Минералогия

      Министерство  Образования и Науки  Российской Федерации

               Государственное Образовательное  Учреждение

                   Оренбургский Государственный Университет.

                                    Кафедра  геологии

                   Факультет Вечернего и Заочного Обучения

                    Контрольная работа по Кристаллографии и

                                         Минералогии.

                           

Выполнил: студент Вечернего и                                                                       Заочного обучения Мулюков Фарид

Курс 1   Группа 07 ГС  Специальность ГС

Проверила:  Дёмина Тамара Яковлевна

 

                                              

                                                Содержание.

1.Закономерности  роста кристаллических

          многогранников……………………………………………………………………….. 3

2 Сложение (сочетание) элементов симметрии. Теоремы

          и доказательства……………………………………………………………………….6

3 Порядок осей симметрии. Элементарный

          угол поворота…………………………………………………………………………..10

4 Список использованной литературы……………………………………………..13

                                                                                                

 

  1.Закономерности  роста кристаллических многогранников.

          Когда кристалл растет, частицы вы­страиваются в закономерные и сим­метричные ряды, сетки, решетки. Грани кристаллических многогранников со­ответствуют плоскостям, составленным из материальных частиц, ребра кри­сталла — линиям пересечения этих плоскостей, т. е. рядам материальных частиц. Центры масс частиц могут об­разовать плоские сетки и ряды ре­шетки. Очевидно, любой ряд в струк­туре соответствует возможному ребру кристалла, а любая плоскость — воз­можной грани кристалла.

Кристалл растет так, что частицы вещества из окружающей среды отла­гаются на его гранях. Грани нарастают параллельно самим себе (рис. 1). Меняются площади граней, их форма, какие-то грани могут вытесняться со­седними и зарастать, но взаимный на­клон граней остается неизменным. По­этому углы между гранями тоже оста­ются постоянными.

  рис.  1

Схема параллельного  нарастания  граней кри­сталла Стрелками  изображены  

нормали  к  граням

В этом заключается количественный закон кристаллографии, открытый Николаем Стеноном (1669) —закон постоянства углов:

во всех кристаллах данного веще­ства при одинаковых условиях углы между соответствующими гранями кристаллов постоянны.

В законе под одинаковыми условиями по­нимаются одинаковые температура и давле­ние. Тем самым подразумевается, что, если у вещества есть несколько полиморфных моди­фикаций, речь здесь идет об одной модифи­кации.

     Кристаллы разных веществ отлича­ются друг от друга внешней формой. У кристаллов одного и того же веще­ства облик (габитус) может оказаться совсем различным, размеры, формы и даже число граней разные, но углы между соответствующими гранями кристаллов одного вещества всегда постоянны.

  Закон постоянства углов дает воз­можность свести все многообразие форм кристаллических многогранни­ков к совокупности углов между гра­нями изобразить их с помощью про­екции. Этот закон сыграл огромную роль в развитии кристаллографии. До открытия дифракции рентгеновских лучей и разработки рентгеноструктурного анализа кристаллические вещест­ва характеризовали и отличали одно от другого только по углам между их гранями. Основным методом диагно­стики кристаллических веществ были измерение углов между гранями с по­мощью угломерного прибора, так на­зываемого гониометра — прикладного или отражательного. Метод гониометрии не утратил своего значения и в настоя­щее время.

 рис.  2

К выводу условия Вульфа — Брэгга

Грани кристаллического многогран­ника соответствуют определенным сет­кам структуры, поэтому углы между гранями отвечают углам между пло­скими сетками в структуре кристалла. Теперь эти углы измеряют с помощью рентгенограмм, для чего не обязатель­но иметь большой кристалл с правиль­ной внешней огранкой, а достаточно крупинки кристаллического вещества. Поскольку длины волны рентгеновско­го излучения соизмеримы с межатом­ными расстояниями в кристаллических структурах, кристаллы являются при­родными дифракционными решетками. Именно с помощью дифракции рентге­новских лучей было доказано решет­чатое строение кристаллов (М. Лауэ, 1912). Схема, поясняющая дифракцию, дана на рис. 2: So — пучок монохро­матических рентгеновских лучей, па­дающих под углом 8 на семейство па­раллельных атомных плоскостей, S — пучок дифрагированных лучей. Диф­рагированные лучи усиливают друг друга, если согласно условию интер­ференции разность хода Д между ни­ми равна целому числу длин волн, т.е.

А = rik    (п = 1, 2, 3, ...).

Из чертежа видно, что разность хо­да между падающим и        

       дифрагированным  лучами равна

Д= РО + OQ = 2РО = 2d sin 0.

Чтобы волны, рассеянные двумя со­седними плоскими сетками (а значит, и всем семейством параллельных пло­ских сеток), дали максимум интенсив­ности, необходимо выполнение основ­ного закона дифракции рентгеновских лучей в кристаллах:

2dsin9 = nX   (л = 1, 2, 3, ...)•    (1.1)

Это равенство выражает условие Вуль­фа — Брэгга *.

Иначе говоря, если луч с длиной волны X падает на совокупность па­раллельных атомных плоскостей, от­стоящих друг от друга на расстоя­нии d, то он порождает дифрагирован­ный луч, идущий так, как шел бы луч, отраженный под углом 8. Таким обра­зом, при определенных углах падения плоские сетки в структуре кристалла могут «отражать» рентгеновские лучи. Эти отражения (точнее, максимумы интенсивности дифрагированных лу­чей) можно зарегистрировать на фото­графической пластинке с помощью ионизационного спектрометра. Симмет­ричный, закономерный узор на рентге­нограмме, отобража­ет симметрию и закономерность струк­туры кристалла и дает возможность измерять расстояния между атомны­ми плоскостями и углы между ними, которые на многогранных формах кри­сталлов являются углами между гра­нями. По рентгенограммам на основа­нии условия (1.1) можно изучать структуры кристаллов, находить меж­плоскостные расстояния d, диагности­ровать кристаллические вещества.

 

2 Сложение (сочетание) элементов симметрии. Теоремы и доказательства.

В симметричных многогранниках опе­рации симметрии сочетаются друг с другом. Не все сочетания элементов симметрии возможны: так, например, ось 4 (L₄) не может быть перпендику­лярна оси 3 (Lз) или оси 6 (L₆). Два последовательно выполненных сим­метричных преобразования всегда могут быть заменены эквивалентным третьим преобразованием.

Все возможные сочетания элемен­тов симметрии четко ограничены не­сколькими теоремами о сочетании операций (или элементов) симметрии.

Ниже приводятся нестрогие доказательства этих теорем или поясняющие их иллюстратив­ные примеры.

Теорема 1. Линия пересечения двух плоскостей симметрии является осью симметрии, причем угол поворота во­круг этой оси вдвое больше угла меж­ду  плоскостями.

Доказательство этой теоремы (оче­видной каждому, кому доводилось рас­сматривать себя в двух поставленных под углом зеркалах) ясно из равен­ства ААКО и А А КО, а также АА'ОР   и АА"ОР на рис. 3.

Рис. 3

К теоремам 1 и 1а

Последовательные отражения фигурки (запятой) в двух зеркалах, поставленных под углом а, эквивалентны повороту на угол 2а вокруг оси, перпендикуляр ной плоскости чертежа в точке О
        
         Теорема 1a (обратная). Поворот вокруг оси симметрии на угол а эквивалентен отражениям в двух плоскостях симметрии, проходящих вдоль оси; угол  между плоскостями    равен а/2, причем отсчет угла производится в направлении поворота.

Доказательство теоремы очевидно из того же рис. 3.

Теорема 2. Точка пересечения чет­ной оси симметрии с перпендикуляр­ной ей плоскостью симметрии есть центр симметрии.

 Рис. 4

К теоремам 2, 2а и 26

На первой проекции рис. 4 показа­но действие оси 4, перпендикулярной плоскости чертежа, на второй — дейст­вие плоскости симметрии, совпадаю­щей с плоскостью чертежа. Очевидно, сочетание этих двух преобразований даст картину, показанную на рис. 4 справа, где для каждой грани имеется парная, связанная с ней центром симметрии. В международных символах такое сочетание обозначается 4/т, или

—, в общем случае n/т, где n — порядок оси. Черта в символе означает, что плоскость перпендикулярна оси.

Теорема 2а (обратная). Если есть четная ось симметрии и на ней центр симметрии, то перпендикулярно этой оси проходит плоскость симметрии.

Теорема 26 (обратная). Если есть центр симметрии и через него прохо­дит плоскость симметрии, то перпен­дикулярно этой плоскости через центр проходит четная ось симметрии.

Действие теорем 2а и 26 видно на рис. 4.

Теорема 3. Если есть ось симмет­рии порядка n и перпендикулярно этой оси проходит ось 2, то всего име­ется n осей 2-го порядка, перпендикулярных оси n-го порядка.

Покажем это на проекции для слу­чая, когда ось 2, лежащая в плоско­сти чертежа, перпендикулярна оси 3 (рис. 5). Поворот вокруг оси 2 пе­реведет фигуру А в положение А', по­ворот вокруг оси 3 переведет А в Б я В, А' — в Б' и В'. Но, очевидно, каж­дая пара фигур, Б и Б' или В и В', связана между собой также и поворо­тами вокруг оси 2, проходящей меж­ду ними в плоскости чертежа, т.е. имеется не одна ось 2, а три такие оси.

Эту теорему легко понять также и по самому определению оси симмет­рии: вокруг оси n любой объект сим­метрично повторяется n раз. Обозна­чения  такого   сочетания:  n2   (L_nnL₂).

   Рис.  5

К теореме 3

Теорема 4. Если есть ось симмет­рии n-го порядка и вдоль нее прохо­дит плоскость симметрии, то таких плоскостей имеется п.

Иллюстрацией теоремы служит рис. 6. Плоскость т, проходящая вдоль оси 3, преобразует фигуру А в А'. Поворот вокруг оси 3 преобразует А в Б. и В, А' в Б' и В'. Но каждая паpa, Б и Б' или В и В', связана между собой и отражением в плоскости сим­метрии, т. е. всего имеется три про­дольные плоскости т. Обозначения: пт (L„nP).

 

Рис. 6

К теореме 4

Теорема 5 (теорема Эйлера). Равно­действующей двух пересекающихся осей симметрии является третья ось, проходящая через точку их пересече­ния.

Рис. 7 иллюстрирует эту теорему для случая, когда две оси 2 лежат в плоскости чертежа, пересекаясь под углом а: поворот вокруг первой оси приводит фигуру А в положение Б, по­ворачивая ее с лицевой стороны «на­изнанку», а поворот вокруг второй оси — в положение В, снова поворачи­вая фигуру «с изнанки на лицо». Ко­нечный результат оказывается таким же, как и в случае пересечения двух плоскостей , хотя про­межуточные операции различны. Очевидно, фигуру В можно было бы получить также и поворотом фигуры А в плоскости чертежа на угол 2а во­круг оси симметрии, проходящей че­рез точку пересечения заданных осей.

К теореме 5

Рис. 7

Теорема 6. Плоскость, проходящая вдоль четной инверсионной оси сим­метрии, приводит к .появлению оси 2-го порядка, перпендикулярной инверси­онной оси и проходящей по биссект­рисе угла между плоскостями.

Рис. 8 иллюстрирует эту теорему для случая оси 4. Прежде всего заме­тим, что инверсионная ось 4 является одновременно простой осью симмет­рии 2, а по теореме 4, если задана од­на плоскость симметрии вдоль оси 2, значит, неизбежно появляется и вто­рая плоскость симметрии. С помощью оси 4 переводим фигуру из положения А через положение А' в положение Б , а с помощью второй плоскости — из Б в положение В. Можно видеть, что фигура А связана с фигурой В также   и   поворотом в оси 2-го порядка, проходящей по биссектрисе угла между плоскостями симметрии. Действительно, это ось 2, а не плоскость т: фигура В поверну­та белой стороной, а фигура А — чер­ной, т. е. произошел поворот с «лица наизнанку». Таким образом, от добав­ления продольной плоскости симмет­рии к оси 4 появились вторая продоль­ная плоскость т и две оси 2. Полное сочетание элементов симметрии запи­сывается как Lj2L₂2P P, или L₄2L₂2PC, международный символ 42т.

Аналогично, если добавить плос­кость вдоль оси 6, получим сочетание L6"3L₂3P, или, что то же самое, L₃3L₂4P   (или 6т2).

Полное сочетание элементов симмет­рии кристаллического многогранни­ка называется его классом симметрии, или точечной группой симметрии.

Сложение элементов симметрии, ко­торое выше производилось    графически, можно производить и матричным методом. Сочетание элементов сим­метрии получается путем перемноже­ния соответствующих матриц.

Рис.  8

К теореме 6

3 Порядок осей симметрии. Элементарный угол поворота.

Осью симметрии называется пря­мая линия, при повороте вокруг ко­торой на некоторый определенный угол фигура совмещается сама с со­бой. Порядок оси симметрии п пока­зывает, сколько раз фигура совмес­тится сама с собой при полном обороте вокруг этой оси. У куба есть три оси 4-го порядка (4, L₄), которые про­ходят через центры противоположных граней, четыре оси 3-го порядка (3, Ls), являющиеся пространственными диагоналями куба, и шесть осей 2-го порядка (2, L₂), проходящих через середины пар противоположных ребер . Соответственно углы пово­рота для них 2я/4, 2я/3, 2л/2. Все оси симметрии куба пересекаются в одной точке в центре куба. Полный набор элементов симметрии куба (см. на рис  9).

Рис 9.

Плоскости симметрии куба и их стереографические проекции:  а – три координатные плоскости симметрии; б, в – шесть диагональных плоскостей симметрии.

Центр симметрии (центр инверсии, центр обратного равенства)—особая точка внутри фигуры, характеризую­щаяся тем, что любая прямая, прове­денная через центр симметрии, встре­чает одинаковые (соответственные) точки фигуры по обе стороны от цент­ра на равных расстояниях. Симмет­ричное преобразование в центре сим­метрии— это зеркальное отражение в точке  :  каждая точка фигурки отражается в центре так, что фигурка как бы поворачивается при этом «с лица наизнанку»

Отражение в плоскости, поворот во­круг оси симметрии, зеркальное отра­жение в центре симметрии представ­ляют собой конечные, или точечные, симметричные преобразования. При этих преобразованиях фигура не пере­мещается как целое и хотя бы одна ее точка остается на месте.

В природе и в произведениях искус­ства можно найти примеры осей сим­метрии различного порядка; так, у пятиконечной звезды есть ось симмет­рии 5-го порядка (L₅); у ромашки или подсолнуха ось симметрии м-го поряд­ка (L_n), где п — число лепестков цвет­ка (полагаем, что все они одинако­вы). У кругового конуса есть одна ось симметрии бесконечного порядка oo(L<x>), через нее проходит бесконечное число плоскостей симметрии. У шара имеется бесконечное число осей симметрии бесконечного порядка: каждый диаметр шара является та­кой осью. В свою очередь через каж­дый диаметр шара проходит бесконеч­ное число плоскостей симметрии.

Формально можно говорить и об оси симметрии 1-го порядка: любая фигура, даже несимметричная, сов­местится сама с собой при полном обороте вокруг любой оси, проходя­щей через эту фигуру.

Невозможность осей 5-го порядка. Принцип Кюри

В кристаллах возможны только оси симметрии 1, 2, 3, 4, 6. В кристаллах невозможны    оси    симметрии 5-го порядка и порядка, большего 6-и. Это ог­раничение обусловлено тем, что кри­сталлическое вещество — бесконечная система материальных частиц, сим­метрично повторяющихся в простран­стве. Такие симметричные бесконеч­ные ряды, сетки, решетки, непрерыв­но заполняющие пространство, несов­местимы с осями 5, 7 и других поряд­ков.

    Ранее говорилось, что у куба есть три оси 4 (3Z.₄) четыре оси 3 (4L₃), шесть осей 2 (6L2). Ось 4    выходит в центре грани куба, там же пересека­ются четыре плоскости симметрии 4т(L₄4P). Нарисуем на такой грани рав­носторонний треугольник. У самого треугольника есть ось 3 (L₃) и вдоль нее  три   плоскости симметрии3m(L₃3P). Но если треугольник нахо­дится на грани куба, то квадрат и тре­угольник «теряют» оси симметрии и часть плоскостей, а «выживает» толь­ко одна общая плоскость симметрии рис. 10.

Рис.10

Это частные случаи принципа Кю­ри: если накладываются друг на друга два явления или явление и окружаю­щая его среда, то сохраняется    лишь та симметрия, которая является об­щей для обеих. В реальных кристаллах постоянно приходится учитывать такое наложе­ние и взаимодействие операций сим­метрии, но на первых порах мы будем рассматривать симметрию самой гео­метрической фигуры, не учитывая ее окружения.

                             Список использованной литературы.

1) М.П. Шаскольская   «Кристаллография» - М, «Высшая школа», 1984

 

    2) Успенская М. Е, Посухова Т. В. «Минералогия с основами кристаллографии и петрографии»  - М, Изд-во МГУ

   3) Булах А.Г. «Минералогия с основами кристаллографии» -  М, Недра, 1989

  4) Интернет портал(window.edu.ru)

  5) Бетехтин А.Г. Курс минералогии. М, Недра, 1956