Тригонометрическая и показательная форма комплексного числа

Задание 1

,Z2 - комплексные числа. Выполнить действия А)Z1+Z2, Б)Z1*Z2, В)Z1/Z2

Задание: Z1=3+2i, Z2=-3+4i

Решение:

А) Z1+Z2=(3+2i)+(-3+4i)=(3-4)+(2+4)i=-1+6i

Б) Z1*Z2=(3+2i)*(-3+4i)=3*(-3)-6i+12i+8i2=(-9-8)+(-6+12)i=-17+6i

В) Z1/Z2=(3+2i)/(-3+4i)=(3*(-3)+2*4)/((-3)2+42)+((2*(-3)-3*4)/(-3)2+42))i= (-9+8)/(9+16)+((-6-12)/(9+16))i=-1/25-(18/25)i

Задание 2

Записать комплексное число в тригонометрической и показательной формах.

Решение: комплексное число на комплексной плоскости находится в 4 четверти.

Запишем комплексное число в тригонометрической форме:

|Z|=?(x2+y2) = ?(12 +(-1)2 ) = ?2 ,

argZ=arctg x/y= arctg(-1)=-?/4

Z=1-i=?2(cos(-?/4)+isin(-?/4))

Запишем комплексное число в показательной форме:

e i? = cos ? + i sin ?= |z|·e i arg z = |z|·e i arg z = |z|·e i·?

Так, Z = ?2e(-?/4)i

Задание 3

Вычислить указанные пределы, не используя правило Лопиталя.

Задание:

Решение:

Задание 4

Найти производные функции.

=3x2-arcsin x+1/x5

Решение:

Б) y = ln(x3+3x)

Решение:

tgx

В) y = -----

x2

Решение:

г) y=(3x-4)6

Решение:

((3x-4)6)` = 6(3x-4)5 * (3x-4)` = 6(3x-4)5 8 ((3x)`+ (-4)`) = 63x (3x-4)5ln3

Задание 5

С помощью дифференциала найти приближенное значение функции

Решение:

А)Ln0.13(x+?x) ? f(x)+f `(x)?x.13 ? f(1)+f `(1)*(-0.87) =0+1*(-0.87) = -0.87

Б)sin610(x+?x) ? f(x)+f `(x)?x

sin 610 ? sin 600+(sin 600)`* (sin 10) = sin ?/3 + cos ?/3 * ?/180 = ?3/2+1/2*?/180 = ?3/2+?/360 = 0.8746

Задание 6

Для функции z=f(x,y) найти частные производные первого и второго порядков.

Задание:

5x+2y

Z = -----------

3x-y

Решение:

Задание 7

Вычислить неопределенные интегралы.

А) ?xe-3xdx

Решение:

?xe-3xdx = ?(- 1/3?xe-3x)d(-3x) = -1/3?xe-3xd(-3x) = 1/3?xd(e-3x) = -1/3?xe-3x+1/3?e-3xdx = -1/3?xe-3x+1/3?(-1/3?e-3x)d(-3x) = -1/9?e-3xd(-3x)-1/3?xe-3x = -1/9?e-3x-1/3?xe-3x = -1/9?e-3x(1+3x)

Задание 8

Решить задачи комбинаторики.

Коллектив, включающий 4 женщин и 3 мужчин, разыгрывает 4 билета в театр. Какова вероятность того, что среди обладателей билетов окажется 2 женщины и 2 мужчины?

Решение:

Пусть А - событие, которое необходимо найти.число сочетаний из 7 элементов по 4.

женщин из 4 можно выбрать С24 способами.

мужчин из 3 можно выбрать С23 способами.

Задание 9

комбинаторика производная материальный затраты

Рассчитать с помощью межотраслевого балансового метода следующие показатели:

Коэффициенты прямых материальных затрат.

Коэффициенты полных затрат.

Коэффициенты косвенных затрат.

Сбалансированные объемы производства в каждом цехе (валовой оборот), исходя из запланированного объема конечной продукции.

Трудовые затраты в каждом цехе на плановый период.

Затраты сырья и материалов на плановый период.

Величины материальных потоков между цехами.

На следующий год планируется выпуск товарной продукции 1-го цеха увеличить на 50%, а в остальных цехах оставить без изменения.

Построить баланс производства и распределения продукции на плановый период.

Проверить выполняется ли основное соотношение баланса.

Наименование показателейВнутрипроизводственное потребление по цехамВнутризаводской оборотТоварная продукцияВаловой оборот№1№2№3Цех №11010204060100Цех №2302505545100Цех №32003050150200Сырье и основные материалы, тыс. руб.200400500Затраты труда, тыс. нормо-час.100150200

Найдем матрицу полных затрат В=(Е-А)-1

Матрица косвенных затрат первого порядка А(1) = А2. Используя правило умножения матриц, получим:

Так как планируется увеличить выпуск продукции 1-го цеха на 50%, то вектор-столбец объемов конечного потребления имеет вид:

Найдем объемы производства:

Найдем распределение продукции каждого цеха по другим цехам:

=0,1*138+0,1*116+0,1*211+90

=0,3*138+0,25*116+0*211+45

=0,2*138+0*116+0,15*211+150

=14+12+21+90

=42+29+0+45

=28+0+32+150

Таким образом, баланс производства и распределения продукции на плановый период имеет вид:

Наименование показателейВнутрипроизводственное потребление по цехамВнутризаводской оборотТоварная продукцияВаловой оборот№1№2№3Цех №11412214790137Цех №2422907145116Цех №32803260150210

Рассчитаем затраты труда на плановый период по каждому цеху:= (100,150,200) - вектор затрат труда за отчетный период

= 100 - валовой оборот отчетного периода

Коэффициенты затрат труда

= 100/100=1= 150/100 = 1.5= 200/200 = 1

Следовательно, вектор коэффициентов затрат труда имеет вид:

=(1;1,5;1)

`= 116 - валовой оборот планового периода

` = 1*137=137` = 1.5*116 = 174` = 1*210 = 210

` = (137;174;210) - вектор затрат труда на плановый период.

Рассчитаем затрат сырья и материалов на плановый период в каждом цехе.

Ф = (200;400;500) - вектор затрат сырья и материалов за отчетный период.

100= 100 - валовой оборот отчетного периода.

Коэффициенты затрат сырья и материалов:

= 200/100 = 2= 400/100 = 4= 500/200 = 2.5

Вектор коэффициентов затрат сырья и материалов имеет вид:

=(2;4;2,5)

`= 116 - валовой оборот планового периода

Затраты сырья и материалов:

Ф1`= 137*2 = 274

Ф2`= 116*4 = 464

Ф3`= 210*2.5 = 525

Окончательный баланс на плановый период имеет вид:

Наименование показателейВнутрипроизводственное потребление по цехамВнутризаводской оборотТоварная продукцияВаловой оборот№1№2№3Цех №11412214790137Цех №2422907145116Цех №32803260150210Сырье и основные материалы, тыс. руб.274464525Затраты труда, тыс. нормо-час.137174210

Задание 10

Определить, используя оптимальное планирование (симплексный метод), какой ассортимент товара надо выпускать, чтобы прибыль была максимальной.

Вид ресурсаЗатраты ресурса на единицу товараЗапас ресурса123Сырье, кг.422200Рабочая сила, ч.204200Оборудование, станко-час.648500Прибыль, руб.524

Определим максимальное значение целевой функции

(X) = 5x1+2x2+4x3 4x1+2x2+2x3?200

x1+4x3?200

x1+4x2+8x3?500

В 1-м неравенстве смысла (?) вводим базисную переменную x4. В 2-м неравенстве смысла (?) вводим базисную переменную x5. В 3-м неравенстве смысла (?) вводим базисную переменную x6.

x1 + 2x2 + 2x3 + 1x4 + 0x5 + 0x6 = 200

x1 + 0x2 + 4x3 + 0x4 + 1x5 + 0x6 = 200

x1 + 4x2 + 8x3 + 0x4 + 0x5 + 1x6 = 500

Матрица коэффициентов A = a(ij) этой системы уравнений имеет вид:

А = 204010

Решим систему уравнений относительно базисных переменных:, x5, x6,

Полагая, что свободные переменные равны 0, получим первый опорный план:= (0,0,0,200,200,500)

БазисВx1x2x3x4x5x6x4200422100x5200204010x6500648001F(X0)0-5-2-4000

Переходим к основному алгоритму симплекс-метода.

Итерация №0.

Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты.

В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x1, так как это наибольший коэффициент по модулю.

Вычислим значения Di по строкам как частное от деления: bi / ai1

и из них выберем наименьшее:

Следовательно, 1-ая строка является ведущей.

Разрешающий элемент равен (4) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.

БазисВx1x2x3x4x5x6minx420042210050x5200204010100x650064800183.33F(X1)0-5-2-40000

После преобразований получаем новую таблицу:

БазисВx1x2x3x4x5x6x15010.50.50.2500x51000-13-0.510x6200015-1.501F(X1)25000.5-1.51.2500

Итерация №1.

Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты.

В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x3, так как это наибольший коэффициент по модулю.

Вычислим значения Di по строкам как частное от деления: bi / ai3

и из них выберем наименьшее:

Следовательно, 2-ая строка является ведущей.

Разрешающий элемент равен (3) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.

БазисВx1x2x3x4x5x6minx15010.50.50.2500100x51000-13-0.51033.33x6200015-1.50140F(X2)25000.5-1.51.25000

После преобразований получаем новую таблицу:

БазисВx1x2x3x4x5x6x133.3310.6700.33-0.170x333.330-0.331-0.170.330x633.3302.670-0.67-1.671F(X2)30000010.50

Конец итераций: индексная строка не содержит отрицательных элементов - найден оптимальный план. Окончательный вариант симплекс-таблицы:

БазисВx1x2x3x4x5x6x133.3310.6700.33-0.170x333.330-0.331-0.170.330x633.3302.670-0.67-1.671F(X3)30000010.50

Оптимальный план можно записать так:

= 33.33, x3 = 33.33, x6 = 33.33(X) = 5*33.33 + 4*33.33 = 300

Задача 11

Составить план выпуска продукции, удовлетворяющий принятым ограничениям и приносящий максимум прибыли после реализации выпущенной продукции.

Номер ресурсаОбъем ресурса (запас)Номер продукции121133172251136441Ограничения по выпуску1518Прибыль86

Оценка ресурсов

Составим двойственную задачу к прямой задаче.

y1+y2+4y3?8

y1+y2+y3?6

y1+25y2+64y3 => min

y1 ? 0? 0? 0

Отметим, что решение двойственной задачи дает оптимальную систему оценок ресурсов.

Для решения двойственной задачи используем вторую теорему двойственности.

Подставим оптимальный план прямой задачи в систему ограниченной математической модели:

1*13 + 7*12 = 97 < 133

-ое ограничение выполняется как строгое неравенство, т.е. ресурс 1-го вида израсходован не полностью. Значит, этот ресурс не является дефицитным и его оценка в оптимальном плане y1 = 0

*13 + 1*12 = 25 = 25

-ое ограничение прямой задачи выполняется как равенство. Это означает, что 2-ый ресурс полностью используется в оптимальном плане, является дефицитным и его оценка согласно второй теореме двойственности отлична от нуля (y2>0).

*13 + 1*12 = 64 = 64

-ое ограничение прямой задачи выполняется как равенство. Это означает, что 3-ый ресурс полностью используется в оптимальном плане, является дефицитным и его оценка согласно второй теореме двойственности отлична от нуля (y3>0).

С учетом найденных оценок, новая система примет вид:

y2+4y3?8+y3?6

y2+64y3 => min? 0

y2 ? 0? 0

Решая систему, находим оптимальный план двойственной задачи:

y1 = 0= 5.33= 0.67(Y) = 0*0+25*5.33+64*0.67 = 176

Таким образом, отличную от нуля двойственные оценки имеют лишь те виды ресурсов, которые полностью используются в оптимальном плане. Поэтому двойственные оценки определяют дефицитность ресурсов.

Обоснование эффективности оптимального плана

При подстановке оптимальных двойственных оценок в систему ограничений двойственной задачи получим:

-ое ограничение двойственной задачи выполняется как равенство. Это означает, что 1-ый ресурс экономически выгодно использовать, а его использование предусмотрено оптимальным планом прямой задачи (x1>0)

*0 + 1*5.33 + 4*0.67 = 8 = 8

-ое ограничение двойственной задачи выполняется как равенство. Это означает, что 2-ый ресурс экономически выгодно использовать, а его использование предусмотрено оптимальным планом прямой задачи (x2>0)

*0 + 1*5.33 + 1*0.67 = 6 = 6

Задача 12

Найти такой вариант прикрепления поставщиков к потребителям, при котором сумма затрат на перевозки была бы минимальной.

Стоимость доставки единицы груза из каждого пункта отправления в соответствующие пункты назначения задана матрицей тарифов

123Запасы114518025223003638120Потребности110350140

Проверим необходимое и достаточное условие разрешимости задачи.

?a = 180 + 300 + 120 = 600

?b = 110 + 350 + 140 = 600

Занесем исходные данные в распределительную таблицу.

123Запасы114518025223003638120Потребности110350140

Этап I. Поиск первого опорного плана.

. Используя метод наименьшей стоимости, построим первый опорный план транспортной задачи.

123Запасы11[110]45[70]180252[300]2300363[50]8[70]120Потребности110350140

В результате получен первый опорный план, который является допустимым, так как все грузы из баз вывезены, потребность магазинов удовлетворена, а план соответствует системе ограничений транспортной задачи.

. Подсчитаем число занятых клеток таблицы, их 5, а должно быть m + n - 1 = 5. Следовательно, опорный план является невырожденным.

Значение целевой функции для этого опорного плана равно:

(x) = 1*110 + 5*70 + 2*300 + 3*50 + 8*70 = 1770

Этап II. Улучшение опорного плана.

Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы ui, vi. по занятым клеткам таблицы, в которых ui + vi = cij, полагая, что u1 = 0.

v1=1v2=0v3=5u1=01[110]45[70]u2=252[300]2u3=363[50]8[70]

Опорный план не является оптимальным, так как существуют оценки свободных клеток, для которых ui + vi > cij

Выбираем максимальную оценку свободной клетки (2;3): 2

Для этого в перспективную клетку (2;3) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».

123Запасы11[110]45[70]180252[300][-]2[+]300363[50][+]8[70][-]120Потребности110350140

Цикл приведен в таблице (2,3; 2,2; 3,2; 3,3; ).

Из грузов хij стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее, т.е. у = min (3, 3) = 70. Прибавляем 70 к объемам грузов, стоящих в плюсовых клетках и вычитаем 70 из Хij, стоящих в минусовых клетках. В результате получим новый опорный план.

123Запасы11[110]45[70]180252[230]2[70]300363[120]8120Потребности110350140

Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы ui, vi. по занятым клеткам таблицы, в которых ui + vi = cij, полагая, что u1 = 0.

v1=1v2=5v3=5u1=01[110]45[70]u2=-352[230]2[70]u3=-263[120]8

Опорный план не является оптимальным, так как существуют оценки свободных клеток, для которых ui + vi > cij

Выбираем максимальную оценку свободной клетки (1;2): 4

Для этого в перспективную клетку (1;2) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».

123Запасы11[110]4[+]5[70][-]180252[230][-]2[70][+]300363[120]8120Потребности110350140

Цикл приведен в таблице (1,2; 1,3; 2,3; 2,2; ).

Из грузов хij стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее, т.е. у = min (1, 3) = 70. Прибавляем 70 к объемам грузов, стоящих в плюсовых клетках и вычитаем 70 из Хij, стоящих в минусовых клетках. В результате получим новый опорный план.

123Запасы11[110]4[70]5180252[160]2[140]300363[120]8120Потребности110350140

Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы ui, vi. по занятым клеткам таблицы, в которых ui + vi = cij, полагая, что u1 = 0.

v1=1v2=4v3=4u1=01[110]4[70]5u2=-252[160]2[140]u3=-163[120]8

Опорный план является оптимальным, так все оценки свободных клеток удовлетворяют условию ui + vi <= cij.

Минимальные затраты составят:

(x) = 1*110 + 4*70 + 2*160 + 2*140 + 3*120 = 1350

Список использованной литературы

1.Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, И.М. Тришин. Математика для экономистов: от Арифметики до Эконометрики. - М., 2007.

2.Архангельский Ю.С. и др. Межотраслевой баланс. - Киев, 1998.

.И.Ю. Колпаков, Н.В. Рогова. Элементы математического программирования: учебно-методическое пособие для студентов заочной формы обучения. - Пермь, 2009.