Методы теории вероятностей в анализе безопасности и надежности летательных аппаратов

Введение


Теория вероятностей возникла в середине 17 в. То, что случайные явления представляют собой не исключение, а правило в реальном мире, было замечено еще в древности. Об этом словами Лукреция Кара прекрасно говорит Альфред Реньи. Попытки математически подойти к изучению случайных явлений делались задолго до Паскаля и Ферма. Во всяком случае, факты устойчивости частот случайных событий, связанных с демографическими данными и потреблением больших городов, были известны еще в Древнем Китае и Древнем Риме. Изучать случайные события с помощью точных методов пытались Кардано и Галилей. Однако начало теории вероятностей на самом деле положила только переписка Паскаля и Ферма по поводу вопросов кавалера де Мере. К тому времени процесс научного познания уже победил; научное мышление уверенно одолевало воззрения теологов, и свободный полет творческой мысли неизбежно приводил к одному из основных вопросов познания: каковы типы закономерностей, господствующих в Природе? Нет ли наряду с механистическим детерминизмом детерминизма более общего, позволяющего охватить явления природы шире и глубже?

На этот вопрос теперь дан определенный ответ: закономерности случайных явлений дают нам детерминизм более широкого типа, который в качестве предельного случая включает детерминизм полный, практически в реальных явлениях не наблюдаемый.

Начиная с Паскаля, Ферма и Гюйгенса, в научный обиход вошли первые понятия теории вероятностей - математической науки о случайных событиях. Эти понятия формировались на примерах изучения азартных игр, но создатели начал теории вероятностей отчетливо понимали общее натурфилософское значение своих рассмотрений. В связи со сказанным полезно привести подлинные слова Гюйгенса, которые содержатся в его трактате «Об азартных играх»: «…я полагаю, что при внимательном изучении предмета читатель заметит, что имеет дело не только с игрой, но что здесь закладываются основы очень интересной и глубокой теории». Последующее развитие науки в полной мере подтвердило эту точку зрения.

С течением времени изменялся и расширялся объект изучения теории вероятностей. Если в самом начале ее появления, фактически вплоть до конца XVIII века, основной интерес представляло исследование вероятностей случайных событий, то уже в XIX веке центр тяжести переносится на исследование случайных величин. Впрочем, само это понятие формировалось очень долго, и его элементы встречаются уже в работе Гюйгенса. Позднее случайными величинами занимались Муавр, Котс, Даниил Бернулли, Лаплас, Лежандр, Гаусс. Работы упомянутых ученых (кроме Муавра) относились к теории ошибок наблюдений, и здесь по необходимости должно изучать не столько случайные события, сколько случайные величины. Логически четкий смысл понятие случайной величины приобрело только в работах акад. А.Н. Колмогорова, а понятие функции распределения одной из работ А. Ляпунова.

На этом, однако, не прекратилось расширение объекта изучения. Во второй четверти нашего столетия в теорию вероятностей было введено важнейшее понятие - понятие случайного процесса. Его формирование протекало под влиянием физики, биологии, инженерного дела. Суть в том, что как физика и биолога, так и инженера в первую очередь интересует процесс развития явления во времени, а потому рассмотрение только случайных величин, которые не связаны с течением времени, имеет лишь ограниченное значение. И хотя определение случайного процесса связано с именами таких выдающихся исследователей, как А.Я. Хинчин, А.Н. Колмогоров, Е.Е. Слуцкий, следует все же отметить, что у них были и предшественники - Лаплас, Башелье, Пуанкаре, А.А. Марков. По предложению французского математика Адамара в честь Маркова назван важнейший класс случайных процессов (марковские процессы), для которых все влияние прошлого на развитие процесса в будущем заключается в достигнутом им в настоящий момент состоянии. Вскоре задачи геофизики и других областей естествознания привели к необходимости рассмотрения не только случайных величин, зависящих от одного параметра - времени, но и от многих параметров - времени и положения. Так появились новые объекты изучения - случайные поля.

Само собой разумеется, что центральное понятие теории вероятностей - вероятность - не могло оставаться неизменным на протяжении почти трехсот лет. Хорошо известно, что классическое определение, возникшее в переписке Паскаля и Ферма, оказалось недостаточным тогда, когда наука столкнулась с необходимостью изучения задач страхования, ошибок наблюдения. Разрыв логических основ теории вероятностей с потребностями практики сказывался уже в начале прошлого века и стал совершенно нетерпим в наши дни. Вот почему в последние пятьдесят лет ученые уделяли такое внимание логическим вопросам, вопросам разумного расширения действия понятий теории вероятностей. Это было вызвано потребностями как бурно прогрессирующей практики, предъявившей к теории вероятностей многообразные требования, так и самой математики.

Теоретические основы науки о авиационной техники в СССР были заложены в 50-60-х гг. Их базу составили количественные методы расчёта и анализа и инженерные методы обеспечения при создании и испытаниях изделий авиационной техники. Разработка методов количеств, оценки уровня, дифференцированный подход к оценке влияния различных видов отказов систем на выполняемые летательным аппаратом функции позволили перейти к активному управлению процессом обеспечения на этапах проектирования, экспериментальной отработки и лётно-доводочных испытаний летательных аппаратов. Была создана основа для объективной сравнительной оценки уровней летательных аппаратов различных типов и динамики их изменения во время эксплуатации. Реализация этих методов стала возможной благодаря созданию и широкому внедрению единой отраслевой системы учёта и сбора информации об отказах, выявляемых в эксплуатации, а также благодаря разработке вероятностно-статистических и расчётно-аналитических методов. В 70-х гг. наука о надёжности в авиации получила дальнейшее развитие. Основу её составили комплексные программы обеспечения, опирающиеся на научные методы проектирования, испытаний и эксплуатационной оценки изделий авиационной техники. Цель работы по обеспечению и анализу - изучение причин зарождения и развития неисправностей и создание изделий с заданным и контролируемым уровнем. Сложность решения проблемы возрастает одновременно с увеличением сложности создаваемых изделий и их насыщением автоматическими устройствами и системами, поддерживающими рабочие режимы вблизи пределов устойчивости работы и прочности конструкции. Благодаря применению научных методов обеспечения, учёту предшествующего опыта уровень вновь создаваемых изделий возрастает по сравнению с уровнем прототипов.


1. Сравнительный анализ вероятностей катастрофы летательного аппарата.

транспорт вероятность летательный

1.1 Постановка задачи задания №1


Летательный аппарат (ЛА) состоит из

- m двигателей с вероятностей отказа P1, P2,… Pm;

- n дублирующих систем энергосбережения с вероятностей отказа


P, P2Э,… P;


N c вероятностей отказа Рс каждая.

Катастрофа наступает, если выходит из строя любая (r+1) и более двигателей, либо если все системы энергоснабжения, либо если хотя бы одна из N вспомогательных подсистем.

В случаи отказа любого r из m двигателей катастрофа наступает с вероятностью РD.

Определить вероятность катастрофы ЛА и сравнить ее с вероятностью катастрофы ЛА без дублирующих систем (один двигатель с вероятностью катастрофы P1, одна система энергосбережения с вероятностей отказа P и N вспомогательных подсистем с вероятностей отказа Рс каждая), предполагая, что все упомянутые выше системы и подсистемы ЛА функционируют независимо друг от друга.

В обоих случаях сравнить вероятности катастроф, связанных с отказом

двигателей;

систем энергосбережения;

вспомогательных подсистем.

Дано

m = 5; Р1 =6?10-4, Р2 =5?10-4, Р3=7?10-4, Р4=2?10 -4, Р5=4?10 -4

r=4 РD=0.1;

n=4 Р=3?10-4,Р=4?10-4, Р=10 -4, Р=6?10 -4;

N=3?103 Pc=6?10-9.

Решение.

Математическая часть

Введем обозначение событий:

- D1, D2, D3, D4 - отказ 1-го, 2-го, 3-го и 4-го двигателей соответственно;

- В1,В2, В3, - отказ 1-й, 2-й, и 3-й системы энергоснабжения соответственно;

  • Сi - отказ i-ой вспомогательной подсистемы, i = 1,2,…, N;
  • Ек - катастрофа;
  • - Ekd, Eкэ, Eкc - катастрофы, связанные с отказом двигателей, систем энергоснабжения и вспомогательных подсистем соответственно.
  • А) Рассмотрим случай ЛА с дублирующими системами:
  • В этом случае:
  • ЕKKD+EКС.(1.1)
  • Перейдем к противоположным событиям, будем иметь:

=(1.2)


  • Из равенства (1.2) в силу соотношения двойственности получим:

ЕK=?? (1.3)


  • Тогда вероятность катастрофы будет определяться по формуле:

P(EK)=1 - P()=1-P(??) (1.4)

Из равенства (1.4) в силу независимости событий ЕKD, Е,EКС получим:

P(EK)=1- P? P()? P(EKC)=1 - (1-P(EKD))?(1-P(EKЭ))?P(EKC)). (1.5)


Рассмотрим структуру событий ЕKD, ЕKЭ, EКС и найдем их вероятности, то есть вероятности катастроф, связанных с отказом

  • двигателей ЕКD
  • систем энергоснабжения Е
  • вспомогательных подсистем ЕKC

1) Рассмотрим структуру событий ЕKD и найдем P(EKD)= PKD

Так как событие ЕKD - это событие, состоящее в том, что катастрофа произошла из-за отказа двигателей, а по условию задачи катастрофа, связанная с отказом двигателей наступает, если выходят из строя любых (r+1) и более двигателей из m двигателей, а в случае отказа любого г из m двигателей катастрофа наступает с вероятностью РD. Значит:


ЕKD= ЕKDr+ ЕKD? (r+1), где


Так как в нашем случае число двигателей m = 5, r = 4; то r + 1 = 4 + 1 = 5.

Значит:


ЕKD= ЕKD4+ ЕKD?5 где:


ЕКD4 - событие, состоящее в том, что катастрофа произошла из-за отказа любого r =4 из m=5 двигателей;

ЕKD>5 - событие, состоящее в том, что катастрофа произошла из-за выходы из строя любых (r + 1) = 5 и более двигателей, а в нашем ЕKD>5= ЕKD5 - это событие, состоящее в том, что катастрофа произошла из-за отказа пяти двигателей. Из этого следует, что:


ЕKD?5 = ЕKD5 = D1? D2? D3? D4? D5 (1.6)


В свою очередь катастрофа, связанная с отказом ровно r = 4 двигателей (при работающих остальных), не обязательно влечет за собой катастрофу (ас вероятностью PD), значит


EKD4=EK? ED4


Тогда:


EKD= EKD4+ EKD?5= EK? ED4+ EKD?5


Так как события EKD4, и EKD?5 несовместны, то


P(EKD)=P(EKD4+ EKD?5)= P(EKD4)+ P(EKD?5)=P(EK? ED4)+P(EKD?5)


а для нашего случая и учитывая (1.6), получим:


P(EKD)=P(EKD4+ EKD?5)= P(EKD4)+ P(EKD?5)=P(EK? ED4)+P(EKD?5)= P(EK? ED4)+P(EKD5) = P(EK? ED4)+ P(D1? D2? D3? D4? D5)


С другой стороны, катастрофа, связанная с отказом ровно r=4 двигателей при работающих остальных из пяти имеющихся у ЛА по условию задачи, есть следующее событие:


ED4 = D1? D2 ? D3?D4 + D1? D2 ? D3?? D5 + D1? D2 ? ?D4?D5 +

+ D1?? D3?D4?D5 +? D2 ? D3?D4 ? D5(1.8)

то есть не работают 5-й, 4-й, 3-й, 2-й, 1-й двигатели из пяти, имеющихся у ЛА.

Замечание.

Тот факт, что события EKD4 и EKD?5 несовместны, можно доказать следующим образом:


EKD4? EKD?5 =< согласно (1.7) >= EK? ED4? EKD?5=< согласно (1.6) >= EK? ED4? ЕKD5 = =< согласно (1.6) и (1.8) = EK(D1? D2 ? D3?D4 + D1? D2 ? D3?? D5 + D1? D2 ? ?D4?D5 + D1?? D3?D4?D5 +? D2 ? D3?D4 ? D5) ? D1? D2? D3? D4? D5 = EK ((D1? D2? D3? ?D5 D1? D2? D3? D4?D5)+(D1? D2? ? D4?D5 ? D1? D2? D3? D4?D5)+(D1? ? D3? D4?D5 ? D1? D2? D3? D4?D5)+(? D2? D3? D4?D5 ? D1? D2? D3? D4?D5)+(D1? D2? D3? D4? ?D1? D2? D3? D4? )=

= EK((D1? D1)?(D2 ?D2)?(D3? D3)?(D4? D4) ?(D5 ? ) + (D1? D1)?(D2? D2)?(D3? D3)?(D4? )?(D5 ? D5)+(D1? D1)?(D2? D2)?(D3? )?(D4? D4) ?(D5 ? D5) +(D1? D1)?(D2? )?(D3? D3)?(D4? D4) ?(D5 ? D5)+(D1? )?(D2? D2)?(D3? D3)?(D4? D4) ?(D5 ? D5)


Используя тот факт, что A?A = A и A?=Ø, получим


EKD4? EKD?5 =EK((D1 ?D2 ? D3 ?D4? Ø) + (D1 ?D2 ?D3? Ø? D5)+ (D1 ?D2 ? Ø ? D4?D5) + (D1 ? Ø ? D3 ?D4?D5) + (Ø ?D2 ?D3 ?D4? D5)) = Ø


А как известно, что, если произведение двух событий равно невозможному событию (пустому множеству), то такие события являются несовместными.

По определению условной вероятности имеем:


P(EKD)=P(EK / ED4)?P(ED4)+P()

а в силу независимости событий Di, i=, далее имеем:


P(EK / ED4) ? P(ED4)+ P()


Используя (1.7) и несовместимость его (ED4) слагаемых


P(EK / ED4)?(P(D1? D2 ? D3?D4 ) + P(D1? D2 ? D3?? D5 ) + P(D1? D2 ? ?D4?D5)+ P(D1?? D3?D4?D5) + P(? D2 ? D3?D4 ? D5))+)


В силу всех независимых событий Di , i= и потому, что


P()=1-P(Di), получим далее:

P(EK / ED4)?[(P(D1)?P(D2)?P(D3)?(P(D4) ?(1-P(D5))+ (P(D1)?P(D2)?P(D3)?(1-P(D4)) ?P(D5)+P(D1)?P(D2)?(1-P(D3))?P(D4) ?P(D5) +P(D1)?(1-P(D2))?P(D3)?P(D4) ?P(D5) +(1-P(D1)? P(D2)? P(D3)?P(D4) ?P(D5)]+)


Так как P(Di)=Pi, i= и P(EK / ED4)=PD, имеем


P(EKD)=PD?[P1? P2? P3 ?P4?(1-P5)+P1? P2? P3 ?(1 - P4)?P5 + P1? P2?(1 - P3)? P4?P5 + P1?(1 - P2)? P3? P4?P5 +(1 - P1)? P2? P3? P4?P5]+ P1? P2? P3 ? P4 ?P5=PD?[P1? P2? P3? P4+ P1? P2? P3?P5+ P1? P2? P4?P5+ P1? P3? P4?P5+ P2? P3? P4?P5]?(1-5PD)? P1? P2? P3 ? P4?P5?PKD;


Если выполняется условие


P «PD для всех i= (1.9)


и учитывая, то что значение вероятности случайного события есть величина, меньшая единицы, то


P1? P2? P3 ? P4? P5?0


А значит тоже


(1-5PD)? P1? P2? P3 ? P4? P5?0


И тогда имеем


P(EKD)?PKD?PD?(P1? P2? P3? P4+ P1? P2? P3?P5+ P1? P2? P4?P5+ P1? P3? P4?P5+ P2? P3? P4?P5) (1.10)


Подставив значения, данные из условия задания, получим


P(EKD)?PKD?PD?(P1? P2? P3? P4+ P1? P2? P3?P5+ P1? P2? P4?P5+ P1? P3? P4?P5+ P2? P3? P4?P5)=0.1?(6?10-4?5?10-4?7?10-4?2?10-4+6?10-4?5?10-4?7?10-4?4?10-4+6?10-4?5?10-4?2?10-4?4?10-4+6?10-4?7?10-4?2?10-4?4?10-4+5?10-4?7?10-4?2?10-4?4?10-4)=

=0.1?10-16?(420+840+240+336+280)=21.16?10-16 (1.10)


) Рассмотрим структуру событий Екэ и найдем P(EКЭ)=PКЭ

EКЭ? B1? B2? B3? B4 - катастрофа, связанная с отказом всех трех систем энергоснабжения (п= 4 по условию задачи).

В силу независимости всех событий Bi, i= имеем

P(EКЭ) ?P(B1?B2?B3? B4)=P(B1) ?P(B2) ?P(B3) ?P(B4) =P?P?P?P (1.12)


Подставив значения, данные из условия задания, получим


P(EКЭ)?P(B1?B2?B3? B4)=P(B1) ?P(B2) ?P(B3) ?P(B4)=P?P?P?P =3?10-4?4?10-4?10-4?6?10-4=120?10-16 (1.13)


) Рассмотрим структуру события екс и найдем P(екс) = Pкс.

Событие Екс наступает, если отказывает хотя бы одна из вспомогательной подсистемы, значит


екс?C1+C2+ … +CN=


В силу закона двойственности


екс?= ??…?=


в силу независимости событий , i= получим


P () ?P(=P() ? P()?…? P()==1-P(Ci))


Так как P(Ci)=Pc, i= получим


P ()==1-Pс)=(1-Pc)N


тогда


P(екс)=(1- P ()=1 - (1-Pc)N?PKC

Если выполняется NPC<<1=>


P ()=(1-Pc)N=1-NPC+ PC2-… (-1)N PcN ? 1-NPC (1.14)


Подставив значения, данные из условия задания, получим


P(екс)1-1+NPC=NPC=3?103?6?10-9=18?10-6 (1.15)


.2 Расчетная часть


Переходим к числовым расчетам. Вычислим вероятность катастрофы по выведенной нами формуле (1.5). Так как в нашем случае выполняется условие (1.9), то


P(EК)=1 - (1 - P(EKD))?(1-P(екс))?P())=1-==1 - (1 - PD?(P1? P2? P3? P4+ P1? P2? P3?P5+ P1? P2? P4?P5+ P1? P3? P4?P5+ P2? P3? P4?P5)+ (1-5) P1P2P3P4 P5)?(1-P? P? P P)?(1-Pc)N


Если выполняется условие NPC<<1 и PKD<<1 и PКЭ<<1, то будем далее иметь


PKD+ PКЭ+ NPC=21.16?10-16+120?10-16+18?10-6 ?18?10-6


Так как 21.16?10-16?120?10-16?18?10-6, видно, что PКЭ ? PKD ? Pкс из этого следует, что вероятность катастрофы, связанной с отказом вспомогательных подсистем, является определяющей.

В) Теперь рассмотрим случай ЛА без дублирующих систем:


PКЭ= P; ? PKD = P1=>

P (EK)=P1+P+NPC=6?10-4+3?10-4+18?10-6=918?10-6


P < PКD < PКС, а из этого следует, что вероятность катастрофы, связанной с отказом двигателя и систем энергоснабжения, является определяющей.

И, наконец, сравним вероятности P (EK) и P (EK):


==51


Вывод

На основании вышеизложенного можно заключить, что наиболее вероятной является катастрофа, связанной с отказом одной из вспомогательных подсистем, а отсутствие дублирующих систем увеличивает вероятность катастрофы в 51 раз, при этом определяющим фактором становится отказ двигателя или системы энергоснабжения.


2. Определение надежности элементов системы энергоснабжения самолета задача №2


.1 Постановка задачи задания №2


Испытываются m элементов системы энергоснабжения самолета, которые работают независимо один от другого. Длительность времени безотказной работы элементов распределена по показательному закону с функциями надежности Ri(t), для каждого из элементов, где ;

Определить вероятность того, что в интервале (0;в) часов откажут

а) только один элемент;

b) только два элемента;

c) все m элемента.

Дано:

m = 3;

б1 = 0,37; б2 = 0,47; б3 = 0,17;

в = 5;

Решение.

Математическая часть

Введем обозначения:

A1, A2, A3, A4 - событие, состоящее в том, что отказал только один элемент, только два, все три элемента, ни один элемент не отказал.

p1, p2, p3 - вероятность отказа 1-го, 2-го, 3-го элемента в заданном интервале (0; 5) соответственно; тогда

q1, q2, q3 - вероятность безотказной работы 1-го, 2-го, 3-го элемента в заданном интервале (0; 5) соответственно;

Вероятность p1 отказа 1-го элемента в заданном интервале (0; 5) будет равна:

, следовательно:

.


Вероятность p2 отказа 2-го элемента в заданном интервале (0; 5) будет равна:


, следовательно:

.


Вероятность p3 отказа 3-го элемента в заданном интервале (0; 5) будет равна:


, следовательно:

.


2.2 Расчетная часть


Переходим к расчету искомых вероятностей, которые находится следующим образом:

Вероятностьотказа только одного элемента в заданном интервале (0; 5) будет равна:


;


Вероятность отказа только двух элементов в заданном интервале (0; 5) будет равна:



Вероятность отказа только трех элементов в заданном интервале (0; 5) будет равна:


.


Вероятность безотказной работы всех трёх элементов за время испытания в заданном интервале (0; 5) будет равна:


.


Вывод

На основании изложенного можно заключить, что при заданных данных во время испытаний в заданном интервале (0; 5) наиболее вероятным являются отказ только двух элементов, а наименее вероятным является отказ только одного элемента, так как:

Вероятность того, что все три элемента безотказно отработают во время испытаний в заданном интервале (0; 5) является небольшой, а именно:


Список использованной литературы


1.Сотсков Ю.Н., Нарольская А.Н. Теория расписаний. Методичеcкое пособие. - Мн.: РИО МГВАК, 2008.

.Сапцин В.М. Высшая математика. Часть 1. - Мн.: РИО МГВАК, 2002.

.Барковская Л.С., Станишевская Л.В., Черторицкий Ю.Н. Теория вероятностей. Практикум. - Мн.: РИО УО «БГЭУ», 2004.


Теги: Методы теории вероятностей в анализе безопасности и надежности летательных аппаратов  Контрольная работа  Математика
Просмотров: 6192
Найти в Wikkipedia статьи с фразой: Методы теории вероятностей в анализе безопасности и надежности летательных аппаратов
Назад