Елементи теорії векторних просторів і систем лінійних рівнянь

ДИПЛОМНА РОБОТА

Елементи теорії векторних просторів і систем лінійних рівнянь

ВСТУП

В Україні, що переживає перехідний період від країни з нерозвиненими телекомунікаціями до країни з високим рівнем їхнього розвитку, кількість студентів, які здатні використовувати можливості мережі Інтернет, вже є достатньо великою та зростає дуже великими темпами. Одночасно відбувається розвиток IT-технологій та засобів телекомунікацій. Ці фактори викликають постійне зростання уваги до засобів дистанційної освіти та збільшення кількості електронних курсів.

Сучасна людина стикається з необхідністю навчання протягом усього життя. Тому освітні заклади та різні компанії сьогодні намагаються зробити свої навчальні ресурси доступними в будь-який час. Електронні навчальні системи надають для цього чудову можливість. Системи електронного навчання за роки свого існування довели свою доцільність та широко застосовуються.

Електронне навчання успішно використовується як доповнення до традиційних методів навчання, а також для розгортання нових форм дистанційної освіти.

Актуальність теми дослідження зумовлена необхідністю визначення нових стратегій підготовки педагогічних кадрів, прагненням досягти ідеалу фахівця, що відповідає вимогам сьогодення. В умовах входження України у світовий освітній простір, гуманізації та модернізації освіти одним із засобів професійної підготовки педагогів насамперед є електронні засоби навчання (електронні підручники, електронний контроль для виявлення рівня теоретичних знань, електронні лекції, електронні фахові і не фахові видання, віртуально-тренінгова система навчання тощо), які забезпечують підвищення якості підготовки фахівців до майбутньої професійної діяльності у будь-якій сфері.

Мета і завдання дослідження. Метою роботи є розробка, створення й упровадження електронного навчального курсу «Лінійна алгебра» на тему: «Елементи теорії векторних просторів і систем лінійних рівнянь». Створення такого курсу сприятиме повнішому і глибшому засвоєнню студентами навчального матеріалу, закріпленню його в памяті, а також допоможе викладачам у здійсненні диференційованого підходу до навчання.

Відповідно до мети дослідження вирішено такі завдання:

1. Зібрано основні положення теоретичного матеріалу, поділені на вісім тем, а саме:

Тема 1. Елементи теорії множин.

Тема 2. Відношення.

Тема 3. Відповідності. Відображення.

Тема 4. Основні алгебраїчні системи.

Тема 5. Комплексні числа.

Тема 6. Векторні простори.

Тема 7. Матриці.

Тема 8. Системи лінійних рівнянь.

2. Підібрані приклади розвязання типових задач.

. Створені індивідуальні навчально-дослідні завдання.

. Складений підсумковий тест.

Кожна тема розпочинається з теоретичного матеріалу, в якому висвітлено основні поняття та твердження даної теми, дані приклади розвязання типових задач.

Електронний навчальний курс із вказаних розділів «Лінійної алгебри» призначений для студентів фізико-математичного факультету спеціальності «математика» і створений в системі Moodle.

Система Moodle (модульна обєктивно-орієнтована навчальна система) є пакетом програмного забезпечення для створення курсів дистанційного навчання та веб-сайтів і поширюється безкоштовно. Відзначимо широкий набір модулів-складових для курсу: форум, зошит, тест, ресурс, опитування, анкета, домашнє завдання. На першій сторінці курсу передбачена можливість відобразити зміни, які відбулися з часу останнього входу студента до системи. Існує доступний звіт відносно входження користувача до курсу й роботи над різними модулями. Значну частину електронних текстів можна редагувати спеціально вбудованим редактором. Студенти можуть самостійно слідкувати за власною успішністю, використовуючи ресурс «Журнал оцінок».

Використання системи Moodle відкриває широкі можливості в організації денної форми навчання. Це обумовлюється особливостями організації профільного навчання та проведення інтенсивної підготовки студентів до іспитів, коли передбачена велика кількість часу на самостійну роботу. Використання в процесі навчання технологій електронної освіти дає можливість не витрачати час на аудиторних заняттях для розвязування елементарних задач, а зосередитися на творчих завданнях.

Таким чином, запропонований далі електронний курс буде одним з ефективних інформаційних технологій, які використовуються для підтримки денної форми навчання, оскільки він допоможе студентам при вивченні окремих тем, викладачу - оцінити рівень засвоєних знань і забезпечить співпрацю та спілкування між учасниками навчального процесу.

РОЗДІЛ 1. СИСТЕМА УПРАВЛІННЯ НАВЧАЛЬНИМИ РЕСУРСАМИ MOODLE

1.1 Загальна характеристика системи MOODLE

Модульна обєктно-орієнтована навчальна система MOODLE забезпечує можливість для створення електронних навчальних курсів, що відповідають усім особливостям організації освітнього процесу сучасного вищого навчального закладу, у якому поєднуються різні форми навчання, структура та спосіб подання навчально-методичних матеріалів в електронному вигляді легко варіюються залежно від конкретної форми їх використання, забезпечуючи підтримку персоналізованих предметних середовищ у рамках особистісно-орієнтованого принципу організації навчальної діяльності.- вільна безкоштовна система управління навчанням.

Після порівняння декількох десятків систем дистанційної освіти виявилось, що лідером серед відкритих програмних продуктів є модульне обєктно-орієнтоване середовище управління навчанням - "Moodle", яке відповідає всім необхідним основним критеріям:

функціональність - наявність набору функцій різного рівня, (форуми, чати, аналіз активності учнів, управління курсами та навчальними групами тощо);

надійність - зручність адміністрування та управління навчанням, простота оновлення контенту на базі існуючих шаблонів, захист користувачів від зовнішніх дій тощо;

стабільність - висока міра стійкості роботи системи стосовно різних режимів роботи та активності користувачів;

вартість - сама система безкоштовна, витрати на її впровадження, розробку курсів і супровід - мінімальні;

відсутність обмежень за кількістю ліцензій на слухачів (студентів);

наявність вбудованих засобів розробки та редагування навчального контента, інтеграції різноманітних освітніх матеріалів різного призначення;

підтримка міжнародного стандарту SCORM - основи обміну електронними курсами, забезпечує перенесення ресурсів в інші системи;

система перевірки та оцінки знань слухачів в режимі он-лайн (тести, завдання, контроль активності на форумах;

зручність та простота використання та навігації - інтуїтивно зрозуміла технологія навчання (можливість легко знайти меню допомоги, простота переходу від одного розділу до іншого і спілкуватися з інструктором тощо;

модульність - наявність в навчальних курсах набору блоків матеріалу, які можуть бути використані в інших курсах.дозволяє організувати навчання в процесі спільного вирішення навчальних завдань, здійснювати взаємообмін знаннями.

У цій системі реалізовано досить ефективні засоби створення та доступу до різнотипної інформації. Достатньо продумана система санкціонованого доступу до інформації, виділено три категорії користувачів, що мають різні права: адміністратор, викладач, студент. Вона дає можливість супроводжувати дистанційне навчання для невеликих груп.

Для організації предметного курсу вся навчальна інформація в системі розбивається на тематичні модулі, кожен з яких може включати в себе лекційний (теоретичний матеріал), лабораторні (або практичні) роботи, завдання для самостійного опрацювання, тест для самоконтролю та контролюючий тест або завдання (а можливе проведення і того і іншого). Для кожного виду діяльності передбачаються терміни для виконання. Час на виконання завдань може регулюватися викладачем, але кращим буде підтримання визначеного графіка для чіткого проходження всіх запланованих тем. Перед початком проходження курсу викладач повинен визначити календарний план та оформити його засобами системи. Тобто, для кожного виду діяльності вказати час початку та термін на виконання. Такий підхід дозволяє зорганізуватися як викладачам так і слухачам. Оскільки Moodle самостійно відслідковує час та постійно нагадує про ті події, які незабаром починаються. Важливим при цьому є правильне користування ресурсом календаря - важливі дати підсвічуються, тим самим підказуючи про настання запланованих робіт.

Важливою особливістю Moodle є те, що система створює і зберігає портфоліо кожного студента: всі здані ним роботи, всі оцінки та коментарі викладача до робіт, всі повідомлення в форумі.

Викладач може створювати і використовувати в рамках курсу будь-яку систему оцінювання. Всі поля по кожному курсу зберігаються в відомості.

При підготовці та проведенні занять у системі Moodle викладач використовує набір елементів дистанційного курсу, до якого входять:

Глосарій

Ресурс

Завдання

Форум

Урок

Тест.

Поєднуючи різні елементи курсу, викладач організує вивчення матеріалу таким чином, щоб форми навчання відповідали цілям та завданням конкретних занять.

Глосарій дозволяє організувати роботу з термінами, при цьому словникові статті можуть створювати не лише викладачі, але й студенти. Терміни, які занесені до глосарію, підсвічуються у всіх матеріалах курсів і є гіперпосиланнями на відповідні статті глосарія. Система дозволяє створювати як глосарій курсу, так і глобальний глосарій, доступний учасникам всіх курсів.

В якості ресурсу може виступати будь-який матеріал для самостійного вивчення, проведення дослідження, обговорення: текст, ілюстрація, web-сторінка, аудіо чи відео файл та ін. Для створення web-сторінок в систему вбудований візуальний редактор, що дозволяє викладачу, що не знає мови розмітки HTML, з легкістю створювати web-сторінки, що включають елементи форматування, ілюстрації, таблиці.

Незважаючи на домінуюче положення програмних продуктів Microsoft, та відповідно збереження документів у форматі MS Office (MS Word, MS PowerPoint та інше), їх використання для подання навчального матеріалу є недоцільним. У багатьох випадках розробка навальних ресурсів виконується за допомогою офісного набору програм з подальшою конвертацією у необхідних формат подання навчальних ресурсів.

Електронні лекції, на відміну від простого читання підручника, мають низку додаткових властивостей. Вони насичені різного роду інтерактивами, що дозволяє постійно змінювати вид діяльності. Наприклад, використовуючи можливість прихованого тексту викладач має можливість в лекціях задавати питання по прочитаному матеріалу попередньо ховаючи від читача відповідь. Той в свою чергу намагається дати відповідь на питання та, відкривши прихований текст, має можливість перевірити її правильність. Також, в лекціях викладач може розміщувати аудіо та відео матеріал, для наочної демонстрації описаного.

Виконання завдання - це вид діяльності студента, результатом якої зазвичай стає створення та завантаження на сервер файлу будь-якого формату або створення тексту безпосередньо в системі Moodle (за допомогою вбудованого візуального редактора).

Викладач може оперативно перевірити складені студентом файли або тексти, прокоментувати їх і, при необхідності, запропонувати доопрацювати в певних напрямках. Якщо викладач вважає це необхідним, він може відкрити посилання на файли, складені учасниками курсу, і зробити ці роботи предметом обговорення в форумі. Така схема дуже зручна, наприклад, для творчих курсів.

Якщо дозволено викладачем, кожен студент може здавати файли неодноразово - за результатами їх перевірки; це дає можливість оперативно коригувати роботу, добиватися повного вирішення поставленої задачі.

Всі створені в системі тексти, файли, завантажені студентом на сервер, зберігаються в портфоліо.

Елемент курсу «Урок» (може зустрічатися термін тренінги) дозволяє організувати покрокове вивчення навчального матеріалу. Масив матеріалу можна розбити на дидактичні одиниці, в кінці кожної з них дати контрольні питання на засвоєння матеріалу. Система, налаштована викладачем, подбає про те, щоб, за результатами контролю, перевести учня на наступний рівень вивчення матеріалу чи повернути до попереднього. Цей елемент курсу зручний ще й тим, що він дозволяє проводити оцінювання роботи учнів в автоматичному режимі: викладач лише задає системі параметри оцінювання, після чого система сама виводить для кожного студента загальну за урок оцінку, заносить її в відомість.

Елемент курсу «Тести» дозволяє викладачу розробляти тести з використанням запитань різних типів:

Запитання в закритій формі (множинний вибір)

Так / ні

Коротка відповідь

Числове

Відповідність

Випадкове запитання

Вкладена відповідь.

Запитання тестів зберігаються в базі даних і можуть повторно використовуватися в одному або різних курсах.

Значна кількість параметрів тестових завдань дозволяє достатньо повно контролювати процес тестування. Наприклад, при проходженні тесту може бути використано кілька спроб, кожна з яких автоматично фіксується. Можливо встановити ліміт часу на роботу з тестом. Оцінювання може здійснюватися за наслідками першої спроби, останньої спроби або як середнє арифметичне всіх використаних спроб тестування. Викладач має нагоду переглядати відповіді студентів на кожне тестове завдання або відразу все. Для подальшого аналізу результати і статистика проходження тестових завдань зберігаються в базі системи, а також можуть бути скопійовані або вислані на адресу е-mail викладача у вигляді текстового файлу або у вигляді електронної таблиці.

Окрім використання тестових завдань і автоматичного оцінювання виконання студентами тестів в системі передбачена можливість отримання детальних звітів, що стосуються різних аспектів не тільки тестування, але і всієї навчальної діяльності студентів (активність, час, присвячений на ознайомлення з окремим ресурсом, уроком або на весь курс конкретного студента або всієї групи і т.д.). Такий моніторинг і збір статистичних даних є додатковою ефективною і об'єктивною допомогою при всебічному оцінюванні результатів навчальної діяльності і проектуванні подальшої індивідуальної траєкторії навчання.

Широкі можливості для комунікації - одна з найбільш сильних сторін Moodle. Система підтримує обмін файлами будь-яких форматів - як між викладачем і студентом, так і між самими студентами. Сервіс розсилки дозволяє оперативно інформувати всіх учасників курсу або окремі групи про поточні події. Форум дає можливість організувати навчальне обговорення проблем, при цьому обговорення можна проводити по групах. До повідомлень у форумі можна прикріплювати файли будь-яких форматів. Чат дозволяє організувати обговорення навчальних проблем у режимі реального часу. Сервіси «Обмін повідомленнями», «Коментар» призначені для індивідуальної комунікації викладача та студента: рецензування робіт, обговорення індивідуальних навчальних проблем.

Форум зручний для навчального обговорення проблем, для проведення консультацій. Форум можна використовувати і для завантаження файлів студентами - в такому випадку навколо цих файлів можна побудувати навчальне обговорення, дати можливість самим студентам оцінити роботи один одного.

При додаванні нового форуму викладач має можливість вибрати його тип із декількох: звичайний форум з обговоренням однієї теми, доступний для всіх загальний форум або форум з однією лінією обговорення для кожного користувача.

1.2 Створення навчального курсу «Лінійна алгебра» у середовищі управління навчальними ресурсами MOODLE

Розроблений електронний навчальний курс «Лінійна алгебра» розглядається як сукупність навчальних ресурсів, необхідних для аудиторної, самостійної та індивідуальної роботи студента і містить:

1)назву дисципліни;

2)тексти основних фактів та прикладів розвязання задач з теми, подані в електронному вигляді;

)індивідуальні навчально-дослідні завдання, подані в електронному вигляді;

)тестові завдання для підсумкового контролю з використанням запитань в закритій формі (множинний вибір).

Всі тексти основних фактів та прикладів розвязання задач з теми включають в себе інтерактивні елементи, які дозволяють студентам закріпити знання, отримані на заняттях. Звичайно, читання таких лекцій не звільняє студентів від відвідування занять, а призначене, в першу чергу, для закріплення пройденого матеріалу.

Індивідуальні навчально-дослідні завдання різних типів, подані в електронному вигляді у PDF-форматі, розроблені для кожного студента. Подібний підхід дуже економить час викладача і студентів, оскільки останні у зручний для себе час можуть ознайомитися із завданнями для виконання.

Тестові завдання для підсумкового контролю з використанням запитань в закритій формі (множинний вибір) складаються з 31 запитання та обмежені за часом. На нашу думку, перенесення цього виду діяльності в електронну форму дозволяє економити час на заняттях та зберегти час викладача, якому не доведеться перевіряти результати тестування, оскільки це за нього зробить Moodle, а також видасть аналіз як по кожному тестованому, так і по всій групі в цілому.

Важливим при використанні системи Moodle є також можливість студентів самостійно слідкувати за власною успішністю, використовуючи ресурс «Журнал оцінок».

Виділяють наступні можливості та переваги застосування системи Moodle у навчальному процесі:

У викладача:

Мати у структурованій формі навчально-методичне забезпечення дисципліни.

Зручний інструмент по обліку та контролю роботи студентів.

Встановлювати потрібні терміни виконання студентами завдань.

Програмне забезпечення, європейський стандарт Moodle по організації навчального процесу за модульною системою, що вимагає Болонська декларація.

Можливість використання аудіо та відео матеріалів при організації навчального процесу.

Широкі можливості по змінам, розширенню, доповненню та корегуванню навчально-методичних матеріалів дисципліни.

Тести для проведення контролю знань студентів із застосуванням різних за типом запитань.

Автоматизовану система рейтингової оцінки самостійної роботи студентів.

Програмне забезпечення, що захищене від несанкціонованого доступу, змін та пошкодження (знищення).

Програмне забезпечення для виконання науково-методичних розробок за власним вибором, послідовністю та темпом.

У студентів:

Логічно структурований та комплектний навчально-методичний матеріал, що покращує умови для самостійного опанування дисципліни.

Засоби самотестування.

Засоби виконання завдань та оцінювання незалежно від людського фактору, викладача.

Можливість особистої участі та допомоги викладачу по компютерному забезпеченню навчального процесу.

Реальна участь у науковій роботі студентів.

Модульна організація навчального процесу, що в кінцевому варіанті дасть можливість обходитися без іспитів.

Розширені Internet-ресурси.

Можливість дистанційного опанування навчальних матеріалів.

Можливість дострокової здачі сесії.

Система управління Moodle зареєстрована і використовується у більш ніж 43000 офіційних організаціях, що працюють у більш ніж 200 країнах. Таким чином, запропоновано сучасний підхід до організації та проведення навчального процесу. Не викликає сумніву, що використання електронного навчання та дистанційних технологій для підтримки денної форми навчання дозволяє не тільки економити час на заняттях та час викладача на перевірку різного роду завдань, але і допомагає інтенсифікувати весь процес навчання, приділити більше часу на розвиток комунікативних та творчих здібностей студентів.

вектор алгебраїчний бінарний число

РОЗДІЛ 2. ОСНОВНІ ФАКТИ ТЕОРІЇ ВЕКТОРНИХ ПРОСТОРІВ ТА СИСТЕМ ЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ, ПРИКЛАДИ РОЗВЯЗАННЯ ЗАДАЧ

2.1 Елементи теорії множин

1. Поняття множини, підмножини

Множина є основним поняттям в усіх розділах математики і це поняття не означається через інші поняття. Під множиною розуміють сукупність деяких обєктів, обєднаних за певним правилом або за певною ознакою.

Обєкти, які утворюють множину називаються елементами цієї множини.

(елемент належить множині )

(елемент не належить множині )

Якщо множина складається із скінченної кількості елементів, то кількість елементів множини називають порядком цієї множини.

Множина яка не містить жодного елемента називають порожньою і позначають: Æ.

Множини і називаються рівними, якщо вони складаються з одних і тих же елементів, тобто якщо будь-який елемент множини є елементом множини і навпаки - будь-який елемент множини є елементом множини .

Множину називають підмножиною множини , якщо кожен елемент множини є елементом множини .

Очевидно, що множина рівна множині тоді і тільки тоді, коли множина є підмножиною множини і множина є підмножиною множини .

2. Операції над множинами

Означення. Обєднанням множин і називають таку множину , яка складається з усіх тих елементів, які належать або множині або множині .

Означення. Перерізом множин і називають таку множину , яка складається з усіх тих елементів, які належать і множині , і множині .

Означення. Різницею множин і називають таку множину , яка складається з усіх елементів множини , які не належать множині .

Приклад. Нехай Тоді

Означення. Якщо множина є підмножиною множини то різницю називають доповненням множини до множини і позначається .

Приклад. Нехай Доповненням множини до множини є множина .

Означення. Нехай - деякі множини, де ( - множина індексів: тощо). Обєднанням множин називають таку множину S, яка складається з усіх тих елементів, які належать хоча б одній з множин .

Означення. Перерізом множин називають таку множину , яка складається з усіх тих елементів, які належать кожній з множин .

Якщо , то записують: .

Якщо то записують:

3. Властивості операцій над множинами

Для будь-яких множин мають місце рівності:

1.

.

.

.

4. Універсальна множина. Закони де Моргана

Коли розглядають множини, які є підмножинами якоїсь однієї множини , то множину називають універсальною по відношенню до цих множин.

Надалі будемо вважати, що всі множини, які ми розглядаємо, є підмножинами деякої універсальної множини .

Мають місце рівності:

1.

.

Означення. Доповненням множини називають її доповнення до універсальної множини; позначають: - доповнення множини А:

Властивості доповнень:

1.;

.

. (множини і не перетинаються);

.

Теорема 1. Доповнення до перерізу довільної кількості множин дорівнює обєднанню доповнень цих множин:

2. Доповнення до обєднання довільної кількості множин дорівнює перерізу доповнень цих множин:

Для двох множин маємо:

Якщо у виразі із множини відсутні дужки, то операції виконуються в такому порядку: 1) взяття доповнення; 2) переріз; 3) обєднання.

Приклади розвязання типових задач

Приклад 1. Довести, що для довільних множин , і виконується рівність

.

Розвязання

Це означає, що .

Приклад 2. Використовуючи властивості операцій над множинами, спростити запис множини

Розвязання

Задана множина є різницею множин

і .

Запис кожної множини можна спростити:

При цьому було застосовано закони де Моргана.

Оскільки , то .

Отже,

2.2 Відношення

1. Прямий добуток множин

Означення. Множина, яка складається з двох елементів і в якій береться до уваги порядок слідування елементів, називають упорядкованою парою.

() - упорядкована пара

- перший елемент(компонента)

- другий елемент (компонента)

Означення. Прямим або декартовим добутком множин А і В називають множину всіх упорядкованих пар, перший елемент яких належать множині А, а другий - множині В.

- прямий добуток

Прямий добуток називають прямим квадратом множини А.

Якщо , , то - прямокутник.

Прямим добутком множин називають множину упорядкованих n-о

(), де .

- прямий або декартовий n-ий степінь множини

2. Поняття бінарного відношення. Основні типи бінарних відношень

Бути рівним, меншим, більшим, паралельним, перпендикулярним - відношення.

Означення. Бінарним відношенням на множині А називають всяку підмножину прямого квадрата множини А. Відношення позначають: r.

r - відношення на множині А

Елементи х і у, які належать множині А, перебувають у відношенні r, якщо (х; у) Î r. Пишуть хrу - елемент х перебуває у відношенні r до елемента у.

хrу Û (х; у) Î r

Нехай тоді, наприклад, - бінарне відношення на множині М, причому

Означення. Відношення r на множині А називається рефлексивним, якщо для будь-якого елемента а, який належить множині А, а перебуває у відношенні r до а:

Означення. Відношення r на множині А називається симетричним, якщо для будь-яких елементів а, b Î A з того, що arb випливає bra:

Означення. Відношення r на множині А називається транзитивним, якщо для будь-яких елементів з того, що arb і brc випливає arc:

Означення. Відношення r на множині А називається відношенням еквівалентності, якщо воно є рефлексивним, симетричним і транзитивним.

3. Фактор-множина

Означення. Нехай М - деяка не порожня множина. Розбиттям множини М називають всяку сукупність підмножин множини М, які задовольняють умови:

1) не порожні;

) не перетинаються;

) обєднання яких дорівнює М.

Елементами розбиття є підмножини множини М. Ті підмножини, які утворюють розбиття множини М, називають класами розбиття.

Теорема. Якщо на не порожній множині М задано відношення еквівалентності r, то цю множину можна розбити на класи так, що будь-які елементи , що належать одному класу, перебувають у відношенні r, або будь-які елементи , що належать різним класам, у цьому відношенні не перебувають.

Означення. Розбиття множини М на класи за відношенням еквівалентності r, при якому будь-які два елементи, які належать одному класу розбиття, перебувають у відношенні r, а будь-які два елементи, які належать різним класам, у відношенні r не перебувають, називають фактор-множиною множини М за відношенням еквівалентності r і позначають М/r.

Елементами фактор-множини є класи розбиття, які ще називають класами еквівалентності.

Приклади розвязання типових задач

Приклад 1. Знайти прямий добуток множин А і В, якщо: А = {1, 2, 3}, B = {3, 4}.

Розвязання

Приклад 2. Знайти прямий добуток множин

Розвязання

Приклад 3. На множині М = [0; 3] задано відношення еквівалентності: хrу Ûx має однакову цілу частину з y. Знайти фактор-множину [0; 3]/r.

Розвязання

До класу еквівалентності, що визначається числом x Î [0; 3], належать усі числа, які мають однакову цілу частину з числом . Серед усіх чисел множини [0;3] містяться тільки такі цілі числа: 0, 1, 2, 3. Це означає, що фактор-множина [0;3]/r містить тільки чотири класи: [0;1), [1;2), [2;3), {3}. Фактор-множина [0; 3]/r = { [0;1), [1;2), [2;3), {3} }.

2.3 Відповідності. Відображення

1.Поняття відповідності. Обернена відповідність.

Композиція відповідностей

Означення. Відповідністю між множинами і називають упорядковану трійку , де ; при цьому множину називають множиною відправки, множину - множиною прибуття, - графіком відповідності. Відповідність між множинами і записують так або . Якщо пара , то кажуть, що елементу відповідає елемент .

Приклади відповідностей.

1.

- відповідність; .

2.

- відповідність.

Означення. Оберненою відповідністю до відповідності називають таку відповідність

,

де - множина пар таких, що :

.

Для всякої відповідності існує обернена відповідність.

Означення. Композицією відповідностей

і називають відповідність,

де.

2. Поняття відображення (функції)

Означення. Відображенням множини у множину називають відповідність при якій будь-якому елементу множини відповідає єдиний елемент множини

Відображення ще називають функціональною відповідністю або функцією.

Якщо при відображенні елементу відповідає елемент , то пишуть і називають образом елемента

Для кожного елемента всякий елемент такий, що називають прообразом елемента

Множину всіх прообразів елементаназивають повним прообразом цього елемента і позначається .

Означення. Образом множини називають множину , яка складається з усіх тих елементів які є образами елементів множини .

Означення. Повним прообразом множини називають множину яка складається з усіх прообразів елементів множини

Означення. Відображення називають сюрєктивним відображенням або сюрєкцією, якщо .

- сюрєкція.

Означення. Відображення називають інєктивним відображенням або інєкцією, якщо воно різним елементам множини ставить у відповідність різні елементи множини

- інєкція.

Означення. Відображення називають бієктивним відображенням або бієкцією, якщо воно є сюрєктивним та інєктивним.

Бієкція - взаємно однозначна відповідність між множинами і

- бієкція.

Відображення називають оборотним, якщо відповідність є відображенням. У випадку оборотності відображення обернену відповідність називають відображенням, оберненим до Відображення є оборотним тоді і тільки тоді, коли є бієкцією.

Приклади розвязання типових задач

Приклад 1. Задати хоча б одне відображення множини на множину .

Розвязання

Нехай множини і зображуються відрізками на осях і відповідно в декартовій системі координат (див. рис.).

Розглянемо лінійну функцію графік якої проходить через точки та . Знайдемо і :

Отже, Цією формулою задається одне з відображень множини на множину .

Приклад 2. - відображення; Довести, що

Розвязання

Приклад3.-відображення;Довести, що

Розвязання

2.4 Основні алгебраїчні системи

1. Бінарні алгебраїчні операції

Означення. Бінарною алгебраїчною операцією на множині називають всяке відображення , тобто операція кожній упорядкованій парі елементів множини ставить у відповідність єдиний елемент цієї множини.

Операції позначають значками або .

Означення. Операцію на множині називають комутативною, якщо для будь-яких елементів справджується рівність:

.

Означення. Операцію на множині називають асоціативною, якщо для будь-яких елементів справджується рівність:

.

Означення. Операцію на множині називають дистрибутивною відносно операції , якщо для будь-яких елементів справджуються рівності:

;

.

Означення. Якщо в множині визначена операція , то елемент такий, що для будь-якого з множини виконується рівність

,

називається нейтральним.

Означення. Якщо в множині із операцією існує нейтральний елемент , то елемент такий, що

,

називається симетричним до елемента

Теорема 1. Якщо у множині із визначеною на ній операцією існує нейтральний елемент то він єдиний.

Теорема 2. Якщо операція на множині є асоціативною, то для будь-якого елемента множини існує не більше як один симетричний елемент.

2. Поняття групи, підгрупи

Означення. Не порожню множину із визначеною на ній операцією називають групою, якщо виконуються наступні умови:

) операція є асоціативною на множині ;

) у множині існує нейтральний елемент відносно операції ;

) для будь-якого елемента множини існує симетричний елемент.

Умови 1-3 називають аксіомами групи.

Надалі групу із визначеною на ній операцією будемо позначати так: .

Якщо в групі операція є комутативною, то групу називають комутативною або абельовою.

Якщо в групі операція є операцією множення, то таку групу називають мультиплікативною, якщо ж операція є операцією додавання, то групу називають адитивною.

Означення. Нехай - група, - не порожня підмножина множини . Якщо множина відносно операції є групою, то її називають підгрупою групи .

Теорема. Нехай - група. Для того, щоб не порожня підмножина множини була підгрупою групи необхідно і достатньо, щоб:

1.

.

3. Поняття кільця та його найпростіші властивості

Означення. Не порожню множину із визначеними на ній операціями додавання і множення називають кільцем, якщо виконуються наступні умови:

) є комутативною групою відносно операції додавання;

) операція множення є асоціативною на ;

) операція множення є дистрибутивною відносно операції додавання на .

Умови 1-3 називають аксіомами кільця.

Якщо у кільці операція множення є комутативною, то кільце називають комутативним.

Якщо у кільці існує нейтральний елемент відносно операції множення, то кільце називають кільцем з одиницею.

Означення. Різницею елементів називають такий елемент , що Пишуть:

Теорема 1. В кільці операція множення дистрибутивна відносно операції віднімання.

Теорема 2. Для будь-якого елемента

Теорема 3.

Означення. Відмінні від нуля елементи кільця, добуток яких дорівнює , називають дільниками нуля.

4. Поняття поля та його найпростіші властивості

Означення. Не порожню множину із визначеними на ній операціями додавання і множення називають полем, якщо виконуються наступні умови:

) є комутативним кільцем;

) в існує відмінний від нуля елемент;

3)

Умови 1-3 називають аксіомами поля.

Теорема 1. У будь-якому полі існує і причому одна одиниця - нейтральний елемент відносно операції множення.

Теорема 2

Теорема 3. У будь-якому полі немає дільників нуля.

Приклади розвязання типових задач

Приклад 1. На множині задано бінарну операцію так, що є остачею від ділення добутку на число .

Задати операцію таблицею Келі і перевірити, чи є дана множина групою відносно операції .

Розвязання

Таблицю Келі для бінарної операції на -елементній множині складають так: у лівому верхньому куті квадратної таблиці, що містить клітинок, пишуть знак операції. Потім у першому рядку і першому стовпці записують усі елементи даної множини по одному в клітинці (для зручності - в однаковому порядку). Кожній порожній клітинці таблиці тепер відповідає впорядкована пара елементів даної множини ( - елемент, який стоїть у вибраному рядку і - у вибраному стовпці). Записуємо в таблицю результат для операції для кожної пари. Таблиця Келі для операції має вигляд:

*012300000101232020230321

Нейтральним елементом відносно операції є . Для елемента не існує симетричного, оскільки немає елемента , для якого . Отже, задана множина не є групою відносно операції .

Приклад 2. Довести, що множина з операціями і , заданими таблицями Келі є полем.

012001211202201012000010122021

Розвязання

Перевіримо аксіоми поля.

1. Як видно з таблиці для операції , є нейтральним елементом. Для кожного елемента існує симетричний, і операція є комутативною.

Враховуючи це та рівності

і

для всіх дістанемо , що операція є асоціативною.

Згідно з таблицею для операції , є нейтральним елементом, операція комутативна, і для відмінних від нуля елементів існують симетричні. Крім того,

для всіх . Звідси випливає, що операція також асоціативна. Оскільки

для всіх , то операція дистрибутивна відносно операції . Це означає, що задана множина є полем.

Приклад 3. Довести, що адитивна група всіх дійсних чисел ізоморфна мультиплікативній групі всіх додатних дійсних чисел .

Розвязання

Розглянемо функцію . Як відомо, вона є бієкцією множини на множину , причому . Це означає, що функція є ізоморфізмом і адитивна група ізоморфна мультиплікативній групі додатних дійсних чисел .

Приклад 4. Довести, що кільце цілих чисел не ізоморфне кільцю всіх парних цілих чисел.

Розвязання

Нехай деяка бієкція множини на множину і . Якщо є ізоморфізмом, то і для всіх і , що належать . Тоді . Звідси і . Отже, . Це суперечить взаємній однозначності відображення . Знайдена суперечність показує, що задати ізоморфізм кільця на кільце не можна, тобто вони не ізоморфні.

2.5 Комплексні числа

1. Поле комплексних чисел

Комплексним числом називають всяку упорядковану пару дійсних чисел.

- множина комплексних чисел.

Означення. Комплексні числа і називають рівними, якщо

Означення. Операції додавання і множення на множині комплексних чисел задамо так: для будь-яких пар і вважатимемо, що

Теорема. Множина із визначеними на ній операціями додавання і множення є полем.

2. Алгебраїчна форма запису комплексного числа

- алгебраїчна форма запису комплексного числа, де - дійсна частина комплексного числа , - уявна частина , - коефіцієнт при уявній частині , - уявна одиниця: .

Для числа число називають комплексно спряженим.

Теорема. Сума і добуток комплексно спряжених чисел є дійсними числами.

3. Комплексна площина. Тригонометрична форма запису
комплексного числа Задамо на площині прямокутну систему координат . Комплексному числу поставимо у відповідність точку з координатами цієї площини. Така відповідність між множиною комплексних чисел і множиною точок координатної площини є взаємо однозначною. Площину на якій зображають точками комплексні числа, називають комплексною площиною. Точки, в яких , тобто точки , лежать на осі . Оскільки числа , то точками осі зображають дійсні числа. Вісь - дійсна вісь. Якщо , то матимемо числа , які зображаються точками осі . Такі числа називають уявними, а вісь - уявною віссю.

- радіус-вектор точки . Кожному числу можна поставити у відповідність свій радіус-вектор.

Означення. Модулем комплексного числа називають довжину радіус-вектора точки, що є зображенням цього числа.

Означення. Аргументом комплексного числа називають кут, який утворює радіус-вектор цього числа з додатним напрямом дійсної осі ( - аргумент числа ).

Нехай , , . Тоді

і

- тригонометрична форма запису комплексного числа.

Аргумент комплексного числа шукається із системи

Аргумент числа не визначений.

4. Дії над комплексними числами, заданими в тригонометричній формі

При множенні комплексних чисел їхні модулі перемножуються, а аргументи додаються. При діленні комплексних чисел їхні модулі діляться, а аргументи віднімаються.

Якщо , , то

- формула Муавра.

5. Добування кореня n-го степеня з комплексного числа

Означення. Коренем -го степеня з комплексного числа називають таке число , що виконується рівність .

Існує лише один корінь -го степеня з числа - це число .

Якщо і , то існує різних коренів -го степеня з цього числа, які можна знайти за формулами:

Приклади розвязання типових задач

Приклад 1. Записати у тригонометричній формі .

Розвязання

; ,

Приклад 2. Знайти корені шостого степеня із числа .

Розвязання

2.6 Векторні простори

1. Означення і приклади векторних просторів

Означення. Нехай - деяка непорожня множина, елементи якої називатимемо векторами і позначатимемо , а - деяке числове поле, елементи якого називатимемо скалярами і позначатимемо . Множину називають векторним (або лінійним) простором над полем Р, якщо на визначені операція додавання, при якій будь-якій парі векторів ставиться у відповідність вектор , та операція множення вектора на скаляр, при якій будь-яким ставиться у відповідність вектор , і при цьому виконуються наступні умови:

. є комутативною групою відносно операції додавання;

2. ;

. ;

. ;

. .

Умови 1-5 називають аксіомами векторного простору.

Якщо , то називають дійсним векторним простором, якщо , то називають комплексним векторним простором.

Нейтральний елемент відносно операції додавання будемо називати нуль-вектором і позначати .

Нехай - множина функцій, неперервних на відрізку . Ця множина відносно операцій додавання функцій і множення функцій на дійсне число є дійсним векторним простором. Цей простір називають векторним простором неперервних на відрізку функцій.

2. Найпростіші властивості векторних просторів

Для будь-якого векторного простору над полем справджуються наступні властивості.

1. .

. .

. .

4. Якщо то або .

3. Підпростори векторного простору

Нехай - деякий векторний простір над полем .

Означення. Непорожню підмножину векторного простору називають підпростором цього простору, якщо підмножина сама є векторним простором відносно операцій додавання і множення на скаляри, визначених в просторі .

Теорема. Непорожня підмножина векторного простору буде підпростором цього простору тоді і тільки тоді, коли виконуються дві умови:

1.

.

4. Лінійні комбінації і лінійні оболонки векторів

Нехай - деякий векторний простір над полем .

Означення. Вектор називають лінійною комбінацією векторів з коефіцієнтами , якщо

Означення. Лінійною оболонкою векторів називають множину всіх лінійних комбінацій цих векторів; позначають: .

Теорема 1. Лінійна оболонка будь-яких векторів простору є підпростором цього простору.

Теорема 2. Якщо - підпростір векторного простору і , то

Маючи на увазі теорему 2, кажуть, що лінійна оболонка векторів є найменшим підпростором простору , що містить ці вектори.

5. Лінійно залежні і лінійно незалежні системи векторів.
Критерій лінійної залежності системи векторів Нехай - деякий векторний простір над полем , - деяка система векторів.

Означення. Систему векторів називають лінійно незалежною, якщо рівність

є правильною лише при . Якщо ж ця рівність правильна при деякому , то систему називають лінійно залежною.

Теорема (Критерій лінійної залежності системи векторів). Система векторів буде лінійно залежною тоді і тільки тоді, коли в цій системі існує вектор, який є лінійною комбінацією інших векторів системи.

Яка б не була система векторів, є лінійною комбінацією векторів цієї системи з нульовими коефіцієнтами. Тому, якщо система векторів містить , то вона є лінійно залежною.

6. Властивості лінійно залежних і лінійно незалежних систем векторів

Теорема 1. Якщо деяка підсистема системи векторів є лінійно залежною, то і вся система є лінійно залежною.

Теорема 2. Якщо система векторів лінійно незалежна, то будь-яка її підсистема також лінійно незалежна.

Теорема 3. Якщо система векторів лінійно незалежна, а система векторів лінійно залежна, то вектор є лінійною комбінацією векторів

7. Основна теорема про дві системи векторів

Лема. Якщо - деякі вектори векторного простору над полем

і , де , то

Теорема (основна теорема про дві системи векторів). Якщо

і

- дві системи векторів векторного простору , для яких виконуються умови:

1) ;

2) система - лінійно незалежна,

то

8. Еквівалентні системи векторів. Ранг системи векторів

Означення. Системи векторів

, (1)

(2)

називають еквівалентними, якщо кожний вектор системи (1) є лінійною комбінацією векторів системи (2), і навпаки: кожний вектор системи (2) є лінійною комбінацією векторів системи (1).

Теорема 1. Якщо дві системи векторів еквівалентні і кожна з них є лінійно незалежною, то ці системи складаються з однакової кількості векторів.

Означення. Максимальною лінійно незалежною підсистемою системи векторів називають будь-яку лінійно незалежна підсистема системи , яка еквівалентна всій системі.

Теорема 2. Будь-які дві максимальні лінійно незалежні підсистеми системи векторів складаються з однакової кількості векторів.

Означення. Рангом системи векторів називають кількість векторів її максимальної лінійно незалежної підсистеми. Позначають .

Ранг системи векторів дорівнює найбільшій кількості лінійно незалежних векторів системи.

9. Базис і вимірність векторного простору

Означення. Нехай - векторний простір над полем . Упорядковану систему векторів називають базисом цього простору, якщо:

) система є лінійно незалежною;

) будь-який вектор простору є лінійною комбінацією векторів системи .

Означення. Векторний простір, який має базис, що складається зі скінченої кількості векторів, називають скінчено вимірним.

Означення. Якщо у векторному просторі існує базис, який складається з векторів, то називають -вимірним векторним простором і позначають .

Теорема. Якщо векторний простір має базис, що складається з векторів, то будь-який інший базис цього простору складається з векторів.

10. Теореми про базиси

Теорема 1. У векторному просторі довільна упорядкована система з лінійно незалежних векторів утворює базис.

Наслідок. В -вимірному векторному просторі будь-яка система з вектора є лінійно залежною.

Теорема 2. Якщо у векторному просторі задана лінійно незалежна система векторів , де , то цю систему можна доповнити до базису простору .

11. Координати вектора

Теорема. Якщо - базис векторного простору над полем , то будь-який вектор цього простору можна єдиним способом подати у вигляді лінійної комбінації векторів базису.

Означення. Якщо - базис векторного простору і , то числа називають координатами вектора в базисі .

При додаванні векторів координати додають, а при множенні числа на вектор - кожну координату множать на це число.

Приклади розвязання типових задач

Приклад 1. Довести, що - векторний простір, якщо

Доведення

) , де

)

Отже, є підпростором векторного простору , звідси випливає, що - векторний простір.

Приклад 2. Дано векторний простір і , де .

Чи є вектор лінійною комбінацією векторів ?

Розвязання

Припустимо, що . Тоді:

; ;

Система рівнянь розвязків немає.

Отже, вектор не є лінійною комбінацією векторів .

Приклад 3. Дано векторний простір

; де

Чи є система лінійно залежною?

Розвязання

Нехай тоді . При знайдених рівність є правильною, тому система є лінійно залежною на основі означення.

Приклад 4. Дано векторний простір Чи є система лінійно залежною?

Розвязання

Розглянемо рівність

Ця рівність повинна бути правильною .

Якщо , то .

. Нехай , тоді .

Якщо то .

Отже, функції лінійно незалежні.

Приклад 5. Знайти вимірність векторного простору .

Розвязання

Покажемо, що

де - базис простору .

) - лінійно незалежна система, бо рівність тобто рівність правильна лише при

) Будь-який вектор є лінійною комбінацією векторів з , бо

Отже, - базис простору

Приклад 6. Довести, що - базис векторного простору , де , , . Знайти координати вектора в цьому базисі.

Розвязання

Перевіримо, чи система векторів є лінійно незалежною:

;

Лише при знайдених рівність є правильною, тому система є лінійно незалежною на основі означення.

Оскільки , то - базис векторного простору .

Знайдемо координати вектора в цьому базисі.

Отже, - шукані координати вектора в базисі .

2.7 Матриці

1. Поняття матриці. Види матриць

Нехай - деякі елементи числового поля Р, де , . Таблицю виду

називають прямокутною матрицею розміру ( - кількість рядків, - кількість стовпців); числа називають елементами матриці. Позначають скорочено: , , .

Матриці і називають рівними, якщо рівні їхні відповідні елементи.

Матрицю, всі елементи якої дорівнюють нулю називають нульовою матрицею або -матрицею.

Матрицю, в якій кількість рядків дорівнює кількості стовпців, називають квадратною.

- квадратна матриця порядку . Кажуть, що елементи утворюють головну діагональ, а елементи - побічну діагональ квадратної матриці. Квадратну матрицю, в якій всі елементи, крім, можливо, елементів головної діагоналі дорівнюють нулю, називають діагональною.

- діагональна матриця.

Діагональну матрицю, в якій всі елементи головної діагоналі дорівнюють один одному, називають скалярною.

- скалярна матриця.

Діагональну матрицю, в якій всі елементи головної діагоналі дорівнюють одиниці, називають одиничною (позначають: ).

Для матриці матрицю

називають транспонованою. Якщо

, то .

2. Векторний простір прямокутних матриць

Нехай - множина прямокутних матриць розміру , елементи яких належать деякому числовому полю Р. І нехай , - довільні матриці з цієї множини.

Означення. Сумою матриць і називають таку матрицю , що

де , .

Означення. Добутком числа і матриці називають таку матрицю

, що

де , .

Теорема. Множина із визначеними на ній операціями додавання матриць і множення матриці на число є векторним простором над полем вимірності .

3. Множення матриць і його властивості

Означення. Добутком матриць і називають таку матрицю , що

,

де , .

Лема. Р,

де , , виконується рівність

.

Якщо , то пишуть

.

Властивості множення матриць.

1. Для будь-яких матриць , і виконується рівність:

.

2а. Для будь-яких матриць , і виконується рівність:

.

2б. Для будь-яких матриць , і виконується рівність:

.

3. Для будь-якої матриці виконуються рівності:

Приклади розвязання типових задач

Приклад 1. Знайти добуток матриць

і .

Розвязання

Добуток - не визначений. У даному випадку (операція множення матриць не комутативна).

Приклад 2. Знайти суму матриць

і добуток числа на матрицю .

Розвязання

; .

Приклад 3. У дійсному векторному просторі квадратних матриць другого порядку з дійсними елементами знайти координати матриці

в базисі, що складається з матриць:

Розвязання

Відомо, що коли матрицю зобразити у вигляді

,(1)

то числа будуть шуканими координатами матриці в нашому базисі. У правій частині рівності (1) виконаємо відповідні операції і використаємо умову рівності двох матриць

Звідси:

Отже, - координати матриці в нашому базисі.

Приклад 4. Розвязати матричне рівняння , якщо , .

Розвязання

Нехай . Тоді

За означенням добутку матриць матимемо:

Отже, матричне рівняння має такий розвязок

2.8 Системи лінійних рівнянь

1. Поняття системи лінійних рівнянь та її розвязку

Означення. Рівняння виду

де - деякі елементи числового поля , а - невідомі елементи цього поля, називають лінійним рівнянням з невідомими.

Означення. Вектор називають розвязком рівняння (1), якщо рівність є правильною.

Розглянемо систему лінійних рівнянь з невідомими:

Числа називають коефіцієнтами системи (2), а числа - вільними членами. Якщо , , то систему (2) називають однорідною системою лінійних рівнянь; якщо ж хоча б один з цих коефіцієнтів відмінний від нуля - неоднорідною.

Означення. Вектор називають розвязком системи рівнянь (2), якщо він є розвязком кожного рівняння системи.

Розглянемо вектори

…,

Використовуючи ці вектори, систему (2) можна записати так:

(2¢) - векторна форма запису системи (2).

Систему рівнянь (2) можна записати у матричній формі:

де

Матрицю А називають основною матрицею системи (2), а матрицю

- розширеною матрицею. Якщо система рівнянь записана в матричній формі, то її розвязком буде така матриця що матрична рівність є правильною.

Означення. Якщо система лінійних рівнянь має хоча б один розвязок, то її називають сумісною, якщо немає розвязків - несумісною.

Теорема. Якщо система лінійних рівнянь має два різні розвязки, то вона має безліч розвязків.

Означення. Якщо система лінійних рівнянь має лише один розвязок, то її називають визначеною, якщо ж безліч розвязків - невизначеною.

2. Рівносильні системи лінійних рівнянь. Елементарні перетворення
систем лінійних рівнянь Розглянемо поряд із системою рівнянь (2) систему:

Означення. Якщо кожен розвязок системи (2) є розвязком системи (3), то систему (3) називають наслідком системи (2). (2)(3).

Означення. Якщо множини розвязків систем рівнянь (2), (3) співпадають, то ці системи називають рівносильними. (2)(3).

Означення. Елементарними перетвореннями системи лінійних рівнянь називають:

) заміну місцями (транспозицію) двох рівнянь системи;

) множення деякого рівняння системи на відмінне від нуля число;

) додавання до одного рівняння системи іншого рівняння, помноженого на деяке число.

Теорема. При будь-якому елементарному перетворенні система лінійних рівнянь переходить у рівносильну їй систему.

3. Розвязування систем лінійних рівнянь методом послідовного виключення невідомих (метод Гауса)

Розглянемо систему лінійних рівнянь (2) і нехай і тоді будь-який вектор є розвязком системи. Якщо всі , але , то система несумісна.

Розглянемо випадок, коли серед коефіцієнтів є відмінні від нуля. Не порушуючи загальності будемо вважати, що (якщо а, наприклад, то, переставивши місцями перше і третє рівняння і зробивши заміну одержимо систему, в якій відмінний від нуля коефіцієнт стоїть на місці ). До другого рівняння системи додамо перше рівняння, помножене на ; до третього - перше, помножене на , і так далі. Одержимо систему:

Система (4) одержана із системи (2) шляхом елементарних перетворень, тому (4)(2). Не порушуючи загальності будемо вважати, що . Виходячи з другого рівняння системи (4), позбуваємось невідомого у третьому, ..., -му рівняннях і т. д. Врешті решт прийдемо до системи:

де

Якщо , то система (2) сумісна. Оскільки, , то з -го рівняння системи (5) можна виразити через ; з -го рівняння - через а тоді через і так далі. Прийдемо до системи:

(6) - загальний розвязок системи (2), невідомі - вільні невідомі.

Якщо , то система (2) має єдиний розвязок (є визначеною); якщо , то система (2) має безліч розвязків (є невизначеною).

Якщо в системі (5) серед чисел є відмінні від нуля, то система (2) несумісна.

Системи рівнянь можна розвязувати методом Жордана-Гауса. Він відрізняється від методу Гауса тим, що невідоме виключають не лише з рівнянь, а й з -го рівнянь.

Нехай потрібно знайти ранг системи векторів . Рівність

будемо розглядати як систему лінійних рівнянь, записану у векторній формі. Нехай

- її загальний розвязок, тоді ранг системи Можна сказати, що ранг системи векторів дорівнює різниці кількості векторів і кількості вільних невідомих у відповідній системі лінійних рівнянь.

4.Ранг матриці

Нехай

,

де - деяка матриця, - система векторів-рядків матриці А, де

;

;

а - система векторів-стовпців, де

.

Означення. Ранг системи векторів-рядків матриці А називають рядковим рангом матриці, а ранг системи векторів-стовпців - стовпцевим рангом.

Теорема. Для будь-якої матриці її рядковий ранг дорівнює стовпцевому рангу.

Означення. Рангом матриці називають її рядковий (стовпцевий) ранг. Позначають: .

5. Знаходження рангу матриці за допомогою елементарних перетворень

Означення. Елементарними перетвореннями рядків (стовпців) матриці називають:

) заміну місцями (транспозицію) двох рядків (стовпців) матриці;

) множення деякого рядка (стовпця) на відмінне від нуля число;

) додавання до деякого рядка (стовпця) матриці іншого рядка (стовпця), помноженого на деяке число.

Теорема 1. При елементарних перетвореннях рядків (стовпців) матриці ранг не зміниться.

Теорема 2. Якщо шляхом елементарних перетворень рядків (стовпців) матриця зведена до матриці

,

де то ранг матриці дорівнює .

6. Критерії сумісності та визначеності системи лінійних рівнянь

Теорема 1 (Критерій сумісності, теорема Кронекера-Капеллі). Система лінійних рівнянь буде сумісною тоді і тільки тоді, коли ранг основної матриці системи дорівнює рангу розширеної матриці.

Теорема 2 (Критерій визначеності). Сумісна система лінійних рівнянь буде визначеною тоді і тільки тоді, коли ранг основної матриці системи дорівнює кількості невідомих.

Означення. Систему лінійних рівнянь, в якій кількість рівнянь дорівнює кількості невідомих називають квадратною.

Означення. Квадратну матрицю порядку називають невиродженою, якщо її ранг дорівнює і виродженою, якщо її ранг менший від .

Квадратна матриця буде невиродженою тоді і тільки тоді, коли її вектори-рядки (вектори-стовпці) є лінійно незалежними, і виродженою, якщо вектори-рядки (вектори-стовпці) є лінійно залежними.

Теорема 3. Квадратна система лінійних рівнянь буде сумісною при будь-яких правих частинах тоді і тільки тоді, коли основна матриця системи є невиродженою. У випадку сумісності така система рівнянь має лише один розвязок.

7. Підпростір розвязків і фундаментальна система розвязків однорідної системи лінійних рівнянь

Теорема. Множина розвязків однорідної системи лінійних рівнянь з невідомими утворює підпростір простору вимірності , де - ранг основної матриці системи.

Означення. Фундаментальною системою розвязків однорідної системи лінійних рівнянь називають базис підпростору розвязків цієї системи рівнянь.

Якщо - фундаментальна система розвязків однорідної системи лінійних рівнянь, то - загальний розвязок системи рівнянь у векторній формі.

8. Звязок між розвязками неоднорідної та зведеної однорідної систем лінійних рівнянь

Означення. Для неоднорідної системи лінійних рівнянь

систему

називають зведеною однорідною системою лінійних рівнянь.

Теорема. Різниця будь-яких двох розвязків неоднорідної системи лінійних рівнянь є розвязком зведеної однорідної системи рівнянь. Сума довільного розвязку неоднорідної системи і довільного розвязку зведеної однорідної системи є розвязком неоднорідної системи.

Нехай - частковий розвязок неоднорідної системи, а - довільний її розвязок, тоді - довільний розвязок зведеної однорідної системи. Отже

де - фундаментальна система розвязків зведеної однорідної системи. Тоді - загальний розвязок неоднорідної системи.

Приклади розвязання типових задач

Приклад 1. Розвязати систему лінійних рівнянь

1) методом Гауса;

) методом Жордана-Гауса.

Розвязання

1) Метод Гауса.

Запишемо систему лінійних рівнянь, що відповідає останній матриці

З цієї системи знаходимо:

Отже, отримали розвязок системи лінійних рівнянь:

Відповідь.

2) Метод Жордана-Гауса.

Отримали розвязок системи лінійних рівнянь:

Відповідь.

Приклад 2. Знайти ранг матриці

де - параметр.

Розвязання

За допомогою елементарних перетворень зведемо матрицю до ступінчастого вигляду:

Якщо , то в матриці

буде три ненульових рядки, при всіх інших значеннях - чотири. Отже, якщо , то ранг матриці дорівнює ; якщо , то ранг матриці дорівнює .

Приклад 3. Знайти ранг і максимальну лінійно незалежну підсистему системи векторів якщо

,

,

,

.

Розвязання

Розглянемо матрицю

,

векторами-рядками якої є вектори даної системи. За допомогою елементарних перетворень зведемо матрицю до ступінчастого вигляду:

Ранг матриці дорівнює , а отже і ранг системи векторів дорівнює . Перший, другий і четвертий вектори системи утворюють максимальну лінійно незалежну підсистему (а третій вектор є лінійною комбінацією цих векторів).

Приклад 4. Дослідити на сумісність та визначеність систему лінійних рівнянь

тобто зясувати, при яких значеннях система несумісна, а при яких - сумісна, зокрема - визначена чи невизначена.

Розвязання

Запишемо розширену матрицю даної системи й зведемо її до ступінчастого вигляду:

(Перший і четвертий рядок поміняли місцями.)

.

(Перший рядок помножили на і додали до кожного наступного, потім перший і четвертий стовпці поміняли місцями.) Отже, ми одночасно основну матрицю системи звели до ступінчастого вигляду:

,

а її розширену матрицю - до ступінчастого вигляду:

.

Якщо то

;

.

Оскільки при ранг основної матриці системи дорівнює , а ранг її розширеної матриці дорівнює , то при система рівнянь несумісна.

Якщо то

,.

Ранг матриці дорівнює і ранг матриці також дорівнює . У цьому випадку ранг основної матриці системи дорівнює рангу її озширеної матриці і він менший від числа невідомих, тому система рівнянь сумісна, невизначена.

Якщо відмінне від і , то ранг матриці дорівнює і ранг матриці також дорівнює . Отже, ранг основної матриці системи рівнянь дорівнює рангу її розширеної матриці і дорівнює числу невідомих. У цьому випадку система рівнянь сумісна, визначена.

Відповідь. Якщо то система рівнянь несумісна; якщо - сумісна, невизначена; якщо відмінне від і - сумісна, визначена.

Приклад 5. Знайти загальний розвязок і фундаментальну систему розвязків однорідної системи лінійних рівнянь

Розвязання

Перетворимо основну матрицю цієї системи:

.

Останній матриці відповідає система рівнянь:

Вільними невідомими будемо вважати , і . З другого рівняння знаходимо

.

Підставляючи це значення в перше рівняння, знайдемо:

.

Отже, загальний розвязок цієї системи рівнянь має вигляд:

Щоб дістати з загального розвязку фундаментальну систему розвязків, візьмемо послідовно

, , ;

, , ;

, , .

Тоді фундаментальну систему розвязків заданої системи рівнянь складатимуть такі вектори:

,

,

.

Приклад 6. Знайти однорідну систему лінійних рівнянь для якої вектори

утворюють фундаментальну систему розвязків.

Розвязання

Нехай - довільний розвязок шуканої системи рівнянь. Тоді він є лінійною комбінацією векторів і :

.

Якщо , то

Визначимо з третього рівняння , з другого і підставимо їх в перше і четверте рівняння. Отримаємо наступну систему рівнянь:

Остання система і є однорідною системою лінійних рівнянь для якої вектори

утворюють фундаментальну систему розвязків.

ВИСНОВКИ

В даній дипломній роботі розроблений електронний навчальний курс «Лінійна алгебра» у середовищі системи управління навчальними ресурсами MOODLE.

Даний курс, що охоплює елементи теорії векторних просторів та систем лінійних рівнянь, містить:

основні факти теоретичного матеріалу та приклади розвязання задач;

ІНДЗ;

підсумковий тест.

Курс допоможе науково-педагогічним працівникам у здійсненні диференційованого підходу при вивченні курсу лінійної алгебри, сприятиме повнішому і глибшому засвоєнню студентами навчального матеріалу, закріпленню його в памяті.

Використання електронного навчання та дистанційних технологій для підтримки денної форми навчання дозволяє не тільки економити час на заняттях та час викладача на перевірку різного роду завдань, але й допомагає інтенсифікувати весь процес навчання, приділити більше часу на розвиток комунікативних та творчих властивостей студентів і сприяє підвищенню ефективності самостійної роботи та її індивідуалізації.

Сподіваємось, що рекомендований навчальний курс значно полегшить самостійну навчальну діяльність студентів і фахову підготовку конкуренто-спроможних спеціалістів.

СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ

1.Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. 5-е изд. - М. Наука, 1984. - 319 с.

2.Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. - Наука, 2008. - 176 с.

3.Діскант В. І. та ін. Збірник задач з лінійної алгебри та аналітичної геометрії. - К.: Вища шк., 2009. - 303 с.

4.Завало С.Т., Костарчук В.М., Хацет Б.І. Алгебра і теорія чисел. ч. І. К. «Вища школа», 1976. - 384 с.

5.Завало С.Т. та ін. Алгебра і теорія чисел. Практикум. І. К. «Вища школа», 1976. - 288 с.

6.Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. - 3-е изд. - М.: Наука, 1980. - 280 с.

7.Козакова Г.О. Інформаційно-програмне забезпечення дистанційної освіти: зарубіжний і вітчизняний досвід. - К.: ВЦ «Просвіта», 2010. -233 с.

8.Курош А.Г. Курс вищої алгебри. М. «Наука», 1971. - 548 с.

9.Нові інформаційні технології навчання в навчальних закладах України: Наук.-метод. зб. - Одеса: Друк, 2003. - Вип. 9, ч. 1,2. - 246 с.

10.Сборник задач по математике для втузов/ Под ред. А.В. Ефимова, Б.П. Демидова. - М.: Наука, 1986. - 254 с.

11.Фадеєв Д.К., Сомінський І.С. Збірник задач з вищої алгебри. К. «Вища школа», 1971. - 320 с.

12.Філіпова Л.Я. Організація дистанційного навчання на базі Інтернет-технологій (зарубіжний досвід). - К.: НТІ, 2010. - 44 с.