Введение
Каждый человек время от времени оказывается в ситуации, когда достижение некоторого результата может быть осуществлено не единственным способом. В таких случаях приходится отыскивать наилучший способ. Однако в различных ситуациях наилучшими могут быть совершенно разные решения. Все зависит от выбранного или заданного критерия.
На практике оказывается, что в большинстве случаев понятие "наилучший" может быть выражено количественными критериями - минимум затрат, минимум времени, максимум прибыли и т.д. Поэтому возможна постановка математических задач отыскания оптимального (optimum - наилучший) результата, так как принципиальных различий в отыскании наименьшего или наибольшего значения нет. Задачи на отыскание оптимального решения называются задачами оптимизации. Оптимальный результат, как правило, находится не сразу, а в результате процесса, называемого процессом оптимизации. Применяемые в процессе оптимизации методы получили название методов оптимизации. Чтобы решить практическую задачу надо перевести ее на математический язык, то есть составить ее математическую модель.
Одним из наиболее общих подходов к решению задачи поиска экстремума (локального максимума или минимума) функции при наличии связующих ограничений на ее переменные (или, как еще говорят, задачи условной оптимизации) является метод Лагранжа. Данный метод используется в задачах 1, 6, 7, 8 данной курсовой работы.
Задача 1. Решить задачу выпуклого программирования
Составим функцию Лагранжа:
Теперь запишем условия равенства нулю частных производных функции, условие дополняющей нежёсткости и, т.к. ищется минимум функции, условие неотрицательности всех .
1)Рассмотрим случай :
?
Получаем нулевые , нулевой Лагранжиан решение отсутствует
)Рассмотрим случай:
2.1) Пусть :
??
? т. Min, т. к. выполняется условие и . Так как мы решаем задачу выпуклого программирования, то точка минимума является единственной и глобальной и рассматривать остальные случаи не имеет смысла. И все же:
.2) Пусть :
??
??
?
- не может быть точкой минимума
.3) Пусть :
??
?
? - не может быть точкой минимума
.4) Пусть :
??
??
??
- не может быть точкой минимума.
Таким образом точка (25/7, -48/7) является точкой глобального минимума функции .
Задача 2. Решить задачу линейного программирования графическим методом. Во всех вариантах
Т.к. в условии следующей задачи первоначальная крайняя точка , логично будет использовать в качестве базисных переменных x3, x4, x5 и выделить именно их, решая систему методом Гаусса. Запишем систему в матричном виде и решим, наконец, ее:
Построим график для новой системы уравнений и нанесем линию уровня:
Для получения координат точки максимума исследуемой функции линию положения нужно передвигать вправо (т.к. функция прямо пропорциональна x1) и вниз (т.к. функция обратно пропорциональна x2) до крайнего положения.
Точка максимума находится на пересечении двух прямых, задаваемых уравнениями:
Таким образом, точка M(1, 1/2) является точкой максимума данной функции.
Задача 3. Решить задачу № 2 симплекс-методом, используя в качестве первоначальной крайней точки
Т.к. мы будем искать максимум функции, а симплекс метод применяется для поиска минимума функции, домножим целевую функцию на минус единицу, таким образом обратив ее минимумы и максимумы.
;
?ijx1x2?ix3122x42-21x5-121f(x)-420pjИщем среди коэффициентов pi (коэффициентов целевой функции) pi<0, берем соответствующий этому элементу столбец (кроме столбца свободных членов). Для выбора опорного элемента необходимо найти, какой из них удовлетворит условию минимума отношения свободного члена к данному элементу: , причем
После выбора опорного элемента совершаем пересчет таблицы:
опорный элемент заменяем на единицу, деленную на опорный элемент;
опорную строку делим на опорный элемент;
опорный столбец делим на опорный элемент и умножаем на минус единицу;
остальные элементы считаем по "правилу определителя" (при этом беря со знаком "+" произведение, содержащее опорный элемент) и делим на опорный элемент
совершаем эти итерации до тех пор, пока в нижней строке все элементы (кроме свободного члена) не станут положительными.
?ijx1x2?i?ijx4x2?i?ijx4x3?ix3122x3-1/233/2x2-1/631/2x42-21?x11/2-11/2?x11/31/31x5-121x5-1/213/2x5-1/3-1/31f(x)-420f(x)2-22f(x)5/32/33
Таким образом, мы получили сходный ответ с полученным во второй задаче: точка с координатами x1=1, x2=1/2, x3=2/3, x4=-1/6, x5=1,
.
.
Задача 4. Решить простейшую задачу классического вариационного исчисления
Воспользуемся уравнением Эйлера-Лагранжа для решения простейшей задачи:
.
Предположим, что:
Подставим в исходное уравнение:
Применим краевые условия для нахождения констант:
- экстремаль
Исследуем экстремаль на предмет доставления функции максимума/минимума:
Проинтегрируем по частям: , где:
- точка является точкой максимума.
Задача 5. Решить задачу Больца
- Интегрант
- Терминант
Воспользуемся уравнением Эйлера-Лагранжа для решения задачи Больца:
.
- экстремаль
Воспользуемся условиями трансверсальности:
Посчитаем каждый элемент:
Тогда условия трансверсальности запишутся:
Мы будем использовать эти уравнения как краевые условия для нахождения констант .
Исследуем экстремаль на предмет доставления функции максимума/минимума: (Запишем, сразу группируя интегральную и неинтегральную части)
Проинтегрируем по частям: , где:
А также воспользуемся условием: и в подстановке 0 и 1 (для подсчета значения элемента ):
,
- отрицательный результат - следовательно является точкой максимума.
Задача 6. Решить изопериметрическую задачу
; ,
Воспользуемся уравнением Эйлера-Лагранжа для решения изопериметрической задачи:
.
1) - нет решений (Лагранжиан не м. б. равен нулю)
)
Воспользуемся краевыми условиями для нахождения констант:
,
- Воспользуемся уравнением для нахождения :
Исследуем экстремаль на предмет доставления функции максимума/минимума:
Проинтегрируем по частям: , где:
Так как , тоже должна быть равна нулю, следовательно
- точка минимума.
Задача 7. Решить задачу с подвижными концами
Выпишем, как положено, функцию Лагранжа:
Воспользуемся уравнением Эйлера-Лагранжа для решения задачи с подвижными концами:
.
Воспользуемся условиями трансверсальности:
Посчитаем каждый элемент:
Тогда условия трансверсальности запишутся:
Запишем условие стационарности:
Пусть Тогда также равны нулю - нет решений.
Пусть , тогда:
Если , найдем константы, используя краевые условия:
,
В уравнение стационарности также подставим , используя уравнение, написанное выше:
Рассмотрим , тогда а - что является недопустимым значением
Рассмотрим , тогда и
Итак, мы получили:
,
;,
Исследуем экстремаль на предмет доставления функции максимума/минимума:
Воспользуемся и h(0)=0 (в силу наложенного ограничения на левый конец).
Также, стоит выразить значение из уравнения , помня, что , а
Итак:
- следовательно найденная точка является точкой минимума.
Задача 8. Решить задачу Лагранжа
; , ,
Используем замену переменных , тогда условие запишется:
; , ,
Запишем функцию Лагранжа:
1)Воспользуемся уравнением Эйлера-Лагранжа для решения задачи с Лагранжа. Оно запишется отдельно относительно x1 и x2 и образует, таким образом, систему уравнений:
2)Воспользуемся условиями трансверсальности:
- уравнения, записанные относительно x1
- уравнения, записанные относительно x2
,
Положим . Тогда из уравнений, записанных выше, получим из третьего уравнения условий трансверсальности, а также равенство нулю функции p(t) из второго уравнения Эйлера-Лагранжа, а как следствие и равенство нулю и (1 и 2 уравнения условий трансверсальности соответственно). Таким образом, этот вариант нам не подходит, так как для нахождения решения Лагранжиан не может быть нулевым.
Тогда, пусть :
Из уравнения
Из
Из получим:
, сделаем замену
Решим однородное уравнение:
,
Теперь решим неоднородное:
Пусть . Подставим:
Используем краевые условия для нахождения констант:
Таким образом, очевидно:
,
,
Получаем:
, ,
Исследуем экстремаль функции на предмет доставления ей максимума/минимума:
Интегрируем по частям:
.
Таким образом, разница оказалась больше равна нулю. Это значит, что точка является точкой минимума.
Заключение
лагранж вариационный исчисление изопериметрический
В курсовой работе получены решения семи типовых задач теории оптимизации: двух конечномерных (задачи выпуклого программирования и линейного программирования) и пяти задач вариационного исчисления (простейшей задачи вариационного исчисления, задачи Больца, изопериметрической задачи, задачи с подвижными концами и задачи Лагранжа)
В результате работы над настоящей курсовой работой были достигнуты следующие цели:
1. расширен объем и углублены теоретические знания по дисциплине "Методы оптимизации";
.закреплены практические навыки решения задач теории оптимизации;
.получены навыки применения метода множителей Лагранжа как основного метода решения задач оптимизации с ограничениями, как конечномерных, так и бесконечномерных;
.получен навык подготовки и оформления научно-технической документации.
Список использованных источников
1. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. Москва : Наука, 1979.
. Алексеев В.М., Галеев Э.М., Тихомиров В.М. Сборник задач по оптимизации. Москва : Наука, 1984.
. Галеев Э.М., Тихомиров В.М. Оптимизация: теория, примеры, задачи. Москва.: Эдиториал УРСС, 2000.
. Галеев Э.М. Оптимизация: теория, примеры, задачи. Москва : УРСС, 2002.
. Магарил-Ильяев Г.Г., Тихомиров В.М. Выпуклый анализ и его приложения. Москва.: Эдиториал УРСС, 2000.
. Шатина А.В. Методы оптимизации. Практические занятия. М.: МИРЭА, 2012,
. Методы оптимизации. 4-ый курс. Контрольные задания для студентов факультета Кибернетики. М.: МИРЭА, 2010.