Метод Милна

Метод Милна

Одним из наиболее простых и практически удобных методов численного решения дифференциальных уравнений является метод Милна. Метод Милна относится к многошаговым методам и представляет один из методов прогноза и коррекции. Решение в следующей точке находится в два этапа. На первом этапе осуществляется по специальной формуле прогноз значения функции, а затем на втором этапе - коррекция полученного значения. Если полученное значение у после коррекции существенно отличается от спрогнозированного, то проводят еще один этап коррекции. Если опять имеет место существенное отличие от предыдущего значения (т.е. от предыдущей коррекции), то проводят еще одну коррекцию и т.д. Однако очень часто ограничиваются одним этапом коррекции.

Пусть дано уравнение:

'= f (x, y) (1)

с начальным условием(x0)=y0 (2)

Выбрав, шаг h положим

xi=x0 + ih, yi = y(xi), =f (x, y) (i = 0, 1, 2, …).

Первые 4 значения начального отрезка y0, y1, y2, y3 находим, применив метод Рунге-Кутта. Тем самым будут известны y'i (i = 0, 1, 2, 3).

Дальнейшие значения yi = y(xi) (i = 4, 5, 6, …) определяются по следующей схеме:

)вычисляем первое приближение по формуле

(i = 4, 5, 6, …) (3)

)значение подставляем в (1) и определяем

)находим второе приближение по формуле

(i = 4, 5, 6, …) (4)

милн прогноз коррекция ошибка

Милн показал, что абсолютная погрешность значения приближенно pавна:

(5)

Поэтому, если , где ? - заданная предельная погрешность решения, то можно положить и .

Далее переходим к вычислению следующего значения , повторяя указанную выше схему. В случае, если точность ? не обеспечена, следует уменьшить шаг h и сделать пересчет.

Замечания:

Суммарная ошибка метода Милна есть величина порядка Метод Милна не обладает устойчивостью, поэтому его рекомендуют использовать, когда предполагаемое число шагов не велико.

Дано уравнение с начальным условием . Найдем методом Милна приближенное значение решения в точке с точностью до

Решение

Метод Милна имеет глобальную ошибку , это значит, что взяв , получим погрешность результата порядка , таким образом, заданная точность практически достигается.

(из начального условия)

Значения найдем явным методом Эйлера.

Найдем значения , и

Далее используем метод Милна.

Проверка:

Будем заносить результаты расчетов в таблицу

0--1--2--3--4

Проверка:

5

Проверка:

6

Проверка:

7

Проверка:

8

Проверка:

9

Проверка:

0--1--2--3--45678910

Напомним, что точное решение заданного уравнения:

Найдем точное значение :

Заданная точность достигнута.

Метод требует несколько меньшего количества вычислений (например, достаточно только два раза вычислить f (x, y), остальные запомнены с предыдущих этапов), но требует дополнительного «расхода» памяти. Кроме этого, как уже указывалось выше, невозможно «запустить» метод для этого необходимо предварительно получить одношаговыми методами первые три точки.