Приближение функций

ВВЕДЕНИЕ

Овладеть практическими навыками применения простейших алгоритмов линейного и нелинейного сглаживания данных (функций, заданных табличным способом) и их численного дифференцирования, а также получение навыков проведения оценок полученных результатов относительно погрешностей и коэффициентов обусловленности.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Для заданного ряда экспериментальных измерений функции в равноотстоящих узлах . Требуется произвести сглаживание результатов измерений, представленных таблично (Таблица 1). Для этого необходимо использовать алгоритмы линейного и нелинейного сглаживания.

Выполнить численное дифференцирование для исходных и сглаженных данных, используя формулы численного дифференцирования, основанные на формуле Бесселя и на второй формуле Гаусса.

Для заданных формул численного дифференцирования вычислить коэффициенты обусловленности, сравнить полученные значения и сделать рекомендации по применению соответствующих методов.

Определить оптимальное значение шага численного дифференцирования для достижения заданного значения точности решения. Сравнить полученное значение оптимального шага с заданным шагом аргумента в табличном представлении функции и сделать соответствующие рекомендации по изменению процедуры проведении последующих измерений значений функции.

2. ВЫПОЛНЕНИЕ РАБОТЫ

.1 MEDSMOOTH и SUPSMOOTH

Проведем сглаживание данных с использованием встроенных функций MEDSMOOTH и SUPSMOOTH.

Присваиваем переменной ORIGIN значение, равное единице.

Из таблицы 1 введем исходные данные и разместим их в массивах (x), (y).

Рисунок 1 - Графическое сравнение функций medsmooth и supsmooth с исходной функцией

2.2 Линейное сглаживание данных по трем и пяти точкам

Используя алгоритм линейного сглаживания данных по трем точкам изобразим на одном графике исходные (у) и сглаженные данные.

Рисунок 2 - График данной функции и сглаженных данных (по трем точкам)

Проведем линейное сглаживание данных по пяти точкам и построим графики исходных и сглаженных данных.

Рисунок 3 - График данной функции и сглаженных данных (по пяти точкам)

2.3 Нелинейное сглаживание данных по семи точкам

Проведем нелинейное сглаживания по семи точкам и изобразим на одном графике исходные и сглаженные данные. сглаживание.

Рисунок 4 - График данной функции и сглаженных данных (по семи точкам)

Построим таблицы сглаженных данных, полученных разными методами.

Таблица 1 - Исходные данные и данные, полученные в результате сглаживания линейными и нелинейным методами

xYZ3Z5Z70.1158.6578.6528.6318.6570.128.2938.3038.2748.2940.1257.9587.9677.9847.9580.137.6497.6577.6727.6490.1357.3627.3697.3837.3620.147.0967.1027.1147.0960.1456.8486.8546.8656.8480.156.6176.6226.6316.6170.1556.46.4046.4136.3050.166.1976.2016.4096.1490.1656.0066.3436.6176.3110.176.8266.8296.9966.8810.1757.6577.5927.3487.5480.188.2937.977.6778.0210.1857.9587.9677.7848.0370.197.6497.6577.6527.730.1957.3627.3367.3637.3340.26.9967.0697.0947.1580.2056.8486.826.6456.9620.216.6176.2885.8116.1740.2155.45.0715.0135.0760.223.1973.8674.2093.6940.2253.0063.0093.232.8680.232.8262.8242.2142.854

2.4 Сравнение результатов сглаживания

Рисунок 5 - Графическое сравнение результатов сглаживания с исходной функцией

Сравним (графически) линейные и нелинейный методы сглаживания с исходной функцией.

Анализируя график, можно сделать вывод о том что наиболее точным является метод medsmooth.

2.5 Численное дифференцирование исходных и сглаженных данных

Для численного дифференцирования данных воспользуемся формулами, приведенными ниже. Вычисления выполним в среде MathCAD, результаты сравним графически.

Рисунок 6 - Сравнение результатов дифференцирования исходных и сглаженных данных

Изменим шаг дифференцирования, уменьшив его в 4 раза.

Рисунок 7 - Сравнение результатов дифференцирования исходных и сглаженных данных (шаг уменьшен в 4 раза)

Изменим шаг дифференцирования, увеличив его в 4 раза.

Рисунок 8 - Сравнение результатов дифференцирования исходных и сглаженных данных (шаг увеличен в 4 раза)

В результате делаем вывод о том, что при уменьшении шага, получаем более точный результат.

2.6 Численное дифференцирование исходных и сглаженных данных с помощью второй формулы гаусса и формулы Бесселя

Формула Бесселя имеет вид:

Формула Гаусса имеет вид:

Выполним преобразование формулы с учетом, что

Тогда формулы Бесселя и Гаусса примут вид для исходных данных:

Таблица 2 - Первая и вторая производные по методу Бесселя и Гаусса

B1B2Ga1Ga2-64.3331.024e3-69.4441.027e3-59.507909.633-64.668892.867-55.205814.033-60.515778.467-51.335737.233-56.884684.067-47.802679.233-53.674609.667-44.511640.033-50.787555.267-41.37619.633-48.122520.867-38.284618.033-45.578506.467-35.158635.233-43.057512.067-31.9671.233-40.458537.667-28.415726.033-37.68583.267-24.608799.633-34.625648.867-20.387892.033-31.192734.467-15.6571.003e3-27.28840.067-10.3231.133e3-22.791965.667-4.2931.282e3-17.6241.111e32.5281.45e3-11.6781.277e310.2351.636e3-4.8551.462e318.921.841e32.9461.668e328.6782.065e311.8261.894e339.6042.308e321.8832.139e351.792.57e333.2182.405e3

Сравним результаты полученные методами Гаусса и Бесселя.

Рисунок 9 - Сравнение результатов первой производной по формуле Бесселя и Гаусса

Сравним результаты полученные методами Гаусса и Бесселя.

Рисунок 10 - Сравнение результатов второй производной по формуле Бесселя и Гаусса

Полученные результаты имеют достаточно большой разбеги и сильно разнятся по значению, что свидетельствует о плохой обусловленности задачи.

Под обусловленностью вычислительной задачи понимают чувствительность ее решения к малым изменениям погрешностей исходных данных. Задачу называют хорошо обусловленной, если малым погрешностям исходных данных отвечают малые погрешности решения, и плохо обусловленной, если возможны существенные изменения решения. Мерой степени обусловленности вычислительной задачи является число обусловленности. Эту величину можно интерпретировать как коэффициент возможного возрастания погрешностей в решении по отношению к вызвавшим их погрешностям входных данных.

Вычислим коэффициенты обусловленности, основанные на второй формуле Гаусса:

линейный сглаживание гаусс бессель

Так как 6000 намного больше единицы, то задача плохо обусловлена, то есть малым погрешностям исходных данных соответствуют существенные изменения в решении.

Вычислим коэффициенты обусловленности, основанные на формуле Бесселя:

Так как 10000 намного больше единицы, то задача плохо обусловлена, то есть малым погрешностям исходных данных соответствуют существенные изменения в решении.

Вычислим оптимальное значение шага дифференцирования.

Оценка максимальной погрешности интерполяции исходной функции на всем отрезке дифференцирования [a, b] для четырёх узлов интерполяции (n=3) удовлетворяет условию:

, где

Полная погрешность представляет собой сумму вычислительной погрешности и погрешности интерполяции на интервале дифференцирования и не превосходит величины:

Минимизация по h функции ?1(h) приводит к следующей формуле для вычисления оптимального значения шага дифференцирования:

Из полученных значений можно сделать вывод, что оптимальное значения шага дифференцирования намного превышает значение шага в нашей функции. Следовательно, чтобы задача стала хорошо обусловленной, следует взять шаг h=0.275.

ВЫВОД

В ходе данной лабораторной работы были проведены процедуры сглаживания - линейного по трем и пяти точкам и нелинейного по семи точкам, а также сглаживание с использованием функций MEDSMOOTH и SUPSMOOTH. Сравнивая полученные результаты, можно сделать вывод, что сглаживание по трем и пяти точкам, а также функция SUPSMOOTH дают самые гладкие графики, в то время как нелинейное сглаживание по семи точкам, и функция MEDSMOOTH дают более приближенные к оригинальным значения.

В результате выполнения численного дифференцирования для данных, с использованием формул численного дифференцирования, основанных на второй формуле Гаусса и на формуле Бесселя. Были вычислены коэффициенты обусловленности (6000 для формулы Гаусса и 10000 для формулы Бесселя), сравнив полученные значения, был сделан вывод о том, что задача плохо обусловлена для обоих методов численного дифференцирования.

Также было определено оптимальное значение шага численного дифференцирования для достижения заданного значения точности решения: . Сравнив полученное значение оптимального шага с заданным шагом аргумента (h=0.005) в табличном представлении функции, был сделан вывод, что при проведении последующих измерений значений функции следует увеличить шаг для лучшей обусловленности задачи.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1.Учебно-методические пособие «Методы решения задач вычислительной математики» для изучения дисциплины «Алгоритмы и методы вычислений» для студентов направления подготовки «Компьютерная инженерия» дневной и заочной форм обучения. / Сост. Е.В. Козлова. - Севастополь: Изд-во СевНТУ, 2009.

2.Методические указания к выполнению лабораторной работы №2 «Приближение функций» по дисциплине «Алгоритмы и методы вычислений» для студентов направления подготовки «Компьютерная инженерия» дневной формы обучения /Сост. Е.В. Козлова. - Севастополь: Изд-во СевНТУ, 2014.- 16с.