Экономическое моделирование

Содержание

Введение

1.Моделирование сезонных колебаний

2.Моделирование циклических колебаний

Заключение

Список использованной литературы

Введение

Наука эконометрика является на данный момент времени быстроразвивающейся отраслью. Это наука об измерении и анализе экономических явлений, цель которой состоит в том, чтобы придать количественные меры экономическим отношениям.

Эконометрика - это количественное выражение тех связей и соотношений, которые раскрыты и обоснованы экономической теорией. Эконометрика располагает огромным разнообразием типов моделей - от больших макроэкономических, включающих несколько сот и тысяч уравнений, до малых коинтеграционных моделей, предназначенных для решения специфических проблем.

Моделирование сезонных и циклических колебаний - цель моей работы.

1. Моделирование сезонных колебаний

Существует несколько подходов к анализу структуры временных рядов, содержащих сезонные колебания. Рассмотрим подход методом скользящей средней и построение аддитивной (или мультипликативной) модели временного ряда. Модели, построенные на основе второго типа данных, называют моделями временных рядов.

Общий вид аддитивной модели:

= T + S + E (1)

Эта модель предполагает, что каждый уровень временного ряда может быть представлен как сумма трендовой (T), сезонной (S) и случайной (E) компонент.

Общий вид мультипликативной модели выглядит так:

= T * S * E (2)

Эта модель предполагает, что каждый уровень временного ряда может быть представлен как произведение трендовой (T), сезонной (S) и случайной (E) компонент. Выбор одной из двух моделей осуществляется на основе анализа структуры сезонных колебаний. Если амплитуда колебаний приблизительно постоянна, строят аддитивную модель временного ряда, в которой значения сезонной компоненты предполагают постоянными для различных циклов. Если амплитуда сезонных колебаний возрастает или уменьшается, строят мультипликативную модель временного ряда, которая ставит уровни ряда в зависимость от значений сезонной компоненты.

Построение аддитивной и мультипликативной моделей сводится к расчету значений T, S и E для каждого уровня ряда.

Основные шаги при процессе построения модели:

1.Выравнивание исходного ряда методом скользящей средней.

2.Расчет значений сезонной компоненты S.

3.Устранение сезонной компоненты из исходных уровней ряда и получение выравненных данных (Т + Е) в аддитивной или (Т * Е) в мультипликативной модели.

4.Аналитическое выравнивание уровней (Т + Е) или (Т * Е) и расчет значений Т с использованием полученного уравнения тренда.

5.Расчет полученных по модели значений (Т + Е) или (Т * Е).

6.Расчет абсолютных или относительных ошибок.

Если полученные значения ошибок не содержат автокорреляции, то ими можно заменить исходные уровни ряда и в дальнейшем использовать временной ряд ошибок Е для анализа взаимосвязи исходного ряда и других временных рядов.

Пример. Построение мультипликативной модели временного ряда.

Пусть имеются поквартальные данные о прибыли компании за последние четыре года (табл. 1).

Таблица 1 Прибыль компании, тыс. долл. США

Квартал Год I II III IV1721009064270928058362806848452605030

Рис. 1 Прибыль компании.

График данного временного ряда (рис. 1) свидетельствует о наличии сезонных колебаний (период колебании равен 4) и общей убывающей тенденции уровней ряда. Прибыль компании в весенне-летний период выше, чем в осенне-зимний период. Т.к. амплитуда сезонных колебаний уменьшается, то можно предположить о существование мультипликативной модели. Определим ее компоненты.

шаг. Проведем выравнивание исходных уровней ряда методом скользящей средней. Методика, применяемая на этом шаге, полностью совпадает с методикой аддитивной модели. В таблице 2 представлены результаты расчетов оценок сезонной компоненты.

аддитивный мультипликативный временной ряд

Таблица 2 Расчет оценок сезонной компоненты в мультипликативной модели

№ квартала, tПрибыль компании, ytИтого за 4 кварталаСкользящая средняя за 4 кварталаЦентрированная скользящая средняяОценка сезонной компоненты123456172----2100----39032681,581,251,10846432481,080,000,80057031679,077,750,90069230676,575,751,21578030075,074,001,08185829273,071,500,81196228070,068,500,905108026867,065,751,217116825864,563,251,075124824862,059,500,807135222857,054,750,950146021052,550,251,194155019248,0--1630----

2 шаг. Найдем оценки сезонной компоненты как частное о деления фактических уровней ряда на центрированные скользящие средние (табл. 2). Используем эти оценки для расчета значений сезонной компоненты S (табл. 3).

Для этого найдем средние за каждый квартал оценки сезонной компоненты S. Взаимопогашаемость сезонных воздействий в мультипликативной модели выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по всем кварталам должна быть равна числу периодов цикле. В данном случае число периодов одного сезона (год) равен 4 (четыре квартала).

Таблица 3 Расчет сезонной компоненты в мультипликативной модели

ПоказателиГод№ квартал, i IIIIIIIV1 2 3 4- 0,900 0,905 0,950- 1,215 1,217 1,1941,108 1,081 1,075 -0,800 0,817 0,807 -Итого за i-й квартал (за все года)2,7553,6263,2642,424Средняя оценка сезонной компоненты для i-го квартала, Si0,9181,2091,0880,808Скорректированная сезонная компоненты, Si0,9131,2021,0820,803

Имеем:

0,918 + 1,209 + 1,088 + 0,808 = 4,023

Определим корректирующий коэффициент:

= 4/4,023 = 0,9943

Определим скорректированные значения сезонной компоненты, умножив ее средние оценки на корректирующий коэффициент k.

Si = Si * k, где i = 1/4 (3)

Проверим условие равенства 4 суммы значений сезонной компоненты: 0,913 + 1,202 + 1,082 + 0,803 = 4

Получим следующие значения сезонной компоненты:

I квартал: S1 = 0,913;

II квартал: S2 = 1,202;

III квартал: S3 = 1,082;

IV квартал: S4 = 0,803.

Занесем полученные значения в таблицу 4 для соответствующих кварталов каждого года.

Таблица 4 Расчет выравненных значений Т и ошибок Е в мультипликативной модели

tytStT * E = Yt /SiTT * SE = yt/(T*S)E = yt-(T*S)(E)21234567891720,91378,8687,8080,160,898-8,1666,6621001,20283,1985,03102,200,978-2,204,863901,08283,1882,2589,001,0111,001,004640,80379,7079,4863,821,0030,180,035700,91376,6776,7070,031,000-0,030,006921,20276,5473,9388,861,0353,149,857801,08273,9471,1576,991,0393,019,088580,80372,2368,3854,911,0563,099,579620,91367,9165,6059,901,0352,104,4310801,20266,5662,8375,521,0594,4820,0811681,08262,8560,0564,981,0473,029,1412480,80359,7857,2845,991,0442,014,0313520,91356,9654,5049,761,0452,245,0214601,20249,9251,7362,180,965-2,184,7315501,08246,2148,9552,970,944-2,978,7916300,80337,3646,1837,080,809-7,0850,12

3 шаг. Разделим каждый уровень исходного ряда на соответствующие значения сезонной компоненты. Получим величины Т * Е = Y/S (табл. 4), которые содержат только тенденцию и случайную компоненту.

шаг. Определим компоненту Т в мультипликативной модели. Для этого рассчитаем параметры линейного тренда, используя уровни (Т * Е). Результаты аналитического выравнивания этого ряда следующие:

Константа 90,585150

Коэффициент регрессии -2,773250

Стандартная ошибка коэффициента регрессии 0,225556

R-квадрат 0,915239

Число наблюдений 16

Число степеней свободы 14

Уравнение тренда имеет следующий вид: Т = 90,59 - 2,773 * t

Подставляя в это уравнение значения t = 1, … , 16, найдем уровни Т для каждого момента времени (табл. 4). График уравнения тренда показан на рис. 2.

Рис. 2 Прибыль компании (фактические и выравненные по мультипликативной модели значения уровней ряда).

5 шаг. Найдем уровни ряда по мультипликативной модели, умножив уровни Т на значения сезонной компоненты для соответствующих кварталов. Значения (Т * S) графически представлены на рис. 2.

6 шаг. Расчет ошибки в мультипликативной модели производится по формуле:

Е = Y/(T * S) (4)

Численные значения ошибки приведены в табл. 4 в графе 7. Если временной ряд ошибок не содержит автокорреляции, его можно использовать вместо исходного ряда для изучения его взаимосвязи с другими временными рядами. Для того чтобы сравнить мультипликативную модель и другие модели временного ряда, необходимо использовать сумму квадратов абсолютных ошибок. Абсолютные ошибки в мультипликативной модели определяются как:

Е = уt - (Т * S) (5)

В данной модели сумма квадратов абсолютных ошибок составляет 207,40. Общая сумма квадратов отклонений фактических уровней этого ряда от среднего значения равна 5023. Для дисперсии уровней ряда равна:

(1 - 207,40/5023) = 0,959, или 95,9%.

Выявление и устранение сезонного эффекта используются в двух направлениях. Во-первых, воздействие сезонных колебаний следует устранять на этапе предварительной обработки исходных данных при изучении взаимосвязи нескольких временных рядов. Во-вторых, это анализ структуры одномерных временных рядов с целью прогнозирования уровней ряда в будущие моменты времени.

2. Моделирование циклических колебаний

Моделирование циклических колебаний в целом осуществляется аналогично моделированию сезонных колебаний. Рассмотрим подход метода моделирования временного ряда, содержащего циклические колебания - построение модели регрессии с включением фактора времени и фиктивных переменных.

Количество фиктивных переменных в такой модели должно быть на единицу меньше числа моментов (периодов) времени внутри одного цикла колебаний. Например, при моделировании поквартальных данных модель должна включать четыре независимые переменные - фактор времени и три фиктивные переменные. Каждая фиктивная переменная отражает циклическую компоненту временного ряда для какого-либо одного периода. Она равна единице для данного периода и нулю для всех остальных периодов.

Пусть имеется временной ряд, содержащий циклические колебания периодичностью k. Модель регрессии с фиктивными переменными для этого ряда будет иметь вид:

yt = a + b * t + c1x1 + … + cjxj + … + ck-1xk-1 + t (6)

для каждого j внутри каждого цикла,

где хj =

во всех остальных случаях.

Например, при моделировании циклических колебаний на основе поквартальных данных за несколько лет число кварталов внутри одного года k = 4, а общий вид модели следующий:

t = a + b * t + c1x1 + c2x2 + c3x3 + t (7)

1 для первого квартала,

где х1 =

во всех остальных случаях.

1 для второго квартала,

где х2 =

во всех остальных случаях.

для третьего квартала,

где х3 =

во всех остальных случаях.

Уравнение тренда для каждого квартала имеет вид:

для I квартала: yt = a + b * t + c1 + t ; (8)

для II квартала: yt = a + b * t + c2 + t ; (9)

для III квартала: yt = a + b * t + c3 + t ; (10)

для IV квартала: yt = a + b * t + t . (11)

Т.о. фиктивные переменные позволяют дифференцировать величину свободного члена уравнения регрессии для каждого квартала. Она составит:

для I квартала (a + c1);

для II квартала (a + c2);

для III квартала (a + c3);

для IV квартала a.

Параметр b в этой модели характеризует среднее абсолютное изменение уровней ряда под воздействием тенденций. Модель (7) есть аналог аддитивной модели временного ряда, т.к. фактический уровень временного ряда есть сумма трендовой (T), циклической (C) и случайной (E) компоненты (Y = T + C + E).

Недостаток модели с фиктивными переменными для описания циклических колебаний - это наличие большого количества переменных. Например, необходимо построить модель для описания помесячных периодических колебаний за несколько лет. Такая модель будет включать 12 независимых переменных (11 фиктивных переменных и фактор времени). В такой ситуации число степеней свободы невелико, что снижает вероятность получения статистических значимых оценок параметров уравнения регрессии.

Заключение

Эконометрика - наука, которая дает количественное выражение взаимосвязей экономических явлений и процессов.

Моделирование циклических колебаний осуществляется аналогично моделированию сезонных колебаний. Существует несколько подходов к анализу структуры временных рядов, содержащих сезонные и циклические колебания. В своей работе я рассмотрела подход методом скользящей средней и построение аддитивной (или мультипликативной) модели временного ряда, и подход метода моделирования временного ряда и построение модели регрессии с включением фактора времени и фиктивных переменных.

Построение аддитивной и мультипликативной моделей сводится к расчету значений T, S и E для каждого уровня ряда. Процессе построения модели включает в себя 6 шагов.

Количество фиктивных переменных во второй модели должно быть на единицу меньше числа моментов (периодов) времени внутри одного цикла колебаний. Недостаток модели с фиктивными переменными для описания циклических колебаний - это наличие большого количества переменных.

Список использованной литературы

1.Ватник П.А. Эконометрика: Учебник для вузов. - М., 2001. - 280 с.

2.Кантрович Г.Г. Эконометрика. - М.: ГУ-ВШЭ, 2011.

.Кремер Н.Ш., Путко Б.А. Эконометрика: Учебник для вузов. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2013. - 311 с.

.Эконометрика/Под ред. Н.И. Елисеевой. - М.: Финансы и статистика, 2010. - 422 с.

.Яновский Л.П. Введение в эконометрику: учебное пособие. - 2-е изд., доп. - М.: КНОРУС; 2007. - 256 с.