Гармонійні функції

ЗМІСТ


Вступ

1.Збіжність ряду в нормованому просторі

2.Збіжність ортогонального ряду в гільбертовому просторі

.Ортонормована система. Ряд Фурє за ортонормованою системою

.Базиси в нормованому просторі

5.Тригонометричний ряд Фур'є в

.Деякі властивості біортогональних систем

.Біортогональні системи в деяких бананових просторах

.Деякі властивості базисів бананових просторів

.Деякі застосування рядів в бананових просторах

Висновки

Список використаних джерел

ВСТУП


, , , (0)


Ряд називається ортогональним в евклідовому просторі зі скалярним добутком , якщо . Якщо ортогональний ряд є збіжним в евклідовому просторі до елемента , то його коефіцієнти знаходяться за формулою . Система елементів евклідового простору називається біортогональною до системи , якщо . Якщо система є ортогональною, то вона має біортогональну систему і . Якщо ряд є збіжним в евклідовому просторі до елемента , і система має біортогональну систему , то коефіцієнти знаходяться за формулою .

Метою курсової роботи є вивчення біортогональних систем в банановому просторі.

1. Збіжність ряду в нормованому просторі


Нехай - зліченна підмножина нормованого простору. Ряд


(1)


називається збіжним в , якщо такий існує елемент , що


(2)


При цьому називається сумою ряду (1) і цей факт записується так:


.(3)


Теорема 1. Якщо (1) є збіжним в нормованому просторі , то його загальний член прямує до нуля в

Доведення. Справді, .

Теорема 1. Для того, щоб ряд (1) був збіжний в банаховому просторі , необхідно і достатньо, щоб


.(4)


Доведення. Справді, збіжність ряду (1) рівносильна збіжності послідовності . Але . Звідси і повноти випливає твердження теореми.

Ряд (1) називається нормально збіжним або абсолютно збіжним в топології простору , якщо збіжним в є ряд


.(6)


Теорема 2. Якщо ряд (1) є нормально збіжним в банаховому просторі , то він є збіжним в .

Доведення. Справді, це випливає із теореми 1 і нерівності


.


Приклад 1. Ряд є нормально збіжним в , оскільки

Приклад 2. Оскільки , то ряд є розбіжним в просторі .

2. Збіжність ортогонального ряду в гільбертовому просторі


Система елементів евклідового простору називається ортонормованою якщо



Теорема 1. Нехай - ортонормована система гільбертового простору . Для того, щоб ряд


, .


був збіжним в , необхідно і достатньо, щоб .

Доведення. Справді, це випливає із рівностей



і теореми 1 попереднього пункту.

Приклад 1. Ряд , де …, є збіжним в , оскільки система є ортонормованою в і ряд є збіжним в .

3. Ортонормована система. Ряд Фурє за ортонормованою системою


В курсі алгебри і геометрії показується, що якщо - -мірний евклідовий простір, - його базис, - координатори вектора в цьому базисі, то і . Ми розглядаємо аналог цього твердження для нескінченно вимірних просторів і числа будемо називати не координаторами вектора , а коефіцієнтами Фурє. Нехай - евклідовий простір, - зліченна система елементів простору . Система називається ортонормованою, якщо



Числа називається коефіцієнтами Фур'є елемента за ортонормованою системою , а ряд


(1)


рядом Фур'є елемента за цією системою. Елемент


(2)


називають -им поліномом Фур'є або -ю частинною сумою ряду Фур'є, а елемент


, (3)


де - довільні сталі (дійсні, якщо - дійсний, комплексні, якщо - комплексний), називають поліномом порядку за системою . Відхиленням полінома від елемента називається число , тобто відхилення - це відстань в між і .

Теорема 1. Нехай - ортонормована система евклідового (дійсного або комплексного) простору . Тоді серед всіх поліномів порядку найменше відхилення від елемента має -ий поліном Фур'є елемента .

Доведення. Будемо розглядати тільки дійсний евклідовий простір. Тоді, використовуючи властивості скалярного добутку і ортонормованість системи , маємо


.(4)


Звідси видно, що мінімум правої частини (4) досягається при (під сумою стоїть квадратний тричлен як функція ).

Теорема 2. Якщо - ортонормована система в евклідовому просторі , то при будь-якому і для кожного виконується

(5)


і справедлива нерівність Бесселя , тобто



Доведення. Справді, (5) випливає із (4), а остання нерівність є наслідком (5).4

Система , евклідового простору називається повною в якщо для кожного і кожного знайдеться такий поліном вигляду (3), для якого . Іншими словами, система , , називається повною в , якщо для кожного знайдеться послідовність поліномів вигляду (3), для якої


. (6)


Теорема 3. Якщо ортонормована система в евклідовому просторі є повною в , то для кожного елемента справедлива рівність Парсеваля (аналог теореми Піфагора)


.(7)


Доведення. Це випливає із (5) та (6), бо

.


Теорема 4. Якщо ортонормована система є повною в евклідовому просторі , то для кожного елемента його ряд Фур'є (1) збігається в до , тобто


. (8)


Доведення. Ця теорема випливає із (5) і попередньої теореми, бо


.


Теорема 5. Якщо - ортонормована система в евклідовому просторі , і для деякого існує послідовність поліномів вигляду (3) така, що виконується (6), то для цього елемента справедливі рівності (7) і (8).

Доведення. Це випливає із (5) та (6).

Система називається ортогональною, якщо



Вивчення ортогональної системи зводиться до вивчення ортонормованої системи .

Теорема 6 (Рісса-Фішера). Якщо - ортонормована система гільбертового простору і - послідовністиь комплексних (дійсних, якщо дійсний) чисел таких, що , то існує такий елемент , що і справедлива рівність Парсеваля .

Доведення. Маємо . Із збіжності ряду (2) і повноти випливає збіжність в послідовності до деякого елемента і за теоремою 4 справедлива рівність Парсеваля.


4. Базиси в нормованому просторі


Система елементів банахового простоу називається базисом цього простору, якщо кожний елемент єдиним чином розвивається в збіжний в ряд


. (1)


Безпосередньо із означення випливає, що кожний базис є повною системою, але не навпаки. Наприклад, за теоремою Вейєрштрасса система є повною в , але не є базисом в цьому просторі, бо не кожна функція, неперервна (і навіть не кожна нескінченно диференційовна функція ) подається у вигляді суми рівномірно збіжного на ряду


.

Теорема 1. Якщо - ортонормована система гільбертового простору , ряд (1) є збіжним в до , то його коефіцієнти знаходяться за формулою .

Доведення. Справді,


,


якщо . Тому, враховуючи, що ряд (1) є збіжним в і скалярний добуток є неперервною функцією, отримуємо


,


звідки випливає потрібний висновок.

Теорема 2. Нехай - ортонормована система гільбертового простору . Тоді наступні умови є еквівалентними: 1) система є повною в просторі ; 2) система є базисом простору ; 3) для кожного справедлива рівність Парсеваля .

Доведення. Ця теорема є безпосереднім наслідком теореми 1 і теорем попереднього пункту.

Приклад 1. Система елементів


…,


є ортонормованою в і є базисом цього простору. Справді, ортонормованість цієї системи встановлюється безпосередньою перевіркою. Далі, для елемента маємо Тому ряд є збіжним. Отже, ряд також є збіжним в до деякого елемента . Покажемо, що . Справді,



5. Тригонометричний ряд Фур'є в


Теорема 1 . Тригонометрична система


(1)


є ортонормованим базисом простору і, отже, кожна функція єдиним чином розвивається в збіжний в тригонометричний ряд Фур'є


,


і при цьому коефіцієнти і знаходяться за формулами


, ,

, ,

і справедлива рівність Парсеваля


.


Доведення. Множина всіх неперервних функцій таких, що є скрізь щільною в . З іншого боку за теоремою Вейєрштрасса кожну таку можна як завгодно точно в , а тому і в наблизити скінченними лінійними комбінаціями системи (1). Звідси випливає, що тригонометрична система є повною в . Оскільки вона є також ортонормованою, то вона і є базисом.

Теорема 2. Тригонометрична система


(2)


є ортонормованим базисом простору і, отже, кожна функція єдиним чином розвивається в збіжний в тригонометричний ряд Фур'є.


,


і при цьому коефіцієнти знаходяться за формулами


, ,

базис ортонормований біортогональний банановий

і справедлива рівність Парсеваля


.


Доведення. Ця теорема є наслідком теореми 1, оскільки можна вважати, що - парна функція і .

Теорема 1. Тригонометрична система


(3)


є ортонормованим базисом простору і, отже, кожна функція єдиним чином розвивається в збіжний в тригонометричний ряд Фур'є


,


і при цьому коефіцієнти знаходяться за формулами


, ,


і справедлива рівність Парсеваля


.

Доведення. Ця теорема є наслідком теореми 1, оскільки можна вважати, що - непарна функція і .

Теорема 4. Комплексна тригонометрична система


(4)


є ортонормованою базою простору і, таким чином, кожна функція єдиним чином розвивається в збіжний в комплексний ряд Фур'є , і при цьому коефіцієнти цього ряду знаходяться за формулою



і справедлива рівність Парсеваля .

Доведення. Ця теорема є наслідком теореми 1.

Зауваження 1. Довгий час залишалось відкритим питання про поточкову збіжність ряду Фур'є із . Це питання розв'язав Карлесон, який довів, що ряд Фур'є кожної функції збігається майже скрізь.

Доведемо тепер твердження, яке використане при доведенні теореми 1.

Теорема 5. Для кожного і кожного проміжка і кожної східчастої на функції існує неперервна на функція , рівна нулеві поза така, що .

Доведення. Досить провести функції



де - довільний проміжок, який міститься в , бо кожна східчаста на функція є скінченною лінійною комбінацією таких функцій . Підберемо так, щоб і . Безпосередньою перевіркою встановлюємо, що шуканою є функція



6. Деякі властивості біортогональних систем


Нехай -послідовність елементів евклідового простору зі скалярним добутком . Послідовність елементів простору називається біортогональною до системи , якщо


(1)


Якщо система має біортогональну систему , то ряд Коли - будь-який елемент, то ряд


(2)

називається рядом Фурє елемента за системою . Ряд (2) може бути збіжним, може бути розбіжним, може бути збіжним, але його сума може не дорівнювати .

Приклад 1.

Коли послідовність утворює тотальну множину функціоналів і ряд (2) для деякого елемента збіжний, то є сумою цього ряду; справді, для маємо:



Теорема 1. Якщо ряд (2) для кожного - збіжний, то ряд



є також збіжний у кожній точці для всякого лінійного функціонала .

Доведення. Покладаючи


, (3)


маємо , так що збіжність послідовності в кожній точці є очевидна.

Теорема 2. Якщо норми частинних сум (3) ряду


(4)

в своїй сукупності є обмежені для всякого лінійного функціонала , то ряд (2) є збіжний для кожного елемента , який є границею будь-якої послідовності лінійних комбінацій, утворених з членів послідовності .

Доведення. Покладаючи


, (5)


маємо (див. (3)); а тому що за умовою , де є незалежне від число, то на підставі теореми (якщо послідовність елементів простору має таку властивість, що для кожного лінійного функціонала , означеного в , маємо , то послідовність норм є обмежена), для кожного маємо . Отже, на основі теореми (якщо для даної послідовності лінійних операцій, означених в , справедлива нерівність для кожного , то послідовність норм є обмежена) існує таке число , незалежне від і від , що .

А тому що для маємо , то прості міркування приводять до висновку, що існує для кожного елемента , який задовольняє умови теореми.

Теорема 3. Якщо норми частинних сум (5) ряду (2) в своїй сукупності є обмежені для кожного , то ряд (4) збіжний для кожного функціонала , який є границею довільної послідовності лінійних комбінацій, утворених з членів послідовності .

Доведення аналогічне доведенню теореми 2.

Теорема 4. Якщо виконуються умови попередньої теореми і крім того послідовність є фундаментальна, то ряд (2) збігається для всякого елемента .

Доведення. На підставі (5) для кожного маємо і, крім того, для а звідси випливає збіжність ряду (2) для кожного .


7. Біортогональні системи в деяких бананових просторах


Розгляньмо тепер властивості біортогональних послідовностей в просторах, які нас особливо цікавлять.

Покладемо


(6)


Припустимо далі, що є послідовність функцій у просторі , де - послідовність функцій в і, крім того, ці послідовності в даних просторах повні (або замкнені).

Теорема 5. Якщо при заданих умовах ряд



Збігається в середньому з -тим степенем для всякої функції , то ряд


Збігається в середньому з -им степенем для всякої функції .

Доведення. Нехай


для . (7)


Отже, за умовою ряд для всякого є збіжний в середньому (тобто за нормою) з -тим степенем. Тим самим на основі теореми 3, ряд


, де


є збіжний за нормою (тобто, в середньому з -им степенем) для всякого лінійного функціонала , означеного в просторі , а так само ряд (7) буде збіжний для всякої функції , що треба було довести.

Зокрема, якщо , де найбільше з чисел і , то висновком з попередньої теореми буде така теорема:

Якщо ряд

(8)


для кожного збіжний в середньому з -тим степенем, то він є також збіжний в середньому з -им степенем для кожної функції .

Тут можна припустити, наприклад, що , де є обмежені функції.

Розглянемо тепер випадок, коли при умові (6), є послідовність інтегровних функцій, а є послідовність обмежених функцій у проміжку . Припустимо, крім того, що послідовність є повна в просторі .

Теорема 6. Якщо при цих умовах ряд



є збіжний у середньому для , то ряд



для кожного є майже всюди обмежений і навпаки.

Доведення аналогічне доведенню теореми 5: розглядають як елементи області , а як лінійні функціонали; нарешті, беруть на увагу теореми 3 і 4.

Зокрема, коли , то маємо висновки:

. Якщо ряд (8), де в середньому збіжний для кожного , то він для кожного обмежений і навпаки.

. Якщо ряд (8), де , а повна послідовність у просторі , рівномірно збіжний для кожного , то він у середньому збіжний для кожного і навпаки.

Доведення одержимо так: в першій частині теореми розглядаємо як елементи області , а як представників функціоналів; а в другій частині розглядаємо як елементи області , а як представників лінійних функціоналів, означених у просторі .


8. Деякі властивості базисів бананових просторів


Послідовність елементів простору називаємо базисом (це поняття запровадив у загальному випадку Ю.Шаудер), якщо для кожного елемента існує точно така одна послідовність чисел , що


.


Коли дано базис , то нехай буде множина послідовностей , для яких ряд є збіжний. Покладаючи , легко довести, що так нормована множина утворює простір типу .

Покладемо далі

для кожної послідовності .

Так означена операція є лінійна, бо , а тому що вона перетворює множину на взаємно одночасно, то обернена операція є також лінійна.

Нарешті, функціонал:


, де


також лінійний, бо


і .


Отже, маємо

для кожного ,

а тому що цей розклад єдиний, то одержуємо рівність (1), тобто послідовність є біортогональна.

Зауважимо, що для кожного лінійного функціонала , означеного в просторі , ряд збігається до тому, що для кожного маємо рівність:


.


Невідомо, чи кожний сепарабельний простір типу має базис.

Ця проблема розв'язана тільки в деяких окремих просторах. Так, наприклад, у просторі , де , базисом є ортогональна система Haar'a. В просторі базис побудував Ю.Шаудер. В просторі , де , базис утворює послідовність , де


і


тоді для маємо . Нарешті, в просторі базисом є ця сама послідовність з приєднанням до неї елемента , де для Отже, для елемента маємо .


9. Деякі застосування рядів в бананових просторах


Теорема 7. Якщо послідовності , і , є біортогональні, а рівняння , де для кожного мають точно один розв'язок , то із збіжності ряду випливає збіжність ряду для кожної послідовності чисел .

Доведення. Як легко бачити, з рівностей: і , де , випливає рівність . Отже, на підставі теореми 7 (Кожна адитивна операція , що задовольняє умову: з і випливає , є лінійна), операція є лінійна. Тим самим, покладаючи , маємо , а тому що за означенням для одержуємо для всяких дійсних , звідки випливає безпосередньо твердження нашої теореми.

Висновок. Якщо і - ортогональні, нормовані послідовності неперервних функцій і для кожної неперервної функції існує тільки одна неперервна функція така, що , то з рівномірної збіжності ряду випливає рівномірна збіжність ряду .

Аналогічні висновки одержуємо для інших функціональних просторів.

Теорема 8. Нехай , - біортогональна послідовність, де - тотальна послідовність, а послідовність чисел така, що тоді, коли є послідовність коефіцієнтів елемента (тобто для ), то є послідовність коефіцієнтів елемента .

Коли при цих умовах є послідовність коефіцієнтів деякого лінійного функціонала (тобто для ), то є послідовність коефіцієнтів деякого лінійного функціонала .

Доведення. За умовою система рівнянь , де для кожного має точно один розв'язок. Позначимо його через .

З рівностей: і , де , випливає очевидно рівність . Отже, на основі теореми 7 (Кожна адитивна операція , що задовольняє умову: з і випливає , є лінійна), операція є неперервна.

Зокрема, легко бачити, що:

для всіх (9)

Отже, якщо дано такий лінійний функціонал , що для , то за формулою (9) маємо , тобто числа є коефіцієнтами операції , що й треба було довести.

Зауважимо, що при вираз на основі (9) є границею лінійних комбінацій, утворених з членів послідовності .

Як застосування цього зауваження легко одержуємо таку теорему.

Теорема 9. Нехай - ортогональна, нормована і замкнена в просторі послідовність неперервних функцій.

Якщо послідовність множників перетворює всяку послідовність коефіцієнтів обмеженої функції в послідовність коефіцієнтів обмеженої функції, то вона перетворює одночасно кожну послідовність коефіцієнтів довільної неперервної функції також у послідовність коефіцієнтів якоїсь неперервної функції.

Обернена теорема також справедлива.

Нарешті, маємо:

Теорема 10. Нехай - ортогональна, нормована і повна в просторі , де , послідовність обмежених функцій.

Якщо послідовність множників перетворює послідовність коефіцієнтів довільної функції в послідовність коефіцієнтів певної функції , то вона перетворює також кожну послідовність коефіцієнтів довільної функції в послідовність коефіцієнтів певної функції .

Коли , то .

Негармонійні ряди Фурє. Нехай - довільна послідовність комплексних чисел. Ряд



називається узагальненим тригонометричним рядом або рядом Діріхле, або негармонійним рядом Фурє. Питання про можливість розкладу довільної функції в збіжний в цьому просторі


1


Вперше розглянув Н.Вінер[. Він довів наступне твердження.

Теорема. Нехай - довільна послідовність різних дійсних чисел таких, що


, .


Тоді система є базисом простору , тобто кожна функція єдиним чином розвивається у збіжний у цьому просторі ().

ВИСНОВКИ


В цій курсовій роботі ми вивчали властивості систем в нормованих просторах, властивості базисів, властивості біортогональних систем, а також деякі застосування рядів в нормованих просторах.

Ця курсова робота допомогла мені зрозуміти і усвідомити, який великий і ще не повністю вивчений мною світ математики.

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ


1.Антоневич А.Б., Князев П.Н., Радыно Я.В. Задачи и упражнения по функциональному анализу.-Минск:Высшейшая школа, 1978.-206с.

2.Антоневич А.Б., Радыно Я.В. Функциональнальный анализ и интегральные уравнения.-Минск:Высшейшая школа, 1978.-206с.

.Ахиезер Н.И., Глазман Н.М. Теория линейніх операторов в гильбертовом пространстве: В 2т.-Х.:Вища школа, Изд-во. при Харьк. ун-те. 1977.-Т.1.-316с.

.Ахиезер Н.И., Глазман Н.М. Теория линейніх операторов в гильбертовом пространстве: В 2т.-Х.:Вища школа, Изд-во. при Харьк. ун-те. 1978.-Т.2.-288с.

.Банах С. Курс функціонального аналізу.-К.: Радянська школа.- 1948.-216с.

.Березанский Ю.М. Разложения по собственным функциям самосопряженных.-К.: Наукова думка.- 1988.-800с.

.Березанский Ю.М., Кондратьев Ю. Г. Спектральные метододы в бесконечномерном анализе.-К.: Наукова думка.- 1965. -680с.

.Березанский Ю.М., Ус Г.Ю., Шефтель Е.Г. Функциональный анализ.-К.:Вища школа.-1990.-600с.


Теги: Гармонійні функції  Курсовая работа (теория)  Математика
Просмотров: 4582
Найти в Wikkipedia статьи с фразой: Гармонійні функції
Назад