Частные производные. Экстремумы функций

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ

Факультет непрерывного и дистанционного обучения

Специальность: искусственный интеллект


КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ


Минск 2013

Задача 1.

Дана функция . Показать что


Решение:

Найдем частные производные и .



Получаем:



Задача 2.

Дана функция и две точки А(х0 , y0) и В (х1,,y1). Требуется:

) вычислить значение z1функции в точке В;

) вычислить приближенное значение функции в точке В исходя из значения z0 функции в точке А, заменив приращение функции при переходе от точки А к точке В дифференциалом;

) составить уравнение касательной плоскости к поверхности в точке


Решение:


1)

)


Найдем частные производные и .



)уравнение касательной плоскости к поверхности в точке

Уравнение касательной плоскости к поверхности в точке имеет вид:



Найдем частные производные , и .


Искомое уравнение касательной плоскости имеет вид



Так как в условии задачи координаты точки С не заданы, следовательно уравнение касательной плоскости может быть найдено только в общем виде.

Ответ:

1)

)

)


Задача 3.

Исследовать на экстремум функции двух переменных.



Решение:

В соответствие с достаточным условием экстремума функции двух переменных, найдем точки, удовлетворяющие условию:



Получили одну стационарную точку (0;0)

найдем все вторые частные производные от функции и составим дискриминант :



Так как дискриминант больше нуля и А>0, то функция z имеет минимум в точке (0;0)

Ответ: функция z имеет минимум в точке (0;0).


Задача 4.

Дана функция , точка и вектор а. Найти:

) grad z в точке ;

) производную в точке в направлении вектора а.


Решение:

1)Согласно определению



Найдем частные производные функции z в точке А.



2)Производную по направлению вектора в точке А находим по формуле



Где , - направляющие косинусы:



Получаем:

Частные производные в точке А уже найдены. Окончательно получаем:

Ответ:

1)

)

Задача 5.

Найти условный экстремум функции при помощи функции Лагранжа.


Решение:

Составляем функцию Лагранжа:



Имеем:



Необходимые условия дают систему



Получаем:

Находим:

производный функция лагранж



и вычисляем второй дифференциал функции Лагранжа



в этой точке условный минимум,

в этой точке условный максимум,

Ответ: ,


Теги: Частные производные. Экстремумы функций  Контрольная работа  Математика
Просмотров: 29321
Найти в Wikkipedia статьи с фразой: Частные производные. Экстремумы функций
Назад