Сходимость ряда на концах интервала. Дифференциальные уравнения. Задачи на неопределённый интеграл

Контрольная работа по высшей математике

1. Ситуационная (практическая) задача № 1

Написать три первых члена степенного ряда по заданному общему члену , найти интервал сходимости ряда и исследовать его сходимость на концах этого интервала.

Решение.

Подставив последовательно , запишем данный ряд в виде:

Так как среди коэффициентов ряда нет коэффициентов равных нулю, находим радиус сходимости ряда по формуле:

,

где

,

,

.

Следовательно, ряд сходится при:

Исследуем сходимость ряда на концах полученного интервала.

При данный ряд принимает вид:

Сравним ряд с гармоническим рядом .

Применим второй признак сравнения:

Так как полученный предел конечен и не равен нулю, а гармонический ряд расходится, то ряд также расходится по второму признаку сравнения положительных рядов.

При данный ряд принимает вид:

.

Последний ряд является знакочередующим рядом.

По признаку Лейбница знакопеременный ряд сходится, если выполняются два условия:

.

.

,

т.е.

Выполняются два условия сходимости знакочередующего ряда, т.е. по признаку Лейбница ряд сходится.

Но знакопеременный ряд сходится условно, так как расходится ряд, составленный из абсолютных величин этого ряда .

Ответ. Область сходимости данного ряда

2. Ситуационная (практическая) задача № 2

Найти общее решение дифференциального уравнения и частное решение, удовлетворяющее начальному условию

Решение.

Дано дифференциальное уравнение 1 порядка. Решаем его по методу Бернулли.

Заменим функцию произведением двух неизвестных функций и , положим .

Тогда:

Подстановка и в уравнение дает

.

Преобразуем это уравнение:

Положим , и тогда:

при любом значении .

Из уравнения находим:

При найденном значении линейное уравнение принимает вид: . Подставляем значение в уравнение , получим

Зная, что и , находим:

Проверка.

,

Подставим значения и в заданное уравнение

Получили тождество, следовательно, найденное решение уравнения правильно.

Находим частное решение при .

- частное решение при

Ответ: - общее решение уравнения.

- частное решение при

3. Тестовые задания

ряд сходимость лейбниц дифференциальный уравнение интеграл

1. Применяя таблицу интегралов и метод замены переменных, найти неопределённый интеграл:

А. ,

Б. ,

В. ,

Г.

Ответ. А.

. Применяя метод интегрирования по частям, найти неопределённый интеграл:

А.,

Б. ,

В. ,

Г.

Ответ. А.

3. Применяя метод интегрирования рациональных алгебраических функций, найти неопределённый интеграл:

А. ,

Б.

В.

Г.

Ответ. Г.

. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций

,

А. 3/2;

Б. 125/6;

В. 9/2;

Г. 9

Ответ. В. 9/2

5. Вычислить:

А. ,

Б. ,

В. ,

Г.

Ответ. В.

. Выберите сходящийся ряд:

А. ,

Б. ,

В. ,

Г.

Ответ. А.

7. Выберите абсолютно сходящийся ряд:

А. ,

Б. ,

В. ,

Г.

Ответ. Г.

. В точке ряд

А. расходится,

Б. сходится абсолютно,

В. сходится условно,

Г. может, как сходиться, так и расходиться.

Ответ. А. расходится

. При каком значении параметра функция является решением уравнения

А. ,

Б.,

В. ,

Г.

Ответ. А. .

10. Найти общее решение уравнения:

А. ,

Б. ,

В.,

Г.

Ответ. А.