Метод многомерной нелинейной оптимизации – метод наискорейшего спуска

Радиотехнический факультет


ОТЧЕТ

по лабораторной работе:

"Метод многомерной нелинейной оптимизации - метод наискорейшего спуска"


Самара 2013

Задание


1Изучить особенности метода многомерной нелинейной оптимизации - метод наискорейшего спуска;

2Разработка математической модели и алгоритма для выбранного метода;

По составленному алгоритму написать демонстрационный вариант программы, отражающий основные этапы выбранного метода на языке программирования Borland Delphi 7.


Реферат


Пояснительная записка __ с, 6 рисунков, 3 источника, 1 приложение.

МЕТОД НАИСКОРЕЙШЕГО СПУСКА, МИНИМУМ ФУНКЦИИ, ГРАДИЕНТНЫЕ МЕТОДЫ, НЕЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИИ.

Цель работы - изучение методов нахождения минимума функций градиентным методом наискорейшего спуска, моделирование метода и нахождение минимума функции двух переменных с помощью ЭВМ.

Часто, при исследовании функций сигналов РЭА возникает потребность нахождения экстремума этой функции. Такие задачи относятся к нелинейному программированию. Одними из наиболее реализуемых методов решения этих задач являются градиентные методы, в частности, метод наискорейшего спуска

Содержание


1. Теоретические основы метода

2. Алгоритм программы

3. Листинг программы

4. Контрольный пример

Заключение

Список использованных источников

1. Теоретические основы метода


В этом методе из некоторой начальной точки движение осуществляется вдоль направления градиента до тех пор, пока производная по этому направлению не будет равна нулю. Далее из этой точки определяем новый градиент и т.д. Отличие здесь в том, что длина шага из точки Xk определяется из условия, чтобы обеспечить [2]:



Эту вспомогательную задачу одномерной оптимизации можно решать на основе рассмотренных методов прямого поиска (дихотомии и т.д.)

Наискорейший и покоординатный методы называют методами с длинным шагом. Кроме этого существуют методы, использующие вторую производную для определения длины шага, например, метод Ньютона [2]:


Xk+1=Xk+ [F (Xk)] - 1g (Xk)


где [F (Xk)] - 1 - обратная матрица вторых производных в точке Xk.

Рассмотрим нахождение минимума функции двух переменных


.


Задаемся исходной точкой (x0; y0).

. Сначала найдём частные производные по x и y:


.


нелинейная оптимизация наискорейший спуск

2. Если обе производные в точке (x0; y0) равны нулю, то задача решена, и минимум функции находится в этой точке. В противном случае необходимо определить координаты новой точки (x1; y1):


,

.


. Теперь полученные значения принимаем за исходные (x1=x0; y1=y0) и возвращаемся к пункту 2.

Шаг t находится из условия минимума функции: . То есть необходимо найти такое значение t, при котором функция имеет минимум. В нашем случае:


;


Минимум этой функции находится из равенства первой ее производной по t к нулю:

Отсюда находим t:


.


Для некоторых нелинейных функций этот процесс не позволяет найти такие значения x и y, при которых производная равнялась бы нулю. Поэтому для обеспечения конечности числа итераций в этом случае вводим точность Е, тогда вычисления прекращаются либо когда производная в точке становится равной нулю (в этом случае значение Е задается равным нулю), либо когда |xk-1 - xk| будет меньше наперед заданной точности Е.

2. Алгоритм программы


3. Листинг программы


unit Unit1;, Messages, SysUtils, Variants, Classes, Graphics, Controls, Forms,, StdCtrls, ExtCtrls;= class (TForm): TLabeledEdit;: TLabeledEdit;: TLabeledEdit;: TLabeledEdit;: TButton;: TLabel;: TLabel;: TLabeledEdit;: TLabeledEdit;: TLabel;: TLabel;: TLabel;: TLabel;: TLabeledEdit;: TLabel;Button1Click (Sender: TObject);

{ Private declarations }

{ Public declarations };: TForm1;, B, C, D, E: real;: array [0.100] of real;: array [0.100] of real;: array [0.100] of real;: array [0.100] of real;: array [0.100] of real;: integer;

{$R *. dfm}TForm1. Button1Click (Sender: TObject);l1;(LabeledEdit1. Text='') or (LabeledEdit2. Text='') or (LabeledEdit3. Text='') or (LabeledEdit4. Text='') or (LabeledEdit5. Text='') or (LabeledEdit6. Text='') or (LabeledEdit7. Text='') then. Caption: ='Заполните все поля! '. Caption: ='';: =strtofloat (LabeledEdit1. Text);: =strtofloat (LabeledEdit2. Text);: =strtofloat (LabeledEdit3. Text);: =strtofloat (LabeledEdit4. Text);: = strtofloat (LabeledEdit7. Text);[0]: =strtofloat (LabeledEdit5. Text);[0]: =strtofloat (LabeledEdit6. Text);: =0;[i]: =A+2*C*x [i];[i]: =B+2*D*y [i];( (dx [i] <>0) and (dy [i] <>0)) {or ( (dx [i] >E) or (dx [i] < (0-E))) and ( (dy [i] >E) or (dy [i] < (0-E))) }dot [i]: = ( ( (A+2*C*x [i]) *dx [i]) + ( (B+2*D*y [i]) *dy [i])) / ( (2*C*sqr (dx [i])) + (2*D*sqr (dy [i])));[i+1]: =x [i] - t [i] *dx [i];[i+1]: =y [i] - t [i] *dy [i];( ( (x [i+1] - x [i]) <=E) and ( (x [i+1] - x [i]) >= (0-E))) and ( ( (y [i+1] - y [i]) <=E) and ( (y [i+1] - y [i]) >= (0-E))) thenl1 else[i+1]: =A+2*C*x [i+1];[i+1]: =B+2*D*y [i+1];: =i+1;;: begin. Caption: ='xmin = '+floattostr (x [i]);. Caption: ='ymin = '+floattostr (y [i]);. Caption: ='Минимум функции F (x,y) ='+floattostr (A) +'x+'+floattostr (B) +'y+'+floattostr (C) +' (x) ^2+'+floattostr (D) +' (y) ^2 с заданной точностью равен: ';

end;;;.

4. Контрольный пример


Рисунок 1 - Начальное окно программы


Рисунок 2 - Задание параметров в программу


Рисунок 3 - Результат расчетов по выбранному методу

Заключение


В ходе данной работы был изучен метод многомерной нелинейной оптимизации - метод наискорейшего спуска, разработан алгоритм решения поставленной задачи, написана и отлажена программа в среде программирования Borland Delphi 7.0. [3]. С помощью данной программы можно решать задачу по нахождению точек минимума функции двух переменных, с заданной точностью расчётов.

Список использованных источников


1СТО СГАУ 02068410-004 - 2007. Стандарт организации. Общие требования к учебным текстовым документам [Текст] - Самара: СГАУ, 2007. - 30с.

2Матюнин, С.А. Методы Гаусса-Зейделя и наискорейшего спуска [Текст] /: методические указания для выполнения лабораторных работ/С.А. Матюнин, Б.В. Скворцов. - Самара: СГАУ, 1996. - 19с.

Баженова, И.Ю. Delphi 7. Самоучитель программиста [Текст] /И.Ю. Баженова. - М.: КУДИЦ - Образ, 2003. - 448с.

Фленов, М.В. Библия Delphi [Текст] / М.В. Фленов. - СПБ.: БХВ-Петербург, 2011. - 686с.


Теги: Метод многомерной нелинейной оптимизации – метод наискорейшего спуска  Практическое задание  Математика
Просмотров: 3364
Найти в Wikkipedia статьи с фразой: Метод многомерной нелинейной оптимизации – метод наискорейшего спуска
Назад