Таразский Инновационно Гуманитарный Университет
О СУЩЕСТВОВАНИИ И ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЙ некоторых классов ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
А. Дунбаева
Г. Ахмедиева
Б. Омарова
А. Турганбекова
г. Тараз
Формулировка результатов
Известно, что в случае неограниченной области свойства решений эллиптических уравнений исследованы достаточно полно. Для гиперболических уравнений и уравнений смешанного типа этим вопросам посвящено гораздо меньше работ [1-4].
Рассмотрим дифференциальное уравнение
(1)
В дальнейшем предположим, что коэффициенты удовлетворяют условию:
i) - непрерывные функции в .
Теорема 1. Пусть выполнено условие i). Тогда для уравнения (1) при любой существует единственное решение .
Теорема 2. Пусть выполнено условие i). Тогда для любого решения уравнения справедлива оценка
,
где с>0 - постоянное число.
На положим
Нетрудно проверит, что оператор допускает замыкание и его обозначим через .
Вспомогательные леммы и утверждения
Лемма 2.1. Пусть выполнено условие i). Тогда для всех выполняется неравенство
Доказательство. Лемма доказывается точно также как лемма 1. работы
Далее, в этом пункте доказывается существования резольвенты дифференциального оператора
в
Для этого, сперва, рассмотрим оператор
определенный на множестве функции и удовлетворяющих следующим требованиям:
,
Здесь и -правые и левые концы интервалов .
Лемма 2.2. Пусть выполнено условие i). Тогда при существует непрерывный обратный , определенный в пространстве и справедливы следующие оценки
гиепрболический уравнение эллиптический дифференциальный
а) ,б) ,
в) а при ;
г)
где - постоянное число не зависящее от и .
Доказательство. Повторяя выкладки и рассуждения использованные в работах [1-4], получаем доказательство леммы 2.2.
Возьмем набор неотрицательных функции из таких, что
, supp
Через К обозначим оператор, определенный равенством
,
Лемма 2.3. Пусть, выполнено условие i). Тогда для любой функции справедливо следующее равенство
(2.1)
где
(суммы без указания пределов берутся по всем целым j)
Доказательство. Пусть и рассмотрим действия оператора K на f
(2.2)
Так как , то сумма (2.7) конечна. Поэтому следующее вычисления законны:
Здесь учитывалось, что . Лемма 2.3 доказана.
Лемма 2.4. Пусть выполнено условие i). Тогда найдется такое, что .
Доказательство. Проведем оценку нормы оператора :
Здесь мы возпользовались тем что на только . Отсюда и в силу неравенства Гельдера получаем, что
где , из последнего неравенства, пользуясь леммой 2.2. имеем:
(2.3)
Последнее неравенство при достаточно больших положительных доказывает лемму.
Лемма 2.5. Пусть выполнено условие i). Тогда оператор при достаточно больших непрерывно обратим и справедливо неравенство.
(2.4)
Доказательство. Оператор ограничен со своим обратным. Поэтому множество плотно в . Из равенства (2.11) при получаем, что и . Отсюда имеем что является решением уравнения . Единственность следует из леммы 2.2 лемма 2.5 доказана.
Лемма 2.6. Пусть выполнены условия леммы 2.5. и пусть такое, что . Тогда справедлива оценка:
(2.5)
где непрерывная функция в .
Доказательство. Из представления (2.5) видно, что оператор ограничен (или неограничен) вместе с оператором .
Поэтому будем заниматься оценкой нормы последнего оператора . Для любого имеем:
Не трудно проверить, что на только . Учитывая это в силу неравенства Гельдера имеем:
Лемма 2.6 доказана.
Лемма 2.7. Пусть выполнены условия леммы 2.6. Тогда справедливы следующие оценки:
а) ; б) ;
в) .
Доказательство. Согласно леммы 2.6.
Отсюда и из леммы 2.2 получаем, что
Далее, в силу леммы 2.4 имеем:
Точно также, пользуясь леммой 2.3. находим
Лемма 2.7 доказана.
Доказательство теорем 1-2
Применяя преобразования Фурье по х к уравнению (1) получаем:
(3.1)
где
Отсюда нетрудно заметить, что задача о решении уравнения (1) перейдет в задачу о решении уравнения (3.1). Следовательно, по лемме 2.5.:
(3.2)
дает решение уравнения (3.1).
Теперь, используя обратный оператор , имеем:
(3.3)
Из (3.3) используя свойствами преобразования Фурье, получаем, что
Отсюда, в силу леммы, находим:
(3.4)
- постоянное число.
Найдем
Далее, мы имеем
Откуда, в силу леммы 2.4
(3.5)
- постоянное число.
Аналогично найдем :
Тогда можно записать, что
Отсюда и из леммы 2.7. имеем:
(3.6)
где - постоянное число не зависящее от u и f.
Находим также :
Так как преобразование Фурье не зависит от у, то справедливо равенство:
Таким образом, учитывая лемму 2.4 имеем:
(3.7)
Теорема 2 полностью доказана.
Список литературы
1. Муратбеков М.Б. // Дифференциальные уравнения, 1991, т.27, №16 С. 2127-2137.
. Кальменов Т.Ш., Муратбеков М.Б. //Спектральные свойства оператора смешанного типа. Издательство «?ылым» Алматы, 1997.
. Муратбеков М.Б., Ахмеджанов М.А. // Математический журнал, 2005, т.5. №2(16), С. 57-65.
. Муратбеков М.Б., Отелбаев М.О. // Известия вузов сер. матем. 1989, №3, С. 44-47.