Системи лінійних алгебраїчних рівнянь та основні методи їх розв’язування

Міністерство освіти та науки України

Харківський національний педагогічний університет імені Г.С. Сковороди

Кафедра математики

Курсова робота з теми:

Системи лінійних алгебраїчних рівнянь та основні методи їх розвязування

Харків - 2010 р.

Вступ

Так звана лінійна алгебра виросла з розвязування систем двох та трьох лінійних рівнянь з двома та трьома невідомими. Такі системи вміли розвязувати ще стародавні вавилоняни. У звязку з пошуком найбільш раціональних прийомів розвязування n лінійних рівнянь з n невідомими виникла та почала розвиватися у XVII ст. теорія визначників.

Механічне правило розвязування систем двох лінійних рівнянь за їх коефіцієнтами описав у своїй книзі «Про велике мистецтво» (1545) італійський математик Дж. Кардано.

Основи теорії визначників заклав швейцарський математик Габріель Крамер. Відома під назвою «правило Крамера» теорема була ним сформульована та доведена у 1750 р. у його роботі «Вступ до аналізу кривих ліній».

Апарат теорії визначників недостатній для вивчення таких систем лінійних рівнянь, у яких кількість невідомих не співпадає з кількістю рівнянь. Тому була розроблена теорія матриць, яка досягла найвищого розвитку у XIX ст.

Тема даної курсової роботи: системи лінійних алгебраїчних рівнянь та основні методи їх розвязування.

Мета: систематизувати теоретичні знання про системи лінійних алгебраїчних рівнянь та основні методи їх розвязування, а також показати практичне застосування цих методів.

Згідно мети поставлено наступні завдання: проаналізувати літературу та інші джерела з даної теми; сформулювати основні означення щодо систем лінійних алгебраїчних рівнянь; розкрити зміст основних методів розвязування систем лінійних алгебраїчних рівнянь; показати практичне застосування цих методів.

Розділ 1. Системи лінійних рівнянь

1.1 Основні означення

Розглянемо систему m лінійних рівнянь з n невідомими

аij - коефіцієнти системи (1),- вільні члени системи (1), аij, bi є R,, x2 , … , xn - невідомі.

Розвязком системи (1) називається така сукупність значень невідомих x1= ?1, x2= ?2, …, xn= ?n, яка при підстановці у рівняння системи перетворює їх на тотожності.

Зауваження 1.

Будемо вважати, що в системі (1) в кожному рівнянні є хоча б один коефіцієнт, відмінний від нуля.

В системі (1) при кожній зміні є хоча б один коефіцієнт, відмінний від нуля.

Означення 1.

Матриця

складена з коефіцієнтів аij при невідомих x1, x2, … , xn , називається основною, а матриця

розширеною матрицею системи (1).

Зауваження 2.

Система (1) та матриця А однозначно визначають одна одну.

Означення 2.

Система (1) називається сумісною, якщо вона має хоча б один розвязок і несумісною, якщо розвязків немає.

Означення 3.

Система (1) називається визначеною, якщо вона має лише один розвязок і невизначеною, якщо вона має більше, ніж один розвязок.

Означення 4.

Система (1) називається однорідною, якщо праві частини її містять лише нулі, тобто b1 = b2 = … = bm = 0.

Означення 5.

Рангом довільної прямокутної матриці А називається кількість ненульових рядків еквівалентної ступінчастої матриці.

Позначимо ранг А = r, ранг А? = r1 .

r ? r1 ? r + 1

Випадок 1. r = r1 = n. Система (1) сумісна і визначена.

Із (*) з останнього рівняння знайдемо xn. = bn / ann. Підставимо його у попереднє рівняння і знайдемо x(n-1). Продовжуючи цей процес, знайдемо весь розвзок системи (1).

Випадок 2. r1 = r + 1.

br+1 ? 0 0?x1 + 0?x2 + … + 0?xn = br+1 ? 0 .

Система (1) несумісна.

Випадок 3. r = r1 < n.

Після відповідної перенумерації змінних можна вважати, що система (1) еквівалентна системі :

Змінні yr+1, yr+2, … , yn -

вільні невідомі. Надаючи їм довільних значень, будемо отримувати сумісну і визначену систему відносно змінних y1, y2, …, yr, розвязки якої знаходяться як у випадку 1.

Таким чином, система (1) має безліч розвязків, а одже є сумісною і невизначеною.

Нехай поряд з системою (1) маємо іншу систему рівнянь з тими самими невідомими x1, x2, …, xn :

Означення 6. Система (2) називається наслідком системи (1), якщо будь-який розвязок системи (1) є одночасно і розвзком системи (2).

Надалі символічно таке відношення систем записуватимемо у вигляді (1) (2).

Означення 7. Системи (1) і (2) називаються рівносильними, якщо будь-який розвзок однієї з них є одночасно розвзком іншої, або якщо обидві системи несумісні.

Символічно таке відношення записуватимемо у вигляді (1) (2).

Зрозуміло, що перетворення системи (1) шляхом застосування дій почленного додавання і віднімання, а також множення рівнянь на скаляри дає змогу одержати нову систему лінійних рівнянь, яка буде наслідком заданої, але необовязково рівносильною їй.

Означення 8. Елементарними перетвореннями системи лінійних рівнянь (1) називаються перетворення таких трьох типів :

Множення правої та лівої частин будь-якого рівняння системи на елемент ? ? 0.

Додавання до правої та лівої частин будь-якого рівняння системи відповідно правої та лівої частин другого рівняння цієї системи, помножених на елемент ?.

Перестановка місцями двох будь-яких рівнянь системи.

Будь-яке елементарне перетворення системи рівнянь (1) відтворюється на матрицях А і А' у вигляді їх аналогічного елементарного перетворення. Пряме й обернене твердження : будь-яке елементарне перетворення розширеної матриці А' знаходить відображення у вигляді аналогічних дій з рівняннями системи. Зокрема, якщо (1) - система однорідних рівнянь, тоді така відповідність перетворень вірна для неї та основної матриці А.

Теорема 1. Нехай з системи лінійних рівнянь (1) за допомогою послідовних елементарних перетворень одержали систему (2). Тоді системи (1) і (2) - рівносильні.

Доведення. Доведемо теорему для випадку, коли система (2) одержується із системи (1) за допомогою одного елементарного перетворення. Припустимо, що таким елементарним перетворенням є перетворення типу 2. Нехай, наприклад, до лівої та правої частин першого рівняння додали відповідно ліву та праву частини другого, помножені на ?. Тоді система (2) набуде вигляду:

Зрозуміло, що (1) (2) . Але із системи (2) отримана система одержується за допомогою подібного перетворення: потрібно до першого рівняння із системи (2) додати друге рівняння, помножене на -?.

Отже, (1) (2).

Теорему доведено.

Якщо система (1) перетворена шляхом декількох елементарних перетворень, в результаті яких одержали нову систему (2), то практично таку трансформацію простіше здійснити, якщо відразу залучити для цієї мети розширену матрицю А'. Припустимо, що за допомогою декількох послідовних елементарних перетворень вона трансформована в нову матрицю:

Позначимо звзок між цими матрицями знаком еквівалентності, тобто А' ~ С'. Тоді система (1) рівносильна системі:

з розширеною матрицею С'.

1.2 Класифікація методів розвязування СЛАР

Методи розвязування СЛАР можна досить чітко поділити на три групи: точні, ітераційні та ймовірнісні. За Бахваловим (1987 р.), точні методи застосовні до систем з числом змінних до порядку 104, ітераційні - 107.

Точні методи.

До таких відносяться методи, що дають точний результат у припущенні ідеальної арифметики.

Матричний метод <#"justify">1.3 Матричний спосіб

Розглянемо систему n лінійних рівнянь з n невідомими

Її можна записати у матричному вигляді. Для цього позначимо:

Систему (3) з урахуванням (4) можна записати як

AX = B. (5)

Якщо існує А-1 (тобто якщо det A ? 0), то домноживши обидві частини рівності (5) на А-1 одержуємо:

(А-1А)X = А-1B.

Враховуючи властивості добутку, маємо:

EX = А-1B.

Оскільки EX = X, то остаточно одержуємо:

X = А-1B. (6)

(6) - це розвязок системи (3) у матричній формі.

1.4 Метод Гаусса

Серед різних лінійних перетворень системи лінійних рівнянь важливо знайти рівносильні перетворення. Один з типів рівносильних перетворень можна будувати за схемою Гаусса, послідовно виключаючи з системи рівнянь невідомі величини.

Метод Гаусса є одним з найбільш ефективних методів розвязування систем лінійних рівнянь. Схема обчислень за цим методом досить проста.

Важливо також і те, що в ході самих обчислень без додаткового дослідження встановлюється та або інша особливість заданої системи: сумісна вона чи несумісна, визначена чи невизначена.

Розглянемо систему (1).

Серед коефіцієнтів ai1 при невідомому x1 хоч один повинен не дорівнювати нулю. Якщо всі вони дорівнюють нулю, то система просто не містить невідомого x1 і, отже, не є системою з n невідомими. Припустимо для спрощення запису, що саме a11 ? 0. Тоді в усіх рівняннях системи (1), починаючи з другого, можна виключити невідоме x1. Для того, щоб виключити його з другого рівняння, треба помножити перше рівняння на множник і відняти результат від другого рівняння. Аналогічно виключається x1 і з усіх інших рівнянь системи. В результаті дістанемо таку систему m вивідних рівнянь:

am1x1 + am2x2 + … + amnxn) - (a11x1 + a12x2 + … + a1nxn) = bm - b1

або після скорочень і зведення подібних членів

де символом a?ik (i = 2, 3, …, m; k = 2, 3, …, n) позначені нові коефіцієнти a?ik = aik - a1k.

Встановимо, що системи (1) і (1.2) рівносильні. Справді, система (1.2) за побудовою є вивідною з системи (1). Але легко побачити, що й навпаки - система (1) є вивідною з системи (1.2). Якщо, наприклад, до другого рівняння системи (1.2) додати перше рівняння, помножене на число , то дістанемо друге рівняння системи (1). Аналогічно дістанемо й інші рівняння ситеми (1). Оскільки ситеми (1) і (1.2) взаємно вивідні, то вони рівносильні.

Система (1.3), одержана внаслідок рівносильного перетворення, має таку будову: перше рівняння системи (1.3) збігається з першим рівнянням системи (1), а всі інші рівняння утворюють підсистему m-1 рівнянь з n1 невідомими, де n1 ? n-1:

Ця підсистема не містить невідомого x1; вона може не мати і якихось інших невідомих. Проте для спрощення викладок вважатимемо, що вона містить x2 і що саме a?22 ? 0. Застосовуючи до системи (1.4) міркування, викладені при перетворенні системи (1), дістанемо систему лінійних рівнянь виду

a?22x2 + a?23x3 + … + a?2nxn = b?2

рівносильну підсистемі (1.4). Приєднуючи до системи (1.5) ще й перше рівняння a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1, дістанемо систему лінійних рівнянь

рівносильну системі (1.3). Оскільки системи (1.3) і (1) рівносильні, то система лінійних рівнянь (1.6) рівносильна первісній системі (1). Цей процес рівносильних перетворень можна продовжити доти, поки виключенні чергового r-го невідомого з останніх m-r рівнянь в одержуваних рівняннях усі коефіцієнти при невідомих виявляться рівними нулю. Отже, ми дістанемо нарешті систему лінійних рівнянь, яку в загальному вигляді можна записати так:

Для спрощення запису всі коефіцієнти при невідомих тут позначені буквою с з двома індексами. При цьому перші коефіцієнти сkk ? 0 (1 ? k ? r) за самою побудовою системи (1.7) і відповідно до зроблених припущень a11 ? 0, a?22 ? 0, a??33 ? 0, … . Якщо не робити цих припущень і не перенумеровувати в разі потреби невідомі, ми дістанемо систему лінійних рівнянь більш загального вигляду, але обовязково з ступінчастою матрицею.

1.5 Метод Жордано-Гаусса

Метод Жордано-Гаусса (повного виключення невідомих) - метод, який використовується для вирішення квадратних систем лінійних алгебраїчних рівнянь, знаходження оберненої матриці, знаходження координат вектора у заданому базисі або відшукання рангу матриці. Він є модифікацією методу Гаусса.

Алгоритм.

. Обирають перший зліва стовпчик матриці, у якому є хоча б одне відмінне від нуля значення.

. Якщо перше число у цьому стовпчику є нулем, то весь перший рядок матриці міняють місцями з іншим рядком, де у цьому стовпчику немає нуля. 3. Усі елементи першого рядка ділять на верхній елемент обраного стовпчика.

. Від рядків, що залишились віднімають перший рядок, помножений на перший елемент відповідного рядка, з метою отримати першим елементом кожного рядка (крім першого) нуль.

. Далі виконують ті ж самі дії з матрицею, отриманою з вихідної матриці після викреслювання першого рядка та першого стовпця.

. Після повторення цих дій (n-1) разів отримують верхню трикутну матрицю.

. Віднімаємо з передостанньго рядка останній, помножений на відповідний коефіцієнт, для того, щоб у передостанньому рядку залишилась тільки одиниця на головній диагоналі.

. Повторюють попередній шаг для наступних рядків. У кінці отримують одиничну матрицю і розвязок на місці вільного вектора.

. Щоб отримати обернену матрицю, потрібно застосувати всі дії у тому ж порядку до одиничної матриці.

1.6 Формули Крамера

Розглянемо систему n лінійних рівнянь з n невідомими

Означення 9. Визначник

називається визначником системи.

Розглянемо визначники :

які утворилися із визначника системи шляхом заміни коефіцієнтів при k-му невідомому вільними членами системи.

Теорема 2 (Крамера). Якщо визначник ? системи (7) не дорівнює нулю, то система сумісна й має єдиний розвзок, який визначається за формулами:

x1 = ?1/ ? , x2 = ?2/ ?, … , xn = ?n/ ? (8)

Доведення.

Помножимо перше рівняння системи на А11, друге - на А21, ... , n-е на Аn1 і всі отримані рівняння додамо. Тоді дістанемо рівняння

x1(a11A11 + a21A21 + … + an1An1) + x2(a12A12 + a22A22 + … + an2An2) + … + xn(a1nA1n + a2nA2n + … + annAnn) = b1A11 + b2A21 + … + bnAn1. (9)

В рівнянні (9) коефіцієнти при всіх невідомих, крім коефіцієнта при x1, який дорівнює визначнику системи ?, дорівнюють нулю. Права частина рівняння становить розкладання визначника ? за елементами першого стовпця, тобто дорівнює визначнику ?1. Отже, рівняння (9) можна записати у вигляді :

??x1 = ?1. (10)

Аналогічно дістанемо рівняння

??x2 = ?2, ??x3 = ?3, … , ??xn = ?n. (11)

Система рівнянь (10), (11) добута з системи (7) і є її наслідком.

З системи рівнянь (10), (11) випливають рівняння (7), оскільки за умовою ? ? 0. Справді, помноживши рівняння (10) на a11, перше рівняння (11) - на a12, … , n-е - на а1n і додавши всі утворені рівняння, дістанемо

?(a11x1 + a12x2 + … + a1nxn) = b1(a11A11 + a12A12 + … + a1nA1n) + b2(a11A21 + a12A22 + + … + a1nA2n) + … + bn(a11An1 + a12An2 + … + a1nAnn).

У цьому рівнянні дорівнюють нулю коефіцієнти при всіх вільних членах системи (7), крім коефіцієнта при b1, який дорівнює ?. Після скорочення на ?, отримаємо перше рівняння системи (7). Аналогічно можна дістати й всі інші рівняння цієї системи.

Отже, система рівнянь (7) тотожна системі рівнянь (10), (11). Оскільки остання має єдиний розвязок (8), то він є також єдиним розвязком системи (7).

Теорему доведено.

1.7 Теорема Кронекера-Капеллі

Теорема 3 (Кронекера - Капеллі). Для того, щоб система (1) була сумісною, необхідно й достатньо, щоб ранг матриці А (r) дорівнював рангу розширеної матриці А' (r1).

Доведення. Доведемо спочатку достатність умови теореми.

Нехай r = r1. Припустимо, що базисний мінор матриці А розміщений у лівому верхньому куті:

Згідно з теоремою про базисний мінор, перші r рядків матриці А' лінійно незалежні, а інші її рядки - лінійні комбінації перших r рядків. Це означає, що в системі (1) перші r рівнянь незалежні, а інші (m - r) її рівнянь - їх наслідки. Тому досить розвязати систему, яка складається з r перших рівнянь:

Зрозуміло, що r ? n. Розглянемо два випадки.

Нехай r = n. Тоді маємо систему, в якої число рівнянь дорівнює числу невідомих, причому визначник цієї системи ? ? 0. Така система має єдиний розвязок, який можна знайти за формулами Крамера, або за методом Гаусса.

Нехай r < n. Тоді рівнянь менше, ніж невідомих. Перепишемо систему у вигляді:

Оскільки визначник ? ? 0, то з цієї системи можна знайти (або за формулами Крамера, або за методом Гаусса) невідомі x1, x2, … , xr, виражені через xr+1, xr+2, … , xn. Перші називаються головними (базисними), другі - вільними (параметричними).

Надаючи вільним невідомим довільних значень, отримуємо відповідні значення головних невідомих. Отже, у розглядуваному випадку система має нескінченну множину розвязків, чим і закінчується доведення достатності теореми.

Доведемо необхідність умови теореми.

Нехай система (1) сумісна і x1 = ?1, x2 = ?2, … , xn = ?n - її розвязок. Тоді

звідки випливає, що стовпець вільних членів розширеної матриці є лінійною комбінацією інших її стовпців, тобто стовпців матриці А. Тому r1 ? r. Але з іншого боку, оскільки r ? r1, то r = r1, що й треба було довести.

1.8 Однорідні системи лінійних рівнянь

Розглянемо систему m лінійних рівнянь з n невідомими

Така система завжди сумісна,оскільки її розвязком буде x1= … =xn=0, що називається тривіальним.

Нехай ранг А = r і базисний мінор цієї матриці для певності розміщений у її лівому верхньому кутку. Тоді можна залишити в системі перші r рівнянь:

Розглянемо два випадки:

Нехай r = n. Тоді маємо систему, в якої число рівнянь дорівнює числу невідомих, причому визначник цієї системи ? ? 0. З теореми Крамера у цьому разі випливає, що система має тільки тривіальний розвязок.

Нехай r < n. Запишемо систему у вигляді:

Оскільки визначник ? ? 0, то

де ?ik = (i = 1, …, r; k = 1, …, n-r) - деякі визначені коефіцієнти, конкретні значення яких зараз не цікавлять. Надаючи вільним невідомим xr+1, xr+2, …, xn довільних значень, дістанемо відповідні значення головних невідомих x1, x2, …, xr.

Із наведених міркувань випливає

Теорема 4. Система лінійних однорідних рівнянь (12) має ненульові розвязки тоді і тільки тоді, коли ранг матриці А системи менший ніж n.

З цієї теореми безпосередньо випливає

Теорема 5. Однорідна система n лінійних рівнянь з n невідомими має ненульові розвзки тоді і тільки тоді, коли її визначник дорівнює нулю.

Покладемо послідовно

лінійний алгебраїчний рівняння крамер

так, щоб матриця, складена з величин aik (i = 1, …, n-r; k = r+1, …, n), мала ранг n-r. Тоді за допомогою рівностей (13) знайдемо

Отже ми отримали n-r звязків лінійної однорідної системи, які запишемо у вигляді матриць-рядків:

Очевидно, що ці n-r розвязків лінійно незалежні, оскільки ранг матриці, складеної з них, дорівнює n-r.

Покажемо, що будь-який розвязок системи (12) у розглядуваному випадку є лінійною комбінацією добутих розвязків.

Справді, нехай x0 = (a01, a02, …, a0r, a0r+1, …, a0n) - який-небудь розвязок системи (12). Ранг системи стовпців матриці:

дорівнює n-r, оскільки її перші r стовпців є лінійними комбінаціями решти (n-r) стовпців у силу способу їх отримання із рівностей (13). За наслідком з теореми про базисний мінор можна зробити висновок, що ранг системи рядків написаної матриці також дорівнює n-r. Проте перші n-r рядків цієї матриці лінійно залежні, а тому, за теоремою про базисний мінор, останній її рядок є їх лінійною комбінацією, що й треба було довести.

Означення 10. Сукупність лінійно незалежних розвязків системи (12) називається фундаментальною, якщо кожний розвязок її є лінійною комбінацією цих розвязків.

Зрозуміло, що коли система (12) має хоча б одну фундаментальну систему, то вона має їх нескінченну множину. При цьому кожна фундаментальна система складається точно з (n-r) лінійно незалежних розвязків системи (12).

З наведених міркувань випливає, що при r < n довільний розвязок лінійної однорідної системи є лінійною комбінацією розвязків фундаментальної системи, тобто його можна отримати за формулою

x = ?1x1 + ?2x2 + … + ?n-rxn-r (14)

при деяких значеннях сталих ?1, ?2, ..., ?n-r. Ця формула називається формулою загального розвязку системи (12).

Як видно, для відшукання загального розвязку лінійної однорідної системи досить знайти одну з її фундаментальних систем. Найчастіше при визначенні фундаментальної системи розвязків роль лінійно незалежних наборів вільних невідомих відіграють рядки квадратної (n-r) * (n-r) - матриці

Відповідна фундаментальна система розвязків називається нормальною фундаментальною системою розвязків.

Звернемося до неоднорідної системи рівнянь (1). Якщо в цій системі замінити вільні члени нулями, то дістанемо однорідну систему, яка відповідає неоднорідній і називається зведеною.

Нехай x1, x2, …, xn-r - фундаментальна система розвязків зведеної системи і x0 = (a01, a02, …, a0n) - який-небудь розвязок системи (1). Безпосередньою перевіркою легко переконатися, що рядок

x = x0 + ?1x1 + ?2x2 + … + ?n-rxn-r (15)

є розвязком системи (1). Більш того, можна довести, що кожний розвязок цієї системи можна зобразити саме у такому вигляді, тобто формула (15) визначає загальний розвязок системи (1).

Отже, загальний розвязок неоднорідної системи лінійних рівнянь - це сума загального розвязку зведеної системи і якого-небудь окремого розвязку даної неоднорідної системи.

Розділ 2. Практичне застосування методів розвязування СЛАР

2.1 Приклад розвязання СЛАР матричним способом

Дано систему

Виписуємо матрицю порядку 3×4, де останній стовпчик є стовпчиком вільних членів:

Виконаємо наступні дії:

До рядка 2 додамо рядок 1, помножений на -4.

До рядка 3 додамо рядок 1, помножений на -9.

Отримаємо:

До рядка 3 додамо рядок 2, помножений на -3.

Рядок 2 поділимо на -2.

До рядка 1 додамо рядок 3, помножений на -1.К строке 1 добавим: ?1 × Строку 3.

До рядка 2 додамо рядок3, помножений на -3/2.

До рядка 1 додамо рядок 2, помножений на -1.

У правому стовпчику отримуємо розвязок:

2.2 Приклад розвязання СЛАР методом Гаусса

Дано систему

Виписуємо розширену матрицю:

Виконуємо такі дії:

До 2 рядка додаємо 4, помножений на -1.

До 1 рядка додаємо 2, помножений на -3.

До 3 рядка додаємо 2, помножений на -2.

До 4 рядка додаємо 2, помножений на -4.

До 2 рядка додаємо 3, помножений на -1.

До 2 рядка додаємо 3, помножений на -2.

До 4 рядка додаємо 3, помножений на -5.

3 рядок додаємо до 4.

Отримуємо:

Розвязок системи:

2.3 Приклад розвязання однорідної системи

Дано систему

Виписуємо розширену матрицю:

Виконуємо наступні дії:

Додаємо до 2 рядка 1, помножений на -2.

Додаємо до 3 рядка 1, помножений на -1.

Додаємо до 4 рядка 1, помножений на -4.

Додаємо до 4 рядка 2, помножений на -1.

3 рядок ділимо на 3.

рядок помножимо на 3.

рядок помножимо на -5.

Додаємо 2 рядок до 3.

Виписуємо систему.

Розвязок:

2.4 Приклад розвязання СЛАР за формулами Крамера

Дано систему:

Визначник системи:

тому система має єдиний розвязок. Знаходимо ?1, ?2, ?3.

За формулами Крамера

x1 = -16/(-8) = 2; x2 = 0/(-8) = 0; x3 = 8/(-8) = -1.

Висновки

Проаналізувавши літературу та інші джерела з даної теми, були сформульовані основні означення щодо систем лінійних алгебраїчних рівнянь. Було зроблено доведення визначальних теорем, розкритий зміст основних методів розвязування СЛАР.

Показавши їх практичне застосування, було доведено, що всі розглядувані методи є ефективними для знаходження розвязків систем лінійних алгебраїчних рівнянь.

Найбільш зручним виявився метод виключення невідомих Гаусса, так як він має досить просту схему та дозволяє без додаткових досліджень в ході самих обчислень визначити особливості заданої системи: сумісна вона чи несумісна, визначена чи невизначена.

На відміну від метода Гаусса, метод Крамера є непридатним до практичного використання через обчислювальну складність і малу точність, оскільки вимагає обчислення визначників <#"justify">Список використаної літератури

1.Александров П.С. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. - М.: Наука, 1979. - 512 с.

2.Бакельман И.Я. Аналитическая геометрия и линейная алгебра. - М.: Просвещение, 1976. - 288 с.

.Глейзер Г.И. История математики в школе. - М., 1983. - 352 с.

.Глухов М.М, Солодовников А.С. Задачник - практикум по высшей алгебре. - М.: Просвещение, 1969. - 276 с.

.Демидович Б.П., Кудрявцев В.А. Краткий курс высшей математики. - М.: Астрель, 2001. - 640 с.

.Завало С.Т., Костарчук В.М., Хацет Б.І. Алгебра і теорія чисел, ч.1. - К.: Вища шк., 1974. - 464 с.

.Курош А.Г. Курс высшей алгебры. - М.: Наука, 1975. - 432 с.

.Назієв Е.Х. та ін. Лінійна алгебра та аналітична геометрія: Навч. посібник / Е.Х. Назієв, В.М. Владіміров, О.А. Миронець. - К.: Либідь, 1997. - 152 с.

.Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления, т.2. - М.: Наука, 1976. - 576 с.

.Чарін В.С. Лінійна алгебра. - 2-е вид., стер. - К.: Техніка, 2005. - 416 с.