Закон распределения вероятности

Задание

Объем экспериментальных данных n = 200.

Массив экспериментальных данных приведен в табл. 1.

Таблица № 1.

Х10123456789101-0,030,160,1-0,060-0,020,160,110,020,142-0,040,030,14-0,010,13-0,10,08-0,090,090,1730,12-0,080,21-0,04-0,060,11-0,020,150,12-0,0140,170,09-0,050,020,130,010,050-0,08-0,0350,010,150,11-0,02-0,010,170,070,20,10,156-0,050,01-0,090,16-0,040,120,140,02-0,070,117-0,0300,13-0,030,10,150,180,060,090,138-0,09-0,02-0,080,11-0,06-0,07-0,050-0,02-0,0690,130,1500,050,12-0,040,020,150,04-0,03100,060,180,10,15-0,09-0,010,160,11-0,140,1211-0,04-0,01-0,060,060,070,140,01-0,050,080,1512-0,11-0,030,030,09-0,040,170,02-0,02-0,08-0,01130,010,17-0,050,150,1-0,07-0,030,150,130,1140,15-0,020,10,12-0,05-0,020,09-0,070,020,19150,130,040,14-0,090,10,11-0,050,03-0,030,12160,02-0,050,020,080,130,08-0,020,140,1-0,0217-0,02-0,08-0,01-0,040,02-0,060,110,01-0,090,08180,140,11-0,020,16-0,030,1-0,010,150,090,17190,03-0,070,0900,130,170,07-0,050,020,0720-0,030,110,10,190,010,09-0,040,03-0,02-0,04

1. Исключение из массива экспериментальных данных ошибок

Для исключения ошибок из массива используем неравенство, определяемое с помощью четвертого центрального момента, которое устанавливает нижнюю границу вероятности того, что ни при каком законе распределения вероятности случайное значение результата измерения не отличается от среднего значения более, чем на половину доверительного интервала:

Определим верхнюю и нижнюю границы предельных значений отсчетов:

Вывод: Проверка показала, что отсчеты, полученные при измерении, не выходят за верхнюю и нижнюю границы предельных значений отсчетов, следовательно ошибок нет.

2. Получение предварительного представления о характере закона распределения вероятности ( ЗРВ ) результата измерения

1. Для того чтобы получить информацию о среднем значении массива экспериментальных данных, используем среднее арифметическое :

,

Вывод: среднее арифметическое, используем для получения оценки несмещенной дисперсии и стандартного отклонение

Для того чтобы оценить рассеяние массива экспериментальных данных относительно среднего арифметического, используем несмещенную оценку дисперсии и стандартное отклонение

Вывод: Известно, что дисперсия выражает мощность рассеяния относительно постоянной составляющей, а стандартное отклонение, имеющее размерность случайной величины, является действующим значением рассеяния случайной величины.

Для того чтобы оценить асимметрию ЗРВ, определим оценку третьего центрального момента , характеризующую несимметричность распределения. Оценка третьего центрального момента определяется по формуле

Вывод: Третий центральный момент и его оценка имеют размерность куба случайной величины, поэтому для относительной характеристики асимметрии применяют безразмерный коэффициент асимметрии

Вывод: Для симметричных распределений ЗРВ относительно математического ожидания . Однако в реальности может быть определена только оценка третьего центрального момента, которая, являясь случайной величиной, может приближаться к нулю, но не быть равной ему. В каких случаях можно считать симметричным ЗРВ, если ?

Определяется параметр, характеризующий рассеяние оценки коэффициента асимметрии ,

Для принятия решения о симметричности закона распределения рассматривается условие , то можно считать ЗРВ симметричным, если же , то несимметричностью ЗРВ пренебрегать нельзя.

Вывод: В данном случае условие симметричности выполняется: , несимметричностью экспериментального ЗРВ можно пренебречь.

Для того чтобы оценить степень заостренности ЗРВ, используем оценку четвертого центрального момента , характеризующую, с одной стороны, заостренность плотности распределения вероятности, а с другой - протяженность распределения.

Вывод: Четвертый центральный момент и его оценка имеют размерность четвертой степени случайной величины, поэтому для удобства чаще применяют относительную величину, которая называется эксцессом

Вывод: Эксцесс распределения для разных законов может иметь значение от для дискретного двузначного и до бесконечности (для распределения Коши). Так как для нормального закона , то в некоторых случаях вводится понятие коэффициента эксцесса , который для менее протяженных распределений (треугольного, равномерного и т.д.) отрицательный, а для распределений, более протяженных, чем нормальный, и может изменяться до бесконечности. Последнее в расчетах не всегда удобно, поэтому применяют в расчетах чаще оценку контрэксцесса изменяющуюся от 0 до 1 и определяемую по формуле

Вывод: Определим к какому ЗРВ показание контрэксцесса по таблице ближе

Выдвижение предположения о законе распределения вероятности экспериментальных данных

Определив оценки основных начальных и центральных моментов и показателей формы, можно предварительно определить характер кривой плотности распределения вероятности.

Оценка асимметрии близка к нулю ( выполняется неравенство ), то кривую плотности распределения вероятности можно считать симметричной.

По величине оценки эксцесса можно оценить степень заостренности кривой распределения плотности вероятности. Если , то можно считать, что закон распределения плотности вероятности вероятнее всего близок к двухмодальному распределению

После анализа возможного характера кривой плотности распределения вероятности и сравнения полученных оценок показателей формы ЗРВ со значениями показателей, приведенными в табл. 2 и 3 методических указаний к выполнению курсовой работы, можно сделать предварительный вывод о возможных формах ЗРВ:

-кривую плотности распределения вероятности можно считать симметричной;

по степени заостренности кривой распределения плотности вероятности, можно считать, что закон распределения плотности вероятности близок к двухмодальному ЗРВ

3. Построение гистограммы

закон распределение вероятность асимметрия

Для выдвижения гипотезы о виде распределения построим гистограмму. Для построения гистограммы необходимо выбрать оптимальное число интервалов. Данное требование связано с необходимостью построения гистограммы, наиболее близкой к действительной кривой плотности ЗРВ. Рекомендуемое число интервалов для двухмодальной ЗРВ отсчетов составляет 15.

Так как условие симметричности выполняется, то желательно, чтобы количество интервалов было нечетным.

Границы интервалов выбираются равными по длине (исключая первый и последний интервалы), а их значения определяются по формуле

,

где m - количество интервалов и - разность между максимальным и минимальным отсчетами исходного массива.

Необходимые расчетные значения для построения гистограммы приведены в таблице 2.

Значение границы интервалаКол-во отсчетов в

интервале12345-0,141-? - -0,12110,185-0,111-0,121- -0,09420,370-0,11-0,096-0,094 - -0,067162,963-0,085-0,075-0,066-0,067 - -0,04152,778-0,059-0,049-0,04 - -0,013325,714-0,0310-0,0213- 0,018-0,013 - 0,014213,889060,0170,02100,014 - 0,041203,7040,0350,0450,0520,041 - 0,06850,9260,0630,0740,068 - 0,095173,1490,0850,0980,1110,095 - 0,122285,1850,11100,1270,1390,122 - 0,149162,9630,1470,15120,149 - 176244,4440,1650,1770,1820,176-0,20350,9260,1920,210,2110,203 - +?10,185200200

- площадь прямоугольника, равная вероятности попадания отсчета в интервал, который является основанием прямоугольника, в соответствии с этим образуем интервалы, и расчеты сводим в таблицу.

Кол-во интервалов

4.Выдвижение гипотезы

По виду гистограммы можно установить, что закон распределения вероятности результата измерения имеет две моды (модой называется наиболее вероятное значение случайного числа). На основании этого выдвигаем гипотезу, что результат многократного измерения безразмерной величины подчиняется двухмодальному кругловершинному закону распределения вероятности результата измерения.

5.Проверка гипотезы

Проверим правдоподобие выдвинутой гипотезы с помощью критерия согласия Мозеса (w2 - критерий омега-квадрат):

Определены критические значения для величины nw2, которые определяется выражением:

.

По табл.3 определяем, что полученное значение nw2 меньше критического значения для определенного уровня значимости (, таким образом, выдвинутая гипотеза о законе распределения вероятности результата измерения не противоречит экспериментальным данным.

Таблица 3

Уровни значимости q=P(nw2>zq)100%5040302010Критические точки zq0,11840,14670,18430,24120,3473Уровни значимости q=P(nw2>zq)100%53210,1Критические точки zq0,46140,54890,61980,74351,1679

Таблица 4

Значения членов вариационного ряда (Qi)Количество членов вариационного ряда NСуммарное количество отсчетов -0,14110,0030,0100,0000490-0,11120,0080,0100,0000040-0,10130,0130,0200,0000490-0,09690,0450,0500,0001500-0,085140,0710,0900,0018050-0,075190,0970,1200,0026450-0,066250,1290,1500,0026460-0,059340,1770,1800,0000810-0,047410,2130,2200,0003430-0,039500,2610,2600,00000900-0,0212620,3240,3300,00043200-0,019710,3710,3800,000729000,006770,4040,4400,007776000,015820,4290,4700,008405000,0210920,4860,4900,000160000,034960,5030,5400,005476000,042980,5130,5500,002738000,0521000,5230,5600,002679120,0631030,5400,5800,004920750,0741070,5610,5900,003481000,0851120,5870,6100,002691200,0971190,6240,6300,000279590,10101290,6760,6800,000136900,1191380,7240,7200,000116640,1271450,7610,7600,000001750,1391540,8080,8100,000036000,1471610,8450,8500,000196630,15121730,9080,9200,001728000,1651780,9340,9600,003380000,1771850,9710,9700,000007000,1821870,9750,9800,000050000,1911880,9870,9900,000009000,2011890,9881,0000,000144000,2111900,9901,0300,001600000,10622

6.Принятие решения о виде закона распределения вероятности результата

Так как выдвинутая гипотеза о том, что результат измерения подчиняется двухмодальному закону распределения вероятности, не противоречит экспериментальным данным, то укажем вид функции распределения вероятности:

+

7.Получение информации о среднем значении

Необходимо определить доверительные интервалы, в которых с заданной вероятностью может находиться значение выбранной оценки характеристики положения.

А для этого должно быть определено среднее квадратическое отклонение оценки числовой характеристики, принятой в качестве характеристики положения (обозначим ее sхп), и записать для доверительных вероятностей P = 0,9 и Р = 0,95 доверительные границы, в которых может находиться значение оценки характеристики положения.

Так как доверительные интервалы симметричны относительно оценки характеристики положения , то результат многократного измерения при конкретном значении доверительной вероятности записывается в виде

Характеристикой положения является среднее арифметическое

стандартное отклонение среднего арифметического

Для определения доверительных интервалов можно использовать

расчеты, полученные ранее е разделе проверки аналитического выражения закона распределения вероятности с помощью критерия согласия Мозеса. В графе 6 табл. 13 приведены рассчитанные значения функции распределения вероятности для различных интервалов.

Построим вспомогательную табл. 19, в которой сведены результаты

промежуточных расчетов. Значения F2 (Q) получаются обычным интегрированием плотности распределения вероятности:

Табл. 5

Значения членов вариационного ряда (Qi)1-0,140,0130,4437-2,01342-0,110,0280,4365-1,91563-0,100,0330,4055-1.85374-0,090,0450,3578-1,70535-0,080,0710,4576-1,53426-0,070,0970,4032-1,45737-0,060,1290,3956-1,27578-0,050,1770,3877-1,23539-0,040,2130,3704-1,143510-0,030,2610,3507-1032411-0,020,3240,3108-0,805712-0,010,3710,2656-0,7422130,000,4040,4226-0,6022140,010,4290,1176-0,4530150,020,4860,0254-0,2770160,030,50300170,040,5130,02340,1358180,050,5230,04580,2246190,060,5400,04980,3660200,070,5610,06030,4085210,080,5870,08960,5308220,090,6240,14830,6523230,100,6760,23340,7246240,110,7240,26680,8690250,120,7610,30230,9532260,130,8080,32331,0424270,140,8450,33851,1422280,150,9080,35901,2420290,160,9340,40031,3705300,170,9710,44231,4424310,180,9750,45671,5064320,190,9870,46641,6247330,200,9880,47321,7234340,210,9900,49541,9576

Теперь можно произвести расчет зависимости доверительной вероятности от параметра t . При этом учитывая что ЗРВ симметричен, поэтому вероятность для одного и того же интервала увеличивается.

Табл. 6

№ П/пПараметр tВероятность10020,10240,093130,24210,174240,37570,232450,45060,345960,58460,470270,72680,510580,85570,580290,96560,6572101,02410,7275111,11350,7733121,32410,8054131,42400,8478141,50450,8892151,61350,9165161,75200,9379171,89760,9594

Теперь можно представить доверительный интервал, в котором находится, значение среднего арифметического, принятого в качестве оценки характеристики положения, с заданной доверительной вероятностью

Результат измерения случайной величины не окажется за пределами доверительного интервала с вероятностью 0,95, t=1,8

7.Переход от случайного значения к неслучайной величине

Результат измерения является случайным, необходимо установить, какое из его значений совпадает с неслучайным значением измеряемой величины. По сложившейся практике со значением измеряемой величины отождествляется среднее значение результата измерения .

Вышесказанное позволяет перейти от любого из случайных значений результата измерения на выходе измерительного прибора к неслучайному значению измеряемой величины на его входе

Для доверительной вероятности t=2 результат ожидаемой величины измерения находится в интервале

,

Q с вероятностью 0.95

Библиографический список

1. Шишкин И.Ф. Теоретическая метрология. Часть 1. Общая теория измерений: Учебник для вузов. 4-е изд., перераб. и доп. - СПб.: Питер, 2010. - 192 с.: ил. - (Серия «Учебник для вузов»)
2. Теоретическая метрология. Методические указания к выполнению курсовой работы - СПб, СЗТУ, 2003

3. Шишкин И.Ф. Лекции по метрологии: Учеб. пособие. - М.: РИЦ Татьянин день, 1993.

. Карсаев А.И. Основы математической статистики.: Учеб. Пособие. - М.: Росвузиздат, 1962. - 412 с.