Исследование возможности применения методов математического моделирования к прогнозированию результатов единого государственного экзамена

Южно-Уральская интеллектуально-социальная программа

для молодежи и школьников "Шаг в будущее - созвездие - НТТМ"

Южно-Уральский координационный центр НТТМ

"Интеллектуалы XXI века"

Исследовательская работа

(секция 3А "Прикладная математика")

Исследование возможности применения методов математического моделирования к прогнозированию результатов единого государственного экзамена

Автор: Вардугина С.Ю.,

Челябинская область, г. Троицк,

МБОУ "Лицей №13", класс 11

Научный руководитель:

Мельникова Ю.Б.,

учитель математики

МБОУ "Лицей №13"

Челябинск - 2013

Содержание

Введение

. Обзор литературы

. Собственные исследования

Выводы

Заключение

Список литературы

математический моделирование государственный экзамен

Введение

Любому человеку в жизни приходится составлять краткосрочные прогнозы: начиная прогнозом погоды на завтрашний день на бытовом уровне, и заканчивая показателями рынка капиталов, а также сложных процессов экономики, социологии и так далее. Для составления прогнозов более сложных, чем бытовых, разработано множество приемов и моделей. А данные модели и составляют предмет математического моделирования.

Изучая тему математического моделирования третий год, мы встретили множество разнообразных моделей, которые смогут помочь смоделировать любую ситуацию в любой области знаний. Например, теория управления запасами, изученная нами на первом этапе работы, помогает оптимизировать расходы на управление какого-либо объекта и регулировать запасы некоторого продукта; имитационные модели, применяются в ЭВМ; экологические модели, изученные нами на втором этапе работы, помогают для анализа настоящей ситуации экологической системы. Но для экологических моделей зачастую требуются труднодоступные данные. В нашем случае, данные достать было не возможно, поэтому экологическое моделирования было лишь изучено. На данном этапе работы мы изучаем методы и модели анализа и прогнозирования на основе временных рядов.

Но применение данных методов будет нестандартным: мы используем методы прогнозирования экономических процессов на основе временных рядов для прогнозирования результатов Единого Государственного Экзамена.

Цель работы: изучить возможности математического моделирования на примере прогнозирования результатов ЕГЭ.

Для осуществления цели мы ставим перед собой следующие задачи:

.Изучить, что такое математическое моделирование.

.Изучить модели математического моделирования.

.Собрать данные результатов ЕГЭ учеников МБОУ "Лицей №13" по трем предметам за 11 лет.

.Спрогнозировать результаты ЕГЭ на 2012, 2013, 2014 года для учеников МБОУ "Лицей №13".

Гипотеза исследования: Мы предполагаем, что с помощью математического моделирования можно составлять достаточно точные прогнозы на примере прогноза результатов ЕГЭ по математике, физике и русскому языку.

Актуальность исследования: Моделирование организует знания об объекте таким образом, чтобы помочь выбрать нужную стратегию или предсказать результаты стратегии, которая, выбранная с помощью системного анализа, является наилучшей для решения поставленной задачи.

Объект исследования: математическое моделирование.

Предмет исследования: математическое моделирование результатов ЕГЭ.

Практическая значимость: С помощью данной работы возможно оценить состояние наших знаний по выбранным предметам.

Научная новизна: В нашем учебном заведении впервые будет сделан обоснованный прогноз результатов ЕГЭ.

1. Обзор литературы

Математическое моделирование

Никакое определение не может в полном объёме охватить реально существующую деятельность по математическому моделированию. Несмотря на это, определения полезны тем, что в них делается попытка выделить наиболее существенные черты.

Определение модели [2] по А.А. Ляпунову: Моделирование - это опосредованное практическое или теоретическое исследование объекта, при котором непосредственно изучается не сам интересующий нас объект, а некоторая вспомогательная искусственная или естественная система (модель):

1.находящаяся в некотором объективном соответствии с познаваемым объектом;

2.способная замещать его в определенных отношениях;

.дающая при её исследовании, в конечном счете, информацию о самом моделируемом объекте.

По учебнику Советова и Яковлева [3] "модель (лат. modulus - мера) - это объект-заместитель объекта-оригинала, обеспечивающий изучение некоторых свойств оригинала". "Замещение одного объекта другим с целью получения информации о важнейших свойствах объекта-оригинала с помощью объекта-модели называется моделированием". "Под математическим моделированием будем понимать процесс установления соответствия данному реальному объекту некоторого математического объекта, называемого математической моделью, и исследование <#"justify">Математическое моделирование социально-экономических систем - это теоретико-экспериментальный метод познавательно-созидательной деятельности, это метод исследования и объяснения явлений, процессов и систем (объектов-оригиналов) на основе создания новых объектов - математических моделей. Под математической моделью принято понимать совокупность соотношений (уравнений, неравенств, логических условий, операторов и т.п.), определяющих характеристики состояний объекта моделирования, а через них и выходные значения - реакции, в зависимости от параметров объекта-оригинала, входных воздействий, начальных и граничных условий, а также времени.

Математическая модель, чаще всего, учитывает только те свойства (атрибуты) объекта-оригинала, которые отражают, определяют и представляют интерес с точки зрения целей и задач конкретного исследования. Следовательно, в зависимости от целей моделирования, при рассмотрении одного и того же объекта-оригинала с различных точек зрения и в различных аспектах, последний может иметь различные математические описания, и, как следствие, быть представлен различными математическими моделями. Классификацию видов моделирования и, соответственно, моделей проводят по разным признакам: по сфере приложения (области применения), по характеру моделируемых объектов, по степени подробности моделей и т.д., А.В. Стариков и И.С. Кущева [6] их описывают достаточно подробно.

Рассмотрим ряд основных понятий, связанных с системным анализом и моделированием социально-экономических систем, чтобы с их помощью более полно раскрыть суть такого ключевого понятия, как экономико-математические методы. Термин экономико-математические методы понимается в свою очередь как обобщающее название комплекса экономических и математических научных дисциплин, объединенных для изучения социально-экономических систем и процессов.

Под социально-экономической системой будем понимать сложную вероятностную динамическую систему, охватывающую процессы производства, обмена, распределения и потребления материальных и других благ. Она относится к классу кибернетических систем.

Основным методом исследования систем является метод моделирования. При этом под моделью будем понимать образ реального объекта в материальной или идеальной форме (т.е. описанный знаковыми средствами на каком-либо языке), отражающий существенные свойства моделируемого объекта и замещающий его в ходе исследования и управления.

Практическими задачами экономико-математического моделирования являются:

анализ экономических объектов и процессов;

экономическое прогнозирование, предвидение развития экономических процессов;

выработка управленческих решений на всех уровнях хозяйственной иерархии.

Социально-экономические системы относятся к так называемым сложным системам. Сложные системы в экономике обладают рядом свойств, которые необходимо учитывать при их моделировании, иначе невозможно говорить об адекватности построенной экономической модели. Важнейшие из этих свойств:

массовый характер экономических явлений и процессов. Закономерности экономических процессов не обнаруживаются на основании небольшого числа наблюдений. Поэтому моделирование в экономике должно опираться на массовые наблюдения;

динамичность экономических процессов, заключающаяся в изменении параметров и структуры экономических систем под влиянием среды;

случайность и неопределенность в развитии экономических явлений;

активная реакция на появляющиеся новые факторы, способность социально-экономических систем к активным, не всегда предсказуемым действиям в зависимости от отношения системы к этим факторам, способам и методам их воздействия.

В данной работе рассматриваются методы и модели анализа и прогнозирования экономических процессов на основе временных рядов.

Временным рядом называется последовательность наблюдения одного явления или показателя в упорядоченном во времени (хронологическом) порядке.

Статистические показатели, характеризующие изучаемый объект, называются уровнями ряда.

Составными элементами ряда динамики являются показатели уровней ряда и периоды времени (годы, кварталы, месяцы, сутки) или моменты (даты) времени.

Тренд - это долговременная компонента ряда динамики. Она характеризует основную тенденцию его развития. При наличии ряда наблюдаемых значений для различных моментов времени следует найти подходящую трендовую кривую, которая сгладила бы остальные колебания. В этом случае фактические уровни заменяются уровнями, вычисленными на основе определенной кривой (кривой роста). Предполагается, что она отражает общую тенденцию изменения во времени изучаемого показателя.

При аналитическом выравнивании ряда динамики закономерно изменяющийся уровень изучаемого показателя оценивается как функция времени:

,

где - уровни динамического ряда, вычисленные по соответствующему аналитическому уравнению на момент времени t.

Рассмотрим аналитическое выравнивание ряда динамики по прямой

= ,

где t - момент времени.

Параметры и оцениваются по методу наименьших квадратов (МНК), то есть подбираются таким образом, чтобы график функции кривой роста располагался на минимальном удалении от точек исходных данных. Математический критерий оценки параметров линейной модели имеет вид:

,

то есть сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака от теоретических минимальна.

Этот метод приводит к системе нормальных уравнений для определения неизвестных параметров. Для полинома первой степени = , система нормальных уравнений имеет вид:

Суммирование производится по всем уровням ряда.

Для упрощения расчетов используется центрирование переменных относительно их среднего значения. Решением системы являются значения, вычисляемые по формулам:

, ,

где , - выборочные средние. (7)

. Собственные исследования

Для собственных исследований мы выбрали линейную адаптивную модель Брауна, так как она наиболее подходит для проведения исследования выбранной темы и не требует расширенный математический аппарат, не имеющийся у школьников.

Модель Брауна

Модель Брауна описывает процессы с линейной и параболической тенденцией (трендом), а также случайные процессы без тенденции. Построение линейной модели Брауна имеет следующие этапы:

. По первым пяти точкам временного ряда с помощью метода наименьших квадратов оцениваются значения параметров линейной модели для нулевого момента времени:

(t) = (t=1,2,…5).

. С использованием параметров и по модели Брауна находим прогноз на один шаг (k=1):

(t,k)=.

. Расчетное значение (t,k) экономического показателя сравнивают с фактическим Y(t) и вычисляется величина их расхождения (ошибки). При k=1 имеем:

E(t+1)=Y(t+1)-(t,1) - ошибка прогноза.

. В соответствии с этой величиной корректируются параметры модели. В модели Брауна модификация осуществляется следующим образом:

;

.

Где ? - коэффициент дисконтирования данных, изменяющийся в пределах от 0 до 1 (, характеризующий обесценение данных за единицу времени и отражающий степень доверия более поздним наблюдениям. Оптимальное значение ? находится итеративным путем, то есть многократным построением модели при разных ? и выбором наилучшей;(t) - ошибка прогнозирования уровня Y(t), вычисленная в момент времени (t-1) на один шаг вперед.

. По модели со скорректированными параметрами и находят прогноз на следующий момент времени. Возврат на этап 3, если t<n (n - длина временного ряда).

Если t=n, то построенную модель можно использовать для прогнозирования на будущее.

. Интервальный прогноз строится как для линейной модели кривой роста. Проведем исследование с помощью данной модели.

Произведем прогноз результатов ЕГЭ с помощью имеющихся результатов за прошлые годы.

)Построим линейную модель Y(t) = и оценим ее параметры.

Для полинома первой степени = параметры вычислим по формулам:

, ,

где и - выборочные средние.

Для данного временного ряда:

Временной ряд 1.1

T12345678973,575,469,066,972,665,158,0460,964,7

В таблице 1.1.1 приведем промежуточные вычисления и результаты использования линейной модели.

Таблица 1.1.1

TФакт Y(t)t-Расчет (t) Отклонение E(t)173,5-4166,15-24,6474,182-0,6820,465275,4-398,05-24,1572,4742,9268,56369,0-241,65-3,370,766-1,7663,12466,9-11-0,450,4569,058-2,1584,66572,6005,25067,355,2527,56665,111-2,25-2,2565,642-0,5420,294758,0424-9,31-18,6263,934-5,89437,34860,939-6,45-19,3562,226-1,3261,76964,7416-2,65-10,660,5184,18217,4967,35606,14060-0,01-102,46606,15-0,01101,25

Подставим рассчитанные значения последней строки таблицы в формулы для и :

, ==-1,708,

, =67,35-(-1,708*5)=75,89.

Составим общую формулу (t) и найдем все значения при разных Y(t) (результаты расчетов приведены в таблице). Линейная модель

(t) =

для данного временного ряда будет иметь вид:

(t)=75,89-1,708t.

. Построим точечный прогноз на два шага вперед для модели

(t)=75,89-1,708t.

Точечные прогнозы получим, подставляя в уравнение модели значения t=10 и t=11:

=75,89-1,708*10=58,01

=75,89-1,708*11=57,1.

Доверительный интервал будет иметь следующие границы:

верхняя граница прогноза:

,

нижняя граница прогноза:

.

Где U(k)=,

- среднее квадратическое отклонение от линии тренда:

.

==3,8.

Следовательно:

=1 (t=10)(1)=3,8*1,05*?4,91.=2 (t=11)(t)= 3,8*1,05*?5.32.

В таблицу 1.1.2 сведем результаты расчетов прогнозных оценок по линейной модели по формуле:

Таблица 1.1.2

Время, tШаг, kПрогноз, Нижняя границаВерхняя граница10158,0153,162,9211257,151,7862,42

Таким же образом построим линейные модели, посчитаем их параметры и сделаем прогноз для второго и третьего временного ряда.

Временной ряд 1.2

T12345678975,469,066,972,665,158,0460,964,757,8

Таблица 1.2.1

TФакт Y(t)t-Расчет (t) Отклонение E(t)175,4-4169,8-39,272,9242,4766,13269,0-393,4-10,271,093-2,0934,38366,9-241,3-2,669,262-2,3625,58472,6-117,0-7,067,4315,16926,72565,100-0,5065,6-0,50,25658,0411-7,56-7,5663,769-5,72932,82760,924-4,7-9,461,938-1,0381,08864,739-0,9-2,760,1074,59321,1957,8416-7,8-31,258,272-0,4720,22365,60590,440600,04-109,86590,396-0,40198,183

, ==-1,831,

, =74,755.

Линейная модель для данного ряда будет иметь вид:

(t)=74,755 - 1,831t.

Точечный прогноз для данной модели на два шага вперед:

=74,755-1,831*10=56,445,

=74,755-1,831*11=54,614.

Следовательно:

==3,75,=1 (t=10)(1)=3,75*1,05*?4,85.=2 (t=11)(t)= 3,75*1,05*?5.16.

Результаты прогнозирования:

Таблица 1.2.2.

Время, tШаг, kПрогноз, Нижняя границаВерхняя граница10156,44551,59561,29511254,61449,45459,774

Временной ряд 1.3

T12345678975,469,066,972,665,158,0460,964,757,8

Таблица 1.3.1

TФакт Y(t)t-Расчет (t) Отклонение E(t)169,0-4165,34-21,3669,54-0,540,29266,9-393,24-6,2468,07-1,171,37372,6-248,94-17,8866,6636465,1-111,44-1,4465,130,270,07558,0400-5,62063,66-5,6227,67660,911-2,76-2,7662,19-1,291,66764,7241,042,0860,723,9815,84857,839-5,86-17,5859,25-1,452,10957,9416-5,76-23,0457,780,120,01463,66572,940600-88572,940,385,014

=-1,47,

=71,01.

Линейная модель для данного ряда будет иметь вид:

(t)=71,01 - 1,47t.

Точечный прогноз для данной модели на два шага вперед:

=71,01-1,47*10=56,31,

=71,01-1,47*11=54,84.

Следовательно:

==3,48,=1 (t=10)(1)=3,48*1,05*?4,5.=2 (t=11)(t)= 3,48*1,05*?4,79.

Таблица 1.3.2.

Время, tШаг, kПрогноз, Нижняя границаВерхняя граница10156,3151,8160,8111254,8450,0559,63

Сравнивая результаты исследований временных рядов 1.1.1 и 1.2.1 с реальными результатами ЕГЭ по математике, можно сделать вывод о достоверности метода математического моделирования в применении к прогнозированию результатов ЕГЭ. Следовательно, прогноз на 2014 год так же достаточно верен. Для того чтобы выводы по нашим исследованиям могли претендовать на достоверную оценку, нам необходимо иметь больше расчетов, чем только за три года. Поэтому мы решили выполнить расчеты и для прогноза результатов ЕГЭ по физике и русскому языку.

Аналогично, мы взяли результаты ЕГЭ по физике за последние 11 лет.

Временной ряд 2.1

T12345678961,869,060,676,670,966.366,569,359,0

Таблица 2.1.1

TФакт Y(t)t-Расчет (t) Отклонение E(t)161,8-416-4,819,267,2-5,429,16269,0-392,4-7,267,051,953,8360,6-24-61266,9-6,339,69476,6-1110-1066,758,8578,3570,9004,3066,64,318,49666,311-0,3-0,366,45-0,150,02766,524-0,1-0,266,30,20,04869,3392,78,166,153,159,92959,0416-7,6-30,466-74966,6599060-0,4-8,8599,4-0,4228,4

=-0,15,

=67,35.

Линейная модель для данного ряда будет иметь вид:

(t)=67,35-0,15t.

Точечный прогноз для данной модели на два шага вперед:

=67,35-0,15*10=65,85,

=67,35-0,15*11=65,7.

Следовательно:

==5,7;=1 (t=10)(1)=5,7*1,05*?7,38.=2 (t=11)(t)= 5,7*1,05*?7,85.

Таблица 2.1.2.

Время, tШаг, kПрогноз, Нижняя границаВерхняя граница10165,8558,4873,2311265,757,8573,55

Временной ряд 2.2

T12345678969,060.676,670,966,366,569,359,057,8

Таблица 2.2.1.

TФакт Y(t)t-Расчет (t) Отклонение E(t)169,0-4162,8-11,270,6-1,763,1260,6-39-5,616,869,62-9,0281,36376,6-2410,4-20,869,488,1265,9470,9-114,7-4,767,343,5612,7566,3000,1066,20,10,01666,5110,30,365,061,442,07769,3243,16,263,925,3728,8859,039-7,2-21,662,78-3,7814,3957,8416-8,4-33,661,64-3,8614,966,25960600,2-68,6595,80,17223,14

=-1,14,

=71,9.

Линейная модель для данного ряда будет иметь вид:

(t)=71,9 -1,14t.

Точечный прогноз для данной модели на два шага вперед:

=71,9-1,14*10=60,5,

=71,9-1,14*11=59,36.

Следовательно:

==5,6;=1 (t=10)(1)=5,6*1,05*?7,25.=2 (t=11)(t)= 5,6*1,05*?7,71.

Таблица 2.2.2.

Время, tШаг, kПрогноз, Нижняя границаВерхняя граница10160,553,2567,2511259,3651,6567,07

Временной ряд 2.3

T12345678969,060.676,670,966,366,569,359,057,8

Таблица 2.3.1.

TФакт Y(t)t-Расчет (t) Отклонение E(t)160,6-416-52069,96-9,3687,6276,6-3911-3368,877,7359,75370,0-245,3-10,667,783,129,73466,3-110,7-0,766,69-0,390,15566,5000,9065,60,90,81669,3113,73,764,514,7922,9759,024-6,6-13,263,42-4,4219,5857,839-7,8-23,462,33-4,5320,5963,6416-2-861,242,365,5765,6590,60600,2-65,2590,40,2226,5

=-1,09,

=71,05.

Линейная модель для данного ряда будет иметь вид:

(t)=71,05 -1,09t.

Точечный прогноз для данной модели на два шага вперед:

=71,05-1,09*10=60,15,

=71,05-1,09*11=59,06.

Следовательно:

==5,69;=1 (t=10)(1)=5,69*1,05*?7,37.=2 (t=11)(t)= 5,69*1,05*?7,84.

Таблица 2.3.2.

Время, tШаг, kПрогноз, Нижняя границаВерхняя граница10160,1552,7867,5211259,0651,2266,9

Прогноз результатов ЕГЭ по русскому языку представлен ниже.

Аналогично для русского языка:

Временной ряд 3.1

T12345678971,767,170,269,365,47069,472,574,5

Таблица 3.1.1.

TФакт Y(t)t-Расчет (t) Отклонение E(t)171,7-4161,69-6,7668,253,4511,9267,1-39-2,918,7368,69-1,592,53370,2-240,19-0,3869,131,071,15469,3-11-0,710,7169,57-0,270,07565,400-4,61070,01-4,612,2567011-0,01-0,0170,45-0,450,2769,424-0,61-1,2270,89-1,492,22872,5392,497,4771,331,171,37974,54164,4917,9671,772,737,4570,01630,10600,0126,5630,090,0129,14

=0,44,

=67,81.

Линейная модель для данного ряда будет иметь вид:

(t)=67,81 +0,44t.

Точечный прогноз для данной модели на два шага вперед:

=67,81+0,44*10=72,21,

=67,81+0,44*11=72,65.

Следовательно:

==2,04;=1 (t=10)(1)=2,04*1,05*?2,64.=2 (t=11)(t)= 2,04*1,05*?2,81.

Таблица 3.1.2.

Время, tШаг, kПрогноз, Нижняя границаВерхняя граница10172,2169,5774,8511272,6569,8475,46

Временной ряд 3.2

T12345678967,170,269,365,47069,472,574,572,9

Таблица 3.2.1.

TФакт Y(t)t-Расчет (t) Отклонение E(t)167,1-416-3,0412,1667,020,080,006270,2-390,06-0,1867,82,45,76369,3-24-0,841,6868,580,720,52465,4-11-4,744,7469,36-3,9615,6857000-0,14070,14-0,140,02669,411-0,74-0,7470,92-1,522,31772,5242,364,7271,70,80,64874,5394,3613,0872,482,024,08972,94162,7611,0473,26-0,361,1370,14631,30600,0446,5631,260,0430,146

=0,78,

=66,24.

Линейная модель для данного ряда будет иметь вид:

(t)=66,24 +0,78t.

Точечный прогноз для данной модели на два шага вперед:

=66,24+0,78*10=74,04,

=66,24+0,78*11=74,82.

Следовательно:

==2,075;=1 (t=10)(1)=2,075*1,05*?2,7.=2 (t=11)(t)= 2,075*1,05*?2,86.

Таблица 3.2.2.

Время, tШаг, kПрогноз, Нижняя границаВерхняя граница10174,0471,3476,7411274,8271,9677,68

Временной ряд 3.3

T12345678970,269,365,47069,472,574,572,977,9

Таблица 3.3.1.

TФакт Y(t)t-Расчет (t) Отклонение E(t)170,2-416-1,144,5667,183,029,12269,3-39-2,046,1268,221,081,166365,4-24-5,9411,8869,26-3,8614,9470-11-1,341,3470,3-0,30,09569,400-1,94071,34-1,943,76672,5111,161,1672,380,120,014774,5243,166,3273,421,081,166872,9391,564,6874,46-1,562,43977,94166,5626,2475,52,45,7671,34642,10600,0462,3642,060,0438,41

=1,04,

=66,14.

Линейная модель для данного ряда будет иметь вид:

(t)=66,14 +1,04t.

Точечный прогноз для данной модели на два шага вперед:

=66,14+1,04*10=76,54,

=66,14+1,04*11=77,58.

Следовательно:

==2,34;=1 (t=10)(1)=2,34*1,05*?3,03.=2 (t=11)(t)= 2,34*1,05*?3,22.

Таблица 3.3.2.

Время, tШаг, kПрогноз, Нижняя границаВерхняя граница10176,5473,5179,5711277,5874,3680,8

Выводы

.Мы изучили, что математическое моделирование - это совокупность математических соотношений, уравнений, неравенств и т.п., описывающих основные закономерности, присущие изучаемому процессу, объекту или системе.

.Рассмотрели множество разнообразных моделей, которые смогут помочь смоделировать любую ситуацию в любой области знаний: теория управления запасами, имитационные модели, экологические модели, прикладные математические модели, модели анализа и прогнозирования на основе временных рядов, адаптивные модели прогнозирования финансово - экономических показателей.

.Собрали данные результатов ЕГЭ учеников МБОУ "Лицей №13" по математике, физике и русскому языку за 11 лет.

.Мы спрогнозировали результаты ЕГЭ по математике, физике и русскому языку на 2012, 2013 года и сравнили результаты, полученные нами, с реальными данными. Так же мы спрогнозировали результаты ЕГЭ по трем предметам на 2014 год для учеников 11 класса МБОУ "Лицей №13".

Заключение

Итак, мы изучили метод математического моделирования на основе прогнозирования результатов ЕГЭ. Сравнив результату исследования с реальными данными, мы сделали вывод о достоверности метода моделирования, а именно анализа и прогнозирования на основе временных рядов. Использование данного метода может значительно упростить задачу попытаться предсказать результаты экзаменов в будущем, метод доступен, точен и применим в данной ситуации.

Список литературы

1. Новик И.Б. О философских вопросах кибернетического моделирования [Текст]: учебник / Москва, Знание, 1964 г.

. Моделирование систем: учебник для вузов [Текст] / Б.Я. Советов [и др.]- 3е издание, переработка и дополнение - М. Высш. шк, 2001.

. Севостьянов А.Г. Моделирование технологических процессов [Текст]: учебник / А.Г. Севостьянов, П.А Севостьянов - М: Легкая и пищевая промышленность, 1998 г.

4. CliffsNotes.com. Earth Science Glossary, 20 sep 2011.

5. Исследование операций в экономике [Текст]: учеб. пособие для вузов [Текст] / Н.Ш. Кремер [и др.]. - М.: ЮНИТИ, 2001. - 407 с.

. Хазанова Л.Э. Математические методы в экономике [Текст]: учеб. пособие / Л.Э. Хазанова. - 2-е изд., испр. и перераб. - М.: Изд-во БЕК, 2002. - 144 с.

. Дегтярева Н.А. Методы и модели анализа и прогнозирования экономических процессов на основе временных рядов. Адаптивные модели прогнозирования финансово-экономических показателей (Модель Брауна) [Текст]: методические указания / Н.А. Дегтярева - Ч.: Изд-во Издательский центр ЧелГУ, 2004.