Задачи о точках с рациональными координатами


Задачи о точках с рациональными координатами


Автор Фильчев Э.Г.


Россия


В результате анализа дерева ПТ возникли ряд интересных задач о пифагоровых треугольниках с целочисленными значениями сторон. Решение этих задач может найти практическое использование в геодезии, в атомных и молекулярных структурах, и в астрономических расчетах.


Y


М(x, y )


Z y


0 X x

Рис. 1 Точка в прямоугольной системе координат


Считаем, что координаты точки М имеют целочисленные значения.


Задача 1


Имеем массив ПТ с x и y. Известно, что в этом массиве имеются такие ПТ, у которых при одинаковых значениях x имеют место разные пары значений y и z. Требуется определить метод нахождения ПТ с одинаковыми значениями x

Значения X могут быть четными или нечетными. Для четных значений имеем

= 2m2 + 2mn= 2m(m + n ), тогда y = n2 + 2mn = n (n + 2m ) ( 1 )


Для нечетных значений имеем

= n2 + 2mn = n (n + 2m ), тогда y = 2m2 + 2mn = 2m(m + n ) ( 2 )

При z = n2 + 2mn + 2m2 = ( n + m )2 + m2 ( 3 )

. Пусть ( J ) x = 2m2 + 2mn, следовательно ( ? ) x = 2m(m + n ), y = n (n + 2m ).


Рассмотрим ПТ( 4, 3, 5 ). Здесь x = 4 = 2? 1?( 1 + 1 ) ? m = 1, n = 1. Других вариантов, представления в виде двух целых сомножителей, нет. Вывод: Других ПТ с x = 4 нет.

. На втором уровне дерева ПТ находятся три ПТ, а именно ПТ1( 120, 119, 129 ),

ПТ2( 12,5, 13 ), ПТ3( 15, 8, 17 ). Рассмотрим каждый из этих ПТ. Здесь x > y.

.1. J имеем ПТ1( 120, 119, 169 ). Здесь x = 120 = 2? 60 ? = 60, Число 60 имеет следующие варианты в виде двух целочисленных сомножителей 60 = 1?60 = 2? 30 = 3?20 = 4?15 = 5?12 = 6?10. Итого имеем 6 ПТ с x = 120. Определим эти ПТ.

.1.1. J x = 2? 1? 60. По формуле ( 1 ) x = 2m(m + n ) ? m = 1, (m + n ) = 60 ? n = 59. Определим элементы ПТ.

= 2m2 + 2mn = 2 + 2?1?59 = 120, y = n2 + 2mn = 3481 + 118 = 3599,

z = n2 + 2mn + 2m2 = 3599 + 2 = 3601? ПТ1( 120, 3599, 3601 ).


.1.2. Аналогично получим ПТ2( 120, 896, 904), ПТ3( 120, 391, 409), ПТ4( 120, 209, 241 ),

ПТ5 ( 120, 119, 169 ), ПТ6( 120, 64, 136 ). Здесь имеют место как основные, так и не основные ПТ. Так, например, ПТ2( 120, 896, 904) и ПТ6( 120, 64, 136 ) - это не основные ПТ. Итого, при x = 120 получили 4 ПТ

ПТ1( 120, 3599, 3601 ), ПТ3( 120, 391, 409), ПТ4( 120, 209, 241 ), ПТ5 ( 120, 119, 169 ).

. J x имеет нечетные значения ? x = n2 + 2 mn = n ( n + 2m ). Рассмотрим ПТ( 15, 8, 17 ).

Здесь имеем x = 1? 15 = 3?5

.1 J x = 1? 15 ? n = 1, m = 7. Определим y = 2m2 + 2mn = 98 + 14 = 112 ? z = 113.

.2 J x = 3? 5 ? n = 3, m = 1. Определим y = 2m2 + 2mn = 2 + 6 = 8 ? z = 17

Таким образом при x = 15 имеем ПТ1( 15, 8, 17) и ПТ2( 15, 112, 113).

Задача решена!

Выводы 1. Число ПТ с четным целочисленным значением x равно числу вариантов в виде двух сомножителей.

. Число ПТ с не четным целочисленным значением x равно числу вариантов представления x в виде двух сомножителей.

. В числе полученных ПТ могут иметь место не основные ПТ.

Пример 1. Как элемент основного ПТ, задано x = 93240. Необходимо определить все ПТ с этим значением x.

Решение. 1. Определяем сомножители числа 93240. 93240 faktor ? 23?32?5?7?37

. Заданное число x - четное. Поэтому определяем = 22?32?5?7?37

. Определяем все возможные пары сомножителей числа

? 46620 = 1? 46620 = 2?23310 = 3? 15540 = 4?11655 = 5? 9324 = 6?7770 = 7? 6660 = 9?5180

= 10?4662 = 12?3885 = 14?3330 = 15? 3108 = 18? 2590 = 20? 2331 = 21?2220

= 28?1665 = 30? 1554 = 35?1332 = 36?1285 = 37?1260 = 42? 1110 = 45?1036

= 60? 777 = 63? 740 = 70? 666 = 74? 630 = 84? 555 = 90? 518 = 105? 444 = 111? 420

= 126? 370 = 140? 333 = 148? 315 = 180? 259 = 185? 252 = 210? 222

В результате получили 36 вариантов представления числа = 46620 в виде двух сомножителей, что соответствует утверждению В прямоугольной системе координат имеется 36 пифагоровых треугольников с целочисленными сторонами, при условии, что один из катетов равен числу 93240 .

. Определим эти ПТ. Пусть x = 2m2 + 2mn = 93240 ?

? m = 15, ( m + n ) = 3108 ? n = 3108 - 15 = 3093. Теперь, имея значения m и n , по формулам Системы mn параметров, вычислим значения всех элементов ПТ.

x = 2m2 + 2mn = 93240, y = n2 + 2mn = 30932 + 2?15?3093 = 9659439, z = y + 2mn

? z = 9659439 + 2?152 = 9659889. Получили ПТ(93240, 9659439, 9659889 ).

Аналогично определяются остальные 35 ПТ. Все 36 ПТ представлены в таблице 1.

пифагоров треугольник сомножитель задача

Таблица 1

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

Из данных этой таблицы следует, что если в значениях m и n имеется общий множитель, то ПТ является не основным. Так, например, ПТ ( 93240, 6707776, 6708424 ) - это не основной ПТ. Если разделить каждый из элементов на 8, то получим основной ПТ(11655, 838472, 838553).

Определим в таблице 1 не основные ПТ.

Строка 2 . Здесь имеем m =2, n = 23308, x = 93240, y = 543356096, z = 543356104 .

Запишем числа (x, y, z ) в виде произведения сомножителей ? x = 93240 faktor = 23?32?5?7?37,

y = 543356096 faktor = 26? 31?47?5827, z = 543356104 faktor = 23?3?29881. В этих числах общим множителем имеем 23 = 8. Сократим на 8 каждый из элементов, тогда получим основной ПТ,

ПТ ( 11655, 67919512, 67919513 ). Из данных таблицы 1 следует, что при x = 93240 имеется 17 основных ПТ и 19 не основных ПТ. Значения m, записанные в виде кортежа, для основных ПТ имеют вид ( 1, 4, 5, 7, 9, 20, 28, 35, 37, 45, 60, 63, 111,140, 148, 180,185 ).

Задача 1 Задано значение четное значение x, как элемент основного пифагорова треугольника (ПТ), необходимо определить все ПТ с данным значением x .

Данная задача в методическом представлении может иметь два варианта:

указать методику определения всех ПТ

при заданном четном числе x, определить все ПТ при разделении полученных данных на основные и не основные ПТ.


Задача 2


Задано значение нечетное значение x, как элемент основного пифагорова треугольника (ПТ), необходимо определить все ПТ с данным значением x .

В задаче 2 x = n2 + 2mn = n?( n +2m ). Здесь x надо записать в виде двух сомножителей. При этом за n надо принять меньший множитель. Тогда больший множитель будет равен ( n +2m ).


? m = .


Далее методика, определения ПТ, как в примере 1.

В заключении можно сделать два утверждения

Утверждение 1 Для четных значений x, как элемента исходного ПТ, в соответствии с Системой mn параметров, x = 2m(m + n ). При этом общее число ПТ, как основных, так и не основных равно числу вариантов представления исходного числа x в виде двух сомножителей .

Утверждение 2 Для нечетных значений x, как элемента исходного ПТ, в соответствии с Системой mn параметров, x = n (n + 2m). При этом общее число ПТ , как основных, так и не основных равно числу вариантов представления исходного числа x в виде двух сомножителей .

Предложенная задача может найти применение в геодезии, в атомных и молекулярных структурах, и в астрономических расчетах.


Теги: Задачи о точках с рациональными координатами  Статья  Математика
Просмотров: 8453
Найти в Wikkipedia статьи с фразой: Задачи о точках с рациональными координатами
Назад