Математический анализ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Южно-Уральский государственный университет»

ИОДО

Контрольная работа

Математический анализ

Выполнила Козлова Вероника Валерияновна

Проверила Шунайлова С.А

Задание 1. Найдите производные функций

б).

Задание 2. Найдите производные функций.

а)

б)

Задание 3. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции у = f(x) на отрезке [а;b].

Решение. Находим производную функции: , приравниваем её к нулю и находим критические точки, принадлежащие этому отрезку: .

Находим значения функции на концах отрезка и в критической точке:

Тогда наибольшее значение: 4 и наименьшее значение (-4).

Задание 4. Исследуйте функцию с помощью производной и постройте ее график: .

Решение.

1. Область определения данной функции D(y):

. График функции пересекает ось OY в точке .

. Функция непрерывна при

Следовательно, вертикальных асимптот нет.

4. При исследовании на четность, нечетность найдем y(-x).

Следовательно, функция не является четной, не является нечетной.

Функция не является периодической.

. Находим интервалы возрастания, убывания и экстремум функции, для этого:

а) найдем производную функции

б) Производная обращается в нуль при

x-20-0+0-yубываетMin -7возрастаетMax 1убывает

. Находим интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба.

а) найдем производную второго порядка.

б) вторая производная обращается в нуль при х=-1

x-1+0-y-3 перегиб

Строим график функции

Задание 5. Дана функция и точка M0(x0,у0). Найдите градиент функции в точке М0 и производную функции: в точке М0 по направлению вектора.

функция экстремум перегиб возрастание

.

Решение. Градиент функции двух переменных равен

.

Найдём частные производные:

.

Найдём значения частных производных в точке :

.

Производная функции по направлению вектора равна:

где направляющие косинусы вектора .

Находим направляющие косинусы вектора :

Окончательно получим:

Задание 6. Исследуйте функцию на экстремум: .

Решение. Находим стационарные точки. Для этого находим частные производные первого порядка и приравниваем их к нулю:

.

Находим частные производные второго порядка:

в точке О (0;0) нет экстремума.