Прогнозирование наработки до отказа объекта

Исходные данные

стьюдент квадратичный математический

Статистические данные по износу направляющей суппорта станка во времени

Вариант 94Время (час) Износ направляющей суппорта станка (в мкм) 2000,994002,126002,968003,9910005,0612005,7614007,0016008,0318008,89200010,00220010,87240012,25260012,99280014,09300015,11320015,98

Значения ПКГ изделия в начале и конце эксперимента, а также прочие данные, необходимые для расчетов

Значение ПКГ изделий в начале эксперимента (=1)[0,7500; 0,8900; 0,9500; 0,9800; 1,0100]Значение ПКГ изделий в конце эксперимента (=16)[15,9000; 15,6000; 15,9500; 16,1700; 16,300]Границы поля допуска[0,5;18]Метод оценкиМУНДоверительная вероятность прогноза0,9

1. Определить оценки распределения функций плотности вероятности ПКГ в начале и конце эксперимента (при =1 и при =16) по методу уменьшения неопределенности (МУН)

Метод уменьшения неопределенностей (МУН) - это новая реализация МПВ (метода прямоугольных вкладов), которая возникла в процессе его развития. МУН основан на использовании нормированного равномерного распределения, заданного в интервале [] вместо прямоугольного вклада шириной , построенного около точки с координатой .

При этом для выражения функции распределения используют кусочно-линейную интерполяцию

(П.1)

где .

(П.2)

где - нижняя и верхняя границы интервала значения случайной величины ;

- объем выборки;

- число одинаковых реализаций .

оценивается аналогично .

Для нахождения функции плотности вероятности следует воспользоваться данными графика и выражением

(П.3)

где - приращение аргумента и соответствующее приращение функции .

По данным таблицы П.2 для значений ПКГ в начале эксперимента составим вариационный ряд: {0,7500; 0,8900; 0,9500; 0,9800; 1,0100}.

Границы поля допуска :

, , .

Статистические данные значений ПКГ разбивают поле допуска значений ПКГ на интервалы:

1 участок , .

Определяем оценку функции распределения (интегральный закон распределения)

.

Определяем оценку функции плотности распределения вероятности (дифференциальный закон распределения вероятности)

2 участок , .

3 участок ,

;

участок , .

5 участок , .

;

6 участок , .

Проверка осуществляется суммированием площадей фигур, находящихся под ломаной , т.е.

Графики и приведены на рис.П.1 и П.2

В начале эксперимента

Рис. 1. График функции

Рис. 2.График функции

Математическое ожидание (в начале эксперимента)

Математическое ожидание - это значение случайной величины, относительно которого группируются все заданные значения. Математическое ожидание(непрерывной случайной величины) есть интеграл вида

(П.4)

Находим математическое ожидание

Дисперсия случайной величины (в начале эксперимента)

Дисперсия - мера рассеяния случайной величины около своего математического ожидания.

Среднее квадратическое значение отклонения случайной величины относительно математического ожидания

.

По данным табл. П.2 для значений ПКГ в конце эксперимента составим вариационный ряд: {15,6000; 15,9000; 15,9500; 16,1700; 16,3000}.

Границы поля допуска:

, , .

Статические данные значений ПКГ разбивают поле допуска значений ПКГ на интервалы:

1 участок , .

Определяем оценку функции плотности распределения вероятности (дифференциальный закон распределения вероятности)

2 участок , .

участок ,

;

4 участок .

участок , .

;

6 участок , .

Проверка осуществляется суммированием площадей фигур, находящихся под ломаной , т.е.

Графики и приведены на рис.П.3 и П.4

В конце эксперимента

Рис. 3. График функций

Рис. 4. График функций

Математическое ожидание (в конце эксперимента)

Дисперсия случайной величины

Среднее квадратическое значение отклонения случайной величины относительно математического ожидания

.

. Определение среднего квадратического отклонения (СКО) для всех значений ПКГ

Таким образом, на основании проведенных расчетов было установлено, что

Следовательно, значение можно записать:

Таким образом получаем

. Определение значения критерия Стьюдента:

Значение критерия Стьюдента соответствующее - процентному пределу ошибки (уровню значимости ошибки) и степеням свободы определим по таблице

где - доверительная вероятность прогноза, ;

;

- объем выборки.

В соответствии с полученными значениями и =2,132

. Определяем значения доверительных границ с учетом критерия Стьюдента

- верхняя доверительная граница ПКГ

- нижняя доверительная граница ПКГ

(П.5)

(П.6)

Подставляя в выражение (П.5) и (П.6) требуемые величины определяем значение верхней и нижней доверительных границ ПКГ соответственно. Полученные результаты сводим в табл. П.4

2000,995,4852-3,50524002,2126,6152-2,37526002,967,4552-1,53528003,998,48520,505210005,069,55520,564812005,7610,25521,264814007,0011,49522,504816008,0312,52523,534818008,8913,38524,3948200010,0014,49525,5048220010,8715,36526,3748240012,2516,74527,7548260012,9917,48528,4948280014,0918,58529,5948300015,1119,605210,6148320015,9820,475211,4848

3. Обоснование выбора математической модели прогнозирования

В ходе исследования значения ПКГ снимаются через равные интервалы, поэтому для оценки порядка полинома математической модели прогнозирования воспользуемся аппаратом конечных разностей.

Имеем функцию и дискретные значения аргумента t образуют арифметическую прогрессию с разностью h, т.е.

Обозначим значения при соответствующих значениях аргумента так:

Величины

Называют разностями первого порядка (первыми разностями).

Величины

Аналогично определяются разности произвольного порядка m:

Конечные разности в более наглядной форме представляют в форме таблицы, которая называется диагональной. Каждый столбец таблицы составляется так, что разности записываются между составляющими значениями уменьшаемого и вычитаемого.

2000,991,2224002,212-0,4740,7480,7566002,960,2821,03-0,2428003,990,041,07-0,4110005,06-0,370,70,9112005,760,541,24-0,7514007,00-0,211,030,0416008,03-0,170,860,4218008,890,251,11-0,49200010,00-0,240,870,75220010,870,511,38-1,15240012,25-0,640,741260012,990,361,1-0,44280014,09-0,081,02-0,07300015,11-0,150,87320015,98

Разности третьего порядка мало отличаются от постоянных, поэтому в качестве математической модели может быть выбран полином третьей степени.

4. Определение параметров модели прогнозирования по методу наименьших квадратов

В основе метода наименьших квадратов лежит условие: коэффициенты моделей должны быть таковы, чтобы значение суммы квадратов невязок было минимальным, т.е.

где - модель прогнозирования.

Для этого необходимо выполнить условия минимума суммы S, т.е.

Составляем систему уравнений для нахождения коэффициентов a, b и с.

Таким образом, путем преобразования получим:

Сократив уравнения на 2, получим:

Введем обозначения:

Уравнения принимают вид:

Данная система уравнений решается по правилу Крамера: матричным способом решения систем линейных неоднородных уравнений.

Определение параметров модели прогнозирования для кривой .

Определитель системы находится так:

Определитель параметра a находится так:

Определитель параметра b находится так:

Определитель параметра с определяется так:

Далее

Полученная зависимость

Ее график представлен на рис. П.5.

Определение параметров модели прогнозирования верхней границы (для кривой по данным ).

Полученная зависимость имеет вид:

Ее график представлен на рис. П.5.

Определение параметров модели прогнозирования нижней границы (для кривой по данным ).

Полученная зависимость имеет вид:

Ее график представлен на рис. 5.

Рис. 5. Графики моделей линии регрессии и ее доверительных границ

5. Определение наработки до отказа

Теперь, после того, как найдены параметры выбранной модели изменений ПКГ, производится экстраполяция ее статистических данных до предельного состояния исследуемого параметра , и находятся оценки нижних и верхних границ доверительного интервала средней наработки до отказа и из уравнений

и - нижняя и верхняя границы доверительного интервала средней наработки до отказа, следовательно средняя наработка до отказа определяется как

с доверительной вероятностью прогноза P=0,9.

Список литературы

1.Надежность технических систем и ее прогнозирование / В.В. Рыжаков. -Пенза: Изд-во Пенз. гос. технол. акад.,2011.-Ч.1.

. Надежность технических систем и ее прогнозирование / В.В. Рыжаков. - Пенза: Изд-во Пенз. гос. технол. акад.,2011.-Ч.2.

.Надежность технических систем и ее прогнозирование. Задания и аналитические материалы по выполнению домашних и курсовых работ./ В.В. Рыжаков.- Пенза: Изд-во Пенз. гос. технол. акад.,2011.