Задание 1
Вычислить определитель, используя правило треугольника и метод разложения по элементам ряда.
Решение:
По правилу треугольника:
Методом разложения по элементам ряда.
Ответ: -1026
Задание 2
Найти матрицу f(А) по данной матрице А и функции f(x):
A= , f(x)=6x²+7x+15
Решение:
Найдем
Найдем 7А
++=
Задание 3
Для матрицы А найти обратную . Проверить равенство
А=
Решение:
1) Найдем определитель матрицы по правилу треугольника.
) Найдем алгебраические дополнение всех элементов матрицы А.
Запишем результаты в присоединенную матрицу.
3) Транспонируем присоединенную матрицу.
) Найдем обратную матрицу по формуле:
5)Проверим равенство:
Задание 4.
Даны матрицы ,,. Вычислить матрицу D
Решение:
Найдем произведение матриц А и В.
Транспонируем матрицу С
Найдем матрицу D .
Задание 5.
Решить систему уравнений тремя способами: методом Гаусса, методом Кремера и матричным методом.
Решение:
Вычислим определитель основных коэффициентов.
Найдем добавочные определители , и
Найдем значения переменных по формулам Кремера:
Таким образом, решение системы: (-1;-1;-1)
Запишем систему в матричном виде
или , откуда
Найдем матрицу .
1) Найдем определитель матрицы по правилу треугольника.
) Найдем алгебраические дополнение всех элементов матрицы А.
Запишем результаты в присоединенную матрицу.
3) Транспонируем присоединенную матрицу.
) Найдем обратную матрицу по формуле:
Найдем произведение этой матрицы на матрицу свободных коэффициентов.
Таким образом, решение системы: (-1;-1;-1)
Запишем расширенную матрицу системы и приведем ее к треугольной форме путем элементарных преобразований (они указаны справа у каждой строки).
??
Запишем систему, соответствующую последней расширенной матрице, и найдем неизвестные.
Таким образом, решение системы: (-1;-1;-1)
Ответ: (-1;-1;-1)
Задание 6.
Даны вершины треугольника АВС.
А(2,2), В(2,-1) ,С(-3,0)
Найти:
уравнение прямой l2 через точку В, l2 l1;
1.Уравнение прямой через две точки имеет вид:
Уравнение АВ: Уравнение АС:
Уравнение ВС:
2. Составим уравнения медианы и высоты, проведенных из вершины В.
Найдем координаты середины отрезка АС, точки М по формуле:
А(2;2) С(-3;0) М: ,
следовательно, М (-0,5;1)
Составим уравнение медианы ВМ по формуле:
Уравнение ВМ:
Так как ВН- высота, опущенная на АС, то ВНАС.
Составим уравнение высоты ВH по формуле:
,
где и - координаты вектора, перпендикулярного прямой ВН.
Координаты вектора находим по формуле ().
АС(-5;-2) и В (2;-1)
Уравнение ВН:
Составим уравнение прямой , проходящей через точку С, параллельно АВ.
3. Используем формулу прямой, проходящей через точку параллельно вектору:
,
где и - координаты вектора АВ, параллельного прямой .
АВ(0;-3) и С (-3;0)
Уравнение :
4. Составим уравнение прямой l2 , проходящей через точку В, l2 l1;
. Найдем точку пересечения прямых l1 и l2. Для этого решим систему уравнений этих прямых.
Таким образом, точка пересечения: (-3;-1)
Задание 7
Даны координаты вершин пирамиды А1, А2, А3, А4. Найти:
1)угол между ребром А1А4 и гранью А1А2А3 ;
2)площадь грани А1А2А3 ;
)объем пирамиды ;
)уравнения прямой А1А2 ;
)уравнение плоскости А1А2А3 ;
)уравнения высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1А2А3 .
Сделать чертеж.
А1 (7; 7; 3), А2 (6; 5; 8), А3 (3; 5; 8), А4 (8; 4; 1) .
Решение
1. Найдем угол между ребром А1А4 и гранью А1А2А3
Составим уравнение прямой по формуле:
А1 (7; 7; 3), А4 (8; 4; 1) .
, т.е. А1А4 :
Составим уравнение плоскости А1А2А3 по формуле:
А1 (7; 7; 3), А2 (6; 5; 8), А3 (3; 5; 8),
,
Разложив определитель по элементам первой строки, получим уравнение:
После преобразований получим А1А2А3 :
Из уравнения прямой А1А4 : направляющий вектор
Из уравнения плоскости А1А2А3 : нормальный вектор
Найдем синус угла между прямой и плоскостью по формуле:
Найдем скалярное произведение векторов по формуле:
Найдем длины векторов по формуле:
Найдем синус угла между прямой А1А4 и плоскостью А1А2А3.
2. Найдем площадь грани А1А2А3. Для этого достроим треугольник А1А2А3 до параллелограмма.
Рассмотрим векторное произведение 2-х векторов .
Векторное произведение выражается формулой:
Найдем координаты векторов и . Вычислим векторное произведение.
Длина (модель) векторного произведения численно равна площади параллелограмма, построенного на этих векторах. Следовательно. Площадь треугольника равна
3. Объем пирамиды . Модуль смешанного произведения равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах. Смешанное произведение вычисляется по формуле:
Найдем смешанное произведение векторов
,
4. Составим уравнение прямой А1А2 по формуле:
А1 (7; 7; 3), А2 (6; 5; 8), .
Окончательно:
5. Составим уравнение плоскости А1А2А3 по формуле:
А1 (7; 7; 3), А2 (6; 5; 8), А3 (3; 5; 8),
,
Разложив определитель по элементам первой строки, получим уравнение:
После преобразований получим А1А2А3 :
6. Составим уравнения высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1А2А3 .
Из уравнения плоскости А1А2А3 : нормальный вектор
Высота проходит через точку А4 (8; 4; 1) параллельно вектору . Используем формулу:
Подставим координаты точки А4 и вектора .
Задание 8
Заданы координаты векторов a b c d и точек М1, М2, М3, М4
abcdМ1М2М3М41.1.-5-3.6.-43.6.2-1.2.54.5.-3-2.5.-3-2.1.-1-6.5.2
Требуется:
1)Составить уравнение плоскости , которая проходит через точку М1 и имеет нормальный вектор a .
) Составить уравнение плоскости , которая проходит через точки М1, М2, М3.
) Составить уравнение плоскости , которая проходит через точку М2 и параллельной плоскости , проходящей через точки М1, М3 и М4
) Составить уравнение плоскости , которая проходит через точки М2, М3 и перпендикулярной к плоскости , проходящей через точку М1 с нормальным вектором b .
) Составить каноническое уравнение прямой L1, проходящей через точку М3 с направляющим вектором c.
) Составить общее уравнение прямой L2 в пространстве , если она является линией пересечения плоскостей (из 1-го задания) и (из 2-го задания). Осуществить переход от общего уравнения к каноническому.
) Составить уравнение прямой L3, проходящей через точки М2 и М3.
) Составить уравнение плоскости , проходящей через точку М1 параллельной прямым L1 (из 5-го задания) и L2 (из 6-го задания).
) Определить угол между прямой L1 (из 5-го задания) и плоскостью (из 2-го задания).
) Составить уравнение плоскости , проходящей через точку М2 и параллельной плоскости , которая проходит через точку М1 с нормальным вектором d.
Решение
1. Уравнение плоскости, проходящей через точку и имеющей нормальный вектор , имеет вид:
Составим уравнение плоскости , которая проходит через точку М1(4;5;-3) и имеет нормальный вектор a (1;1;-5) .
После преобразований получим:
:
2. Составим уравнение плоскости по формуле:
М1 (4; 5; -3), М2 (-2; 5;-3), М3 (-2; 1;-1)
,
Разложив определитель по элементам первой строки, получим уравнение:
После преобразований получим уравнение плоскости :
. Составим уравнение плоскости , которая проходит через точку М2 (1;-1;0) и параллельной плоскости , проходящей через точки М1 (4; 5; -3), М3 (-2; 1;-1) и М4(-6;5;2).
Уравнение плоскости:
;
Разложив определитель по элементам первой строки, получим уравнение:
После преобразований получим уравнение плоскости:
Уравнение плоскости, проходящей через точку и имеющей нормальный вектор , имеет вид:
Составим уравнение плоскости , которая проходит через точку М2 (1;-1;0) с нормальным вектором плоскости . .
После преобразований получим уравнение плоскости :
. Составим уравнение плоскости , которая проходит через точки М2 (1;-1;0) , М3 (-2; 1;-1) и перпендикулярной к плоскости , проходящей через точку М1 (4; 5; -3), с нормальным вектором b(-3;6;-4) .
Запишем уравнение плоскости
Составим уравнение плоскости .
Подставим в это уравнение координаты точек М2 (1;-1;0) , М3 (-2; 1;-1) получим:
Так как плоскость перпендикулярна к плоскости , то нормальные векторы этих плоскостей также перпендикулярны.
, т.е. , откуда
Решим систему уравнений
Пусть С=1, тогда и , следовательно
Подставим координаты точки М2 (1;-1;0) и вектора в уравнение
После преобразований получим уравнение плоскости :
5. Составить каноническое уравнение прямой L1, проходящей через точку М3 (-2; 1;-1) с направляющим вектором c (3;6;2).
Уравнение прямой, проходящей через точку с направляющим вектором имеет вид:
Подставим координаты и получим
уравнение прямой L1 :
6. Составить общее уравнение прямой L2 в пространстве , если она является линией пересечения плоскостей : и : . Осуществить переход от общего уравнения к каноническому. Уравнение прямой L2
Пусть z=0, тогда
Получим точку (;;0), принадлежащую прямой L2.
Найдем координаты направляющего вектора по формуле: , где , . Вычислим векторное произведение.
Направляющий вектор прямой
Каноническое уравнение прямой, проходящей через точку с направляющим вектором имеет вид:
Подставим координаты точки (;;0)и и получим
уравнение прямой L2 :
7. Составим уравнение прямой L3, проходящей через точки М2 (1;-1;0) , М3 (-2; 1;-1)
Составим уравнение прямой по формуле:
.
Окончательно уравнение прямой L3:
. Составим уравнение плоскости , проходящей через точку М1 (4; 5; -3), параллельной прямым L1 : и L2 : .
Уравнение плоскости имеет вид:
;
Разложив определитель по элементам первой строки, получим уравнение:
После преобразований получим уравнение плоскости:
. Определим угол между прямой L1 : и плоскостью :
Найдем синус угла между прямой L1и плоскостью
10. Составим уравнение плоскости , проходящей через точку М2 (1;-1;0) и параллельной плоскости , которая проходит через точку М1 (4; 5; -3), с нормальным вектором d (-1;2;5).
Так как плоскости параллельны, то нормальный вектор плоскости является также нормальным вектором для плоскости .
Уравнение плоскости, проходящей через точку и имеющей нормальный вектор , имеет вид:
Составим уравнение плоскости , которая проходит через точку М2 (1;-1;0) и имеет нормальный вектор d (-1;2;5).
треугольник уравнение гаусс матричный
После преобразований получим:
: