Прогнозування рівня заробітної плати

Завдання 1

По території регіону приводяться дані у табл. 1 за 200X р.

Таблиця 1 Вихідні дані

Номер регіонуСередній добовий прожитковий мінімум на одного трудоспроможного громадянина, грн., хСередня добова заробітна плата, грн., у188142289148387145479154510616761161957671398981679821521087162118615512120173

Необхідно:

. Побудувати лінійне рівняння парної регресії y по x .

. Розрахувати лінійний коефіцієнт парної кореляції, коефіцієнт детермінації й середню помилку апроксимації.

. Оцінити статистичну значимість рівняння регресії в цілому й окремих параметрах регресії й кореляції за допомогою F-критерію Фішера й t-критерію Стьюдента.

. Виконати прогноз заробітної плати y при прогнозному значенні середнього добового прожиткового мінімуму x , що становить 107% від середнього рівня.

. Оцінити точність прогнозу, розрахувавши помилку прогнозу і його довірчий інтервал.

. На одному графіку відкласти вихідні дані й теоретичну пряму.

. Перевірити обчислення за допомогою Аналізу даних у MS Excel.

Розвязання

. Для розрахунків параметрів рівняння лінійної регресії побудуємо наступну таблицю (рис. 1).

заробітний плата кореляція апроксимація

Рис. 1

За наступними формулами знаходимо параметри регресії a, b (у завданні до лабораторної роботи це відповідно).

Отримано рівняння регресії:

Параметр регресії дозволяє зробити висновок, що зі збільшенням середнього прожиткового мінімуму на 1 грн. середня добова заробітна плата зростає в середньому на 0,86 грн. (або 86 коп.).

Після знаходження рівняння регресії заповнюємо стовпці 7-10 таблиці

. Тісноту лінійного звязку оцінить коефіцієнт кореляції:

Так як значення коефіцієнта кореляції більше за 0,7, то це свідчить про наявність досить тісного лінійного звязку між ознаками.

Коефіцієнт детермінації:

Це означає, що 52% варіації заробітної плати (y) пояснюється варіацією фактору x - середнього добового прожиткового мінімуму.

Якість моделі визначає середня помилка апроксимації:

Якість побудованої моделі оцінюється як гарна, тому що A не перевищує 10%.

. Оцінку статистичної значимості рівняння регресії в цілому проведемо за допомогою F-критерію Фішера. Фактичне значення F-критерію за наступною формулою складатиме:

Табличне значення критерію при 5% рівні значимості та степенях свободи і складає

Так як

то рівняння регресії вважається статистично значимим.

Оцінку статистичної значимості параметрів регресії й кореляції проведемо за допомогою t-статистики Стьюдента й шляхом розрахунку довірчого інтервалу кожного з параметрів.

Табличне значення t-критерію для числа степеней свободи df = n-2 = 12-2= 10 та рівня значимості ?=0,05 складає

Визначимо стандартні помилки (залишкова дисперсія на одну степінь свободи ):

Тоді:

Фактично значення t-статистики перевищують табличне значення:

тому параметри a, b й rxy не випадково відрізняються від нуля, а є статистично значимими.

Розрахуємо довірчі інтервали для параметрів регресії a та b. Для цього визначимо граничну похибку для кожного показника:

Довірчі інтервали:

Аналіз верхньої й нижньої границь довірчих інтервалів приводить до висновку про те, що з ймовірністю параметри a і b, перебуваючи в зазначених границях, не приймають нульових значень, тобто є статистично значимими й істотно відмінні від нуля.

. Отримані оцінки рівняння регресії дозволяють використати його для прогнозу. Якщо прогнозне значення прожиткового мінімуму складе:

грн.

то індивідуальне прогнозне значення заробітної плати складе:

грн.

. Похибка прогнозу складатиме:

Гранична похибка прогнозу, яка в 95% випадків не буде перевищувати, складатиме:

Довірчий інтервал прогнозу:

Виконаний прогноз середньої добової заробітної плати є надійним та знаходиться в межах від 223,02 грн. до 262,92 грн.

Розвязування типової задачі регресійного аналізу в MS Excel.

За допомогою інструмента аналізу даних Регрессия можна отримати результати регресійної статистики, дисперсійного аналізу, довірчих інтервалів, залишки та графіки підбору лінії регресії.

. Якщо вихідні дані вже занесені, то обираємо

Сервис?Анализ данных?Регрессия.

. Заповнюємо діалогове вікно введення даних та параметрів виведення (рис. 2).

Рис. 2

Тут маємо:

Входной интервал Y - діапазон, що містить дані результативної ознаки;

Входной интервал X - діапазон, що містить дані ознаки-фактору;

Метки - "флажок", що вказує, чи місти перший рядок назви стовпців;

Константа - ноль - "флажок", що вказує на наявність або відсутність вільного члена в рівнянні;

Выходной интервал - досить указати ліву верхню клітинку майбутнього діапазону;

Новый рабочий лист - можна вказати довільне імя нового аркуша (або не вказувати, тоді результати виводяться на знову створений аркуш).

Одержуємо наступні результати для нашого приклада (рис. 3).

Рис. 3

Звідки виписуємо, округляючи до 4 знаків після коми й переходячи до наших позначень.

Рівняння регресії:

Коефіцієнт кореляції:

Коефіцієнт детермінації:

Фактичне значення F-критерію Фішера:

Залишкова дисперсія на одну степінь свободи:

Квадратний корінь з залишкової дисперсії (стандартна похибка):

Стандартні похибки для параметрів регресії:

Фактичні значення t-критерію Стьюдента:

Довірчі інтервали:

Як бачимо, знайдені всі розглянуті вище параметри й характеристики рівняння регресії, за винятком середньої похибки апроксимації (значення t-критерію Стьюдента для коефіцієнта кореляції збігається с ). Результати "ручного розрахунку" від машинного відрізняються незначно (відмінності повязані з помилками округлення).