Численные методы

Задание № 1

Найти решение системы 4 линейных уравнений с 4-мя неизвестными х1,х2, х3, х4 с точностью до 10-4 следующими методами:

а) методом Гаусса;

б) методом простой итерации;

в) методом Зейделя.

Проверкой полученного решения является совпадение найденных разными методами решений с заданной точностью.

а) метод Гаусса.

Найти решение системы уравнений:

1. Сформируем расширенную матрицу:

Применяя к расширенной матрице, последовательность элементарных операций стремимся, чтобы каждая строка, кроме, быть может, первой, начиналась с нулей, и число нулей до первого ненулевого элемента в каждой следующей строке было больше, чем в предыдущей.

2. Разделим строку 1 на a11 = 1.42

Получим матрицу:

3. Вычтем из строки 2 строку 1 умноженную на a21=0.63

Вычитаемая строка:

Модифицированная матрица:

4. Вычтем из строки 3 строку 1 умноженную на a31= 0.84

Вычитаемая строка:

Модифицированная матрица:

5. Вычтем из строки 4 строку 1 умноженную на a41= 0.27

Вычитаемая строка:

Модифицированная матрица:

6. Разделим строку 2 на a22 = -0.57197183098592

Получим матрицу:

7. Вычтем из строки 3 строку 2 умноженную на a32=-2.4192957746479

Вычитаемая строка:

Модифицированная матрица:

8. Вычтем из строки 4 строку 2 умноженную на a42=1.3091549295775

Вычитаемая строка:

Модифицированная матрица:

9. Разделим строку 3 на a33 = -6.4314897808422

Получим матрицу:

10. Вычтем из строки 4 строку 3 умноженную на a43= 4.0531913321842

Вычитаемая строка:

Модифицированная матрица:

11. Разделим строку 4 на a44 = -1.0916757937353

Получим матрицу:

12. Вычтем из строки 3 строку 4 умноженную на a34= 0.62435409222966

Вычитаемая строка:

Модифицированная матрица:

13. Вычтем из строки 2 строку 4 умноженную на a24=1.6733563161783

Вычитаемая строка:

Модифицированная матрица:

14. Вычтем из строки 1 строку 4 умноженную на a14=0.59859154929577

Вычитаемая строка:

Модифицированная матрица:

15. Вычтем из строки 2 строку 3 умноженную на a23=2.5461708938685

Вычитаемая строка:

Модифицированная матрица:

16. Вычтем из строки 1 строку 3 умноженную на a13=0.29577464788732

Вычитаемая строка:

Модифицированная матрица:

17. Вычтем из строки 1 строку 2 умноженную на a12=0.22535211267606

Вычитаемая строка:

Модифицированная матрица:

Выпишем систему уравнений по последней расширенной матрице:

Заданная система уравнений имеет единственное решение:

б) метод простой итерации.

Найти решение системы уравнений:

Заметим, что метод простой итерации расходится, т. к. не выполняется условие преобладания диагональных элементов:

Пусть требуемая точность e = 10-4.

Приведем систему к виду:

Последовательно вычисляем:

Шаг 1.

В качестве начального приближения возьмем элементы столбца свободных членов: (1.32, -0.44, 0.64, 0.85).

Шаг 2.

Шаг 3.

Ответ: итерационный процесс расходится.

в) метод Зейделя.

Найти решение системы уравнений:

Заметим, что метод Зейделя расходится, т. к. не выполняется условие преобладания диагональных элементов:

Пусть требуемая точность e = 10-4.

Приведем систему к виду:

Последовательно вычисляем:

Шаг 1.

В качестве начального приближения возьмем: (0, 0, 0, 0).

= 0.92957746478876.

При вычислении x2 используем уже полученное значение x1:

При вычислении x3 используем уже полученное значение x1 и x2:

При вычислении x4 используем уже полученное значение x1, x2 и x3:

Шаг 2.

Шаг 3.

Ответ: итерационный процесс расходится.

Задание № 2

Отделить один корень уравнения x4+2x-1=0 и вычислить его на полученном отрезке [а,b] с точностью до 0.0001 тремя методами:

а) методом дихотомии;

б) методом хорд;

в) методом простой итерации.

Убедиться, что корни, полученные при помощи этих методов, удовлетворяют уравнению F(х) = 0 и мало отличаются друг от друга.

[а,b]=[-1;2]

а) метод дихотомии

Ответ:

в) метод простой итерации

Ответ:

Задание № 3

уравнение итерация интеграл симпсон

Найти приближённо значение интеграла с точностью до 0,001 методом Симпсона.

Начальное количество разбиений .

Имеем . Отсюда . Результаты вычислений приведены в таблице.

010,90929711,01250,92121621,0250,93228531,03750,94245841,050,95168851,06250,95993161,0750,96714171,08750,97327381,10,97828191,11250,982121101,1250,984749111,13750,986121121,150,986195131,16250,984928141,1750,982278151,18750,978204161,20,972667171,21250,965627181,2250,957046191,23750,946886201,250,935113211,26250,92169221,2750,906585231,28750,889764241,30,871197251,31250,850855261,3250,828709271,33750,804732281,350,7789291,36250,751189301,3750,721578311,38750,690046321,40,656577331,41250,621153341,4250,58376351,43750,544386361,450,503022371,46250,459658381,4750,414288391,48750,36691401,50,31752411,51250,26612421,5250,212712431,53750,157302441,550,099898451,56250,040508461,575-0,02086471,5875-0,08418481,6-0,14944491,6125-0,21662501,625-0,2857511,6375-0,35666521,65-0,42946531,6625-0,50408541,675-0,58049551,6875-0,65865561,7-0,73851571,7125-0,82005581,725-0,90323591,7375-0,98798601,75-1,07427611,7625-1,16205621,775-1,25126631,7875-1,34186641,8-1,43377651,8125-1,52694661,825-1,6213671,8375-1,7168681,85-1,81336691,8625-1,91092701,875-2,0094711,8875-2,10872721,9-2,20881731,9125-2,30959741,925-2,41097751,9375-2,51288761,95-2,61523771,9625-2,71793781,975-2,82089791,9875-2,92401802-3,02721-6,854834099-7,942676655

По формуле Симпсона получим:

.

Подсчитаем погрешность полученного результата. Полная погрешность складывается из погрешностей действий и остаточного члена .

,

где - коэффициенты формулы Симпсона и - максимальная ошибка округления значений подынтегральной функции.

Оценим остаточный член.

при и, следовательно,

.

Таким образом, предельная полная погрешность равна:

и, значит, .

Ответ: .

Задание № 4

Найти четыре первых, отличных от нуля члена разложения в ряд частного решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданным начальным условиям и проверить это решение при помощи метода Пикара. Оценить точность при применении метода Пикара.

Последовательно дифференцируя уравнение необходимое число раз, найдем четыре первых ненулевых производных функции в точке .

Таким образом, решение , с точностью до первых четырех ненулевых разложения в ряд, равно

Решим методом Пикара уравнение с начальным условием , .

Переходим к интегральному уравнению:

Получаем последовательность приближений:

Видно, что при ряд быстро сходится. Оценим погрешность третьего приближения. Так как функция определена и непрерывна во всей плоскости, то в качестве a и b можно взять любые числа. Для определенности возьмем прямоугольник:

Тогда

Поскольку a = 0.25 , b/M = 1/1.25 = 0.8, имеем h = min (a, b/M) = 0.5.

Решение y будет задано для . При n=4 имеем:

Список использованной литературы

1. Волков Е.А. Численные методы.- М.: Наука, 1982.- 254 с.

. Заварыкин В.М., Житомирский В.Г., Ланчик М.П. Численные методы. -

М.: Просвещение, 1991. - 175 с.

. Калиткин Н.Н. Численные методы.- М.: Наука, 1978.-512 с.

. Турчак Л.И. Основы численных методов.- М.: Наука, 1987.- 319 с.