Розв’язування задач різними способами

1. Загальні питання методики навчання розвязуванню задач


1.1Поняття математична та арифметична задачі. Що означає навчити учня розвязувати задачі

математичний арифметичний задача учіння

Одна з найактуальніших проблем методики початкового навчання математики - формування поняття про задачу.

Вчитель обовязково повинен враховувати психологічні особливості сприйняття і засвоєння молодшими школярами нової інформації. В роботі вчитель повинен враховувати послідовність у подачі навчального матеріалу з усіх тем курсу математики щодо розвязування і повинна визначитися динаміка вивчення окремих видів задач і динаміка формування в учнів уміння розвязувати спочатку прості, а потім складні задачі. Методика роботи над усіма видами задач повинна ґрунтуватися на використанні памяток та опорних схем.

Під задачею розуміють вимогу або запитання про знаходження невідомої величини за числовими даними та залежностями між ними.

Під математичною задачею розуміють будь-яку вимогу обчислити, побудувати, довести що-небудь, що стосується кількісних відношень і просторових форм.

Арифметичною задачею називають вимогу знайти числове значення деякої величини, якщо дано числові значення інших величин і залежність, яка повязує ці величини як між собою, так і з шуканою.

Кожна задача складається з умови і запитання. Під умовою задачі розуміють числові дані, їх не повинно бути менше двох. В умові задачі вказуються до того ж звязки між даними числами та між даними і шуканим. Ці звязки визначають вибір відповідної арифметичної дії. Запитання вказує, яке число є шуканим.

Таким чином, аналіз самого поняття задача дає змогу виділити в ній три елементи: числові дані, запитання, звязки між шуканою величиною та числовими даними.

Розвязати задачу - це означає розкрити звязки між даними і невідомими значеннями величини або між даними та невідомими величинами., і на цій підставі вибрати, а потім виконати арифметичну дію та дати відповідь на запитання задачі.

Отже, навчити дітей розвязувати задачі - це означає навчити їх:

¾відокремлювати числові дані задачі;

¾пояснювати, що означає кожне число в задачі;

¾виділяти запитання задачі;

¾встановлювати звязки між даними і невідомими значеннями величини або між даними та невідомими величинами;

¾актуалізувати знання, на підставі яких вибирається арифметична дія;

¾обґрунтовувати вибір арифметичної дії;

¾виконувати арифметичну дію;

¾давати відповідь на запитання задачі;

¾виконувати перевірку розвязання.


.2 Ступені у навчанні розвязування задач


У методиці навчання розвязування задач виділяють ступені:ступінь - підготовча робота до розвязання задач;ступінь - ознайомлення з розвязуванням задач;ступінь - формування вмінь розвязувати задачі.

Мета підготовчої роботи (I ступінь) полягає у формуванні в учнів готовності до засвоєння вміння розвязувати задачі нового виду. Тому на цьому ступені учні повинні засвоїти:

¾обєкти та життєві ситуації, про які йдеться в задачі;

¾звязки на підставі яких обирається арифметична дія.

Під час ознайомлення з простими задачами різних видів (II ступінь) учні вчаться встановлювати звязки між даним та шуканим, і на цій підставі обирати арифметичну дію, тобто переходити від конкретної ситуації, що описана в задачі, до вибору відповідної арифметичної дії. Під час ознайомлення з певними видами складених задач вони повинні побачити та усвідомити особливості таких задач, які виявляються в:

¾структурі тексту задачі;

¾короткому записі;

¾пошуку розвязування задачі;

¾записи розвязування.

На III ступені здійснюється узагальнення способу розвязування задач, формується вміння розвязувати задачі даного виду.

Формування вміння розвязувати певні види задач краще за теорією поетапного формування розумових дій П.Я. Гальперіна і П.Ф. Тамізіної.


.3 Етапи в роботі над задачею


Ознайомлення зі змістом задачі. Аналіз умови задачі

Ознайомитися - це означає, прочитавши задачу, уявити собі життєву ситуацію, яка відображена в ній.

Під час ознайомлення задача читається двічі: перший раз - для ознайомлення із її змістом вцілому, а другий - для відокремлення кожної смислової одиниці тексту в окрему частину. Цей поділ задачі проводиться з метою виділення числових даних.

Читаючи задачу вчитель одночасно навчає дітей правильно працювати над текстом задачі: паузами, наголосом та інтонацією виділяє числові дані та слова, які визначають вибір арифметичної дії. Якщо в задачі є невідомі дітям слова, незрозумілі терміни, то їх слід пояснити заздалегідь, використовуючи предметні ілюстрації або малюнки, з метою уявлення життєвої ситуації можна показати зміст задачі та намалювати словесну картинку.

Під час аналізу умови задачі доцільно провести:

1.бесіду по виділенню умови та запитання задачі, по виділенню числових даних і шуканих величин та звязків між ними.

2.ілюстрування задачі способом застосування предметів, малюнків та схем;

.складання короткого запису, у якому фіксуються величини, числа дані та шукані, а також слова, які показують про що йде мова в задачі: «було», «поклали», «стало» та слова, які позначають відношення «більше», «менше», «однаково» та інші.

Пошук розвязування задачі

Пошук розвязування задачі може бути здійснений від запитання задачі до числових даних, тобто аналітично, або від числових даних задачі до її запитання - синтетично. На думку багатьох методистів під час пошуку способу розвязування складених задач доцільно застосовувати аналіз, ніж синтез. Це пояснюється тим, що під час аналізу попереджається випадковість вибору числових даних, а особлива увага приділяється обґрунтуванню вбору арифметичної дії.

Для складених задач пошук розвязання задачі завершується складанням плану розвязування задачі, в якому обговорюється про те, що ми дізнаємося першою дією, другою дією і т.д.

Запис розвязання та відповіді задачі

Розвязання задачі - це виконання арифметичних дій, що були обрані під час складання плану розвязування.

Розвязування задачі може бути здійснено усно чи письмово. Відповідь записується коротко, якщо у розвязуванні присутні пояснення, та розгорнено, якщо розвязання подане без пояснень.

Робота над задачею після її розвязання

Ця робота полягає у перевірці правильності розвязку. В початкових класах використовують чотири способи перевірки:

1.Складання та розвязування оберненої задачі. Якщо під час розвязування оберненої задачі в результаті отримаємо число, яке було відоме в даній задачі, то можна вважати, що задача розвязана правильно.

Цей спосіб перевірки вводиться в 2 класі.

Слід обовязково вказувати дітям, яке число буде шуканим в оберненій задачі.

2.Встановлення відповідності між числами, які одержали в результаті розвязування задачі і даними числами.

.Розвязування задачі іншим способом. Слід памятати, що два способи не можна вважати різними, якщо вони відрізняються лише порядком дій.

4.Прикидка відповіді (встановлення відповідності шуканого числа області своїх значень). Використовуючи цей спосіб, перевіряють розвязання простих і складених задач. Отже, в роботі над задачею виділяють такі етапи:

I.Ознайомлення з умовою задачі, аналіз умови;

II.Пошук способу розвязування задач;.Запис розвязування та відповіді задач;.Робота над задачею після її розвязування


2. Розвязування задач різними способами я засіб розвитку мислення школярів


Сучасні вимоги щодо підвищення загального математичного рівня розвитку школярів молодших класів реалізується завдяки найважливішому із методів роботи - розвязування задач різними арифметичними способами. Ця робота привчає дітей самостійно висувати гіпотези і перевіряти їх, порівнювати результати, доходити висновків, а головне, вона вчить мислити.

Вироблення звички шукати інший варіант розвязування дуже важливе для майбутньої творчої, зокрема наукової діяльності, а саме вміння знаходити неординарні шляхи вирішення проблеми, і це забезпечує успіх у будь - якій справі.

Керівна роль вчителя під час пошуку інших варіантів розвязання дуже важлива. Він сам повинен добре розвязувати задачі, знати наперед, скількома способами можна знайти відповідь у кожній з них, ефективно використовувати при цьому час уроку.

Як правило, пошуки різних способів розвязування дуже зацікавлюють учнів, особливо здібних до математики.

Поки вчитель розвязує задачу 1 способом з рештою класу, здібні до математики діти вже встигають знайти кілька інших способів.

Розвязування задач різними способами веде до розвитку і вміння всебічно аналізувати задану задачу.

Пошук іншого способу розвязування приводить до встановлення нових звязків між величинами або використання відомих звязків у нових умовах.

Слід наголосити, що розвязання, які відрізняються між собою лише порядком дій, не є різними.

М.В. Богданович у своїй книзі «Методика розвязування задачв початковій школі» пропонує таку класифікацію різних способів розвязання задач. Він розглядає способи розвязування на такій задачі:

У юнната були кроля і індики. Всього у цих кролів і індиків було по 10 голів і 26 ніг. Скільки кролів і індиків було в юнната?

.Спосіб випробування (спосіб проб і помилок)

Всього тварин 10. індиками вони всі бути не можуть, бо тоді б у них було б усього 20 ніг. Кролями теж всі не можуть бути, бо тоді б ніг було 40. будемо випробовувати:


Число кролівЧисло індиківЧисло ніг192228243726

Числа 3 і 7 підходять. У юнната було 3 кролі і 7 індиків.

.Спосіб оригінальної здогадки

Уяві, що всі кролі стали на задні ноги, а кожен індик на 1. в такій позі були б зайняті половина всіх ніг, тобто 13. це на три більше, ніж всього було голів. Отже кролів було 3.

.Спосіб припущення

Припустимо, що були самі індики. Тоді б ніг було тільки 20. Це на 6 менше, ніж було насправді. При заміні одного індика на кроля, тоді ніг збільшується на 2. отже, число кролів буде дорівнювати частці чисел 6 і 2 (6:2=3)

.Алгебрагічний спосіб

Х - число кролів

(10-х) - число індиків

х + 2 (10-х)=26

х+20=26

х=6

Х=3

.Узагальнений спосіб. Розглянемо задачу в загальному вигляді. Нехай число голів було п, а число ніг к. Позначимо кролів через х, а число індиків через у. дістанемо таку систему рівнянь.

.

х+у=п

х+2у=к


Звідки х=к/2-п

В даному разі

:2-10=3.

Кожен з розглянутих способів має свої переваги:

Метод проб і помилок готує до розуміння і застосування методу послідовних наближень, він широко використовується в науці.

Спосіб оригінальної догадки потребує образності та оригінальності мислення, вміння уявити реальну ситуацію так, щоб на першому плані були істотні ознаки розвязуваного обєкта.

Спосіб припущення ілюструє один з типових способі розвязування алгебрагічної задачі.

Алгебрагічний спосіб та спосіб узагальнення свідчать про ефективність застосування алгебри.

Ознайомлення з різними способами розвязування задачі здійснюється вже у другому класі.

Задача: У хлопчика бууло 8 білих кролів і 7 чорних. 5 чорних кролів він передав шкільній кролефермі. Скільки кролів стало у хлопчика?спосіб

1)Скільки у хлопчика всього кролів?

2)Скільки у хлопчика стало кролів?

II спосіб

1)Скільки залишилося чорних кролів?

2)Скільки у хлопчика стало кролів?

Задача

На льотному полі було 12 літаків. У політ вирушило 2 літаки, а потім ще 3. Скільки літаків залишилося на полі?

Поясни розвязання кожним способом:спосіб

) 2+3=5 (л)

) 12-5=7 (л)

II спосіб

3)12-2=10 (л)

4)10-3=7 (л)

Задача.У ящику було 12 кг цибулі. За перший день витратили 4 кг цибулі, а за другий 5 кг. Скільки кілограмів цибулі залишилося в ящику?спосіб

1) Скільки кілограмів цибулі залишилося після першого дня продажу?

) Скільки кілограмів цибулі залишилося після другого дня продажу?спосіб

) Скільки кілограмів цибулі продали першого і другого дня?

) Скільки кілограмів цибулі залишилося після двох днів продажу?

клас

Задача: Школярі зібрали з одного поля 1540 кг. Картоплі, причому 12 школярів зібрали по 75 кг кожний, а всі інші по 80 кг кожний. Скільки всього школярів збирали картоплю?спосіб

1.Скільки картоплі зібрали 12 школярів?

75*12=900 (кг)

2.Скільки картоплі зібрали ті, хто збирав по 80 кг кожний?

1540-900=640 (кг)

3.Скільки всього школярів збирали картоплю?

12+8=20 (шт.)

Відповідь: 20 школярів.спосіб

Припустимо, що всі школярі збирали по 800 кг картоплі.

.На скільки більше збирав би кожний із школярів?

-75=5 (кг)

.На скільки більше картоплі зібрали б усі 12 школярів?

*12=60 (кг)

.Скільки б усього зібрали б картоплі за припущенням?

+60=1600 (кг)

.Скільки всього школярів збирали картоплю?

:80=20 (шк.)

Відповідь: 20 школярів.спосіб

Припустимо, що школярів, котрі збирали по 80 кг картоплі кожний було стільки ж, скільки й тих, кожний з яких збирав по 75 кг, тобто 12.

Скільки б усього зібрали б картоплі за припущенням?

(75+80)*12=1860 (кг)

На скільки більше картоплі зібрали б за припущенням, ніж насправді?

-1540=320 (кг)

Скільки школярів зібрали б ці 320 кг?

:80=4 (шк.)

Скільки школярів насправді збирали по 80 кг картоплі?

-4=8 (шк.)

Скільки всього школярів збирали картоплю?

+8=20 (шк.)

Відповідь: 20 школярів.спосіб

Припустимо, що картоплю збирали 25 чоловік.

1.Скільки було б тих, хто збирав по 80 кг картоплі?

25-12=13 (шк.)

2.Скільки картоплі зібрали б ці 13 школярів?

80*13=1040 (кг)

3.Скільки картоплі зібрали 12 школярів?

75*12=900 (кг)

4.Скільки за припущенням зібрали б картоплі всі учні?

900+1040=1940 (кг)

5.На скільки більше картоплі зібрали всі школярі за припущенням, ніж насправді?

1940-1540=400 (кг)

6.Скільки школярів, збираючи по 80 кг, спроможні заготовити таку кількість картоплі?

400:80=5 (шк.)

7.Скільки школярів насправді збирало по 80 кг картоплі?

13-5=8 (шк.)

8.Скільки всього школярів збирали картоплю?

8+12=20 (шк.)

Відповідь: 20 школярів.

Розвязування задач різними способами активізує різні аспекти математичної діяльності учнів.

У початкових класах прийом розвязання задач різними способами навчально - пропедевтичний характер.

Треба зясувати можливість розвязання задач різними способами; застосувати їх при ілюстрації деяких властивостей арифметичних дій, наприклад, додаванні суми до числа, відніманні суми від числа, розподільній властивості множення чи ділення відносно додавання чи віднімання; організувати самостійне розвязування учнями різними способами таких задач, в яких кожен із способів добре інтерпретується життєвою ситуацією чи практичним виконанням.

2.1 Аналіз системи математичних задач, які вивчаються в початкових класах


Прості задачі

1 клас

Знаходження суми двох чисел

Знаходження остачі

Збільшення та зменшення на декілька одиниць (пряма форма)

Різницеве порівняння двох чисел

Знаходження невідомого доданка

2 клас

Знаходження невідомого зменшуваного

Знаходження невідомого відємника

Знаходження добутку двох чисел

Знаходження частки двох чисел

3 клас

Збільшення та зменшення числа в кілька разів (пряма форма)

Кратне порівняння двох чисел

Знаходження невідомого множника

Знаходження невідомого діленого

Знаходження невідомого дільника

Задачі на ділення з остачею

Знаходження частини числа

Знаходження числа за його частиною

4 клас

Збільшення та зменшення числа на кілька одиниць (непряма форма; в порядку ознайомлення)

Збільшення та зменшення числа у кілька разів (непряма форма; в порядку ознайомлення)

Задача на знаходження площі прямокутника

Задачі на час; знаходження тривалості події, початку або її закінчення.

Складені задачі

Задачі на дві дії

2 клас

Найлегші зведені задачі на дії першого ступеня та на дії різного ступеня

Задачі з «відношенням»: знаходження суми за умовою, що один з компонентів дії заданий різницевим відношенням до даного в задачі числа; знаходження суми трьох чисел, якщо один з додатків заданий відношенням до відомого числа; знаходження числа, яке задане подвійним різницевим відношенням.

1.Задачі із «сумою»: додавання числа до суми; віднімання числа від суми; знаходження третього доданка за сумою і двома відомими доданками; знаходження суми чи остачі, коли доданок, зменшуване відємник задані двома числами (сумою).

2.задачі на різницеве порівняння результату першої дії з її компонентом або іншим числом.

3 клас

1.Найлегші зведені задачі на дві дії різного ступеня, в яких враховується порядок дій, та на дії другого степеня.

2.Задачі з «відношенням»: знаходження суми чи остачі за умовою, що один з компонентів дії заданий кратним відношенням до даного в задачі числа; знаходження суми трьох чисел, якщо один з доданків заданий кратним відношенням до одного з відомих доданків; знаходження числа, яке задане подвійним відношенням (різницевим і кратним, двома кратними); різницеве чи кратне порівняння даного в задачі числа і числа, яке задане відношенням до даного; знаходження невідомого зменшуваного чи відємника, якщо другий компонент чи результат дії заданий відношенням до відомого числа; знаходження числа, яке в кілька разів більше або менше від суми даних чисел.

.Задачі із «сумою» (або іншим виразом): множення і ділення суми на число; множення числа на суму; знаходження результату чи невідомого компонента дії, коли другий компонент чи результат дії заданий двома числами (сумою, різницею, додатком, часткою).

.задачі на двоопераційне знаходження невідомого компонента.

.Задачі на порівняння результату першої дії з її компонентом чи іншим числом (на всі випадки арифметичних дій).

6.Задачі на знаходження четвертого пропорційного способом зведення до одиниці (два види)

4 клас

1.Задачі на дві дії, які включають знаходження частини числа.

2.Задачі на ілюстрування сполучної властивості додавання та розподільної властивості суми відносно множини і ділення.

.Задачі на знаходження четвертого пропорційного способом відношення та способом знаходження сталої величини.

Задачі на 3-4 дії

3 клас

1.Задачі, утворені шляхом «розширення» задач на дві дії

2.Задачі на знаходження суми (різниці. Частки) двох добутків (сум, різниць, часток)

.Задачі, обернені до задач на знаходження суми двох добутків.

4 клас

.Задачі на зустрічний рух (пряма і обернена)

2.Задачі на пропорційне ділення та знаходження невідомого числа за двома різницями.

.Задачі на знаходження суми трьох добутків або ускладнені

.Задачі на суму двох добутків (прямі й обернені)


2.2 Математична задача як засіб активізації учіння


Задачі відіграють величезну роль у житті людини, визначають та спрямовують усю її діяльність.

Особливо велику роль відіграють задачі в навчанні математики. З одного боку, учні мають оволодіти методами розвязування певної системи математичних задач, а з іншого боку, повноцінне досягнення цілей навчання можливе лише за допомогою розвязування тієї чи іншої системи задач. Отже, розвязування математичних задач є одночасно і метою і засобом навчання.

Задачі є тим конкретним матеріалом, за допомогою якого в дітей формуються нові знання і закріплюються на практиці раніше здобуті знання.

Якщо в учнів потрібно сформувати правильне поняття про дію додавання, необхідно, щоб діти розвязали достатню кількість простих задач на знаходження суми, практично використовуючи Щоразу операцію обєднання груп предметів.

Розвязуючи, наприклад, задачі на знаходження невідомого компонента дій (знаходження невідомого доданка, зменшуваного) діти засвоюють зв'язок між компонентами й результатами арифметичних дій.

Задачі дають можливість повязати питання теорії з практикою, навчання з життям, формують у дитини практичні вміння, що необхідні кожній людині у повсякденному житті. Наприклад, обчислити вартість покупки, ремонту житла, визначити час виходу з дому, щоб не спізнитися на поїзд і т. п.

Через розвязування задач діти ознайомлюються з важливими факторами, які мають пізнавальне і виховне значення.

Сам процес розвязування задач за певної методики, позитивно впливає на розумовий розвиток школярів, бо він потребує виконання багатьох розумових операцій: аналізу та синтезу, конкретизації та абстрагування, порівняння та узагальнення.

Так під час розвязання будь якої задачі учень виконує аналіз: відокремлює запитання від умови, виділяє дані і шукані числа; складаючи план розвязання задачі, він виконує синтез, користуючись при цьому конкретизацією (подумки малює умову задачі), а потім абстрагуванням (абстрагуючись від змісту конкретної задачі, вибирає арифметичні дії); внаслідок багаторазового розвязування задач певного виду учень узагальнює знання звязків між даним і шуканим, чим узагальнюється спосіб розвязування задач цього виду.

В психологічному плані під задачею розуміють будь-яку ситуацію, що вимагає від людини певної дії, або мету, поставлену перед нею в деяких умовах.

Навчальна задача є основним елементом учбової діяльності учнів.

Психологами встановлено три основні типи активності учнів:

1)репродуктивно-наслідувальний;

2)пошуково-виконавчий;

)творчий.

Кожний із зазначених типів активності виявляється і розвивається в школярів під час роботи над задачею.

Репродуктивно-наслідувальний тип активності виявляється під час засвоєння учнями предметних дій і мовних форм, дає їм змогу успішно засвоїти дії співвіднесення та вибору і виділення в змісті навчального матеріалу раніше вивчених та нових понять.

Пошуково-виконавчий тип активності полягає в тому, що учні можуть самостійно аналізувати зміст задачі, встановлювати зв'язок між відомими і невідомими величинами.

Основним виявом творчого типу активності є уміння самостійно аналізувати задачу і добір оригінального способу їх розвязання.

Тривале перебування учнів в стані одного певного типу активності гальмуватиме їх загальний психологічний розвиток. Отже, рівень активності учня значною мірою впливає на його готовність сприймати і знаходити спосіб розвязання задачі. Готовність учнів сприймати задачу залежить також від того, як організовує вчитель аналіз учнями задачного матеріалу.

При створенні умов, які забезпечують формування в учнів готовності сприймати задачу, великої уваги заслуговує принцип комплексності. Принцип комплексності у формуванні готовності сприймати задачу - це спеціальна організація процесу засвоєння прийомів розумової діяльності: осмислено сприймати і запамятовувати, аналізувати, порівнювати, узагальнювати і конкретизувати задачний матеріал, користуватися формулами.

Сприймаючи задачу, учні виконують цілий ряд розумових і практичних дій: виділяють із її змісту важливу для її розвязання інформацію, зіставляють між собою складові частини задачі, встановлюють між ними зв'язок, складають орієнтований план розвязування.

Щоб скласти план розвязування, учні повинні усвідомлювати структуру задачі. Важливе значення при усвідомленні структури задачі мають спеціально розроблені моделі і схеми, які в наочній формі відображають істотні звязки між її обєктами.

У розумовому розвитку дитини виділяють два рівні:

1)рівень актуального розвитку, коли дитина виконує певні завдання сама;

2)рівень при якому дитина не може виконати завдання самостійно, а за допомогою навідних запитань, прикладів або за зразком, що містять елементи міркувань, допомагає усвідомити спосіб виконання дії. Цей рівень Л.С. Виготський називав «зоною найближчого розвитку».

Вимоги до змісту задачного матеріалу:

1.відкривати для учнів нове в навколишній дійсності;

2.забезпечувати пошукову діяльність учнів;

.створювати умови для виявлення можливостей учнів самостійно робити висновки; самостійно встановлювати спосіб розвязування задачі, розкривати зв'язок між обєктами задачі;

.допомагати учневі встановлювати зв'язок задачі з власним життєвим досвідом і розвязувати його особисті проблеми;

.відповідати інтересам дитини даного віку й цим викликати значні для неї переживання;

.створювати правильну установку;

.визначати важливість певної наукової інформації. [4]

Результати наукових досліджень і практика досвідчених вчителів показують, що оптимальність мислительної діяльності учнів забезпечується різними прийомами роботи із задачею: пере формулювання змісту задачі, кількаразова заміна числових даних для узагальнення способу розвязування задачі; доповнення задачі даними, яких не вистачає; змінювання кількості слів в умові задачі для того, щоб дістати подібну за зовнішніми ознаками задачу, але відмінну за способом розвязування; ускладнення умови задачі так, щоб утворилася нова задача; розвязування задачі «без запитання», коли учні самостійно встановлюють, які величини можна відшукати за допомогою даної умови задачі; формулювання задачі за заданим числовим виразом, її розвязування; складання задачі за заданою схемою; складання задач за заданим запитанням.

Рівень складності матеріалу з математики здебільшого зумовлюється установкою, що виникає в учнів стосовно звязків, які треба встановити між обєктами задачі. А рівень складності встановлення залежить не скільки від значення слів, скільки від контексту, в якому вони перебувають.

Наприклад,

Задача 1. У одного учня було 5 зошитів, а в другого 3. Скільки зошитів було в обох учнів?

Задача 2. У одного учня було 5 зошитів, а в другого учня зошитів не було. Скільки зошитів було в обох учнів?

Перша задача простіша від другої, бо матеріал другої задачі побудований незвично, це ускладнює встановлення звязків між умовою. І вимогою задачі, примушує дітей шукати новий спосіб розвязування.

Досить важкими для учнів є задачі, в яких потрібно встановлювати зв'язок між величинами, що виражені словами і числами, що містять додаткову інформацію про обєкти задачі, яку треба використати в процесі співвіднесення вимоги і умови задачі.

Наприклад. Задача. Учні вирізали 15 червоних і синіх зірочок. 5 зірочок було червоних, а решта сині. Червоні зірочки учні наклеїли на зошити відмінників, а сині на зошити учнів, які вчаться на «4» і «5». Скільки в класі відмінників? Скільки учнів вчаться на «4» і «5»?

Не всі учні можуть розвязати її, бо треба співвідносити умову задачі з вимогою. Зміст задачі і вимога не мають ознак схожості. Учні повинні встановити кілька звязків: між червоними і синіми зірочками; між учнями, які вчаться на «відмінно» та «4» і «5»; між учнями та зірочками; між даними задачі, зображеними числами та словами.

Введення звязків між обєктами задачі відбувається по-різному. Спосіб подачі звязків в навчальному матеріалі впливає на ступінь його засвоєння.

Виділяють три способи подачі навчального матеріалу:

1.алгоритмічний;

2.імплікативний (спосіб порад);

.класифікаційний (спосіб пояснення загального принципу).

Алгоритмічний - це спосіб подачі матеріалу, який відображає звязки обєктів, понять і дій.

Наприклад, для засвоєння звязків між швидкість, часом і відстанню:

1.Щоб знайти відстань між двома обєктами, треба знайти швидкість і час.

2.Швидкість можна визначити тоді, коли відомі відстань і час.

.Час можна відшукати тоді, коли відомі швидкість і відстань.

Приклад імплікативного способу подачі цього матеріалу:

1.Якщо треба визначити відстань, виконують дію множення: відстань дорівнює швидкості помноженій на час.

2.Якщо треба визначити швидкість, виконують дію ділення: швидкість дорівнює відстані поділеній на час.

.Якщо треба визначити час, теж виконують дію ділення: час дорівнює відстані поділеній на швидкість.

Класифікаційний спосіб подачі цього навчального матеріалу обмежується повідомленням такого типу: «При визначені відстані, швидкість треба помножити на час», або «Швидкість дорівнює відстані поділеній на час».

Алгоритмічний спосіб подач навчального матеріалу ефективно сприяє формуванню в учнів умінь і навичок, імплікативний спосіб помітно впливає на усвідомлення змісту матеріалу, а класифікаційний навчає прийомів запамятовування.


.3 Залежність засвоєння навчального матеріалу від образу мислення учнів


Успішне засвоєння учнями знань можливе в умовах взаємодії обєктивних і субєктивних умов навчання.

До обєктивних умов відносять:

1.властивості навчального матеріалу (специфіку, форму, рівень трудності, обсяг, структуру);

2.способи подачі матеріалу;

.конкретні умови навчальної діяльності школяра.

Ці обєктивні умови набувають чинності та значимості, якщо співвідносяться і вступають у взаємозвязки із психічними можливостями учнів. Можливості школяра - це складне психічне утворення. Вони обєднують в його діяльності не тільки певний набутий життєвий досвід, а й рівень та обсяг здобутих знань, умінь і навичок. Провідними їх компонентами є сформованість в учнів способу дій, який являє собою систему дій та операцій. Необхідних для засвоєння математичних знань, особисті цінності та мотиви процесу учіння.

Внутрішні передумови характеризують спосіб засвоєння знань та ставлення школяра до навчання.

Здається, що добре прочитаний матеріал, наочне зображення його окремих елементів, короткий схематичний запис задачі забезпечують сприймання і усвідомлення учнями змісту математичного матеріалу. Та це не завжди так. Зміст матеріалу та форма його викладення - це тільки частина тих подразників, що викликають в учнів певну реакцію. Засвоєння матеріалу нерідко супроводжується пригадуванням, роздумами, тривогами учнів. Усе це впливає на ефективність процесу засвоєння матеріалу.

Процес свідомого засвоєння навчального матеріалу складється з таких логічно повязаних між собою дій: виділення істотних ознак в заданих обєктах математичного матеріалу. Встановлення звязків і відношень між цими обєктами, включення заданих обєктів у нові звязки і відношення, аналіз учнями властивої діяльності.

У процесі засвоєння математичного матеріалу і при розвязуванні задач учні застосовують конкретно - образний, конкретно-символічний, абстрактно-символічний і абстрактно-образний способи дії.

Учні, які володіють конкретно-образним способом дії потребують опори на числові формули. Ці учні здебільшого не встановлюють звязку між вимогою задачі та її даними.

Учні, які володіють конкретно-символічним способом дій, спираються на уявлення, які відображають компоненти змісту задачі, виражені вербальній формі. Ці учні спрямовують свою увагу, в основному, на формулювання запитань, на виявлення ознак і властивостей, що істотні для шуканої величини. Опираються на буквені вирази-символи і судження, подаючи їх у вигляді буквених формул. Учні швидко знаходять відповіді на запитання і обчислюють результати.

Учні з абстрактно-образним способом дії відчувають потребу в зорових образах, схемах. Процес розвязування задачі у них розгортається у внутрішньому плані дій і майже не переходить у зовнішній.

Успішність засвоєння знань, ставлення до навчальних труднощів повязані із сформованими цінностями особистості учня - успіхом чи невдачею, бажанням самоудосконалюватися, задоволенням певних потреб чи боротьбою, що повязана з їх гальмуванням. Увага і установка - зовнішні вияви спрямованості школяра на засвоєння знань.


.4 Оптимізація пізнавальної діяльності учнів на уроці


Методика проведення сучасного уроку спрямована на оптимізацію пізнавальної діяльності учнів.

Комплексним підходом до розробки і створення навчальних ситуацій на уроці передбачається диференційована постановка навчальних завдань, керування процесом опанування учнями певного обсягу знань, організації їхньої самостійної мислительної діяльності. На уроках слід передбачати ситуації, які б стимулювали пошук учнів чи сприяли їхньої самостійної мислительної діяльності, завдання повинні повязуватися з життєвою практикою, з досягненнями науки і т техніки. Корисно пропонувати учням завдання і ставити вимоги, які б змушували їх проводити самостійні дослідження. Учні під час виконання навчальних завдань вчаться спостерігати, запамятовувати, класифікувати й узагальнювати ознаки обєктів.

Для формування уважності в учнів доцільно створювати такі ситуації, які вимагають від учнів словесного звіту про виконану роботу, усвідомлення плану діяльності вчителя на уроці. Завдання, що спрямовані на організацію сприймання уваги учнів є засобом розвитку довільного запамятовування. Довільне запамятовування розвивається в умовах, коли учням потрібно розкрити способи виконання завдання, сформулювати основні правила обчислення, додержувати певної послідовності системи у засвоєнні навчального матеріалу. Розвитку творчого мислення учнів на уроці сприяють навчальні ситуації, в яких учні опиняються перед необхідністю досліджувати обєкт, розкривати певні закономірності, встановлювати раціональний спосіб розвязання задачі, складати систему задач.

Ефективними для розвитку мислительної діяльності учнів на уроці є ситуації, що спрямовують учнів на розпізнавання, встановлення істотних ознак задачі, сформульованій у непрямій формі. Таким чином, визначення функції, яку виконує слово у співвідношенні шуканої і даної величини, є основним завданням учнів у роботі з задачами, що подані в непрямій формі. Встановити цю функцію можна тоді, коли непряма задача буде переосмислюватися у задачу, подану у прямій формі; порівнювати, зіставляти, встановлювати ознаки схожості, відмінності в їх змісті та способі розвязування. Ситуації, в яких учні переформульовують завдання, сприяють виробленню в них уміння оцінювати власну діяльність.

Наприклад,

Задача. Різниця між кількістю цегляних і деревяних будинків у селі дорівнює 70. Цегляних будинків 210. скільки будинків деревяних?

Учні формулюють її по-іншому: У селі 210 цегляних будинків, а деревяних на 70 менше. Скільки будинків у селі?

Сучасний урок дає можливість розвивати у школярів творчу уяву. Якщо мислення забезпечує пізнання змісту обєктів математичного завдання, а основна функція памяті полягає в його збереженні, то творча уява допомагає перетворити певні обєкти і надати йому нових ознак і властивостей. У тісному взаємозвязку з можливостями уроку, що забезпечують розвиток пізнавальної діяльності учнів, перебувають можливості, що сприяють формуванню емоційно-вольового компонента особистості школяра. Адже на уроці від учнів вимагається вміння долати певні труднощі, підкоряти свої бажання обовязку, регулювати свою поведінку відповідно до поведінки колективу. Воля, позитивні риси характеру, емоції і почуття формулюються в навчальних ситуаціях, що створюються за допомогою використання фактів і подій з реального життя учнів, взятих з додаткової літератури, повязаних з історією виникнення явища, яке зясовується на уроці. Виконуючи різні види діяльності на уроці, учні займають позицію активного субєкта дій.

Та учень молодших класів не може обійтися без усної розповіді вчителя, що є важливою психологічною передумовою свідомого засвоєння навчального матеріалу. Усі складні акти життєвого мовлення вчителя закріплює і зберігаються у памяті учня. Усе почуте має характер цінної і багатої за змістом наочності і закріплюється численними асоціативними звязками, які стають опорними сигналами при відтворенні навчального матеріалу і свідомому його засвоєнні. Оптимізація пізнавальної діяльності учнів на уроці забезпечуватиметься при умові, якщо кожному учневі надаватиметься можливість самостійно відкривати для себе знання, стверджувати почуття власності гідності.

Оптимізації процесу учіння сприяють такі види діяльності вчителя, як оцінювання умов, спрямованих на формування основних понять на уроці; аналіз розумових дій та операцій, які виконувалися учнями; співвіднесення методів роботи із змістом навчального матеріалу та інтелектуальними можливостями учнів; характеристика якостей розумової діяльності учнів, які виявлялися на уроці і які мають у них розвиватися; виділення суттєвого в навчальному матеріалі, узагальнення матеріалу; контроль за власною мовою і мовою учнів (змістовність, словниковий склад мови, чіткість формулювань, виразність, образність, синтаксична структура та інше); створення умов для розвитку їх репродуктивної та творчої уваги; контроль за емоційним станом дітей на уроці і створення ситуацій для формулювання вольових якостей особистості; управління спілкуванням учнів на уроці і виховання в них дисциплінованості, організованості та діловитості.

Отже, учитель на уроці має створювати такі навчальні ситуації, які б допомагали організовувати сприйняття навчального матеріалу і розвивати спостережливість; керувати увагою учнів і формувати в них уважність; навчати прийомів довільного запамятовування; аналізувати використані на уроці розумові дії та операції; здійснювати контроль за власною мовою та мовою учнів; визначати труднощі учнів у засвоєнні навчального матеріалу; розвивати їх творчу уяву; керувати емоційно вольовим компонентом особистості дитини; формувати стійкий інтерес до математичних знань.


.5 Індивідуальний підхід до дитини та диференціація навчальних завдань - запорука успіху в навчанні розвязуванню задач


Школа повинна організовувати діяльність учнів так, щоб створити максимальні умови для виявлення їхніх індивідуальних здібностей і нахилів, для всебічного розвитку. Розвязанню цього завдання значною мірою сприяє індивідуалізація навчання. Особливістю індивідуального навчання є постіне врахування вчителем тривалості і специфіки того напруження, якого потребує від учня виконання математичних завдань.

Для постановки індивідуальних навчальних завдань вчитель вивчає загальний розумовий розвиток дитини: визначає, як вона знає художню і наукову літературу, який у неї словниковий запас; які особливості уваги (розподіл, переключення, обсяг, стійкість) та рівень розвитку довільних форм діяльності, зясовувати швидкість сприймання, вияв самостійності, логічності і глибини мислення, наявність усвідомлених суджень, уміння аналізувати та узагальнювати.

Щоб організувати індивідуалізоване навчання вчитель повинен знати типологічні та індивідуальні можливості школярів у засвоєнні математики.

Типові можливості молодших школярів визначаються тією психологічною готовністю до засвоєння знань, яка зумовлена їхнім віком. Наприклад, діти шестирічного віку без допомоги вчителя не можуть додержувати певної послідовності дій при виконанні завдання. Їм нелегко виділити ознаки, за якими схожі та відмінні такі записи: 6+2 та 2+6. майже у всіх шестирічних дітей виникають труднощі в аналізі змісту задачі вцілому. Вони здебільшого виділяють якусь складову частину задачі й обмежуються її аналізом. їх більше привертає сюжет задачі та дійові особи: ляльки, кульки, мячики і т.д. тому тут необхідно керівництво вчителя. Далі в семи - восьмирічному віці діти, не знаючи про переставну властивість, легко знаходять схожість у виразах такого типу: 5+4 і 4+5, сприймають задачу як навчальне завдання, надають перевагу не легким завданням, а завданням з логічним навантаженням. В девять, десять років діти намагаються розкрити причинно - наслідкові звязки і відношення в змісті навчального матеріалу з математики.

Про те для молодших школярів характерний недостатньо чіткий зв'язок між рівнями розвитку операцій аналізу та синтезу, планування процесу розвязування задачі на наочній основі, опора на зовнішні ознаки, схильність до встановлення закономірності і формулювання її у вигляді правила, а потім використовування цього правила під час складання моделі задачі.

Специфічним для них є співвідношення конкретно - образних; словесно - логічних компонентів мислення. Провідною формою мислительної діяльності учнів початкової школи є словесно - логічне мислення, але в 6-7річному віці переважає наочно - образне мислення. Аналітико - синтетична діяльність не забезпечує учням внутрішніх звязків між обєктами задачі. В учнів на цьому етапі навчання не достатньо розвинуті автоматизм та зворотність.

За умови раціональної організації навчання (поступового ускладнення завдань, активізації пізнавальної діяльності) учні початкових класів можуть досягти високого рівня розвитку структури конкретно - логічних операцій. За допомогою таких операцій вони класифікують однотипні задачі на основі уявлення. Школярі можуть планувати класифікацію завдань.

Важливим для учнів є розвиток таких мислителних операцій, як зіставлення, протиставлення ознак, абстрагування, конкретизація, узагальнення, включення і виділення типів задач за способом їх розвязування. Вони виконують ці операції на словесно - понятійній основі.

Доступним для засвоєння є поняття про просторові, причинно - наслідкові відношення часу. Вони успішно оволодівають просторовими поняттями між предметами, поняттями про метричні міри, навчаються вимірювати і користуватися планом, масштабом з різними умовними позначеннями.

Дії на запамятовування можуть ефективно використовуватися як необхідні компоненти способу розвязування задач лише тоді, коли достатньо обґрунтована орієнтувальна основа змісту задачі. При такій умові аналіз змісту задачі переходить в аналіз її форми. Форма задачі стає надійною опорою у відтворенні її змісту.

До умов, що сприяють застосуванню способів логічного запамятовування і відтворення як компонентів способу розвязування задачі, відносять: актуалізацію потреби учнів у оволодінні способом розвязування задач, формування пізнавальних дій як орієнтувальної основи для пошуку способу розвязування задачі; опору на результат мимовільного запамятовування в процесі засвоєння способів логічного запамятовування і забезпечення змістової орієнтації учнів у матеріалі задачі; вправляння учнів у застосуванні способів запамятовування.

Психологами розроблено критерії схильності учнів до математики: швидке оволодіння дитиною математичними знаннями, уміннями і навичками, швидке сприймання пояснення вчителя; наявність логічності і самостійності в мисленні, кмітливість і орієнтація в установленні звязку між змістом умови і вимогою задачі; логічна згорнутість процесу міркування; уміння формулювати задачі в непрямій формі; швидке і тривале запамятовування математичного матеріалу; наявність постійного інтересу до математичних завдань і майже відсутня втомлюваність на уроках математики; наявність таких рис особистості, як зосередженість, працелюбність, наполегливість.

Індивідуальні можливості школярів нерідко визначають залежні від сформованості і співвідношення в них словесно - логічних і наочно - образних компонентів мислення. За виявами усіх компонентів розрізняють аналітичний, геометричний і гармонійний тип розуму.

Для учнів з виявами аналітичного типу характерні нахили до оперування схемами, вони розвязують задачі складним логіко - аналітичним способом. Їм легше міркувати, ніж практично щось обчислювати.

Учні з виявами геометричного типу розуму постійно відчувають потребу в наочності. Вони легко виконують різні креслення, без труднощів орієнтуються в наочній інтерпретації вираження абстрактно - математичних відношень і залежностей. Учні з цим типом мислення усвідомлюють задачу вцілому, намагаючись зобразити її зміст схемою чи виразити формулою.

В учнів з гармонійним типом математичного мислення виявляються нахили до словесно - абстрактного аналізу образів та схем. У розвязуванні задач вони користуються і аналітичним і образно - геометричним мисленням. Такі учні не завжди потребують опори на наочну основу, у поясненні виконаних дій здебільшого користуються вербально - логічним формулюванням.

Слід зазначити, що співвідношення сигнальних систем, що виявляється в словесно - логічному чи наочно - образному складі розуму учнів, не визначає рівня їхніх розумових здібностей, а лише зумовлює своєрідність розуму.

Ефективною основою вивчення математики є диференціація навчальних завдань, яка спрямовується на те, щоб кожен учень на уроці був зайнятий виконанням посильного завдання.

В залежності від форм роботи диференціація дає можливість врахувати психологічні особливості всіх учнів класу, групи та окремого учня. Основа диференційованих завдань може бути різною. Це завдання для сильних, середніх і слабких учнів; для слабких завдання спрямовані на усунення прогалин у знаннях, для сильних 0 на поглиблення або розширення знань чи розвиток їхньої математичної кмітливості, мають бути вправи обовязкові і бажані, такі, що відповідають інтересам певних груп дітей; однакові для всього класу за складністю, але різні за формою.

Оскільки в умовах уроку школярі з різним пізнавальними можливостями повинні оволодівати новим матеріалом одночасно, то для диференційованої роботи варто здебільшого добирати завдання, які передбачають спільну пізнавальну мету чи мають однаковий зміст, але відрізняються ступенем складності і потребують різної допомоги і контролю.

Використання диференційованих завдань є умовою активного усвідомлення засвоєння знань учнями. Така організація засвоєння сприяє поєднанню мотиву і конкретної мети в діяльності учнів, забезпечує пізнавальну мотивацію діяльності учня.

Застосування системи диференційованих завдань дає можливість використовувати немало ефективних засобів, які не змушують учнів виконувати вимогу вчителя, а викликають в них потребу в цьому. Запровадження системи диференційованих знань як основи поєднання індивідуальних і колективних форм навчання учнів, передбачає врахування розумових можливостей кожного учня, сприяє ефективній організації індивідуального навчання. Диференціація створює оптимальні умови переходу учнів на вищій рівень інтелектуального розвитку, для формування в них впевненості в своїх силах і можливостях. Крім того, індивідуалізоване навчання, організоване шляхом диференційованого підходу до учнів, дає можливість кожній дитині змінити свою позицію у класному колективі. Це має велике виховне значення.

У молодших школярів образне мислення переважає над понятійним.

Легко опановуючи знання про реальні обєкти і явища довкілля, вони відчувають значні труднощі, стикаючись з відношенням і звязками між ними, оскільки тут домінує понятійне мислення.

Найважливішим засобом розвитку понятійного мислення є математичні задачі. Психологи вважають, що й інтелектуальна діяльність часто реалізується саме як організоване розвязування задач, у процесі якого дитина навчається виділяти суттєві звязки між даними і шуканими, а також певним чином їх фіксувати.

Найбільшого ефекту у розвитку учнів можна досягти, якщо використовувати різноманітні форми роботи над текстовою задачею. З метою розвитку мислительної і пізнавальної діяльності учнів використовують на уроках задачі різного типу:

1.Задача з недостатньою кількістю даних.

Задача.

Козак Петро за годину може випити 2 л води. Скільки часу потрібно коневі козака Петра, щоб випити 18 л води?

Зявляється питання:

До чого тут кінь?

Скільки літрів випиває кінь за годину?

2.Задачі з «замаскованою» недостатністю даних.

Задача.

Козак Петро і козак Хома поверталися з далекого походу, зайшли в СШ №35 м. Запоріжжя, щоб напитися чаю, але в їх кишенях було 35 копійок. Скільки склянок чаю вони можуть випити в їдальні?

Відповідь учнів: стакан чаю в нашій їдальні коштує 5 копійок. Отже, вони випють 9 стаканів чаю.

3.Задачі із зайвими даними.

Здача:

Тетяна за годину зїдає 5 цукерок, а Іванко 8. Скільки потрібно часу Іванкові, щоб зїсти 32 цукерки?

Діти самостійно виявляють, що розповідь про Тетянку в задачі зайва.

4.Задача з неправильними або нелогічним запитанням.

В Африці карети запрягаються страусами по 7 в кожному ряду. У карети африканського царя запрягли 21 страуса в три ряди. Скільки страусів в одному ряду:

Фактична відповідь знаходиться в першому рядку задачі. Такий вид роботи над задачею формує самостійність мислительної діяльності, виховує увагу та кмітливість.


Висновок


Виховання рис особистості дитини в процесі розвязування математичних завдань.

Незважаючи на велике значення природних нахилів та здібностей людини, особливостей її характеру, пізнавальні можливості й інтереси формуються не стихійно, а в процесі спеціально організованої діяльності. Тому від цілеспрямованості навчальної і виховної роботи з учнями істотно залежать кінцеві результати їх навчання, виховання та розвитку. Для того, щоб визначити шляхи виховної роботи, повязаної з навчанням математики, потрібно зясувати специфічні особливості цієї дисципліни, а також виховні можливості, закладені в самому навчальному матеріалі.

Перша й найістотніша особливість математики - це її абстрактний характер, строга обґрунтованість, доказовість та тверджень, точність, лаконічність формулювань. Заняття математикою сприяють формуванню в дітей елементарних основ наукового світогляду, розвитку творчих здібностей і вихованню багатьох цінних якостей особистості. Значна частина задач може бути використана не лише із суто математичною метою, але й для виховання дітей. Не доцільно проводити тривалі бесіди, які забирають багато часу й відхиляють від прямих завдань уроку математики, але корисно коротко коментувати цифри, які можна використати з виховною метою.

Під час навчання дітей письмових обчислень у них виховується почуття відповідальності за результати роботи, наполегливість у пошуках правильного розвязання, уважність, навички перевірки та самоконтролю.

Навчання письмових обчислень сприяє естетичному вихованню дітей, привчає до того, щоб вони акуратно вели зошити, чітко і красиво записували цифри, додержуючись симетрії в їх розміщенні. Уроки математики багато можуть дати для початкового ознайомлення дітей з різного роду залежностями, для розкриття причинно - наслідкового звязку між явищами навколишньої дійсності. Цій меті відповідає розвязування багатьох передбачених програмою математичних задач, насамперед таких, розвязування яких ґрунтується на усвідомленні прямої і оберненої пропорційної залежності між величинами: ціна, кількість і вартість; швидкість, час і відстань; продуктивність праці за одиницю часу, час і вся вироблена продукція.

Особливу роль у цьому плані відіграють задачі, у яких потрібно на основі аналізу умов наперед «передбачити», якого можна чекати результату, виконавши ті чи інші дії. Такі задачі містять елемент наукового передбачення, яке ґрунтується на точному аналізі фактів і на знанні обєктивних законів, яким підпорядковане дане явище, на розумінні суті виконуваних дій.

У процесі навчання математики відкриваються можливості для формування в дітей уміння перевіряти себе. Систематично ставлячи перед учнями вимоги перевіряти знайдений результат, учитель досягає того, що вних вироблятимуться навички самоконтролю, значення яких для будь-якої навчальної та трудової діяльності важко переоцінити.

Значення математики в розвитку пізнавальних здібностей дітей важко переоцінити. Математика завжди потребує вичерпної повноти аргументації, причому точність та лаконізм - характерні особливості її стилю. Навчання математики створює прекрасні умови для розвитку логічного мислення учнів, для виховання в них вміння коротко, точно, ясно і правильно викладати свої думки. Отже, важливим є не тільки зміст навчального матеріалу, але й зміст розумової діяльності учнів (аналізу, синтезу, порівняння, узагальнення, абстрагування, конкретизації та форм мислення).


Список використаної літератури


1.Беденко М.В. Математика - це справді цікаво! Збірник задач для учнів початкових класів. - Тернопіль: «Навчальна книга - Богдан», 1999

2.Богданович М.В. Методика розвязування задач у початковій школі: Навч. Посібник - 3-те вид., перероб. І допов. - К.: Вища школа, 1990

.Богданович М.В. Урок математики в початковій школі: Посібник для вчителя - К.:Рад.школа, 1990;

.Богданович М.В. Математичні джерельця: Наук - худож. Кн.: Для молодшого шкільного віку - К.: Веселка 1988

.Богданович М.В. Концепція курсу математики для 1-4 класів // Початкова школа - 1990 - №10 - с. 10-13

.Богданович М.В., Гапюк Г.В. Дидактичні матеріали за тематики. Різнорівневі самостійні роботи 4 (3) клас - Тернопіль. Підручники іпосібники, 1999

.Будна Н.О., Вацик Г.Б. Збірник задач та тестів з математики 2 (1) клас. Посібник для вчителів початкових класів та самостійної роботи учнів. Тернопіль, «Навчальна книга - Богдан», 1999

.Дашевська Л.П. Вивчення нумерації та формування обчислювальних навичок як засіб розумового розвитку школярів // Початкова школа - 1992 - №1 с. 25-29;

.Друзі Б.Г. Математична мозаїка. Наук. - художня книга: Для мол. та серед. шк..віку. - К.:Веселка, 1991;

.Лысенкова С.Н. Метод опережающего обучения. Книга для учителя: Из опыта работы - М., Просвещения, 1998;

.Заїка А.М. Методичні рекомендації щодо усного і писемного мовлення молодших школярів // К. Магістр - S, 1999;

.Московченко В.М., Дудко Л.М., Московченко В.В., Пропедевтика розвязування задач на рух. // Початкова школа - 1996 - №3 ст. 17-20;

.Нотатки з наукової практичної конференції «Початкова ланка в системі безперервної освіти» // Початкова школа - 1991 - №12 - с. 57-69;

.Омельченко Ж. Основні принципи педагогічного процесу // Початкова школа - 1997 - №11 - с. 51;

.Побірченко Н.А. Психологічні основи навчання математики в початкових класах: Методичний посібник - К. Рад.школа, 1985

.Поздняков І.І., Касярум О.І., Позднякова І.І. Розвязування задач різними способами. // Початкова школа - 1990 - №12 - с. 20-24;

.розвязування математичних задач в початкових класах: Збірник статей // Під редакцією кандидата педагогічних наук Т.Н. Хмари - К.:Рад школа, 1986;

.Русинов В.Н. Математические олимпиады младших школьников.: Книга для учителя - Из опыта работы - М, Просвещение, 1990;

.Самарська Н.П., Судомка В.П. Розвязування задач з пропорційними величинами. // Початкова школа - 1990 - №8 - с. 44-48;

.Скворцова С.О., Мартинова І.І., Шевченко Т.О. Робота над задачами в першому класі трирічної початкової школи // Початкова освіта - 2000 - №25-28 - с. 1-95;

.Чашечнікова О., Федорова Н. Систематизація і узагальнення знань з математики // Початкова школа. - 1997 - №9 - с. 24-27;

.Шаповал І.М., Шаповал О.І. Ще одна модель розвязування простих арифметичних задач // Початкова школа - 1991 - №3 - с. 23-27.


Теги: Розв’язування задач різними способами  Курсовая работа (теория)  Математика
Просмотров: 30686
Найти в Wikkipedia статьи с фразой: Розв’язування задач різними способами
Назад