Теорема о ранге матрицы

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ И ФИНАНСОВ

Кафедра: «Математика»


Реферат

на тему:

«Теорема о ранге матрицы»


Выполнила: студентка группы ЭМН-111 Попова К.С.

Руководитель: профессор Хаханян В.Х.


Москва


Матрица - это упорядоченная таблица, содержащая строк и столбов, размерность матрицы - это произведение . Матрицы могут быть как прямоугольные, так и квадратные. Когда рассматривается квадратная матрица, то можно говорить о порядке матрицы - это число строк или число столбцов.


Виды матриц


Прямоугольной матрицей размера m x n называется совокупность mn чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы, содержащей m строк и n столбцов. Мы будем записывать матрицу в виде


A = (4.1)


или сокращенно в виде A = (aij) (i = ; j = ). Числа aij, составляющие данную матрицу, называются ее элементами; первый индекс указывает на номер строки, второй - на номер столбца. Две матрицы A = (aij) и B = (bij) одинакового размера называются равными, если попарно равны их элементы, стоящие на одинаковых местах, то есть A = B, если aij = bij.

Матрица, состоящая из одной строки или одного столбца, называется соответственно вектор-строкой или вектор-столбцом. Вектор-столбцы и вектор-строки называют просто векторами.

Матрица, состоящая из одного числа, отождествляется с этим числом. Матрица размера m x n, все элементы которой равны нулю, называются нулевой матрицей и обозначается через 0. Элементы матрицы с одинаковыми индексами называют элементами главной диагонали. Если число строк матрицы равно числу столбцов, то есть m = n, то матрицу называют квадратной порядка n. Квадратные матрицы, у которых отличны от нуля лишь элементы главной диагонали, называются диагональными матрицами и записываются так:


.


Если все элементы aii диагональной матрицы равны 1, то матрица называется единичной и обозначается буквой Е:

= .


Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, стоящие выше (или ниже) главной диагонали, равны нулю.

Транспонированием называется такое преобразование матрицы, при котором строки и столбцы меняются местами с сохранением их номеров. Обозначается транспонирование значком Т наверху.

Пусть дана матрица (4.1). Переставим строки со столбцами. Получим матрицу


AT = ,

которая будет транспонированной по отношению к матрице А. В частности, при транспонировании вектора-столбца получается вектор-строка и наоборот.

Произведением матрицы А на число ? называется матрица, элементы которой получаются из соответствующих элементов матрицы А умножением на число.


Суммой двух матриц А = (aij) и B = (bij) одного размера называется матрица C = (cij) того же размера, элементы которой определяются по формуле cij = aij + bij.

Произведение АВ матрицы А на матрицу В определяется в предположении, что число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В.

Произведением двух матриц А = (aij) и B = (bjk), где i = , j= , k= , заданных в определенном порядке АВ, называется матрица С = (cik).


Иначе говоря, элементы матрицы-произведения определяются следующим образом: элемент i-й строки и k-го столбца матрицы С равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы k-го столбца матрицы В.


Определители


Перестановкой чисел 1, 2,..., n называется любое расположение этих чисел в определенном порядке. В элементарной алгебре доказывается, что число всех перестановок, которые можно образовать из n чисел, равно 12...n = n!. Например, из трех чисел 1, 2, 3 можно образовать 3!=6 перестановок: 123, 132, 312, 321, 231, 213. Говорят, что в данной перестановке числа i и j составляют инверсию (беспорядок), если i > j, но i стоит в этой перестановке раньше j, то есть если большее число стоит левее меньшего.

Перестановка называется четной (или нечетной), если в ней соответственно четно (нечетно) общее число инверсий. Операция, посредством которой от одной перестановки переходят к другой, составленной из тех же n чисел, называется подстановкой n-ой степени.

Подстановка, переводящая одну перестановку в другую, записывается двумя строками в общих скобках, причем числа, занимающие одинаковые места в рассматриваемых перестановках, называются соответствующими и пишутся одно под другим. Например, символ обозначает подстановку, в которой 3 переходит в 4, 1?2, 2?1, 4?3. Подстановка называется четной (или нечетной), если общее число инверсий в обеих строках подстановки четно (нечетно). Всякая подстановка n-ой степени может быть записана в виде ,т.е. с натуральным расположением чисел в верхней строке.

Пусть нам дана квадратная матрица порядка n


. (4.3)


Рассмотрим все возможные произведения по n элементов этой матрицы, взятых по одному и только по одному из каждой строки и каждого столбца, т.е. произведений вида:


, (4.4)


где индексы q1, q2,..., qn составляют некоторую перестановку из чисел

, 2,..., n. Число таких произведений равно числу различных перестановок из n символов, т.е. равно n!. Знак произведения (4.4) равен (- 1)q, где q - число инверсий в перестановке вторых индексов элементов.

Определителем n -го порядка, соответствующим матрице (4.3), называется алгебраическая сумма n! членов вида (4.4). Для записи определителя употребляется символ A = или det A= (детерминант, или определитель, матрицы А).


Свойства определителей


1. Определитель не меняется при транспонировании.

. Если одна из строк определителя состоит из нулей, то определитель равен нулю.

. Если в определителе переставить две строки, определитель поменяет знак.

. Определитель, содержащий две одинаковые строки, равен нулю.

. Если все элементы некоторой строки определителя умножить на некоторое число k, то сам определитель умножится на k.

. Определитель, содержащий две пропорциональные строки, равен нулю.

. Если все элементы i-й строки определителя представлены в виде суммы двух слагаемых aij = bj + cj(j = ), то определитель равен сумме определителей, у которых все строки, кроме i-ой, - такие же, как в заданном определителе, а i-я строка в одном из слагаемых состоит из элементов bj, в другом - из элементов cj.

. Определитель не меняется, если к элементам одной из его строк прибавляются соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и то же число.

Замечание. Все свойства остаются справедливыми, если вместо строк взять столбцы.

Минором Mij элемента aij определителя d n-го порядка называется определитель порядка n-1, который получается из d вычеркиванием строки и столбца, содержащих данный элемент.

Алгебраическим дополнением элемента aij определителя d называется его минор Mij, взятый со знаком (-1)i+j. Алгебраическое дополнение элемента aij будем обозначать Aij. Таким образом, Aij = (-1)i+j+ Mij.

Способы практического вычисления определителей, основанные на том, что определитель порядка n может быть выражен через определители более низких порядков, дает следующая теорема.

Теорема (разложение определителя по строке или столбцу).

Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения.

В частности, если все элементы строки (или столбца), кроме одного, равны нулю, то определитель равен этому элементу, умноженному на его алгебраическое дополнение.


Ранг матрицы


Рассмотрим прямоугольную матрицу (4.1). Если в этой матрице выделить произвольно k строк и k столбцов, то элементы, стоящие на пересечении выделенных строк и столбцов, образуют квадратную матрицу k-го порядка. Определитель этой матрицы называется минором k-го порядка матрицы А. Очевидно, что матрица А обладает минорами любого порядка от 1 до наименьшего из чисел m и n. Среди всех отличных от нуля миноров матрицы А найдется по крайней мере один минор, порядок которого будет наибольшим. Наибольший из порядков миноров данной матрицы, отличных от нуля, называется рангом матрицы. Если ранг матрицы А равен r, то это означает, что в матрице А имеется отличный от нуля минор порядка r, но всякий минор порядка, большего чем r, равен нулю. Ранг матрицы А обозначается через r(A). Очевидно, что выполняется соотношение

? r(A) ? min (m,n).

Ранг матрицы находится либо методом окаймления миноров, либо методом элементарных преобразований. При вычислении ранга матрицы первым способом следует переходить от миноров низших порядков к минорам более высокого порядка. Если уже найден минор D k-го порядка матрицы А, отличный от нуля, то требуют вычисления лишь миноры (k+1)-го порядка, окаймляющие минор D, т.е. содержащие его в качестве минора. Если все они равны нулю, то ранг матрицы равен k.

Элементарными называются следующие преобразования матрицы:

) перестановка двух любых строк (или столбцов),

) умножение строки (или столбца) на отличное от нуля число,

) прибавление к одной строке (или столбцу) другой строки (или столбца), умноженной на некоторое число.

Две матрицы называются эквивалентными, если одна из них получается из другой с помощью конечного множества элементарных преобразований.

Эквивалентные матрицы не являются, вообще говоря, равными, но их ранги равны. Если матрицы А и В эквивалентны, то это записывается так: A ~ B.

Канонической матрицей называется матрица, у которой в начале

главной диагонали стоят подряд несколько единиц (число которых

может равняться нулю), а все остальные элементы равны нулю,


например, .

При помощи элементарных преобразований строк и столбцов любую матрицу можно привести к канонической. Ранг канонической матрицы равен числу единиц на ее главной диагонали.

. Обратная матрица

Рассмотрим квадратную матрицу


A = .


Обозначим ? = det A.

Квадратная матрица А называется невырожденной, или неособенной, если ее определитель отличен от нуля, и вырожденной, или особенной, если ? = 0.

Квадратная матрица В называется обратной для квадратной матрицы А того же порядка, если их произведение А В = В А = Е, где Е - единичная матрица того же порядка, что и матрицы А и В.

Теорема. Для того, чтобы матрица А имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был отличен от нуля.

Матрица, обратная матрице А, обозначается через А-1, так что В = А-1. Обратная матрица вычисляется по формуле


А-1 = 1/? , (4.5)


где Аij - алгебраические дополнения элементов aij.

Вычисление обратной матрицы по формуле (4.5) для матриц высокого порядка очень трудоемко, поэтому на практике бывает удобно находить обратную матрицу с помощью метода элементарных преобразований (ЭП). Любую неособенную матрицу А путем ЭП только столбцов (или только строк) можно привести к единичной матрице Е. Если совершенные над матрицей А ЭП в том же порядке применить к единичной матрице Е, то в результате получится обратная матрица. Удобно совершать ЭП над матрицами А и Е одновременно, записывая обе матрицы рядом через черту. Отметим еще раз, что при отыскании канонического вида матрицы с целью нахождения ее ранга можно пользоваться преобразованиями строк и столбцов. Если нужно найти обратную матрицу, в процессе преобразований следует использовать только строки или только столбцы.


Ранг матрицы


Пусть дана матрица


(1)


имеющая п строк и т столбцов. Столбцы этой матрицы представляют собой систему из т п-мерных векторов. Ранг этой системы векторов называется рангом матрицы.

Выберем в матрице (1) произвольные k строк и столько же столбцов. Естественно считать, что . Определитель, матрицы, стоящей на пересечении выбранных строк и столбцов будем называть минором k-го порядка матрицы А.

Очевидно, что если все миноры k-го порядка матрицы А равны нулю, то и все миноры более высоких порядков будут равны нулю. Это непосредственно следует из формулы разложения определителя по строке.

Теорема. Ранг матрицы равен наивысшему порядку отличного от нуля минора.

Доказательство. Пусть наивысший порядок отличного от нуля минора матрицы А (1) равен r. Перестановками строк и столбцов можно добиться того, что этот минор будет стоять в верхнем левом углу матрицы, которую обозначим А*. Очевидно, что если все миноры (r + 1)-го порядка у А равны нулю, то и у матрицы А* такие миноры тоже будут равны нулю. Обозначим минор порядка r, стоящий в верхнем левом углу через М. Очевидно, что первые r столбцов матрицы линейно независимы. Если бы это было не так, то столбцы, составляющие минор М были бы линейно зависимы, и этот минор равнялся бы нулю.

Теперь осталось доказать, что любой k-й столбец матрицы при r < k £ m будет линейной комбинацией первых r столбцов. Выберем произвольные числа i и j (r < j £ n). Поменяем местами в матрице А* (r+1)-ю строку c i-й и (r+1)-й столбец с j-м. Теперь минор М получился окаймлённым минором Mij



При любых i минор Mij будет равен нулю. Например, если r < i £ n, то Mij является минором порядка r + 1 матрицы А, и следовательно, по условию равен нулю. Если i £ r, то Mij не является минором матрицы А, но он содержит две одинаковых строки, и поэтому равен нулю.

Разложим минор Mij. по последней строке:


(2)

Поскольку в последней формуле алгебраическое дополнение элемента аik не зависит от i, оно обозначено Аk. Поскольку М ¹ 0, из равенства (2) можно выразить элемент j-го столбца aij через элементы первых r столбцов i-й строки:



Это равенство справедливо при всех i (i = 1,2,¼,r), причём коэффициенты при аik от i не зависят. Отсюда следует, что i-й столбец матрицы будет линейной комбинацией её первых r столбцов. Таким образом, в системе столбцов матрицы А найдена максимальная линейно независимая подсистема, состоящая из r столбцов, то есть ранг матрицы А равен r.

Теперь для того, чтобы найти ранг системы векторов, достаточно составить матрицу, столбцами которой служат вектора системы, и найти минор максимального порядка, отличный от нуля. Порядок этого минора и будет рангом системы векторов.

Для определения ранга матрицы, как следует из доказательства последней теоремы, достаточно найти минор М из левого верхнего угла, отличный от нуля, и затем методом окаймления перебрать миноры порядка на единицу большего до обнаружения такого минора, отличного от нуля. Если таких миноров, отличных от нуля не оказалось, то ранг матрицы равен порядку минора М. Если такой минор, не равный нулю, нашелся, то процедуру расчёта окаймляющих миноров нужно продолжить.

Из доказанной теоремы следует, что ранг системы строк матрицы равен рангу системы столбцов.

Другое важное следствие теоремы состоит в том, что теперь можно утверждать: чтобы определитель п-го порядка равнялся нулю необходимо и достаточно, чтобы между его столбцами существовала линейная зависимость.

Достаточность условия здесь очевидна. Чтобы доказать необходимость, заметим, что наивысший порядок отличных от нуля миноров определителя меньше порядка самого определителя. Отсюда следует, что столбцы этой матрицы линейно зависимы.

Диагональная форма матрицы.

Две теоремы о ранге матрицы.

Ранг произведения двух матриц не выше ранга каждого из сомножителей.

Пусть имеются две матрицы А и В, которые можно перемножать и пусть АВ = С. В i-й строке, и j-м столбце матрицы-произведения С стоит элемент , определяемый формулами:


при i = 1

при i = 2

при произвольном i


Здесь видно, что j-й столбец матрицы С представляет собой линейную комбинацию столбцов матрицы А, взятых с коэффициентами . Отсюда следует, что система столбцов матрицы С линейно выражается через систему столбцов матрицы А, и ранг системы столбцов С не превышает ранга системы столбцов А.

Если теперь использовать формулу (9) для элементов произвольной строки матрицы С, то получится:


при j = 1

при j = 2


и так далее.

Отсюда видно, что система строк матрицы С является линейной комбинацией системы строк матрицы В, следовательно, ранг системы строк матрицы С не может превышать ранга системы строк матрицы В, и теорема доказана.

. Ранг произведения произвольной матрицы А справа или слева на невырожденную квадратную матрицу Q равен рангу матрицы А.

Доказательство. Пусть


AQ = C(**)


Из первой теоремы о ранге матрицы следует, что ранг матрицы С не выше ранга матрицы А. Если умножить обе части равенства (**) на Q-1 справа, получится равенство


AQ = CQ-1


Из той же теоремы о ранге матрицы следует, что ранг А не выше ранга С. Отсюда следует, что ранги матриц А и С совпадают.

Теорема Кронекера-Капелли. Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы.

В частности:

Количество главных переменных системы равно рангу системы.

Совместная система будет определена (её решение единственно), если ранг системы равен числу всех её переменных.

Рассмотрим систему уравнений

матрица теорема определитель

(3)


Обозначим через А матриц у её коэффициентов и через А* её расширенную матрицу.

Теорема. Для того, чтобы система линейных уравнений была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы её коэффициентов равнялся рангу расширенной матрицы.

Доказательство. Пусть система (3) совместна. Тогда существует набор чисел , который будет решением системы. Если подставить этот набор чисел в систему, то получится выражение столбца свободных членов в виде линейной комбинации столбцов коэффициентов. Всякий другой столбец расширенной матрицы системы очевидно тоже можно представить в виде линейной комбинации матрицы коэффициентов. Очевидно, что и любой столбец матрицы коэффициентов системы можно представить в виде линейной комбинации столбцов расширенной матрицы. Таким образом, системы столбцов матрицы коэффициентов и столбцов расширенной матрицы эквивалентны. Это означает, что их ранги равны.

Пусть теперь ранги матрицы коэффициентов системы и расширенной матрицы системы (3) равны. Тогда некоторая максимальная линейно независимая система столбцов матрицы коэффициентов будет также максимальной линейно независимой системой столбцов расширенной матрицы. Отсюда следует, что столбец свободных членов может быть представлен в виде линейной комбинации столбцов матрицы коэффициентов. Набор коэффициентов этой линейной комбинации и будет решением рассматриваемой системы уравнений.


Теги: Теорема о ранге матрицы  Реферат  Математика
Просмотров: 41565
Найти в Wikkipedia статьи с фразой: Теорема о ранге матрицы
Назад