Определение вероятности

Вариант 7

Задание 1. В магазине выставлены для продажи N = 50 изделий, среди которых M =25 изделий некачественных. Какова вероятность того, что взятые случайным образом n = 10 изделий будут:

а) качественными;

б) хотя бы один из них будет качественным;

в) ни одного качественного изделия.

Решение:

Воспользуемся формулой Бернулли .

В нашей задаче: n = 10, p = , q = 1- p = 0,5,

а) нужно найти .

.

в) нужно найти .

.

б) нужно найти .

.

Ответ: а) 0,0010; б) 0,9990; в) 0,0010.

Задание 2. В партии из N = 50 изделий M = 25 имеют скрытый дефект. Какова вероятность того, что из взятых наугад n = 10 изделий дефектными окажутся m = 4 изделий?

Решение:

Число всех возможных вариантов выбрать 10 детали из 50 равно . Число возможных вариантов благоприятствующих нашему событию (4 изделия окажутся дефектными) равно .

По определению вероятности, искомая вероятность того, что 2 изделия окажутся дефектными, равна

.

Ответ: 0,000001.

Задание 3. Студент разыскивает нужную ему формулу в трёх источниках. Вероятность того, что формула содержится в первом справочнике p = 0,75, во втором - q = 0,5, в третьем - g = 0,8. Найти вероятность того, что:

а) формула содержится хотя бы в одном справочнике;

б) формула содержится только в двух учебниках;

в) формула содержится в любом учебнике;

г) формулы нет ни в одном из учебников.

Решение:

а) Вероятность того что формула содержится хотя бы в одном справочнике равна, единице минус вероятность того, что формулы нет ни в одном источнике:

.

б) Вероятность того что формула содержится в двух учебниках складывается из трех вероятностей:

формула содержится в 1 и 2 справочнике ;

формула содержится в 1 и 3 справочнике ;

формула содержится в 2 и 3 справочнике .

Тогда

.

в) Вероятность того что формула содержится в любом учебнике равна:

.

г) Вероятность того что формулы нет ни в одном из учебников равна:

.

Ответ: а) 0,975; б) 0,475; в) 0,3; г) 0,025.

Задание 4. В район изделия поставляются тремя фирмами. Известно, что первая фирма поставляет товар с браком в 0,2%, вторая - 0,25%, третья - 0,3%. С первой фирмы поступило 1600, со второй - 1700, а с третьей - 2000 изделий. Найти вероятность, что приобретённое изделие окажется

а) стандартным;

б) нестандартным;

в) какова вероятность, что стандартное изделие поступило с третьей фирмы?

Решение:

Обозначим события:- изделие поступило с 1-ой фирмы;- изделие поступило с 2- ой фирмы;- изделие поступило с 3- ей фирмы;

А - изделие стандартное.

Тогда

;

; ; .

а) По формуле полной вероятности находим вероятность, того что изделие будет стандартным:

.

б) Вероятность, того что изделие будет нестандартным:

.

в) По формуле Байеса найдем вероятность того, что стандартное изделие поступило с третьей фирмы:

.

Ответ: а) 0,9975; б) 0,0025; в) 0,3772.

Задание 5. В среднем по 15 % договоров страховая компания выплачивает страховую сумму. Найти вероятность того, что из n = 22 договоров с наступлением страхового случая будет связано с выплатой страховой суммы:

а) три договора;

б) менее двух договоров.

Решение:

Воспользуемся формулой Бернулли .

В нашей задаче: n = 22, p = 0,15, q = 1- p = 0,85.

а) Нужно найти .

б) Нужно найти .

;

;

Тогда

.

Ответ: а) 0,2370; б) 0,1367.

Задание 6. Аудиторную работу по теории вероятности успешно выполнило 50% студентов. Найти вероятность того, что из N =350 студентов успешно выполнят:

а) М = 200 студентов;

б) не менее М = 200 студентов;

в) от М = 200 до L = 300 студентов.

Решение:

а) Для определения вероятности того, что из 350 студентов успешно выполнят работу по теории вероятности 200 студентов, воспользуемся локальной теоремой Лапласа:

, где .

В нашей задаче: n = 350, k = 200; p = 0,5, q = 0,5.

.

По таблице находим . Получаем:

.

б) Для определения вероятности того, что из 350 студентов успешно выполнят работу по теории вероятности не менее 200 студентов, воспользуемся интегральной теоремой Лапласа:

, где ,

В нашей задаче: n = 350, k1 = 200, k2 = 350, p = 0,5, q = 0,5.

; .

По таблице находим, , .

Получаем:

.

в) Для определения вероятности того, что из 350 студентов успешно выполнят работу по теории вероятности от 200 до 300 студентов, воспользуемся интегральной теоремой Лапласа:

, где ,

В нашей задаче: n = 350, k1 = 200, k2 = 300, p = 0,5, q = 0,5.

; .

По таблице находим, , Получаем:

.

Ответ: а) 0,0012; б) 0,0039; в) 0,0039.

Задание 7. Задан закон распределения дискретной случайной величины в виде таблицы (в первой строке указаны возможные значения случайной величины, во второй - соответствующие вероятности).

Найти:

а) функцию распределения;

б) математическое ожидание;

в) дисперсию;

г) среднее квадратическое отклонение;

д) коэффициент ассиметрии.

Начертить график закона распределения и показать на нём вычисленные математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение

вероятность график распределение

xi1,21,31,41,51,6pi0,30,30,20,10,1

Решение:

а) Функция распределения равна:

б) Математическое ожидание равно:

.

в) Дисперсия равна:

г) Среднеквадратическое отклонение:

.

д)

Центральные моменты первого, второго, третьего, четвертого порядка:

Коэффициент асимметрии

График закона распределения:

Ответ: ; ; , .

Задание 8. Для приведённых в таблице 5 выборочных данных:

а) построить вариационный и статистический ряды;

б) построить полигоны частот и накопительных частот;

в) вычислить среднюю величину, моду, медиану, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициенты ассиметрии и эксцесса.

2124242623222425232222282129302122232224

Решение:

а) Из данной выборки определяем максимальную и минимальную варианту: ; .

Разложив варианты в порядке возрастания, начиная с , получим вариационный ряд:

2121212222222222232323242424242526282930

Для построения статистического ряда найдем для каждого значения частоту:

б) Построим полигон частот:

Построим полигон накопленных частот:

в) Вычислим среднее значение ряда:

.

Модальным значением ряда будет то значение, которое встречается наибольшее количество раз, т.е. то которое имеет наибольшую частоту.

= 22.

Медиальным значением будет середина ряда:

.

Дисперсия равна:

Среднеквадратическое отклонение равно: .

Вычислим начальные моменты первого, второго, третьего, четвертого порядка:

Центральные моменты третьего, четвертого порядка:

Коэффициент асимметрии

Наблюдается правосторонняя асимметрия.

Коэффициент эксцесса

Положительный знак коэффициента эксцесса свидетельствует о том, что данное распределение - островершинное.

Выводы: Среднее значение данной выборки 23,8, со среднеквадратическим отклонением 2,56. Выборка имеет правостороннюю асимметрию, распределение - островершинное.

Задание 9. Исходные данные - результаты выборки непрерывного статистического показателя. Провести группировку, разбив диапазон значений статистического показателя на 5 интервалов. Для выборки необходимо:

а) построить гистограмму и секторную диаграмму частот;

б) вычислить значения среднего показателя, моды, медианы, дисперсии, среднего квадратического отклонения, коэффициентов ассиметрии и эксцесса.

7,23,85,56,44,52,93,24,11,74,64,26,23,42,53,64,43,83,91,55,8

Решение:

Проведём группировку выборки, разбив диапазон значений случайной величины на 5 интервалов.

1,51,72,52,93,23,43,63,83,83,94,14,24,44,54,65,55,86,26,47,2

Величина интервала равна где - число групп.

Так как и , то .

Получаем интервалы:

№ группыИнтервалыЧисло наблюдений11,5 - 2,64322,64 - 3,78433,78 - 4,92844,92 - 6,06256,06 - 7,23

а) Вычислим относительные частоты:

; ; ; ; .

xi(1,5; 2,64)(2,64; 3,78)(3,78; 4,92)(4,92; 6,06)(6,06; 7,2)ni34823wi0,150,20,40,10,15

Гистограмма относительных частот:

Секторная диаграмма частот:

Заполним расчётную таблицу:

Среднее равно .

За примем середины интервалов. .

Модальный интервал - это интервал, который имеет наибольшую частоту. В нашей задаче это интервал 3,78 - 4,92. Конкретное значение моды для интервального ряда определяется формулой

,

где ? нижняя граница модального интервала;

? величина модального интервала;

? частота, соответствующая модальному интервалу;

? частота, предшествующая модальному интервалу;

? частота интервала, следующего за модальным.

В нашем примере:

.

Наиболее часто встречаются величины 4,236

Медиана делит численность ряда пополам, следовательно, она там, где накопленная частота составляет половину или больше половины всей суммы частот, а предыдущая (накопленная) частота меньше половины численности совокупности.

В нашей задаче медианным интервалом будет интервал 3,78- 4,92. Внутри интервала медиана определяется по формуле:

,

где ? нижняя граница медианного интервала;

? величина медианного интервала;

? полусумма частот ряда;

? сумма накопленных частот, предшествующих медианному интервалу;

? частота медианного интервала.

В нашем примере:

.

Половина величин не более 4,2075.

Дисперсия равна .

Среднее квадратическое отклонение:

.

Вычислим начальные моменты первого, второго, третьего и четвертого порядка.

Центральные моменты первого, второго, третьего, четвертого порядка:

.

.

Коэффициент ассиметрии:

.

Наблюдается правосторонняя асимметрия.

Коэффициент эксцесса .

Отрицательный знак коэффициента эксцесса свидетельствует о том, что данное распределение - плосковершинное.

Задание 10. Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания m нормального распределения генеральной совокупности с надёжностью 0,95, зная выборочное среднее хср., объём выборки n и среднее квадратическое отклонение ?.

= 75,55 n = 75 = 12.

Решение:

Предельные значения математического ожидания можно рассчитать по формуле:

По таблице находим: ( для вероятности 0,95).

Тогда:

Предельные значения, в которых можно ожидать среднее значение товарооборота:

, т.е.

.

Выводы: С вероятностью 95% математическое ожидание нормально распределенной генеральной совокупности попадет в интервал .