Рівняння Ріккаті

КУРСОВА РОБОТА

РІВНЯННЯ РІККАТІ

План

Вступ

1.Загальні властивості рівняння Ріккаті

2.Прості випадки інтегрованості в квадратурах

.Побудова загального розвязку у випадку, коли відомий один частинний розвязок

.Структура загального розвязку

.Структура загального розвязку, коли відомо два або три частинних розвязки

.Спеціальне рівняння Ріккаті

Висновок

Список використаної літератури

Вступ

Передумови для появи теорії диференціальних рівнянь склалися в другій половині XVII ст., коли математики наблизилися до усвідомлення взаємно оберненого характеру двох основних операцій аналізу нескінченно малих - диференціювання та інтегрування.

Вивчаючи явища природи, розвязуючи різноманітні задачі з фізики, техніки, біології, економіки, не завжди можна безпосередньо встановити прямий звязок між величинами, що описують той чи інший еволюційний процес. Здебільшого можна встановити звязок між цими величинами (функціями) та швидкостями їхньої зміни відносно інших (незалежних) змінних величин. При цьому виникають рівняння, в яких невідомі функції містяться під знаком похідної. Ці рівняння називаються диференціальними.

Прикладом найпростішого диференціального рівняння є рівняння

,

де f (х) - відома, а у (х) - шукана функція незалежної змінної х. Розвязки цього рівняння називають первісними функціями для функції f(х). Наприклад, розвязками диференціального рівняння

є функції

де С - довільна стала, причому інші розвязків це рівняння не має.

Мати безліч розвязків - характерна властивість диференціальних рівнянь. У цьому розумінні наведений приклад типовий. Тому розвязавши диференціальне рівняння, яке описує перебіг певного процесу, не можна одночасно знайти залежність між величинами, що характеризують цей процес. Щоб вибрати з нескінченної множини залежностей ту одну, треба знати початковий стан процесу. Без цієї додаткової умови задача недовизначена.

У різних сферах діяльності людини виникає багато задач, які зводяться до диференціальних рівнянь.

Отже, диференціальним рівнянням першого порядку називається співвідношення виду

(x, y,)=0, (*)

де х - незалежна змінна (аргумент); у= у(х) - невідома функція аргументу х; F(х,у,) - задана функція змінних х, у, =. Рівняння (*) не розвязане відносно похідної.

Рівняння виду

=f(x, y), (**)

де f (x, y) - задана функція двох, змінних називається диференціальним рівнянням першого порядку, розвязаним відносно похідної.

Часто використовують симетричну форму запису диференціального рівняння першого порядку:

(x, y) dx+Q(x,y) dy=0,

де P (x, y), Q (x, y) - задані функції змінних х і у.

Розвязком диференціального рівняння (*) або (**) на інтервалі (а, в) називається неперервно диференційована функція у=, яка перетворює це рівняння в тотожність, тобто

(x,(x), )=0 x є (а, в).

Співвідношення Ф(х,у)=0 називається інтегралом рівняння (*) або (**), якщо воно неявно задає розвязок у= (х) цього рівняння.

Зараз детально розглянемо одне із диференціальних рівнянь - рівняння Ріккаті.

диференціальний рівняння ріккаті

§1. Загальні властивості рівняння Ріккаті

Розглянемо рівняння:

=f(x, y),

в якому права частина є квадратична функція від (шуканої функції) у, тобто

. (1)

Таке рівняння називається рівнянням Ріккаті. Будемо вважати, що функції Р(х), Q(x), R(x) визначені і неперервні на інтервалі (а, в),(а, в є (+?,-?)), причому Р(х)?0 і R(x)?0 на цьому інтервалі (в протилежному випадку рівняння Ріккаті вироджується в лінійне рівняння або в рівняння Бернуллі).

Отже, рівняння Ріккаті (1) має єдиний розвязок

у=у(х), (2)

що задовольняє початкову умову:

=y при х=х, (3)

де х належить інтервалу (а, в), а за у можна брати будь-яке число, тобто через кожну точку (х, у) прямої

а<x<b, -?<y<+? (4)

проходить одна і тільки одна інтегральна крива рівняння Ріккаті.

Дійсно, завжди можна побудувати прямокутник

з центром в точці (х, у) який повністю лежить на прямій (4). Рівняння (1) має єдиний розвязок (2), що задовольняє початкову умову (3). Цей розвязок визначений, взагалі кажучи лише в деякому околі точки х=х. Існування цього розвязку на всьому інтервалі неперервності коефіцієнтів Р(х), Q(x) і R(x) не гарантується.

Приклад. Розглянемо рівняння

.

Тут права частина визначена і неперервна на всій площині (х, у). Але із формулювання загального розвязку

у= 1-

бачимо, що ніякий із розвязків, які входять в цю формулу при С?, не буде визначено при всіх х.

Із сказаного вище випливає, що рівняння Ріккаті не має особливих розвязків. Будь-який його розвязок є частинним розвязком.

Перш ніж перейти до питання про інтегрування рівняння Ріккаті в квадратурах, відзначимо дві його загальні властивості.

1.Рівняння Ріккаті (як і лінійне рівняння) зберігає свій вигляд при будь-якому перетворенні незалежної змінної

х= (5)

де -- будь-яка неперервно дифференційовна функція, визначена на інтервалі (, причому ? 0, є(.

Дійсно, оскільки

то перетворене рівняння має вигляд:

тобто знову є рівнянням Ріккаті.

2.Рівняння Ріккаті зберігає свій вигляд не тільки при будь-якому лінійному перетворені шуканої функції, але також і при будь-якому дробово-лінійному перетворенні

(6)

де довільні функції, визначені і неперервно дифференційовні на інтервалі (а,в), підпорядковані очевидній умові

Насправді, диференціюючи (6), знаходимо:

(7)

так що ліва частина рівняння (1) заміниться дробом (7). Права частина рівняння (1) після заміни у виразі (6) і зведення до загального знаменника перетвориться в дріб, чисельник який є квадратичною функцією від z, а знаменник - той же, що і у дробі (7). Тому перетворене рівняння знову буде рівнянням Ріккаті.

Застосовуючи те або інше із вказаних перетворень, можемо спростити вигляд рівняння Ріккаті і, таким чином, спростити його вивчення.

§2. Прості випадки інтегрованості в квадратурах

У випадку, коли P,Q і R - сталі, рівняння Ріккаті являє собою рівняння з відокремлюючими змінними і тоді його загальний інтеграл знаходиться в квадратурах. В даному випадку він виражається через елементарні функції.

При змінних Р,Q і R рівняння Ріккаті, на відміну від інших рівнянь, інтегрується в квадратурах лише у виняткових випадках.

Виділимо деякі найпростіші випадки інтегрованості в квадратурах рівняння Ріккаті ( із змінними коефіцієнтами).

Це перш за все рівняння виду

(8)

, (9)

де а, в і с - сталі числа (причому ); рівняння (8) є рівнянням з відокремлюваними змінними, а (9) - однорідне. Рівняння (9) інтегрується в елементарних функціях.

Рівняння Ріккаті

або (10)

() зводиться до рівняння виду (8), якщо покласти

, (11)

де z-- нова невідома функція. Дійсно, підставляючи (11) в (10), отримаємо:

. (12)

Рівняння (10) інтегрується в елементарних функціях.

Рівняння Ріккаті виду

, (13)

де А, В і С -- сталі числа, також інтегрується в квадратурах і навіть в елементарних функціях. Насправді, не тяжко переконатись, що рівняння (13)

є однорідним, причому k= -1. Виконавши заміну змінної y=, отримаємо рівняння з відокремлюваними змінними:

,

загальний інтеграл якого виражається через елементарні функції.

§3 Побудова загального розвязку у випадку, коли відомий один частинний розвязок

Існування загального розвязку рівняння Ріккаті випливає із теореми існування загального розвязку.

У відношенні побудови загального розвязку в квадратурах рівняння Ріккаті відрізняється серед нелінійних рівнянь загального виду тим, що знання одного частинного розвязку дає можливість знайти його загальний розвязок у квадратурах. Це випливає із наступної теореми.

Теорема. Якщо відомо один частинний розвязок рівняння Ріккаті, то повний розвзок отримується двома квадратурами.

Доведення. Дійсно, нехай у -- частинний розвязок рівняння Ріккаті (1), так що

? Р(х) у+Q(x) y. (14)

Зробимо у рівнянні (1) заміну шуканої функції, покладемо

, (15)

де z - нова шукана функція. Тоді будемо мати:

+. (16)

Беручи до уваги тотожність (14), отримаємо рівняння Бернуллі:

, (17)

для відшукання функції z, z=z(x).

Рівняння (17) заміною зводиться до лінійного рівняння

. (18)

Тоді рівняння Ріккаті у випадку, коли відомо його один частинний розвязок, інтегрується двома квадратурами. Теорему доведено.

На практиці потрібно одразу робити заміну

, (19)

яка приводить рівняння Ріккаті (1) відразу до лінійного рівняння (18).

Відмітимо два очевидні випадки, коли легко знаходиться частинний розвязок:

, ; (20)

, ; (21)

Приклад. Розглянемо рівняння

. (22)

Неважко переконатись, що -- частинний розвязок рівняння (22). Зробимо заміну

, ()

тоді отримаємо:

, ()

звідки

(23)

Тоді загальний розвязок рівняння (22) має вигляд

(24)

Зауваження. Із формули (19) видно, що на відміну від розвязку лінійного рівняння, розвязок рівняння Ріккаті може перетворюватись в нескінченність при кінцевому значенні х (тобто інтегральна крива може мати вертикальну асимптоту) навіть тоді, коли коефіцієнти P(x), Q(x) і R(x) задані і неперервні при всіх значеннях х.

§4. Структура загального розвязку

Загальний розвязок лінійного рівняння (18) має вигляд

Підставляючи цей вираз для u в формулу (19), отримаємо загальний розвязок рівняння Ріккаті в наступному вигляді:

або

, (25)

тобто загальний розвязок рівняння Ріккаті є дробово-лінійна функція від довільної сталої С.

Такий характер залежності загального розвязку від довільної сталої має місце тільки для рівняння Ріккаті. Дійсно, нехай (25) є загальний розвязок деякого диференціального рівняння, при чому Тоді, розвязуючи (25) відносно С і виключаючи С диференціюванням, маємо:

,

або

(26)

що після ділення на коефіцієнт при приводить до рівняння Ріккаті.

§5. Побудова загального розвязку, коли відомо два або три частинних розвязки

Якщо відомо два частинних розвязки рівняння Ріккаті, то його загальний розвязок знаходиться однією квадратурою.

Насправді, якщо і -- частинні розвязки рівняння Ріккаті, то із (19) слідує, що для лінійного рівняння (18) відомо один частинний розвязок

а тоді загальний розвязок цього рівняння знаходиться однією квадратурою. Тоді, в такому випадку загальний розвязок рівняння Ріккаті знаходиться однією квадратурою.

На кінець, якщо відомо три частинні розвязки рівняння Ріккаті, то загальний розвязок знаходиться взагалі без квадратур.

Дійсно, нехай , , -- частинні розвязки рівняння Ріккаті. Тоді

суть два частинних розвязків лінійного рівняння (18). Загальний розвязок рівняння (18) знаходиться без квадратур:

(26)

Отже, в розглянутому випадку загальний розвязок рівняння Ріккаті знаходиться без квадратур.

Замінюючи в рівності (26) функцію u її значенням із формули (19), отримаємо,

Розвязуючи цю рівність відносно С, знайдемо загальний інтеграл рівняння Ріккаті у вигляді

(27)

Звідси випливає, що для будь-яких чотирьох частинних розвязків рівняння Ріккаті має місце тотожність

. (28)

§6. Спеціальне рівняння Ріккаті

Вище було показано, як знайти загальний розвязок рівняння Ріккаті у випадку, коли відомо один, два або три частинних розвязки. Розглянемо один частинний вид рівняння Ріккаті, в якому при деякій умові загальний розвязок виражається в елементарних функціях, причому знаходиться без попереднього знання частинних розвязків. Це рівняння має вигляд

(29)

де а, b і -- сталі числа. Рівняння (29) називається спеціальним рівнянням Ріккаті. Це рівняння було вивчено Ріккаті в XVIII ст. (Вінсент Ріккаті (італ. Vincenzo de Riccati; 11 січня 1707, Кастель-Франко--17 січня 1775, Тревізо)-італійський математик, іноземний почесний член Петербурзького АН з 17 січня 1760 року. Відомий як творець гіперболічних функцій. Батько Вінсента Якопов Франческо Ріккаті ( на честь якого названо рівняння Ріккаті) був одним з найбільших італійських математиків того часу. Ріккаті успадкував батьківські інтереси в області диференціальних рівнянь). Виділимо два випадки, коли рівняння (29) інтегрується в елементарних функціях:

) тоді змінні розділяються:

); рівняння має вигляд:

(30)

Зробимо в (30) заміну змінної Тоді (30) набере вигляду:

або

Останнє рівняння є однорідним, що інтегрується в квадратурах. Зауваження. До вигляду (30) приводиться більш загальне рівняння

(a, l, b - сталі) розглянутою вище заміною, знищуючи член з в першому степені.

Крім і , існує ще нескінчена множина інших значень , при яких рівняння Ріккаті (29) інтегруються в елементарних функціях. Для знаходження цих значень, замінюючи в рівнянні (29) залежні змінні лінійною заміною

підберемо функції u і v від х так, щоб перетворене рівняння не містило члена з першим степенем шуканої функції і щоб вільний член не змінився. Маємо

Поставлена умови дає два рівняння для визначення u і v

Із другого рівняння знаходимо

(частинний розвязок).

Після цього із першого рівняння отримаємо

(частинний розвязок).

Шукана заміна має вигляд: і перетворене рівняння запишеться так:

Тоді, робимо дробово-лінійну заміну

(31)

при цьому звязаний з співвідношенням

(32)

і нове рівняння буде мати вигляд

Поділимо обидві частини на і перетворимо незалежну змінну так, щоб член з мав сталий коефіцієнт

Очевидно, що для зведення останнього рівняння до виду (29) достатньо покласти

(33)

Тоді отримаємо

(34)

Це є рівняння виду (29), де нові коефіцієнти мають значення і показник замінився через

Останню дробово-лінійну підстановку, звязуючу і , зводимо до наступного канонічного вигляду:

або

Застосовуючи до рівняння (34) з новими і теж саме перетворення (32), (33), прийдемо знову до рівняння того ж типу, в якому показник при звязаний з із співвідношеннями:

В результаті k підібраних перетворень прийдемо до показника , що звязаний з початковим показником співвідношенням:

Якщо відштовхуватись від показника , проведемо в протилежному порядку вище вказані послідовні перетворення змінних, прийдемо до рівняння з показниками звязаними з співвідношеннями:

Якщо в результаті перетворень прийдемо до показника, для якого рівняння Ріккаті інтегрується в квадратурах, то і початкове рівняння набирає те ж значення. Зокрема, легко бачити із початкової формули, звязуючої і , при маємо тобто показник -2 не змінюється при розглянутих перетвореннях, і тоді не може піти в результаті цих перетворень від другого показника. Тоді будуть цікавити лише ті випадки, коли для деякого натурального k маємо: або

Припускаючи тепер k будь-яким цілим числом (додатнім або відємним), в цих обох випадках маємо

звідки

Отримуємо дві нескінченні послідовності показників, для яких рівняння Ріккаті зводиться шляхом ряду перетворень до випадку це буде

,

Обидві послідовності мають кінцем -2. Розвязуючи знайдену для формулу відносно k, отримаємо: рівне цілому числу; це - ознака того, що належить до одної із вказаних послідовностей.

При як легко переконатись, y виражається через показникові і тригонометричні функції від х; послідовні змінні вводять ще дробові степені х; в результаті у виражається через х в елементарних функціях.

Як показав Ліувіль (1841р.), при всіх інших значеннях розвязок спеціального рівняння Ріккаті не може бути виражене квадратурами від елементарних функцій.

Рівняння Ріккаті має ту спільну властивість з лінійними рівняннями, що знання деякої кількості частинних розвязків дозволяє знайти загальний розвязок або привести його відшукання до квадратур.

Приклад 1. Розвязати рівняння

Зробимо заміну . Тоді

Поклавши , будемо мати і відокремивши змінні або Звідси С=const, CєR.

Отже, з цього виходить:

Приклад 2. Розвязати рівняння.

Це рівняння Ріккаті. Неважко бачити, що є розвязком рівняння. Тому заміна приводить дане рівняння до рівняння Бернуллі:

Поклавши дістанемо

Виберемо з умови Наприклад, Тоді для маємо рівняння

Відокремлюємо змінні:

Тому

і .

Приклад 3. Розвязати рівняння.

Це рівняння Ріккаті. Іноді частинний розвязок цього рівняння можна підібрати, враховуючи вигляд вільного члена рівняння Шукатимемо частинний розвязок у вигляді Підставивши в рівняння

бачимо, що функція є розвязком цього рівняння при і Отже, дістали два розвязки: і Заміною зводимо задане рівняння до рівняння Бернуллі:

Помноживши обидві частини цього рівняння на , дістанемо або для Звідси або Остаточно і

Приклад 4. Розвязати рівняння:

Показник відповідає значенню тоді потрібно всі заміни вести в протилежному порядку. Для зручності порівняння з відповідними формулами позначимо вихідні змінні через І тоді маємо:

тут тобто Робимо заміну незалежної змінної:

Отримаємо:

Переходячи до змінної знаходимо

.

Ми маємо a=3, b=3. Розвязуючи відносно формулу перетворення маємо

підставляємо в останнє рівняння

або спрощуючи,

Інтегруємо, розділяючи змінні

.

Поступово вертаємось до початкових змінних:

і нарешті,

Висновок

Курсова робота присвячена вивченню властивостей рівняння Ріккаті, а також побудови його загального розвязку. Вона складається із вступу, шести параграфів, висновку і списку використаної літератури.

В першому параграфі дано означення рівняння Ріккаті і сформульовано такі дві властивості:

. Рівняння Ріккаті зберігає свій вигляд при будь-якому перетворенні незалежної змінної.

. Рівняння Ріккаті зберігає свій вигляд при будь-якому дробово-лінійному перетворенні шуканої функції.

У §2 показано прості випадки інтегрованості в квадратурах рівняння Ріккаті, а саме для рівнянь виду: і , де а, в і с - сталі числа (причому ).

У §§3-5 розглянуто структуру загального розвязку у випадку, коли відомо один, два або три частинних розвязки.

У §6 досліджено спеціальне рівняння вигляду де а, b і - сталі числа і є два випадки, коли це рівняння інтегрується в елементарних функціях: 1) =0, 2).

Список використаної літератури:

1.Головач Г.П., Калайда О.Ф. Збірник задач з диференціальних та інтегральних рівнянь. - К.: Техніка, 1997.-288с.

2.Гудименко Ф.С., Павлюк И.А., Волкова В.А. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. - К.: Вища шк., 1972.-156с.

3.Ляшко І.І., Боярчук О.К., Гай Я.Г., Калайда О.Ф. Диференціальні рівняння.-К: Вища шк., 1981.-504с.

4.Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. - М.: Высшая шк., 1967.-564с.

5.Самойленко А.М., Перестук М.О., Парасюк І.О. Диференціальні рівняння.-К.: Либідь, 1994.-360с.

6.Самойленко А.М., Кривошея С.А., Перестюк Н.А. Дифференциальные уравнения. Примеры и задачи. - К.: Вища шк., 1984.-408с.