Основы математики

Задание 1

Вычислить определитель, используя правило треугольника и метод разложения по элементам ряда.



Решение:

По правилу треугольника:



Методом разложения по элементам ряда.



Ответ: -1026

Задание 2

Найти матрицу f(А) по данной матрице А и функции f(x):


A= , f(x)=6x²+7x+15


Решение:


Найдем



Найдем 7А


++=


Задание 3

Для матрицы А найти обратную . Проверить равенство


А=


Решение:

1) Найдем определитель матрицы по правилу треугольника.



) Найдем алгебраические дополнение всех элементов матрицы А.



Запишем результаты в присоединенную матрицу.



3) Транспонируем присоединенную матрицу.



) Найдем обратную матрицу по формуле:



5)Проверим равенство:



Задание 4.

Даны матрицы ,,. Вычислить матрицу D


Решение:

Найдем произведение матриц А и В.



Транспонируем матрицу С



Найдем матрицу D .



Задание 5.

Решить систему уравнений тремя способами: методом Гаусса, методом Кремера и матричным методом.



Решение:

  1. Решим систему методом Кремера.

Вычислим определитель основных коэффициентов.


Найдем добавочные определители , и



Найдем значения переменных по формулам Кремера:



Таким образом, решение системы: (-1;-1;-1)

  1. Решим систему матричным методом.

Запишем систему в матричном виде



или , откуда

Найдем матрицу .

1) Найдем определитель матрицы по правилу треугольника.



) Найдем алгебраические дополнение всех элементов матрицы А.



Запишем результаты в присоединенную матрицу.



3) Транспонируем присоединенную матрицу.


) Найдем обратную матрицу по формуле:



Найдем произведение этой матрицы на матрицу свободных коэффициентов.



Таким образом, решение системы: (-1;-1;-1)

  1. Решим систему методом Гаусса.

Запишем расширенную матрицу системы и приведем ее к треугольной форме путем элементарных преобразований (они указаны справа у каждой строки).


??


Запишем систему, соответствующую последней расширенной матрице, и найдем неизвестные.


Таким образом, решение системы: (-1;-1;-1)

Ответ: (-1;-1;-1)

Задание 6.

Даны вершины треугольника АВС.

А(2,2), В(2,-1) ,С(-3,0)

Найти:

  1. уравнения сторон треугольника;
  2. уравнение медианы и высоты, проведенных из вершины В.
  3. уравнение прямой l1через точку С, l1|| АВ;

уравнение прямой l2 через точку В, l2 l1;

  1. точку пересечения l1 и l2.

1.Уравнение прямой через две точки имеет вид:



Уравнение АВ: Уравнение АС:



Уравнение ВС:



2. Составим уравнения медианы и высоты, проведенных из вершины В.

Найдем координаты середины отрезка АС, точки М по формуле:


А(2;2) С(-3;0) М: ,


следовательно, М (-0,5;1)

Составим уравнение медианы ВМ по формуле:

Уравнение ВМ:



Так как ВН- высота, опущенная на АС, то ВНАС.

Составим уравнение высоты ВH по формуле:

,


где и - координаты вектора, перпендикулярного прямой ВН.

Координаты вектора находим по формуле ().

АС(-5;-2) и В (2;-1)

Уравнение ВН:



Составим уравнение прямой , проходящей через точку С, параллельно АВ.

3. Используем формулу прямой, проходящей через точку параллельно вектору:


,


где и - координаты вектора АВ, параллельного прямой .

АВ(0;-3) и С (-3;0)

Уравнение :



4. Составим уравнение прямой l2 , проходящей через точку В, l2 l1;

. Найдем точку пересечения прямых l1 и l2. Для этого решим систему уравнений этих прямых.



Таким образом, точка пересечения: (-3;-1)

Задание 7

Даны координаты вершин пирамиды А1, А2, А3, А4. Найти:

1)угол между ребром А1А4 и гранью А1А2А3 ;

2)площадь грани А1А2А3 ;

)объем пирамиды ;

)уравнения прямой А1А2 ;

)уравнение плоскости А1А2А3 ;

)уравнения высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1А2А3 .

Сделать чертеж.

А1 (7; 7; 3), А2 (6; 5; 8), А3 (3; 5; 8), А4 (8; 4; 1) .

Решение

1. Найдем угол между ребром А1А4 и гранью А1А2А3

Составим уравнение прямой по формуле:


А1 (7; 7; 3), А4 (8; 4; 1) .

, т.е. А1А4 :


Составим уравнение плоскости А1А2А3 по формуле:


А1 (7; 7; 3), А2 (6; 5; 8), А3 (3; 5; 8),

,


Разложив определитель по элементам первой строки, получим уравнение:



После преобразований получим А1А2А3 :

Из уравнения прямой А1А4 : направляющий вектор

Из уравнения плоскости А1А2А3 : нормальный вектор

Найдем синус угла между прямой и плоскостью по формуле:



Найдем скалярное произведение векторов по формуле:


Найдем длины векторов по формуле:



Найдем синус угла между прямой А1А4 и плоскостью А1А2А3.



2. Найдем площадь грани А1А2А3. Для этого достроим треугольник А1А2А3 до параллелограмма.



Рассмотрим векторное произведение 2-х векторов .

Векторное произведение выражается формулой:



Найдем координаты векторов и . Вычислим векторное произведение.



Длина (модель) векторного произведения численно равна площади параллелограмма, построенного на этих векторах. Следовательно. Площадь треугольника равна



3. Объем пирамиды . Модуль смешанного произведения равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах. Смешанное произведение вычисляется по формуле:



Найдем смешанное произведение векторов


,

4. Составим уравнение прямой А1А2 по формуле:


А1 (7; 7; 3), А2 (6; 5; 8), .


Окончательно:



5. Составим уравнение плоскости А1А2А3 по формуле:


А1 (7; 7; 3), А2 (6; 5; 8), А3 (3; 5; 8),

,


Разложив определитель по элементам первой строки, получим уравнение:



После преобразований получим А1А2А3 :

6. Составим уравнения высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1А2А3 .

Из уравнения плоскости А1А2А3 : нормальный вектор

Высота проходит через точку А4 (8; 4; 1) параллельно вектору . Используем формулу:



Подставим координаты точки А4 и вектора .



Задание 8

Заданы координаты векторов a b c d и точек М1, М2, М3, М4


abcdМ1М2М3М41.1.-5-3.6.-43.6.2-1.2.54.5.-3-2.5.-3-2.1.-1-6.5.2

Требуется:

1)Составить уравнение плоскости , которая проходит через точку М1 и имеет нормальный вектор a .

) Составить уравнение плоскости , которая проходит через точки М1, М2, М3.

) Составить уравнение плоскости , которая проходит через точку М2 и параллельной плоскости , проходящей через точки М1, М3 и М4

) Составить уравнение плоскости , которая проходит через точки М2, М3 и перпендикулярной к плоскости , проходящей через точку М1 с нормальным вектором b .

) Составить каноническое уравнение прямой L1, проходящей через точку М3 с направляющим вектором c.

) Составить общее уравнение прямой L2 в пространстве , если она является линией пересечения плоскостей (из 1-го задания) и (из 2-го задания). Осуществить переход от общего уравнения к каноническому.

) Составить уравнение прямой L3, проходящей через точки М2 и М3.

) Составить уравнение плоскости , проходящей через точку М1 параллельной прямым L1 (из 5-го задания) и L2 (из 6-го задания).

) Определить угол между прямой L1 (из 5-го задания) и плоскостью (из 2-го задания).

) Составить уравнение плоскости , проходящей через точку М2 и параллельной плоскости , которая проходит через точку М1 с нормальным вектором d.

Решение

1. Уравнение плоскости, проходящей через точку и имеющей нормальный вектор , имеет вид:



Составим уравнение плоскости , которая проходит через точку М1(4;5;-3) и имеет нормальный вектор a (1;1;-5) .



После преобразований получим:


:


2. Составим уравнение плоскости по формуле:


М1 (4; 5; -3), М2 (-2; 5;-3), М3 (-2; 1;-1)

,


Разложив определитель по элементам первой строки, получим уравнение:



После преобразований получим уравнение плоскости :

. Составим уравнение плоскости , которая проходит через точку М2 (1;-1;0) и параллельной плоскости , проходящей через точки М1 (4; 5; -3), М3 (-2; 1;-1) и М4(-6;5;2).

Уравнение плоскости:


;


Разложив определитель по элементам первой строки, получим уравнение:


После преобразований получим уравнение плоскости:

Уравнение плоскости, проходящей через точку и имеющей нормальный вектор , имеет вид:



Составим уравнение плоскости , которая проходит через точку М2 (1;-1;0) с нормальным вектором плоскости . .



После преобразований получим уравнение плоскости :

. Составим уравнение плоскости , которая проходит через точки М2 (1;-1;0) , М3 (-2; 1;-1) и перпендикулярной к плоскости , проходящей через точку М1 (4; 5; -3), с нормальным вектором b(-3;6;-4) .

Запишем уравнение плоскости



Составим уравнение плоскости .



Подставим в это уравнение координаты точек М2 (1;-1;0) , М3 (-2; 1;-1) получим:

Так как плоскость перпендикулярна к плоскости , то нормальные векторы этих плоскостей также перпендикулярны.


, т.е. , откуда


Решим систему уравнений



Пусть С=1, тогда и , следовательно

Подставим координаты точки М2 (1;-1;0) и вектора в уравнение



После преобразований получим уравнение плоскости :



5. Составить каноническое уравнение прямой L1, проходящей через точку М3 (-2; 1;-1) с направляющим вектором c (3;6;2).

Уравнение прямой, проходящей через точку с направляющим вектором имеет вид:



Подставим координаты и получим

уравнение прямой L1 :



6. Составить общее уравнение прямой L2 в пространстве , если она является линией пересечения плоскостей : и : . Осуществить переход от общего уравнения к каноническому. Уравнение прямой L2

Пусть z=0, тогда

Получим точку (;;0), принадлежащую прямой L2.

Найдем координаты направляющего вектора по формуле: , где , . Вычислим векторное произведение.



Направляющий вектор прямой

Каноническое уравнение прямой, проходящей через точку с направляющим вектором имеет вид:


Подставим координаты точки (;;0)и и получим

уравнение прямой L2 :



7. Составим уравнение прямой L3, проходящей через точки М2 (1;-1;0) , М3 (-2; 1;-1)

Составим уравнение прямой по формуле:


.


Окончательно уравнение прямой L3:

. Составим уравнение плоскости , проходящей через точку М1 (4; 5; -3), параллельной прямым L1 : и L2 : .

Уравнение плоскости имеет вид:


;

Разложив определитель по элементам первой строки, получим уравнение:



После преобразований получим уравнение плоскости:

. Определим угол между прямой L1 : и плоскостью :

Найдем синус угла между прямой L1и плоскостью



10. Составим уравнение плоскости , проходящей через точку М2 (1;-1;0) и параллельной плоскости , которая проходит через точку М1 (4; 5; -3), с нормальным вектором d (-1;2;5).

Так как плоскости параллельны, то нормальный вектор плоскости является также нормальным вектором для плоскости .

Уравнение плоскости, проходящей через точку и имеющей нормальный вектор , имеет вид:



Составим уравнение плоскости , которая проходит через точку М2 (1;-1;0) и имеет нормальный вектор d (-1;2;5).

треугольник уравнение гаусс матричный


После преобразований получим:


:


Теги: Основы математики  Контрольная работа  Математика
Просмотров: 37374
Найти в Wikkipedia статьи с фразой: Основы математики
Назад