное обсуждение (15 мин).Раздаточный материал 1: а) графически или методом проб находят первое приближение корня х = х0. х0 = первое приближение корня б) в правую часть уравнения х = 2 + 2/х подставим х0 и тогда х1 = 2 + 2/х0 - второе приближение корня. в) подставляем в правую часть уравнения х = 2 + 2/х х1 вместо х. х2 = 2 + 2/х1 - третье приближение корня. x3 = 2 + 2/х2 x4 = 2 + 2/х3 и т.д. Или алгоритм в общем виде: Пусть х = y(х) - левая часть уравнения; 2 + 2/х = j(х) - правая часть уравнения. y(х) = j(х) а) графически или методом проб находят первое приближение корня х = х0. х0 = первое приближение корня. б) в правую часть уравнения х = j(х) подставим х0 и тогда х1 = j(х). х1 - второе приближение корня. в) подставляем в правую часть уравнения х = j(х) х1 вместо х. х2 = j(х1); х2 - третье приближение корня. и т.дЗадание 5: При помощи шаблона построить графики функций у = х и у = 2 + 2/х. Постановка проблемы: Мы нашли значение уравнения двумя способами (подбором и методом последовательных приближений). Как вы думаете, какой метод проще? Почему?самостоятельная работа (постр. графиков ф-ций). совместное обсуждение, лекция (геом. Интерпретация). (15 мин).Раздаточный материал: шаблоны. Геометрическая интерпретация метода: 1) построим графики функций у = х и у = 2 + 2/х; 2) выберем некоторое приближенное значение корня х0 (в нашем случае х0 = 2) 3) проведем прямую х = х0. 4) прямая встретит рассматриваемые кривые в двух точках, выберем наиболее подходящую точку. 5) по найденному значению х = х0 определяем значение у(х0) =2 + 2/х0; х0 - первое приближение корня. 6) через точку А0 [х0,у(0)] проводим прямую, параллельную оси Ох, до пересечения в точке В1 с кривой у = х; 7) подставляем в уравнение у = х вместо у значение у0 = х0, решаем уравнение 2 + 2/х = х0 и находим значение х1 - второе приближение корня. 8) находим значение у1 = х1 и т. д.Спросить у учеников, как они думают, в чем заключается метод. После разбираем метод вместе. У: При нахождении корня методом половинного деления выбирается отрезок, содержащий корень, который в процессе работы сужается. Задание 6: найдите значение корня уравнения х2 - 2х - 2 = 0 методом половинного деления. (См. приложение 4). Постановка проблемы: Мы нашли значение корня уравнения тремя способами (подбором, методом последовательных приближений и методом половинного деления). Как вы думаете, какой метод проще? Почему? совместное обсуждение (нахождение значения корня, 15 мин), лекция (представление метода, 10 мин).Метод половинного деления. Представим уравнение х2 - 2х - 2 = 0 в виде х = 2 + 2/х; Построим графики у = х У = 2 + 2/х; а) Значение х точки пересечения графиков будет являться корнем уравнения х2 - 2х - 2 = 0. б) Выберем отрезок [а, b], содержащий точку пересечения. в) Отрезок [a, b] делим на две части точкой z1 = (a+b)/2. г) Если z12- 2z1 - 2 = 0 то z1 - искомый корень. Если z12- 2z1 - 2 ¹0, то из двух отрезков [a,z1] и [z1,b] выберем тот для которого значение функции у = х2 - 2х - 2 на его концах имеет разные знаки и обозначим его через [a1,b1]. Если теперь взять точку Z2=(a1+b1)/2 то снова или z22- 2z2 - 2 = 0 или z22- 2z2 - 2 ¹0 и т.д.Задание 7. Найти значение корня методом последовательных приближений: х2 - 7= 0. Для упрощения подсчетов воспользуйтесь таблицей. (См. приложение 5). Задание 8: При помощи шаблонов постройте графики функций у = х и у = 7/х и отметьте получившиеся значения. Постановка проблемы: Любое ли уравнение можно решить методом последовательных приближений? Для каких уравнений метод работает? Задание 9: Придумайте квадратное уравнение, которое можно решить методом последовательных приближений. Задание 10: Придумайте квадратное уравнение, которое нельзя решить методом последовательных приближений. Задание 11: Представить получившиеся уравнения. совместное обсуждение (10 мин). Самостоятельная работа (10 мин). Самостоятельная работа (10 мин); совместное обсуждение (5 мин).Постоянно получается только два значения. Значение не приближается к точке пересечения, только движется по кругу. Можно разделиться на две группы. Одна группа выполняет задание 9, другая - задание 10.

.Подведение итогов.

У: Что сегодня узнали, чему научились? Какие проблемы сформулировали?


Приложение 1.

1<2<41<<2152 = 2.251<2<2.251<<1.51.22 = 1.44 1.44<2<2.251.2<<1.51.42 = 1.961.96<2<2.251.4<<1.51.452 = 2.10251.4<2<2.10251.4<<1.451.412 = 1.98811.41<2<2.10251.41<<1.451.422 = 2.01641.41<2<2.01641.41<<1.42

Приложение 2.

Х =2; X = 3; Х = 2.1; X = 2.9; X = 2.2; X = 2.8; X = 2.3; X = 2.4; X = 2.5; X = 2.6; X = 2.7; X = 2.71; X = 2.79; X = 2.72; X = 2.78; X = 2.77; X = 2.76; X = 2.75; X = 2.74; X = 2.73

Приложение 3.

Х0 = 2; Х1 = 3; Х2 = 2»2.(6); Х3 = 2»2.75; Х4 = 2»2.(72); Х5 = 2»2.7(3); Х6 = 2»2.7317073; Х7 = 2»2.7321428.

Приложение 4.

Отрезок [2;3] содержит точку пересечения графиков. 1) z1 = (2 +3)/2 = 2.5; Получили два отрезка: [2;2.5] и [2.5;3]. Для отрезка [2;2.5] значения функции имеют разные знаки. 2) z2 = (2 + 25)/2 = 2.25; Получили два отрезка: [2;2.25] и [2.25;2.5]. Для отрезка [2.25;2.5] значения функции имеют разные знаки. 3) z3 = (2.25 + 2.5)/2 = 2.375; Получили два отрезка: [2.25;2.375] и [2.375;2.5]. Для отрезка [2.375;2.5] значения функции имеют разные знаки. 4) z4 = (2.375 + 2.5)/2 = 2.4375; Получили два отрезка: [2.375;2.4375] и [2.4375;2.5]. Для отрезка [2.4375;2.5] значения функции имеют разные знаки.

Приложение 5.

х = 7/х. х0 = 3; х1 = 7/3; х2 = 3; х3 = 7/3.

Приложение 5


Красноярская университетская гимназия «Универс» №1

Кафедра математики


Творческая работа

Изучение скорости сходимости разных методов при решении квадратных уравнений


Выполнил:

Ученик 8 «Б» класса

Цой Сергей

Научные руководители:

Преподаватель математики

Гимназии «Универс»

Сидорова О.В.

Студентка 5 курса КГУ

Коробейникова Н.А.


Красноярск, 2002

План


Введение

I. Теоретическая часть

II. Практическая часть:

. Нахождение значений двух равенств и определение более точного равенства

. Нахождение корня уравнения методом половинного деления отрезка

. Метод последовательных приближений

Вывод

Литература

Приложения


Введение


Почему я выбрал эту тему?

В последний день выездной Школы молодого ученого, которая проходила в ноябре, нам представили несколько тем творческих работ. Одной, из которых была: Приближенные вычисления и накопление погрешности, она заинтересовала меня. А именно, меня заинтересовало то, что два равенства имели приблизительно один и тот же результат. И я решил разобраться, как так получается? Позже мы доказали, что эти два равенства выведены из одного квадратного уравнения. В ходе работы над предложенной темой были открыты новые области для исследования. Предложенная тема расширилась. В дальнейшем мы исследовали скорость сходимости разных методов при решении квадратных уравнений.

Таким образом, задача нашей творческой работы заключается в исследовании скорости сходимости разных методов при решении квадратных уравнений.

Нами были выделены следующие этапы ее решения:

Нахождение корня квадратного уравнения двумя способами и выбор наиболее эффективного способа.

Изучение методов половинного деления и последовательных приближений.

Применение метода последовательных приближений к разным типам квадратных уравнений.

Выведение условия, при выполнении которого квадратное уравнение можно решить методом последовательных приближений.

Нами были выделены гипотезы:

1.Из равенств и , равенство, имеющее вид , дает более точный результат.

2.Методом последовательных приближений можно решить любое квадратное уравнение.

В первой части нашей работы представлены теоретические сведения, во второй части мы предлагаем ход нашего исследования.

Результатом нашей творческой работы является то, что равенство, имеющее вид , дает более точный результат и методом последовательных приближений можно решать лишь те квадратные уравнения, которые подчиняются выведенному условию.


I. Теоретическая часть


При решении практических задач часто приходиться делать приближенные вычисления. Возникает вопрос: насколько точно полученное значение. Сколько верных цифр в этом числе? В каких пределах заключается точное его значение? Заметим, что верными называются цифры, если представленный ими результат имеет погрешность не более младшего разряда. Для определения погрешности важно знать об источниках ее возникновения. Выделим причины возникновения погрешностей при решении задач:

1)математическое описание задачи является неточным, в частности неточно заданы исходные данные описания;

2)применяемый для решения метод часто не является точным: получение точного решения возникающей математической задачи требует неограниченного или неприемлемо большого числа арифметических операций; поэтому вместо точного решения задачи приходится прибегать к приближенному;

)при выполнении арифметических операций производятся округления.

Разработана типология погрешностей в соответствии с причинами, т. е. выделяют три типа погрешности.

Типы погрешности, соответствующие этим причинам:

1)неустранимая погрешность:

погрешность, являющаяся следствием неточности задания числовых данных, входящих в математическое описание задачи;

погрешность математической модели:

погрешность, являющаяся следствием несоответствия математического описания задачи реальности;

2)погрешность метода;

3)вычислительная погрешность.

В нашей работе затронут один тип погрешности, а именно, вычислительная погрешность. Она появляется при нахождении корней квадратных уравнений, при выполнении арифметических операций.

Заметим, что квадратным уравнением называют уравнение вида:

2 + bx + c = 0,


а квадратным корнем из числа A называют такое число, которое в квадрате дает число A.

При решении математических задач, далеко не всегда бывает нужно знать абсолютно точный ответ, достаточно найти его приближенное значение, с приемлемой точностью. Более того, часто указать точный результат в виде числа невозможно. Например, при решении некоторого уравнения в ответе мы получили . Чтобы получить числовой результат, следует заглянуть в таблицы квадратных уравнений или вооружиться калькулятором. Ну а если в нужный момент их не окажется под рукой, то придется рассчитывать только на свои силы. Существует много способов приближенного вычисления корней.

Приближенное значение можно найти с заданной точностью, например, с точностью до сотен, десятков, единиц, десятых, сотых и т. д.

Остановимся подробнее на термине приближение. Приближенным значением числа A называют число a, незначительно отклоняющееся от точного числа А и заменяющее последнее в вычислениях. Если а < A, то а называют приближенным значением A по недостатку, а если а > A - приближенное значение А по избытку.

Под скоростью сходимости мы подразумеваем то, насколько быстро некоторое число приближается к корню заданного уравнения.

При нахождении корней квадратного уравнения мы использовали два метода: последовательных приближений и половинного деления.

Чтобы пользоваться этими методами, необходимо квадратное уравнение f(x) = 0 переписать в виде . Будем рассматривать уравнение .

Метод последовательных приближений

а) графически или методом подбора находят первое приближение корня уравнения .

х = х0 - первое приближение корня.

б) в уравнение подставим х0 и тогда х1 = - второе приближение корня.

в) подставляем в уравнение х1 = х1 вместо х0.

х2 = - третье приближение корня.

г) таким образом, приближения получаются по следующей схеме:


х1 = ;

х2 = ;

х3 = ;

х4 = и т.д.


Этот метод имеет геометрическую интерпретацию:

а) изобразим кривые у = х и у = .

б) выберем некоторое приближенное значение корня х0.

в) проведем прямую х = х0.

г) прямая встретит рассматриваемые кривые в двух точках, выберем наиболее подходящую точку.

д) по найденному значению х = х0 определяем значение у = .

х0 - первое приближение корня.

Метод проделан на графиках, представленных в приложении.

Метод половинного деления

1.Построим графики функций:


у = х

у = .


2.Выберем отрезок [а, b], содержащий точку пересечения.

3.Отрезок [a, b] делим на две части точкой z1 = (a+b)/2 ;

.Если f(z1) = 0 то z1 - искомый корень. Если f(z1) ¹ 0, то из двух отрезков [a,z1] и [z1,b] выберем тот, для которого значение функции у = f(х) на его концах имеет разные знаки, и обозначим его через [a1,b1]. Если теперь взять точку Z2=(a1+b1)/2 то снова или f(z2) = 0 или f(z2) ¹ 0 и т.д.

В ходе работы нами были выделены критерии оценки методов:

. Вычислительная погрешность.

.Точность, которую вычисляют с помощью погрешностей и построения графиков.

.Быстрота - это то, как быстро можно вычислить приблизительно точные значения.


II. Практическая часть


1. Нахождение значений двух равенств и определение более точного равенства

В самом начале работы нами были рассмотрены равенства:


) . 2)


В первом равенстве х мы находили двумя способами. Опишем эти способы подробнее.

Способ 1: При нахождении х мы производили операцию округления в ходе решения.


Х1 = » 1,4142; Х2 = »1,5538;

Х3 = » 1,5981; Х4 = » 1,6118;

Х5 = » 1,6161;

Х6 = » 1,6174;

Х7 = » 1,61785;

Х8 = » 1,61798;

Х9 = » 1,6180.


Способ 2: Этот способ очень трудоемкий. Уже на втором шаге нужно проделывать большое количество операций.


А) Х1 =

х= 2

х1 = 1,4142;

б) Х2 =

х= 1 + 2+ 1 +1 = 3 + 2


Таким образом, при нахождении значения удобнее пользоваться первым способом. Он менее трудоемкий. Второй способ более трудоемкий и при этом также требует предварительного округления, например, при нахождении .

Значения второго равенства мы находили следующим образом:


X1 = 1 +

X2 =

X3 =

X4 =

X5 =

X6 =

X7 =

X8 =

X9 =

X10 =


При нахождении значений в ходе выполнения операций мы не производили округление.

Было замечено, что оба эти равенства можно записать в общем виде. В самом деле, второе равенство в общем виде будет иметь вид: , а первое равенство в общем виде: . Кроме того, эти уравнения получены из одного:


/

(возведем в квадрат)


Так как равенства получены из одного и того же уравнения, то мы можем сравнить значения и выбрать из них наиболее эффективное равенство.

Выгоднее пользоваться равенством , так как не происходит предварительного округления, а значит, погрешность не накапливается.

В равенстве на 1-4 шагах одна устойчивая цифра, на 5,6 - три устойчивые цифры. (см. графики в приложениях 3, 4).

В равенстве на 1,2 шагах одна устойчивая цифра, на 3,4 -две, с пятого шага - три устойчивые цифры. (см. графики в приложениях 1, 2).

Таким образом, уравнения и - являются обобщениями наших равенств. При этом, они выведены из одного квадратного уравнения:

X2 - x - 1 = 0.

Заметим, что квадратные уравнения имеют два корня, но мы для простоты исследования возьмем только один - положительный.


2. Нахождение корня уравнения методом половинного деления отрезка

Найдем корень уравнения другим методом. Воспользуемся методом половинного деления отрезка.

Представим уравнение в другом виде: . Построим графики функций: у = х; у = . (Графики представлены в приложении 1). Точка пересечения графиков - корень уравнения. Графики пересекаются в двух точках. Мы будем рассматривать только одну. Второй корень находится по аналогии. Выберем промежуток, на котором находится точка. Это промежуток [1;2]. Пользуясь методом половинного деления получаем следующие результаты.

Отрезок [1; 2] содержит точку пересечения графиков.


2)z1 = (1 +2)/2 = 1.5;


Получили два отрезка: [1; 1.5] и [1.5; 2].

Для отрезка [1.5; 2] значения функции имеют разные знаки. В самом деле,


- 1 - 1 = -1;

.52 - 1.5 - 1 = -0.25;

- 2 - 1 = 1.

) z2 = (1.5 + 2)/2 = 1.75;


Получили два отрезка: [1.5; 1.75] и [1.75; 2].

Для отрезка [1.5; 1.75] значения функции имеют разные знаки. В самом деле,


.52 - 1.5 - 1 = -0.25;

.752 - 1.75 - 1 = 0.3125;

- 2 - 1 = 1.

) z3 = (1.5 + 1.75)/2 = 1.625;

Получили два отрезка: [1.5; 1.625] и [1.625; 1.75].

Для отрезка [1.5; 1.625] значения функции имеют разные знаки. В самом деле,


.52 - 1.5 - 1 = -0.25;

.6252 - 1.625 - 1 = 0.015625;

.752 - 1.75 - 1 = 0.3125.

) z4 = (1.5 + 1.625)/2 = 1.5625;


Получили два отрезка: [1.5; 1.5625] и [1.5625; 1.625].

Для отрезка [1.5625; 1.625] значения функции имеют разные знаки. В самом деле,


.52 - 1.5 - 1 = -0.25;

.56252 - 1.5625 - 1 = -0.12109375;

.6252 - 1.625 - 1 = 0.015625.

) z5 = (1.5625 + 1.625)/2 = 1.59375;


Получили два отрезка: [1.5625; 1.59375] и [1.59375; 1.625].

Для отрезка [1.59375; 1.625] значения функции имеют разные знаки. В самом деле,


.56252 - 1.5625 - 1 = -0.12109375;

.593752 - 1.59375 - 1 = -0.053710937;

.6252 - 1.625 - 1 = 0.015625.

) z6 = (1.59375 + 1.625)/2 = 1.609375;


Получили два отрезка: [1.59375; 1.609375] и [1.609375; 1.625].

Для отрезка [1.609375; 1.625] значения функции имеют разные знаки. В самом деле,

1.593752 - 1.59375 - 1 = -0.053710937;

.6093752 - 1.609375 - 1 = -0.019287109;

.6252 - 1.625 - 1 = 0.015625.

) z 7= (1.609375 + 1.625)/2 = 1.6171875;


Получили два отрезка: [1.609375; 1.6171875] и [1.6171875; 1.625].

Для отрезка [1.6171875; 1.625] значения функции имеют разные знаки. В самом деле,


.6093752 - 1.609375 - 1 = -0.019287109;

.61718752 - 1.6171875 - 1 = -0.001891589;

.6252 - 1.625 - 1 = 0.015625.

) z 8= (1.6171875 + 1.625)/2 = 1.62109375;


Получили два отрезка: [1.6171875; 1.62109375] и [1.62109375; 1.625].

Для отрезка [1.6171875; 1.62109375] значения функции имеют разные знаки. В самом деле,


.61718752 - 1.6171875 - 1 = -0.001891589;

.621093752 - 1.62109375 - 1 = 0.006851196;

.6252 - 1.625 - 1 = 0.015625.

) z 9= (1.6171875 + 1.62109375)/2 = 1.619140625;


Получили два отрезка: [1.6171875; 1.619140625] и [1.619140625; 1.62109375].

Для отрезка [1.6171875; 1.619140625] значения функции имеют разные знаки. В самом деле,


1.61718752 - 1.6171875 - 1 = -0.001891589;

.6191406252 - 1.61940625 - 1 = 0.002475738;

.621093752 - 1.62109375 - 1 = 0.006851196.

) z 10= (1.6171875 +1.619140625) /2 = 1.618164063;


Получили два отрезка: [1.6171875; 1.618164063]и [1.618164063; 1.619140625].

Для отрезка [1.6171875; 1.618164063] значения функции имеют разные знаки. В самом деле,


.61718752 - 1.6171875 - 1 = -0.001891589;

.6181640632 - 1.618164063 - 1 = 0.00029084;

.6191406252 - 1.61940625 - 1 = 0.002475738.


На десятом шаге мы нашли корень уравнения с точностью до сотых:


х » 1.61.


Метод половинного деления очень трудоемкий, требует построения графиков для определения промежутка, на котором находится корень. Причем, только на десятом шаге мы получили значение с тремя устойчивыми цифрами.

Нахождение корня уравнения методом последовательных приближений

Решим методом последовательных приближений уравнение.


Х2 - х - 1 = 0

Х2 = х +1 /х

Х = 1 + 1/х

а) графически или методом проб находят первое приближение корня

х = х0. (см. график в приложении 1, в приложении 2 представлены графики только с положительной точкой пересечения).

Х0 = первое приближение корня

б) в правую часть уравнения х = 1 + 1/х подставим х0 и тогда х1 = 1 + 1/х0 - второе приближение корня.

в) подставляем в правую часть уравнения х = 1 + 1/х х1 вместо х.


Х2 = 1 + 1/х1 - третье приближение корня.


г) таким образом, приближения получаются по следующей схеме:


х1 = 1 + 1/х0

Х2 = 1 + 1/х1

Х3 = 1 + 1/х2

Х4 = 1 + 1/х3 и т.д.


Были получены следующие значения:


Х0 = 2;

Х1 = 1,5;

Х2 = ;

Х3 = = 1.6;

Х4 = =1.625;

Х5 = »1.6154;

Х6 = »1.6191;

Х7 = »1.6177;

Х8 = ;

Х9 =

Х10 =


3. Метод последовательных приближений

Нахождение приближенного корня методом последовательных приближений для уравнения:


Х2 - 2х - 2 = 0

Х2 = 2х +2 /х

Х = 2 + 2/х


а) графически или методом проб находят первое приближение корня

х = х0. (см. приложение 9, в приложении 10 увеличенные графики с положительной точкой пересечения).

Х0 = первое приближение корня

б) в правую часть уравнения х = 2 + 2/х подставим х0 и тогда х1 = 2 + 2/х0 - второе приближение корня.

в) подставляем в правую часть уравнения х = 2 + 2/х х1 вместо х.

Х2 = 2 + 2/х1 - третье приближение корня.

г) таким образом, приближения получаются по следующей схеме:


х1 = 2 + 2/х0

х2 = 2 + 2/х1

х3 = 2 + 2/х2

х4 = 2 + 2/х3 и т.д. Х0 = 2;

х1 = 3;

х2 = 2»2.(6);

х3 = 2»2.75;

х4 = 2»2.(72);

х5 = 2»2.7(3);

х6 = 2»2.7317073;

х7 = 2»2.7321428.


Метод последовательных приближений не требует построения графиков, так как за начальное приближение корня можно взять любое число. Графики здесь приведены для подтверждения, для геометрической интерпретации. Этот метод менее трудоемкий. Пользуясь им можно найти значение с любой степенью точности.

А для любого ли уравнения этот метод работает? Рассмотрим неполное квадратное уравнение и решим его методом последовательных приближений.


x2 - 7 = 0

x2 = 7 /x

x =


Метод последовательных приближений:


x0 = 3; х1 = » 2.(3); х2 = 7: = 3; х3 = » 2.(3); х4 = 7: = 3;

х5 = » 2.(3); х6 = 7: = 3; х7 = » 2.(3).


Мы получаем только два значения. Попробуем в качестве x0 взять другое значение. Пусть x0 = 5; х1 = = 1.4; х2 = 7: = 5; х3 = = 1.4; х4 = 7: = 5; х5 = = 1.4; х6 = 7: = 5; х7 = = 1.4.

Значения не приближаются к корню. (Геометрически: приложение 5, увеличенный график с положительной точкой - приложение 6).

Рассмотрим еще одно уравнение


x2 - 3 = 0

x2 = 3 /x

x =


Метод x0 = 2; х1 = = 1.5; х2 = 3: = 2; х3 = 1.5; х4 = 3: = 2;


х5 = = 1.5; х6 = 3: = 2; х7 == = 1.5.


Мы получаем только два значения. Попробуем в качестве x0 взять другое значение. Пусть x0 = 5; х1 = = 0.6; х2 = 3: = 5; х3 = = 0.6 ;


х4 =3: = 5; х5 = = 0.6; х6 =3: = 5; х7 = = 0.6.


Опять получается только два значения, причем эти значения не приближаются к некоторому числу. (см. приложения 7,8).

Мы нашли два вида уравнений. Для одного вида можно найти корень методом последовательных приближений, а для другого нельзя. Возникает вопрос, от чего это зависит.

Нами было замечено, что в уравнениях, для которых метод последовательных приближений работает, разность между соседними приближениями постоянно уменьшается. В уравнениях, для которых метод последовательных приближений не работает, эта разность остается постоянной. Т. е., выполняется условие:


| x2- x3 | £ a| x1 - x2 |, a Î (0, 1).


Применим условие к рассматриваемым уравнениям.

Выполняется ли условие для уравнения X2 - x - 1 = 0?


| x2- x3 | = | | = ;

| x1 - x2 | = || = ;


£ a , a Î (0, 1) - условие выполняется.

Выполняется ли условие для уравнения x2 - 7 = 0?



, при a Î (0, 1) - условие не выполняется.

Мы выделили условие, при выполнении которого можно найти корень уравнения методом последовательных приближений. Это условие является принципом сжимающих отображений. В данной работе доказательство принципа не приводится. Это может быть дальнейшим исследованием.


Вывод


В своей работе мы пришли к выводу, что равенства и , получены из одного уравнения Х2 - х - 1 = 0. При этом, при нахождении значений с помощью равенства , мы получаем более точные значения, так как при нахождении значений предварительного округления не происходит.

При нахождении приближенного значения корня уравнения наиболее оптимальным является метод последовательных приближений. Нами было выделено условие, при соблюдении которого, можно найти корни квадратного уравнения методом последовательных приближений. Это условие можно записать в таком виде: | x2- x3 | £ a| x1 - x2 |, a Î (0, 1).


Литература


1.Зверкина Г.Л. Приближенные вычисления. / Энциклопедия для детей. Т. 11. Математика / Глав. Ред. М.Д. Аксенова. - М.: Аванта+, 1998.

2.Бахвалов Н.С. Численные методы. М.: Наука, 1973.

3.Математика: Школьная энциклопедия. М.: Дрофа, 1997.

4.Энциклопедический словарь юного математика. М.: педагогика, 1989.

.Каплан И.А. Практические занятия по высшей математике. Харьков, Харьковский университет, 1972.


Приложение 1



Приложение 2



Приложение 3



Приложение 4



Приложение 5



Приложение 6



Приложение 7



Приложение 8



Приложение 9



Приложение 10



Теги: "Приближенные вычисления" – разработка факультативного курса и проектирование творческой задачи для 7-8 классов  Диплом  Педагогика
Просмотров: 37914
Найти в Wikkipedia статьи с фразой: "Приближенные вычисления" – разработка факультативного курса и проектирование творческой задачи для 7-8 классов
Назад