Определите среднюю ожидаемую доходность, дисперсию, среднеквадратическое отклонение и коэффициент отклонения, если известны доходности акции по годам:
Год | 1 | 2 | 3 | 4 |
Доходность | 12% | 8% | 6% | 14% |
Решение:
Среднее значение вычислим по формуле:
.
.
Дисперсию вычислим:
.
Год | 1 | 2 | 3 | 4 | сумма | среднее |
Доходность | 12 | 8 | 6 | 14 | 40 | 10 |
4 | 4 | 16 | 16 | 40 | 10 |
Среднее квадратическое отклонение:
Коэффициент отклонения (Коэффициент вариации):
Ответ: средняя ожидаемая доходность акции за период равна 10%; абсолютное отклонение доходности акции от средней ожидаемой доходности составило 3,65%; совокупность считается неоднородной, поскольку коэффициент вариации превышает 33 %.
Определите ковариацию и коэффициент корреляции, если доходности по акциям А и В распределены следующим образом:
А | 0,05 | 0,04 | 0,02 | 0,1 |
В | 0,06 | 0,08 | 0,01 | 0,07 |
Решение:
Коэффициент ковариации:
Составим вычислительную таблицу:
|
|
|
|
| сумма | среднее |
|
А | 0,05 | 0,04 | 0,02 | 0,1 | 0,21 | 0,05 |
|
В | 0,06 | 0,08 | 0,01 | 0,07 | 0,22 | 0,06 |
|
x-xcp | 0,00 | -0,01 | -0,03 | 0,05 |
|
|
|
y-ycp | 0,00 | 0,03 | -0,05 | 0,02 |
|
|
|
(x-xcp)*(y-ycp) | -0,0000125 | -0,00031 | 0,001463 | 0,000713 | 0,0019 | 0,0005 | sx, sy |
(x-xcp)^2 | 0,0000 | 0,0002 | 0,0011 | 0,0023 | 0,0035 | 0,0012 | 0,0340 |
(y-ycp)^2 | 0,0000 | 0,0006 | 0,0020 | 0,0002 | 0,0029 | 0,0010 | 0,0311 |
Коэффициент корреляции:
Ответ: значение коэффициента корреляции равно 0,437. Так как 0,3<0,437<0,5, то связь между доходностью акций А и В умеренная прямая (с ростом доходности одной из них, доходность другой также возрастает).
С вероятностью ½ доходности акций Х и У равны 0,2 и 0 соответственно, а с другой вероятностью ½ доходности равны 0 и 0,4 соответственно. Определите ожидаемую доходность инвестиционного портфеля, если он представлен как 0,5 (Х + У).
Решение:
Составим таблицы распределения акций:
Xi | 0 | 0,2 |
pi | ½ | ½ |
Yi | 0 | 0,4 |
qi | ½ | ½ |
Xi+ Yi | 0 | 0,2 | 0,4 | 0,6 |
qi |
0,5(Xi+ Yi) | 0 | 0,1 | 0,2 | 0,3 |
qi |
Ответ: Ожидаемая доходность инвестиционного портфеля – это математическое ожидание.
.
Определите риск инвестиционного портфеля, если он состоит из трех ценных бумаг. Вес акции А составляет 0,2, а вес акции В равен 0,4. Ковариационная матрица:
0,4 | 0,3 | 0,2 |
0,3 | 0,5 | 0,4 |
0,2 | 0,4 | 0,6 |
Решение:
Риск портфеля:
Ответ: риск инвестиционного портфеля равен 0,63.
Имеется портфель, составленный их пяти акций со следующими характеристиками:
Ценная бумага | Ожидаемая доходность, % | β-коэффициент | Несистематический риск |
А | 15 | 1,50 | 500 |
В | 11 | 1,10 | 625 |
С | 10 | 1,20 | 600 |
D | 9 | 0,90 | 800 |
Е | 7 | 0,70 | 600 |
Дисперсия рыночного индекса равна 400, а доходность рыночного портфеля составляет 4%.
Акции портфеля занимают равные доли.
Найдите доходность и риск портфеля.
Решение:
Доходность портфеля равна:
Общий риск портфеля измеряется дисперсией его доходности:
Ответ: доходность портфеля составляет 10,4%, риск портфеля равен 557.
Рыночная цена акции составляет 3533 руб. и, как ожидается, через три года возрастет на 19%. Выплаты дивидендов в три первые года составят 106 руб., 112,36 руб., 119,1 руб. соответственно. Какую доходность получит инвестор, если приобретет акцию сейчас, а продает ее через три года (дивиденды будут выплачены все).
Решение:
Ответ: доходность инвестора составит 9,52% годовых.
Пусть за 4 шага расчета доходности акции А и рыночного портфеля изменялись следующим образом:
Шаг расчета | 1 | 2 | 3 | 4 |
ra | 0.07 | 0.10 | 0.05 | 0.08 |
rm | 0.02 | 0.09 | 0.04 | 0.05 |
Вычисления дают следующие коэффициенты α=0,0481 и β=0,5385.
Чему равна случайная ошибка на втором шаге расчета?
Решение:
Случайная ошибка на шаге t:
Ответ: случайная ошибка на втором шаге расчета равна 0,034.
Имеется облигация со следующими характеристиками:
Mn = 1000 рублей; Ct = 6%; i = 8%: T = 4 года.
Чему равна дюрация такой облигации?
Решение:
Дюрация рассчитывается по формуле средневзвешенной следующим образом:
где
— i-ый платеж
— ставка дисконтирования, доходность альтернативного вложения за единицу времени (год, квартал и т. д.).
— Дисконтированная стоимость i-го платежа;
— момент времени i-го платежа;
— количество платежей.
Для вычисления D найдем факторы дисконта и приведенные стоимости потоков денег, обеспечиваемых облигацией (в таблице данные по потокам денег в рублях):
Годовой период | Потоки денег | Фактор дисконта при i=8% | PV поток денег | PV как % P0 цены облигации | t*PV потока денег |
1 | 60 | 0,9524 | 57,14 | 5,52% | 57,14286 |
2 | 60 | 0,9070 | 54,42 | 5,26% | 108,8435 |
3 | 60 | 0,8638 | 51,83 | 5,01% | 155,4908 |
4 | 1060 | 0,8227 | 872,06 | 84,22% | 3488,258 |
Итого | 1035,46 | 100% | 3809,74 |
Длительность или дюрация облигации равна:
D = 3809,74/1035,46 = 3,68 года.
Ответ: дюрация облигации равна 3,68 года.