Параметри інтегралів

Завдання 1. Знайти невизначені інтеграли (результати у випадках «a» i «б» перевірити диференціюванням).


а) ;

б) ;

в) ;

г)


Завдання 2. Обчислити площу фігури, обмежену вказаними лініями , ??= 4 - 3??. Виконати рисунок.


Завдання 3. Знайти загальний розвязок диференціального рівняння першого порядку:


???+ 2???? = 2??


Завдання 4. Знайти частинний розвязок диференціального рівняння


??"- 2??? + 5?? = 5 - 4?? +2


який задовольняє початкові умови:

??(0) = 0, ???(0) = 2.


Завдання 5. Дослідити на збіжність числові ряди


а)

б)

в)

інтеграл диференційний рівняння числовий

Завдання 6. Знайти інтервал збіжності степеневого ряду й дослідити його збіжність на кінцях інтервалу.



Вирішення завдання 1


а) Знайдемо методом підстановки. Замінюємо .


Отже,

??

??????=2??????

??????=??????

=+??=


б) Знайдемо методом інтегрування частинами:


??=??

????=????

????=????

??=-

Отже,=??(- -= -??+=-??

в)


Розкладемо підінтегральну функцію на прості дроби:


= + +

= ????(??+1) + ??(??+1)+ ????²

=????² + ???? + ???? + ?? + ????²

=(??+??)??² + (??+??)?? + ??


??²0 = ??+??? ?? = -?? = -(-1) = 1??¹0 = ??+??? ?? = -?? = -1??°1 = ??? ?? = 1

Тоді,

Тоді, + + = - ????|??| - + ????|??+1| +??

г) = =


Замінюємо , тоді



Розкладемо підінтегральну функцію на прості дроби:


= (1)


Зводимо до спільного знаменника і прирівнюємо чисельники:


= ????(??²-1)+??(??²-1)+????²(??+1)+????²(??-1)

= ????³ - ???? + ????² - ?? +????³ + ????² + ????³ - ??

= (??+??+??)??³ + (??+??)??² + (-??)??+ (-??-??)


Прирівнюємо коефіцієнти при однакових степенях лівої та правої частини:


??³??+??+??=0? -?? + ??=0??²??+??=0? ? ??=????¹-??=0? ?? = 0??°-??-??=0? -??-??=1 ? -2??=1 ? ??= - -

?? =- -

?? = -?? =

??=0

Підставляємо знайдені значення у тотожність (1):


=

Тоді, = - ????|??-1| +

+ ????|??+1|+?? = - ????|-1| + ????|+1|+??.


Вирішення завдання 2


, ??= 4 - 3??; ?? -?


Знайдемо точки перетину параболи і прямої із системи їхніх рівнянь


? =±2 ?

?


Отже, точки перетину будуть (-2;10);(2;-2)

Зробимо малюнок. Знайдемо вершину параболи із рівняння


??'=(??²-3??)'=2??-3=0


C (1,5;-2,25)- вершина параболи.

Вітки параболи направлені вгору, тому фігура знизу обмежена параболою, а зверху - прямою, тому:



Площа такої фігури:


??=


Оскільки функція парна, тому



Відповідь: Площа фігури, обмежена вказаними лініями , ??= 4 - 3?? складає


Вирішення завдання 3


??'+2????=2??


Дане рівняння є лінійним, тому його розвязок будемо шукати методом Бернуллі, тобто невідому функцію ?? будемо шукати у вигляді добутку двох невідомих функцій ??(??)та ??(??):


??=??·?? ? ??'= ??'??+??'??


Підставляємо в рівняння:


??'??+??'??+2??????=2??


Виносимо за дужки ??:


??'??+??(??'+2????)=2??


Нехай ??'+2????=0 (1)

Тоді ??'??=2??(2)


Розвяжемо рівняння (1):


??'+2????=0

? ? 2???? ? ? ???? ?? = - ?

? ?? =


Тоді рівняння(2) ? ??'? ??'=2?? ? ??==??²+?? ?

? ??=??²+??


Тоді, =??·??= (??²+??) - загальний розв'язок.


Відповідь: Загальний розвязок диференціального рівняння першого порядку ???+ 2???? = 2?? становить (??²+??).


Вирішення завдання 4


??"- 2??? + 5?? = 5 - 4?? +2


??(0) = 0, ???(0) = 2.

Дане рівняння є неоднорідним ІІ-го порядку із сталими коефіцієнтами.

Його загальний розвязок:



Знайдемо загальний розвязок відповідного однорідного рівняння:



Зробимо заміну

Складемо характеристичне рівняння:



Знайдемо його корені:


Тоді, ()=.


Шукаємо частинний розвязок за виглядом правої частини:



Знайдемо похідні:



Підставимо їх в початкове рівняння:


??"- 2??? + 5?? = 5 - 4?? +2


Одержимо:


Прирівнюємо коефіцієнти при відповідних степенях обох частин рівняння:


??²5??=5? ?? = 1??¹? -4 +5?? = -4 ???=0??°? ? ??=0

Тоді,

Тоді,=+??².


Знайдемо його похідну:


=++2??


Підставимо в та в його похідну початкові умови



Де ,


Тоді,?


Підставимо значення сталих в і одержимо частинний розвязок:



Відповідь: Частинний розвязок диференціального рівняння


??"- 2??? + 5?? = 5 - 4?? +2, який задовольняє початкові умови: ??(0) = 0, ???(0) = 2 складає .


Вирішення завдання 5


а) - це числовий рід з додатніми членами. Його збіжність перевіряється за необхідною ознакою:

Якщо границя загального члена , то ряд розбіжний.

Обчислюємо =12 ?0, тому ряд розбіжний.


б)


Збіжність перевіримо за ознакою порівняння.

Підберемо ряд, який обмежує даний ряд зверху або знизу.

Очевидно, що при ?? буде


?

?


Розглянемо ряд із загальним членом Члени цього ряду утворюють нескінченно спадну геометричну прогресію із знаменником .

Тому за ознакою Даламбера ряд - збіжний.

Оскільки, члени досліджуваного ряду менші членів збіжного ряду, то даний ряд теж збіжний.


в) -це ряд Лейбніца.


Його збіжність перевіряється за ознакою Лейбніца.

1)Члени ряду повинні спадати по модулю.

Дійсно,

2)Загальний член ряду має прямувати до нуля:


.


Обидві умови виконуються, тому за ознакою Лейбніца даний ряд збігається.


Вирішення завдання 6



За умовою, загальний член цього ряду

Знайдемо наступний член


Знайдемо границю їхнього відношення і накладемо умові, що вона :



Із нерівності знайдемо межі для ??:



інтервал збіжності данного ряду.

Перевіримо ряд на збіжність на кінцях цього інтервалу:


1)??, тоді .


Ряд з таким загальним членом є знакозмінним рядом Лейбніца, тому його збіжність перевіряють за ознакою Лейбніца:



1) виконується

)виконується

Тому ряд збіжний, і тому належить до області збіжності данного ряду.


3), тоді


Ряд перевіряється на збіжність за інтегральною ознакою:

Оскільки, функція ??(??) - неперервна і спадна на інтервалі [1;, то існує невласний інтеграл

Оскільки, невласний інтеграл розбіжний, то даний ряд теж розбіжний. Тому точка не належить до області збіжності початкового степеневого ряду.

- область збіжності.


Теги: Параметри інтегралів  Контрольная работа  Математика
Просмотров: 35417
Найти в Wikkipedia статьи с фразой: Параметри інтегралів
Назад