Математические методы и модели в решении задач по экономике

Министерство образования и науки Российской Федерации

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Хабаровская государственная академия экономики и права»

Кафедра математики и математических методов в экономике

Контрольная работа

По дисциплине: «Математика»

Выполнила:

Лабюк Наталия Андреевна

г. Благовещенск 2012 г.

Содержание

Задание №1. Анализ межотраслевых связей

Задание №2. Определение оптимального плана выпуска продукции и анализ оптимального решения с использованием двойственных оценок

Задание 3. Элементы теории игр

Задание 4. Моделирование производственных процессов

Список используемых источников

Задание №1. Анализ межотраслевых связей

Дан следующий отчётный межотраслевой баланс (МОБ):

Отрасли12345Конечная продукция.117,54128,290,820,0014,61316,3218,81180,24107,7714,7582,23306,335,9529,7170,6185,0678,49527,546,1234,3141,6248,38101,34159,2510,8397,1789,1961,55279,841172,4L7636694058Ф33971258375

Требуется:

. Построить таблицу отчетного МОБ, проверить основное балансовое соотношение.

. Составить плановый МОБ при условии увеличения спроса на конечный продукт по отраслям соответственно на 10,9,7,8, и 7 процентов.

. Рассчитать коэффициенты прямых и полных затрат труда и фондов и плановую потребность в соответствующих ресурсах.

. Проследить эффект матричного мультипликатора при дополнительном увеличении конечного продукта по третьей отрасли на 5 %.

. Рассчитать равновесные цены при увеличении зарплаты по всем отраслям на 10 % (считать доли зарплаты в добавленной стоимости по отраслям следующими: 0,33, 0,5, 0,35, 0,43, 0,6). Проследить эффект ценового мультипликатора при дополнительном увеличении зарплаты в первой отрасли на 5 %.

Решение

. Заполним таблицу отчётного МОБ:

Отрасли12456ИтогоКонечная продукция.Валовая продукция.117,54128,290,820,0014,61161,26316,3477,56218,81180,24107,7714,7582,23403,80306,3710,135,9529,7170,6185,0678,49269,82527,5797,3246,1234,3141,6248,38101,34231,77159,2390,97510,8397,1789,1961,55279,84538,581172,41710,98Итого59,25469,72310,01209,74556,511605,232481,74086,93Добавленная стоимость.418,31240,38487,31181,231154,472481,7Валовая продукция.477,56710,1797,32390,971710,984086,93Труд7636694058279,00Фонды33971258375413,00

Столбец "Итого" - промежуточный продукт отраслей - в сумме с конечной продукцией даёт валовой продукт, а строка "Итого" - стоимость материальных затрат - будучи вычтена из валовой продукции даёт добавленную стоимость отраслей.

Основное балансовое соотношение - общая по всем отраслям добавленная стоимость (2481,7) равна общему для всех отраслей конечному продукту (2481,7) - выполняется.

. Для составления таблицы планового МОБ рассчитаем матрицу А коэффициентов прямых материальных затрат по формуле:

т.е. все элементы каждого столбца матрицы межотраслевых потоков делятся на валовой выпуск соответствующей потребляющей отрасли (1 - ый столбец делится на первое значение, 2 - ой столбец делится на второе значение и т.д.).

Элементы матрицы планового МОБ рассчитаем по формуле:

где Е - единичная матрица;

(Е - А)-1 - матрица, обратная к матрице (Е - А).

Запишем матрицу (Е - А), а матрица В = (Е - А)-1 дана в условии.

Значения Упл получены увеличением конечного продукта планового МОБ на заданный процент его роста:

Получим:пл = (347,93; 333,87; 564,43; 171,94; 1254,47)Т.

индекс Т - означает, что матрица-строка транспонирована.

Умножая матрицу В на матрицу-столбец Yпл получим матрицу-столбец Хпл (плановый валовой продукт):

Значения Хпл вписаны в таблицу планового МОБ:

Отрасли12345ИтогоКонечная продукция.Валовая продукция.119,20138,960,880,0015,65174,69347,93522,6220,58195,24115,5015,8988,11435,32333,87769,236,5132,1875,6791,6184,10290,08564,43854,546,7037,1644,6152,11108,58249,16171,94421,1511,85105,2695,5966,29299,85578,831254,471833,3Итого64,84508,80332,25225,90596,301728,092672,64400,7Добавленная стоимость.457,76260,4522,25195,212372672,6Валовая продукция.522,6769,2854,5421,11833,34400,7

Значения межотраслевых потоков планового МОБ получены по формуле:

Хij = aij×Xj,

где aij - элементы матрицы А; - соответствующие значения валового продукта планового МОБ.

Значения Хij, например для отрасли 1 получены произведением плановой валовой продукции этой отрасли (522,6) на первый столбец матрицы прямых материальных затрат (матрицы А):

Эти значения немного отличаются от величин Х1j, показанных в таблице, т.к. расчёты в таблице выполнены в Excel, т.е. без округления промежуточных результатов.

Основное балансовое соотношение - общая по всем отраслям добавленная стоимость (2672,64) равна общему для всех отраслей конечному продукту (2672,53) - выполняется с учётом округлений.

. Коэффициенты прямой трудоёмкости и фондоёмкости по отчётному году составляли:

= Lj/ = 0,1591; 0,0507; 0,0865; 0,1072; 0,0339;= Фj/ = 0,0691; 0,1366; 0,1568; 0,2225; 0,0438;

где - валовая продукция отчётного МОБ

Тогда плановая потребность в труде и фондах при этих же коэффициентах и плановых значениях валовой продукции составят:

= tj×Xj = 83,17; 38,995; 73,949; 43,082; 62,147;

Фj = fj×Xj = 36,114; 105,071; 133,966; 89,396; 80,362;

. Увеличив спрос на конечный продукт на 5 % по отрасли № 3, получим матрицу - столбец прироста спроса по отраслям:

ДY = (0; 0; 28,22; 0; 0)T;

Тогда прирост валовой продукции определится:

ДХ = В×ДY = (1,30; 6,41; 32,23; 2,68; 5,90)Т;

Таким образом, изменение спроса на конечную продукцию только по третьей отрасли вызвало изменение спроса на валовую продукцию по всем отраслям. В процентном соотношении эти изменения составят: (0,25; 0,83; 3,77; 0,64; 0,32) %, т.е. по третьей отрасли изменения наибольшие.

. Равновесные цены наёдём из соотношения Р = ВТ×V, а доли добавленной стоимости V найдём, разделив добавленную стоимость по отраслям на валовой выпуск:= (0,876; 0,339; 0,611; 0,464; 0,675).

Выделив отсюда заработную плату по долям из условия и прибавив 10 % заработной платы к найденным долям Vj, получим:

доли заработной платы в валовой продукции: (0,289; 0,169; 0,214; 0,199; 0,405).

доли добавленной стоимости в валовой продукции: V = (0,905; 0,356; 0,633; 0,484; 0,715)

Транспонируя матрицу В и умножая ВТ на матрицу - столбец V, получим матрицу - столбец равновесных цен:

;

Таким образом, при росте заработной платы на 10 % по всем отраслям цены на продукцию выросли в пределах от 4,1 % до 5,7 %, причём в наибольшей степени цены выросли в пятой отрасли, где доля заработной платы в добавленной стоимости самая высокая.

При дополнительном увеличении заработной платы в первой отрасли на 5 % изменение равновесных цен определим по формуле:

ДР = ВТ×ДV,

где ДV определим из условия задачи: ДV = (0,0145; 0; 0; 0; 0,)Т;

Тогда: ДР = (0,0152; 0,0038; 0,00066; 0,0004; 0,00043)Т.

Из расчёта следует, что при 5% - ном росте зарплаты в первой отрасли цены на её продукцию вырастут на 1,52%, а в остальных отраслях этот прирост составил от 0,04 % до 0,38%.

Эффект мультипликатора в п.4 и в п.5 проявился в том, что изменение спроса на конечную продукцию в одной отрасли привело к изменению валового спроса по всем отраслям, а изменение заработной платы в одной отрасли привело к изменению цен во всех отраслях.

Задание №2. Определение оптимального плана выпуска продукции и анализ оптимального решения с использованием двойственных оценок

Составить модель задачи и на примере ее решения проиллюстрировать свойства двойственных оценок. Рассмотреть задачу по определению оптимального плана выпуска продукции, максимизирующего выручку при известных нормах расхода ресурсов, объемах ресурсов и ценах реализации продукции.

Дано: матрица расхода ресурсов (А), объём ресурсов (В), цены реализации (С):

Модель задачи формулируется следующим образом: Найти х1; х2; х3; х4 (объёмы производства каждого вида продукции), удовлетворяющие ограничениям:

Для решения этой задачи симплекс - методом она приводится к каноническому виду добавлением в левые части ограничений неотрицательных балансовых переменных S1; S2; S3; S4:

Значения балансовых переменных показывают объёмы неизрасходованных ресурсов в соответствующем плане.

Х1Х2Х3Х4RHSDualMaximize3345Constraint 142525500,2917Constraint 230313500Constraint 305266500,5833Constraint 441325200,4583Solution67,0833015103,3333$777,92

Отчёт о решении этой задачи представлен в таблице.

В последней строке этого отчёта под переменными Х1; Х2; Х3; Х4 указаны их значения в оптимальном решении, а также значение целевой функции в столбце RHS.

В последнем столбце указаны двойственные оценки оптимального решения.

Для получения максимального дохода необходимо продукцию Х1; Х2; Х3; Х4 выпускать в объёмах: Х1 = 67,083; Х2 = 0; Х3 = 15; Х4 =103,33; При этом Zmax = 777,92

Двойственная задача: Найти значения переменных Y1; Y2; Y3; Y4, удовлетворяющих ограничениям:

при которых целевая функция:

становится минимальной.

Решения двойственной задачи из отчёта таковы:= 0,292; Y2 = 0; Y3 = 0,583; Y4 = 0,458;

Из анализа двойственных оценок следует:

. Так как каждая из них указывает, на сколько изменится максимальное значение целевой функции (максимальная выручка) если изменить на единицу запасы соответствующих ресурсов, то наибольшее изменение выручки произойдёт, если изменить объём 3-го ресурса. Изменение 2-го ресурса в пределах остатка не приведёт к изменению целевой функции (у2 = 0).

. Y1; Y3;Y4 положительны, т.е. эти ресурсы расходуются полностью.

Проверка по неравенствам исходной задачи:

(1) 4?67,0833 + 2?0 + 5?15 + 2?103,333 = 550 = 550;

(3) 0?67,0833 + 5?0 + 2?15 + 6?103,333 = 650 = 650;

(4) 4?67,0833 + 1?0 + 3?15 + 2?103,333 = 520 = 520;

следовательно, эти ресурсы дефицитны. Поскольку у2 = 0, то второй ресурс расходуется не полностью:

(2) 3?67,0833 + 0?0 + 3?15 + 1?103,333 = 349,583 < 350;

Остаток 2-го ресурса S2 = 350 - 349,583 = 0,417 единиц определяет значение балансовой переменной в оптимальном решении исходной задачи.

. Рентабельными являются 1-я, 3-я, и 4-я продукция т.к. Х1; Х3; Х4 - положительны, а 2-я продукция нерентабельна т.к. она не производится (Х2 = 0). Проверка по неравенствам двойственной задачи:

(1) 4?0,2917 + 3?0 + 0?0,5833 + 4?0,4583 = 3 = 3;

(2) 2?0,2917 + 0?0 + 5?0,5833 + 1?0,4583 = 3,96 > 3;

(3) 5?0.2917 + 3?0 + 2?0.5833 + 3?0.4583 = 4 = 4;

(4) 2?0.2917 + 1?0 + 6?0.5833 + 2?0.4583 = 5 = 5;

Таким образом, по 1-у , 3-у и 4-у уравнениям получены строгие равенства т.е. суммарная оценка ресурсов равна цене продукции, а во 2-м уравнении (для 2-ей продукции) затраты превышают цену на 3,96 - 3 = 0,96 ед., что даёт такой убыток на единицу в случае её производства.

Задание 3. Элементы теории игр

Найти решение игры заданной матрицей:

Нижняя цена игры: Верхняя цена игры:

Матрица игры имеет седловую точку V = 4. Из систем уравнений:

Таким образом, решение игры:

Задание 4. Моделирование производственных процессов

труд межотраслевой игра дуглас

Пусть производственная система характеризуется производственной функцией Кобба-Дугласа

где Y - произведённый продукт;

С - масштабный множитель;

К - затраты капитала; - затраты труда;

б - коэффициент эластичности выпуска по капиталу (0<б<1);

(1 - б) - эластичность выпуска по труду.

За период времени системой было произведено 110 единиц продукции при затратах 20 единиц труда и 40 единиц капитала. Известно, что б = 0,75.

. Записать производственную функцию Кобба-Дугласа.

. Сколько единиц продукта будет произведено системой при затратах 25 единиц труда и 50 единицах капитала?

. Определить для данной производственной системы средние продукты труда и капитала, используя формулы 4.2; 4.3; 4.4.

. Определить предельные продукты труда и капитала, используя формулы 4.5 и 4.6. Прокомментировать результаты расчётов.

. Проверить вычислениями точность равенства 4.10.

Решение

. Подставим в формулу (4.1)

исходные данные:

= С?400,75?200,25.

После вычислений получим:

= С?15,905?2,115 или С = 110/33,636 = 3,27.

Окончательно имеем: = 3,27 K0,75L0,25.

. Подставим в полученное выражение для производственной функции новые данные: = 3,27?500,75?250,25 = 3,27?18,803?2,236 = 137,5.

Таким образом, системой при новых данных будет произведено 137,5 единиц продукта.

. Подсчитаем средние продукты факторов, используя формулы (4.2), (4.3) и (4.4).

Из формулы (4.2) Ayk = Y/K следует, что фондоотдача Ayk = 110/40 = 2,75.

Из формулы (4.3) Ayk = C (L/K)1-. следует:

= 3,27?K0,75L0,25/К = 3,27?L0,25/К0,25 = 3,27? (20/40)0,25 = 2,75.

Из левого выражения (4.4)

Ayl = Y/L = C (K/L)= Y/L = 110/20 = 5,5.

Правая часть этого выражения даёт:

= C?(K/L)= 3,27?(40/20)0,75 = 5,5.

Таким образом, проверяемые равенства выполняются.

. Предельный продукт капитала - это частная производная выпуска по капиталу:

Получили, что действительно,

Мyk =?Ayk = 0,75?2,75 = 2,062.

Аналогично предельный продукт труда:

МyL = (1-) Ayl = 0,25?5,5 = 1,375.

Сравнивая средние и предельные продукты факторов, видим, что действительно, предельные продукты меньше средних, подтверждая тем самым закон убывающей эффективности факторов.

Средний продукт капитала, равный 2,75 означает, что в исследуемой экономической системе на единицу основных фондов приходится в среднем 2,75 единиц выпускаемого продукта, а предельный продукт капитала, равный 2,062, означает, что в исследуемой экономической системе на единицу прироста основных фондов приходится в среднем 2,062 единиц прироста выпуска продукта. Аналогично и по продукту труда.

. Пусть левая часть выражения (4.10)

Y(K+K, L+L) Y + (Y/K)K + (1-) (Y/L)L.

- это выпуск продукта, подсчитанный в п. 2. Тогда K = 10, а L = 5. Подсчитаем правую часть выражения (4.10).

+ (Y/K)K + (1-)?(Y/L)L = 110 + 0,75?(110/40)?10 + 0,25?(110/20)?5 = 110 + 20,625 + 6,875 = 137,5.

Таким образом, равенство 4.10 выполняется точно.

Список используемых источников

1.Бушин П.Я., Захарова В.Н. Математические методы и модели в экономике: учеб. пособие. - Хабаровск, 1998.

2.Бушин П.Я. Математические модели в управлении: учеб. пособие. - Хабаровск, 1999.

.Экономико-математическое моделирование: учебник для студентов вузов / под общ. ред. И.Н. Дрогобыцкого. - М.: Экзамен, 2004.

.Пелих А.С. Экономико-математические методы и модели в управлении производством / А.С. Пелих, Л.Л. Терехов, Л.А. Терехова. - Ростов-на-Дону: Феникс, 2005.

.Бережная Е.В. Бережной В.Н. Математические методы и модели экономических систем: учеб. пособие. - М.: Финансы и статистика, 2003.

.Фомин Г.П. Математические методы и модели в коммерчесокй деятельности: учебник. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Финансы и статистика, 2005.