Основы тригонометрических вычислений

Содержание

Введение

. Стадии развития тригонометрии

. Основы тригонометрии

.1 Свойства функции синус

.2 Свойства функции косинус

.3 Свойства функции тангенс

.4 Свойства функции котангенс

. Стандартные тождества

.1 Теорема синусов

.2 Теорема косинусов

.3 Теорема тангенсов

. Формула Эйлера

. Решение простых тригонометрических уравнений

. Тригонометрические формулы

. Сферическая тригонометрия

. Применение тригонометрических вычислений

Список используемых источников

Введение

Тригонометрия (от греч. <#"center">тригонометрия синус косинус тангенс

1. Тригонометрия была вызвана к жизни в раннюю пору разумной деятельности людей, необходимостью производить измерения углов.

. Первыми шагами тригонометрии было установление связей между величиной угла и отношением специально построенных отрезков прямых. Непосредственным результатом этого было то, что стало возможным решать плоские треугольники главным образом с целью определения расстояний до удаленных или недоступных объектов.

. В интересах практической астрономии и географических исследований были получены аналогичные результаты для треугольников на сферических поверхностях. С тех пор плоская и сферическая тригонометрии развивались как неотъемлемые части единой науки.

. Измерительный характер задач тригонометрии при массовом их повторении приводил к настоятельной необходимости табулировать значения вводимых тригонометрических функций.

. По мере оформления представлений о тригонометрических функциях они превращались в самостоятельные объекты исследований, т. е. собственно в функции, объекты, обладающие самостоятельным значением и своими особыми свойствами.

. В начале XVI в. были установлены взаимные интерпретации между решениями определенного класса неприводимых алгебраических уравнений и задачами о делении угла, тем самым положено начало установлению связей между алгеброй и тригонометрией.

. В XVIII в. тригонометрические функции были включены в систему математического анализа в качестве одного из классов аналитических функций. Почти одновременно тригонометрия получила широкие обобщения в геометрическом плане.

В наше время современные школьники должны уметь и выполнять следующие задачи:

. Определять синус, косинус, тангенс и котангенс числа. Знать формулы основных тригонометрических тождеств.

. Вычислять значения тригонометрических функций по известному значению одной из них, выполнять преобразования тригонометрических выражений.

. Применять основные формулы тригонометрии при преобразовании тригонометрических выражений. Проводить практические расчёты по формулам содержащим тригонометрические функции, используя при необходимости справочные материалы и простейшие вычислительные устройства. используя при необходимости справочные материалы и простейшие вычислительные устройства.

. Знать формулы приведения. Формулы синуса суммы и разности двух углов и косинуса суммы и разности двух углов. Формулы синуса, косинуса, тангенса суммы и разности двух углов.

. Знать тригонометрические функции, их свойства и графики. Чётность, нечётность, периодичность, ограниченность.

. Определять арксинус, арккосинус и арктангенс числа.Уметь решать простейшие тригонометрические уравнения и неравенства.

. Решать тригонометрические уравнения методом группировки и разложения на множители. Решать тригонометрические уравнения, приводимые к квадратному.

. Решать простейшие тригонометрические неравенств.

2. Основы тригонометрии

Вот одни из самых основных понятий и правил тригонометрии:

Основы тригонометрии: тригонометрический круг, синус (sin), косинус (cos), тангенс (tg), котангенс (ctg) угла. Основное тригонометрическое тождество.

Синусом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение катета этого треугольника, лежащего против угла, к гипотенузе треугольника.

<#"justify">Косинусом острого угла ? в прямоугольном треугольнике называется отношение катета, прилежащего к углу?, к гипотенузе треугольника.

Радианной мерой угла называется отношение длины дуги окружности, заключенной между сторонами угла ис центром в вершине угла, к радиусу этой окружности.

Тангенсом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение катета этого треугольника,лежащего против угла, к катету треугольника, прилежащему к углу.

Первоначально тригонометрические функции были связаны с соотношениями сторон в прямоугольном треугольнике <#"36" src="doc_zip2.jpg" /> радиан). В XVIII веке Леонард Эйлер <#"9" height="14" src="doc_zip3.jpg" /> (если величина угла положительна, то откладываем против часовой стрелки, иначе по часовой стрелке). Точку пересечения построенной стороны угла с окружностью обозначим A. Тогда:

·Синус <#"9" height="14" src="doc_zip4.jpg" /> определяется как ордината <#"justify">Для острых углов новые определения совпадают с прежними.

Возможно также чисто аналитическое определение этих функций, которое не связано с геометрией и представляет каждую функцию её разложением в бесконечный ряд.

2.1 Свойства функции синус

Синус

1.Область определения функции - множество всех действительных чисел: .

2.Множество значений - промежуток [?1; 1]: = [?1;1].

.Функция является нечётной: .

.Функция периодическая, наименьший положительный период равен : .

.График функции пересекает ось Ох при .

.Промежутки знакопостоянства: при и при .

.Функция непрерывна и имеет производную при любом значении аргумента:

.Функция возрастает при , и убывает при .

.Функция имеет минимум при и максимум при .

2.2 Свойства функции косинус

Косинус

1.Область определения функции - множество всех действительных чисел: .

2.Множество значений - промежуток [?1; 1]: = [?1;1].

.Функция является чётной: .

.Функция периодическая, наименьший положительный период равен : .

.График функции пересекает ось Ох при .

.Промежутки знакопостоянства: при и при

.Функция непрерывна и имеет производную при любом значении аргумента:

.Функция возрастает при и убывает при

.Функция имеет минимум при и максимум при

1.2.3 Свойства функции тангенс

Тангенс

1.Область определения функции - множество всех действительных чисел: , кроме чисел

2.Множество значений - множество всех действительных чисел:

.Функция является нечётной: .

.Функция периодическая, наименьший положительный период равен : .

.График функции пересекает ось Ох при .

.Промежутки знакопостоянства: при и при .

.Функция непрерывна и имеет производную при любом значении аргумента из области определения:

.Функция возрастает при .

2.4 Свойства функции котангенс

Котангенс

1.Область определения функции - множество всех действительных чисел: кроме чисел

2.Множество значений - множество всех действительных чисел:

.Функция является нечётной:

.Функция периодическая, наименьший положительный период равен :

.График функции пересекает ось Ох при

.Промежутки знакопостоянства: при и при

.Функция непрерывна и имеет производную при любом значении аргумента из области определения:

.Функция убывает при

3. Стандартные тождества

Тождества - это равенства, справедливые при любых значениях входящих в них переменных.

Формулы преобразования суммы углов.

Общие формулы

Треугольник со сторонами a, b, c и соответственно противоположные углами A, B, C. В следующих тождествах, A, B и C являются углами треугольника; a, b, c - длины сторон треугольника, лежащие напротив соответствующих углов.

3.1 Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. Для произвольного треугольника <#"justify">

где - радиус окружности, описанной вокруг <#"justify">

.2 Теорема косинусов

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. Для плоского треугольника со сторонами и углом , противолежащим стороне ,

.3 Теорема тангенсов

4. Формула Эйлера

Формула Эйлера утверждает, что для любого действительного числа <#"9" src="doc_zip90.jpg" /> выполнено следующее равенство:

где - основание натурального логарифма <#"6" height="14" src="doc_zip93.jpg" /> - мнимая единица.

Формула Эйлера предоставляет связь между математическим анализом <#"43" src="doc_zip94.jpg" />

Вышеуказанные уравнения могут быть получены путем сложения или вычитания формул Эйлера:

с последующим решением относительно синуса или косинуса.

Также эти формулы могут служить определением тригонометрических функций комплексной переменной. Например, выполняя подстановку x = iy, получаем:

5. Решение простых тригонометрических уравнений

Если - вещественных решений нет.

Если - решением является число вида

Если - вещественных решений нет.

Если - решением является число вида

Решением является число вида

Решением является число вида

6. Тригонометрические формулы

Основные тригонометрические тождества.

sin² ? + cos² ? = 1? · ctg ? = 1

tg ? = sin ? ÷ cos ?? = cos ? ÷ sin ?

1 + tg² ? = 1 ÷ cos² ?

1 + ctg² ? = 1 ÷ sin² ?

Формулы сложения.

(? + ?) = sin ? · cos ? + sin ? · cos ?

sin (? - ?) = sin ? · cos ? - sin ? · cos ?

cos (? + ?) = cos ? · cos ? - sin ? · sin ?

cos (? - ?) = cos ? · cos ? + sin ? · sin ?

tg (? + ?) = (tg ? + tg ?) ÷ (1 - tg ? · tg ?)

tg (? - ?) = (tg ? - tg ?) ÷ (1 + tg ? · tg ?)

ctg (? + ?) = (ctg ? · ctg ? + 1) ÷ (ctg ? - ctg ?)

ctg (? - ?) = (ctg ? · ctg ? - 1) ÷ (ctg ? + ctg ?)

Формулы двойного угла.

cos 2? = cos² ? - sin² ?

cos 2? = 2cos² ? - 12? = 1 - 2sin² ?

sin 2? = 2sin ? · cos ?

tg 2? = (2tg ?) ÷ (1 - tg² ?)

ctg 2? = (ctg² ? - 1) ÷ (2ctg ?)

Формулы тройного угла.

sin 3? = 3sin ? - 4sin³ ?3? = 4cos³ ? - 3cos ?3? = (3tg ? - tg³ ?) ÷ (1 - 3tg² ?)3? = (3ctg ? - ctg³ ?) ÷ (1 - 3ctg² ?)

Формулы понижения степени.

sin² ? = (1 - cos 2?) ÷ 2

sin³ ? = (3sin ? - sin 3?) ÷ 4

cos² ? = (1 + cos 2?) ÷ 2

cos³ ? = (3cos ? + cos 3?) ÷ 4

sin² ? · cos² ? = (1 - cos 4?) ÷ 8

sin³ ? · cos³ ? = (3sin 2? - sin 6?) ÷ 32

Переход от произведения к сумме.

? · cos ? = ½ (sin (? + ?) + sin (? - ?))

sin ? · sin ? = ½ (cos (? - ?) - cos (? + ?))

cos ? · cos ? = ½ (cos (? - ?) + cos (? + ?))

Переход от суммы к произведению.

7. Сферическая тригонометрия

Важным частным разделом тригонометрии, используемым в астрономии, геодезии, навигации и других отраслях, является сферическая тригонометрия, рассматривающая свойства углов между большими кругами на сфере и дуг этих больших кругов. Геометрия сферы существенно отличается от евклидовой планиметрии; так, сумма углов сферического треугольника, вообще говоря, отличается от 180°, треугольник может состоять из трёх прямых углов. В сферической тригонометрии длины сторон треугольника (дуги больших кругов сферы) выражаются посредством центральных углов, соответствующих этим дугам. Поэтому, например, сферическая теорема синусов <#"42" src="doc_zip116.jpg" />

и существуют две теоремы косинусов <#"justify">8. Применение тригонометрических вычислений

Тригонометрические вычисления применяются практически во всех областях геометрии <#"150" src="doc_zip117.jpg" />

Пример применения тригонометрии

Секстант - навигационный <#"justify">Список используемых источников

1.Инженерная математика: Джон Берд - Москва, Додэка XXI, 2008 г.- 544 с. 2.Сферическая тригонометрия: П. Кранц - Санкт-Петербург, ЛКИ, 2007 г.- 100 с.

.Аджиева А. Тригонометрические уравнения//математика. Приложение к газете «Первое сентября» №33,2011 г.

.Адрова И.А. ,Ромашко И.В. Модульный урок в Х классе по теме «Решение тригонометрических уравнений»// математика в школе.2011. №4. С.28-32.

.Башмаков М.И. Алгебра и начала анализа. 10-11. Учебное пособие для 10-11 классов средней школы. М.Просвещение,1998.-335 с.: ил