Решение задачи в LINDO


КУРСОВАЯ РАБОТА

ПО Системному анализу и исследованию операций

Решение задачи в LINDO


Содержание


Введение

Постановка задачи

Описание модели

Решение задачи в LINDO

Решение основной задачи

Решение дополнительной задачи 1

Решение дополнительной задачи 2

Решение дополнительной задачи 3

Заключение

Список литературы


Введение


Современную науку невозможно представить себе без широкого применения математического моделирования. Сущность этой методологии состоит в замене исходного объекта его «образом» - математической моделью - и дальнейшем изучении модели с помощью реализуемых на компьютерах вычислительно-логических алгоритмов. Этот «третий метод» познания, конструирования, проектирования сочетает в себе многие достоинства как теории, так и эксперимента. Работа не с самим объектом (явлением, процессом), а с его моделью дает возможность безболезненно, относительно быстро и без существенных затрат исследовать его свойства и поведение в любых мыслимых ситуациях (преимущества теории). В то же время вычислительные (компьютерные, имитационные) эксперименты с моделями объектов позволяют, опираясь на мощь современных вычислительных методов, подробно и глубоко изучать объекты в достаточной полноте, недоступной чисто теоретическим подходам (преимущества эксперимента). Неудивительно, что методология математического моделирования бурно развивается, охватывая все новые сферы - от разработки технических систем и управления ими до анализа сложнейших экономических и социальных процессов.


Постановка задачи


Совхозу установлены закупочные цены и площади посева зерновых культур:

Пшеница - 1600 га;

Кукуруза - 2200 га;

Ячмень - 500 га;

Рожь - 200 га;

Просо - 150 га.

Совхоз располагает 4 участками, средняя урожайность культур на них определена для двух уровней затрат.


КультурыУрожайность на участке, ц/гаЗакуп. цены, руб/цЗатраты средств, руб/га12341234Пшеница35/4025/2820/2515/206,550/8040/4940/6040/95Кукуруза60/7540/5030/3550/605,080/10590/15070/8065/80Ячмень30/4020/2715/2015/174,350/8540/5340/7045/50Рожь25/3030/3720/2315/207,050/6038/5745/5540/57Просо40/5020/2815/2010/137,260/9850/6050/9050/66

Размеры участков: соответственно 1200, 2100, 650, 800 га.

Требуется составить оптимальный план посева зерновых культур по участкам. Показать, как изменится решение, если весь второй участок засеять пшеницей с нижним уровнем затрат; ограничена общая сумма затрат.


Описание модели


Обозначим через XijL площадь, отведённую под i-й вид культуры на j-м участке для нижнего уровня затрат, а через XijH - площадь, отведённую под i-й вид культуры на j-м участке для верхнего уровня затрат. Так, выражение X23H=100 будет обозначать, что на 3-м участке отведено 100 га под кукурузу с верхним уровнем затрат.

Обозначим полный урожай i-го вида культуры через Gi.



где UijL и UijH - урожайность i-го вида культуры на j-м участке.

Тогда прибыль от продажи урожая i-го вида культуры будет составлять:



где Pi - это закупочная цена i-го вида зерна.

Затраты для i-го вида культур:



где RijL и RijH - это нижний и верхний уровень затрат для i-го вида зерновой культуры на j-м участке.

Теперь у нас есть все необходимые обозначения, чтобы определить критерий задачи: в данном случае нужно максимизировать прибыль (доход минус расход):



Далее нужно ввести ограничения модели. Ограничениями будут являться установленные площади посева и площади участков:


Решение задачи в LINDO


Решение основной задачи

Расчёты будем проводить в пакете LINDO. Для этого приведём описанные выше условия к виду, пригодному для ввода в программу:


Max 177.5X11L+122.5X12L+90X13L+57.5X14L+180X11H+133X12H+102.5X13H+35X14H+

X21L+110X22L+80X23L+185X24L+270X21H+100X22H+95X23H+220X24H+

X31L+46X32L+24.5X33L+19.5X34L+87X31H+63.1X32H+16X33H+23.1X34H+

X41L+172X42L+95X43L+65X44L+150X41H+202X42H+106X43H+83X44H+

X51L+94X52L+58X53L+22X54L+262X51H+141.6X52H+54X53H+27.6X54H

ST

!Установленные площади посевовL+X11H+X12L+X12H+X13L+X13H+X14L+X14H=1600

X21L+X21H+X22L+X22H+X23L+X23H+X24L+X24H=2200L+X31H+X32L+X32H+X33L+X33H+X34L+X34H=500L+X41H+X42L+X42H+X43L+X43H+X44L+X44H=200L+X51H+X52L+X52H+X53L+X53H+X54L+X54H=150

!Ограничения по площадям участковL+X11H+X21L+X21H+X31L+X31H+X41L+X41H+X51L+X51H<=1200

X12L+X12H+X22L+X22H+X32L+X32H+X42L+X42H+X52L+X52H<=2100L+X13H+X23L+X23H+X33L+X33H+X43L+X43H+X53L+X53H<=650L+X14H+X24L+X24H+X34L+X34H+X44L+X44H+X54L+X54H<=800

End

При этом коэффициенты при XijL и XijH подставлены в модель уже пересчитанные из начального условия для сокращения модели.

LP OPTIMUM FOUND AT STEP 20FUNCTION VALUE

) 814315.0 VALUE REDUCED COSTL 0.000000 100.000000L 0.000000 10.500000L 0.000000 12.500000L 0.000000 170.000000H 0.000000 97.500000H 1250.000000 0.000000H 350.000000 0.000000H 0.000000 192.500000L 0.000000 50.000000L 0.000000 15.500000L 0.000000 15.000000L 0.000000 35.000000H 1200.000000 0.000000H 0.000000 25.500000H 200.000000 0.000000H 800.000000 0.000000L 0.000000 128.600006L 0.000000 17.100000L 0.000000 8.100000L 0.000000 138.100006H 0.000000 120.59999832H 500.000000 0.000000

X33H 0.000000 16.600000

X34H 0.000000 134.500000

X41L 0.000000 221.500000

X42L 0.000000 30.000000

X43L 0.000000 76.500000

X44L 0.000000 231.500000

X41H 0.000000 196.500000

X42H 200.000000 0.000000

X43H 0.000000 65.500000

X44H 0.000000 213.500000

X51L 0.000000 58.099998

X52L 0.000000 47.599998

X53L 0.000000 53.099998

X54L 0.000000 214.100006

X51H 0.000000 24.100000

X52H 150.000000 0.000000

X53H 0.000000 57.099998

X54H 0.000000 208.500000

Представим полученное решение в виде таблицы:

КультурыУчасткиЗатраты на посевУрожайПрибыль от продажиДоход1234Пшеница-1250350-8225043750284375374500Кукуруза1200-200800206000145000725000439000Ячмень-500--26500135005805027325Рожь-200--1140074005180026500Просо-150--900042003024026200Итого120021005508003351501149465814315

При посеве во всех случаях используется верхний уровень затрат.


Решение дополнительной задачи 1


Вводится дополнительное условие: Ячмень можно сеять только на 3-м и на 4-м участках. В обозначениях данной модели это будет выглядеть так:L=0.L=0.H=0.H=0.

После добавления этого выражения в условие и решения модели получим следующий ответ (нулевые значения опущены):

LP OPTIMUM FOUND AT STEP 2FUNCTION VALUE

) 807940.0 VALUE REDUCED COSTH 1600.000000 0.000000L 150.000000 0.000000H 1200.000000 0.000000H 50.000000 0.000000H 800.000000 0.000000L 500.000000 0.000000H 200.000000 0.000000H 150.000000 0.000000

Представим полученное решение в виде таблицы:


КультурыУчасткиЗатраты на посевУрожайПрибыль от продажиДоход1234Пшеница 1600 7840044800291200212800Кукуруза120015050800207500145750728750521250Ячмень 500 2000075003225012250Рожь 200 1140074005180040400Просо 150 900042003024021240Итого120021005508003263001134240807940

При этом кукурузу на втором участке, а также ячмень на третьем следует сеять при нижнем уровне затрат. В этом решении суммарные затраты на посев меньше, но также меньше прибыль и чистый доход.


Решение дополнительной задачи 2


В этой задаче предполагается сократить площадь под кукурузу до 1800 га, а под ячмень увеличивается до 800 га. Тогда поменяется в модели условия:

X21L+X21H+X22L+X22H+X23L+X23H+X24L+X24H=2200L+X31H+X32L+X32H+X33L+X33H+X34L+X34H=500

НаL+X21H+X22L+X22H+X23L+X23H+X24L+X24H=1800

X31L+X31H+X32L+X32H+X33L+X33H+X34L+X34H=800

Получается:OPTIMUM FOUND AT STEP 19FUNCTION VALUE

) 777605.0 VALUE REDUCED COSTH 50.000000 0.000000H 1100.000000 0.000000H 450.000000 0.000000H 1000.000000 0.000000H 800.000000 0.000000

X32H 800.000000 0.000000H 200.000000 0.000000H 150.000000 0.000000


КультурыУчасткиЗатраты на посевУрожайПрибыль от продажиДоход1234Пшеница501100450 8490044050286325201425Кукуруза1000 800169000123000615000446000Ячмень 800 42400216009288050480Рожь 200 1140074005180040400Просо150 1470075005400039300Итого12002100450800322400 1100005777605

При посеве во всех случаях используется верхний уровень затрат


Решение дополнительной задачи 3


Изменены одновременно затраты под пшеницу с 49 до 55, под ячмень с 53 до 62 и под просо с 98 до 80:


КультурыУрожайность на участке, ц/гаЗакуп. цены, руб/цЗатраты средств, руб/га12341234Пшеница35/4025/2820/2515/206,550/8040/5540/6040/95Кукуруза60/7540/5030/3550/605,080/10590/15070/8065/80Ячмень30/4020/2715/2015/174,350/8540/6240/7045/50Рожь25/3030/3720/2315/207,050/6038/5745/5540/57Просо40/5020/2815/2010/137,260/8050/6050/9050/66

Критерий получится:

177.5X11L+122.5X12L+90X13L+57.5X14L+180X11H+127X12H+102.5X13H+35X14H+

X21L+110X22L+80X23L+185X24L+270X21H+100X22H+95X23H+220X24H+

X31L+46X32L+24.5X33L+19.5X34L+87X31H+54.1X32H+16X33H+23.1X34H+

X41L+172X42L+95X43L+65X44L+150X41H+202X42H+106X43H+83X44H+

X51L+94X52L+58X53L+22X54L+280X51H+141.6X52H+54X53H+27.6X54HOPTIMUM FOUND AT STEP 20FUNCTION VALUE

) 802315.0 VALUE REDUCED COSTH 1250.000000 0.000000H 350.000000 0.000000H 1200.000000 0.000000H 200.000000 0.000000H 800.000000 0.000000

X32H 500.000000 0.000000H 200.000000 0.000000H 150.000000 0.000000


КультурыУчасткиЗатраты на посевУрожайПрибыль от продажиДоход1234Пшеница 1250350 8975043750284375194625Кукуруза1200 200800206000145000725000519000Ячмень 500 31000135005805027050Рожь 200 1140074005180040400Просо 15000900042003024021240Итого12002100550800347150 1149465802315Заключение


В ходе выполнения курсовой работы была составлена модель и получено решение поставленной задачи. Составленная модель относится к классу задач линейного программирования, так как критерий и все ограничения линейны. Для решения таких задач разработано несколько методик. В данном случае из-за большой размерности задача решалась на ЭВМ в пакете LINDO. оптимальный задача прибыль затрата

При решении основной задачи было получено распределение посевов по участкам и вычислено значение критерия: 814315 руб.

При решении первой доп. задачи вводится ограничение: Ячмень можно сеять только на 3-м и на 4-м участках. Затраты на посев уменьшились, но и доход тоже.

Во второй доп. задачи предполагается сократить площадь под кукурузу до 1800 га, а под ячмень увеличивается до 800 га, при этом затраты на посев уменьшились, но и доход тоже.

При решении третей доп. задачи были изменены одновременно затраты под пшеницу с 49 до 55, под ячмень с 53 до 62 и под просо с 98 до 80. В итоге так же затраты будут меньше, как и прибыль.


Список литературы


Ю.П. Зайченко, Исследование операций, Киев, изд-во «Высшая школа», 2010.

Линейное и нелинейное программирование. Под ред. И.Н.Лященко, Киев: Вища школа, 2009 - 372 с.

Учебное пособие Оптимизация в LINDO. А.Л.Гольдштейн 2007.


Теги: Решение задачи в LINDO  Курсовая работа (теория)  Математика
Просмотров: 14292
Найти в Wikkipedia статьи с фразой: Решение задачи в LINDO
Назад