Двойные интегралы

Содержание

Введение

. Двойные интегралы

.1 Понятие двойного интеграла

.2 Условия существования двойного интеграла

.3 Свойства двойного интеграла

.4 Сведение двойного интеграла к повторному

.4.1 Случай прямоугольной области

.4.2 Случай криволинейной области

.4.3 Примеры вычисления двойных интегралов сведением к повторному

.5 Замена переменных в двойном интеграле

.6 Двойной интеграл в полярных координатах

.7 Приложения двойных интегралов

.8 Применение двойного интеграла для вычисления объемов тел

. Две задачи на вычисление объемов тел

.1 Задача 1

.2 Задача 2

Заключение

Литература

Введение

Тема «Двойной интеграл» входит в программу изучения курса высшей математики по всех высших учебных заведениях.

Целью работы является

1.рассмотреть понятие двойного интеграла, его основные свойства,

2.изучить методы вычисления двойных интегралов,

.показать примеры вычисления,

.рассмотреть применение двойного интеграла для вычисления объемов различных тел,

.решить две задачи на вычисление объемов тел.

1. Двойные интегралы

.1 Понятие двойного интеграла

Рассмотрим на плоскости некоторую замкнутую кривую, уравнение которой .

x

y

Совокупность всех точек, лежащих внутри кривой и на самой кривой назовем замкнутой областью D. Если выбрать точки области без учета точек, лежащих на кривой, область будет называется незамкнутой область D.

С гометрической точки зрения D - площадь фигуры, ограниченной контуром.

Разобьем область на частичных областей сеткой прямых, отстоящих друг от друга по оси х на расстояние , а по оси у - на . Вообще говоря, такой порядок разбиения наобязателен, возможно разбиение области на частичные участки произвольной формы и размера.

Получаем, что площадь S делится на элементарные прямоугольники, площади которых равны .

В каждой частичной области возьмем произвольную точку и составим интегральную сумму

где f - функция непрерывная и однозначная для всех точек области D.

Если бесконечно увеличивать количество частичных областей , тогда, очевидно, площадь каждого частичного участка стремится к нулю.

Определение: Если при стремлении к нулю шага разбиения области D интегральные суммы имеют конечный предел, то этот предел называется двойным интегралом от функции по области D.

С учетом того, что получаем:

В приведенной выше записи имеются два знака S, т.к. суммирование производится по двум переменным х и у.

Т.к. деление области интегрирования произвольно, также произволен и выбор точек , то, считая все площади одинаковыми, получаем формулу:

1.2 Условия существования двойного интеграла

Сформулируем достаточные условия существования двойного интеграла.

Теорема. Если функция f(x, y) непрерывна в замкнутой области D, то двойной интеграл существует.

Теорема. Если функция f(x, y) ограничена в замкнутой области D и непрерывна в ней всюду, кроме конечного числа кусочно - гладких линий, то двойной интеграл существует.

.3 Свойства двойного интеграла

) Если функции и интегрируемы в области , то интегрируемы в ней их сумма и разность , причем

) Постоянный множитель можно выносить за знак двойного интеграла

,

) Если интегрируема в области D, а эта область разбита на две непересекающиеся области и , то

4) Теорема о среднем. Если функция непрерывна в области , то в этой области найдется точка , что

,

где - площадь фигуры .

) Если и интегрируемы в области , в которой , то

.

) Если интегрируема в области , то также интегрируема в ней, причем

.

) Если в области функция удовлетворяет неравенствам

, то

,

где - площадь фигуры .

1.4 Сведение двойного интеграла к повторному

.4.1 Случай прямоугольной области

Теорема. Пусть для функции в прямоугольнике существует двойной интеграл .

Пусть, далее, для каждого из отрезка существует определенный интеграл .

Тогда существует интеграл

(он называется повторным) и справедливо равенство

Пример. Вычислить , где .

Решение:

.

.4.2 Случай криволинейной области

Теорема. Пусть функция определена в области , где и - непрерывные функции, для . Пусть также существует двойной интеграл и для каждого из отрезка существует определенный интеграл

.

Тогда существует повторный интеграл

и справедливо равенство

.

Замечание. Если в теореме поменять ролями и , то теорема будет утверждать существование повторного интеграла

и равенства

.

Пример. Вычислить интеграл по области .

Решение. Область представляет собой треугольник, ограниченный осями координат и прямой . Следовательно, .

.

.4.3 Примеры вычисления двойных интегралов сведением к повторному

Пример 1. Вычислить интеграл , если область ограничена линиями: .

Решение:

x

4y

= .

Пример 2. Вычислить интеграл , если область ограничена линиями .

Решение.

Пример 3. Вычислить интеграл , если область интегрирования ограничена линиями .

Решение.

=

=

.5 Замена переменных в двойном интеграле

Пусть функция непрерывна в некоторой замкнутой ограниченной области . Тогда для функции существует двойной интеграл вида

.(1)

Предположим, далее, что с помощью формул

(2)

мы переходим к новым переменным и . Будем считать, что и определяются из (2) единственным образом:

.(3)

С помощью формул (3) каждой точке из области ставится в соответствие некоторая точка на координатной плоскости с прямоугольными координатами и . Пусть множество всех точек образует ограниченную замкнутую область . Формулы (2) называют формулами преобразования координат, а формулы (3) - формулами обратного преобразования.

При сделанных предположениях можно доказать, что если функции (2) имеют в области непрерывные частные производные первого порядка и если определитель отличен в от нуля,

(4)

то для интеграла (1) справедлива формула замены переменных

Определитель (4) называется функциональным определителем или Якобианом (по имени немецкого математика Якоби) функций по переменным и .

Пример. Вычислить интеграл , где - параллелограмм, ограниченный прямыми .

Решение. Сделаем замену переменных: .

Прямые и в системе координат переходят в прямые в системе координат , а прямые и в прямые и . Параллелограмм взаимно однозначно преобразуется в прямоугольник , который является более простой областью интегрирования. Осталось вычислить Якобиан. Для этого выразим и через и : . Следовательно,

.

Окончательно получаем

.

.6 Двойной интеграл в полярных координатах

В двойном интеграле перейдем к полярным координатам по формулам .

В этом случае Якобиан имеет вид:

Тогда

.7 Приложения двойных интегралов

. Площадь плоской области равна двойному интегралу от дифференциала площади , распространенному на область .

(5)

В прямоугольных декартовых координатах элемент площади выражается формулой , поэтому

(6)

Поскольку в криволинейных координатах элемент площади

,

где - Якобиан преобразования , переводящий область в область , то площадь

(7)

В частности в полярных координатах

(8)

2. Объем цилиндроида, ограниченного сверху непрерывной поверхностью , снизу - плоскостью и с боков - прямой цилиндрической поверхностью, вырезающей из плоскости область , вычисляется по формуле

.(9)

3. Площадь гладкой поверхности выражается формулой

,(10)

где - проекция данной поверхности на плоскость .

Площадь поверхности, заданной уравнением , выражается интегралом

,(11)

где - проекция данной поверхности на плоскость .

. Если - область плоскости , по которой распределена масса с поверхностной плотностью , то масса этой области (пластинки) определяется формулой

,(12)

а статические моменты и относительно и - формулами

.(13)

5. Если - центр тяжести пластинки, то

,(14)

где - масса пластинки; , - статические моменты относительно осей координат.

Если пластинка однородна, т. е. , то формулы (14) принимают вид:

,(15)

6. Моменты инерции пластинки относительно осей и соответственно выражаются формулами:

,(16)

а ее момент инерции относительно начала координат - формулой

, (17)

1.8 Применение двойного интеграла для вычисления объемов тел

Объем криволинейного цилиндра, ограниченного сверху поверхностью , снизу плоскостью и с боковых сторон цилиндрической поверхностью, у которой образующие параллельны оси , а направляющей служит контур области , вычисляется по формуле

.

Пример 1. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями

и .

Решение. Имеем , где - треугольная область интегрирования, ограниченная прямыми . Расставляя пределы интегрирования в двойном интеграле, получаем

.

Ответ: (куб.ед.)

Пример 2. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями .

Решение. Искомое тело представляет собой цилиндроид, с образующими параллельными оси , ограниченный сверху частью поверхности параболоида вращения , снизу - областью плоскости , заключенный между параболой , осью и прямой . Применяя формулу вычисления объема тела , находим

Ответ: (куб.ед.)

Пример 3. Вычислить объем тела, ограниченного сверху поверхностью , снизу - плоскостью и с боков - круговым цилиндром .

Решение. Объем данного тела равен

,

где - круг , вырезаемый данным цилиндром на плоскости .

Перейдя к полярным координатам, вычислим этот интеграл

.

Ответ: (куб.ед.)

Пример 4. Вычислить объем тела, ограниченного сверху гиперболическим параболоидом , снизу - плоскостью и с боков - цилиндрической поверхностью, образующая которой параллельна , а направляющая - граница области , определяемая уравнениями:

.

Решение. Искомый объем выражается формулой

,

где область ограничена линиями:

.

Чтобы вычислить этот двойной интеграл, перейдем к криволинейным координатам по формулам:

,(1)

из которых выражаются и :

.(2)

Преобразование (1) отображает область плоскости на прямоугольник плоскости , определяемый неравенствами: . Якобиан этого преобразования

.

Следовательно,

.

Ответ: (куб.ед.)

двойной повторный интеграл объем

2. Две задачи на вычисление объемов тел

.1 Задача 1

Оси двух круговых цилиндров с одинаковыми поперечными сечениями пересекаются под прямым углом. Вычислить объем общей части этих цилиндров.

Решение: Уравнения круговых цилиндров имеют следующий вид:

I цилиндр:

II цилиндр:

Тело, образуемое при пересечении двух цилиндров, ограничено сверху поверхностью

:

Объем общей части этих цилиндров равен двойному интегралу

,

Где . - круг, вырезанный цилиндром на плоскости . Согласно условию задачи нас интересует 1 четверть плоскости .

.

Ответ: (куб.ед.)

2.2Задача 2

Вычислить объем шара, ограниченного сферой

Решение. Чтобы вычислить объем всего шара, найдем объем части шара в 1 октанте, т.к. в других октантах объем будет тот же.

Тогда общий объем равен

- берем 1 четверть круга.

Перейдем к полярным координатам по формулам .

В этом случае Якобиан имеет вид:

Ответ. (куб. ед.)

Заключение

В первой части данной работы рассмотрели понятие двойного интеграла, основные свойства двойных интегралов. Изучены методы вычисления двойных интегралов и приведены примеры. Также рассмотрено применение двойного интеграла для вычисления объемов различных тел.

Во второй части, согласно изученному теоретическому материалу из первой части, решены две задачи на вычисление объемов тел.

Литература

1.Гусак А.А. Задачи и упражнения по высшей математике. Ч.2. - Минск, 1973

2.Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2-ч ч. Ч.2. - М.: Высш. шк., 1999

.Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. - М: Наука, 1978 - 624 с.

.Шипачев В.С. Высшая математика. Учеб. Для вузов. 5-е изд. - М.: Высшая школа, 2001 - 479 с.