Графическое отображение объектов и процессов при их проектировании в промышленности и строительстве

ПРИДНЕСТРОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИМ. Т.Г. ШЕВЧЕНКО

ИНЖЕНЕРНО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

Отделение "Промышленные технологии"


НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Методическое пособие

по выполнению графических работ.

Для студентов очной формы обучения специальности

"Механизация сельского хозяйства"


Рецензенты: Боунегру Т.В., старший преподаватель ПГУ,

Войкин В.Н., начальник КБ ОАО "Литмаш"

Рыбалова Т.Ф., Юсюз В.П. - методическое пособие по выполнению расчетно-графических работ по дисциплине "Начертательная геометрия" для студентов АТФ и ИТИ, обучающихся по направлению "Механизация сельского хозяйства" и "Технология машиностроения". Тирасполь, 2008г., 4,3 п. л, иллюстрации.

Данное методическое пособие разработано для студентов второго курса дневного факультета АТФ специальности "Механизация сельского хозяйства" и предназначено для практической проработки курса "Начертательная геометрия". Оно включает в себя 7 разделов, 6 из которых - это примеры выполнения расчетно-графических работ. Каждый из этих разделов состоит из подразделов, одним из которых является теоретический. Он поможет студентам самостоятельно разобраться при решении задач по темам, так как в нем указывается последовательность графических построений ("алгоритмы решения задач").

Методическое пособие содержит общие требования к выполнению расчетно-графических работ, а также требования к их оформлению, задания по вариантам и контрольные вопросы, необходимые для защиты работ.

Обозначения, терминология и символика, используемая в данных методических указаниях, соответствуют приводимым в лекционном курсе и в рекомендуемой литературе.

Методическое пособие дает возможность в наименьшие сроки выполнить работы, а также глубже подготовиться к сдаче экзамена и тем самым значительно повысить уровень геометрической и конструкторской подготовки будущего инженера.

Рекомендовано к изданию методической комиссией и методическим советом ПГУ им. Т.Г. Шевченко, протокол № от _____________________.

© Авторы:

Рыбалова Т.Ф.

Юсюз В.П.

Содержание


Введение

1. Общие требования и рекомендации к выполнению графических работ

2. Расчетно-графическая работа по теме "Комплексный чертеж плоскости"

2.1 Задание

2.2 Теоретический раздел

2.2.1 Построение следов плоскости

2.2.2 Определение угла наклона плоскости к плоскостям П1 и П2

2.2.3 Определение натуральной величины треугольника методом вращения

2.3 Указания к выполнению задания

2.4 Контрольные вопросы

3. Расчетно-графическая работа по теме "Взаимное пересечение плоскостей"

3.1 Задание

3.2 Теоретический раздел

3.2.1 Пересечение прямой линии с плоскостью

3.2.2 Определение видимости геометрических элементов способом конкурирующих точек

3.2.3 Пересечение двух плоскостей произвольного положения

3.2.4 Пересечение плоскости с многогранником

3.3 Указания к выполнению задания (образец выполнения работы смотри в приложении Ж)

3.4 Контрольные вопросы

4. Расчетно-графическая работа по теме "Взаимная перпендикулярность и параллельность прямых и плоскостей"

4.1 Содержание работы

4.2 Теоретический раздел работы

4.2.1 Определение расстояния от точки до плоскости

4.2.2 Параллельность плоскостей

4.3 Указания к выполнению задания

4.4 Контрольные вопросы

5. Расчетно-графическая работа № 5 "Сечение поверхности сферы плоскостями"

5.2 Теоретический раздел

5.2.1 Сечение сферы плоскостью

5.3 Указания к выполнению РГР5

5.4 Контрольные вопросы

6. Расчетно-графическая работа № 6 "Взаимное пересечение поверхностей"

6.2 Теоретический раздел

6.2.1 Построение линий пересечения поверхности с помощью вспомогательных секущих плоскостей

6.2.2 Построение линий пересечения поверхностей с помощью вспомогательных сферических поверхностей

6.3 Указания к выполнению работы

6.4 Контрольные вопросы

7. Расчетно-графическая работа №7"Аксонометрические проекции"

7.1 Аксонометрическая проекция точки и прямой

7.2 Аксонометрические проекции плоских фигур и геометрических тел

7.3 Прямоугольная изометрическая проекция окружности

7.4 Изометрия шара (рисунок 7.10)

7.5 Указания к выполнению задания

7.6 Контрольные вопросы

Литература

Приложения

Введение


Изучение в технических вузах фундаментальных математических наук имеет первостепенное значение в формировании будущего инженера, так как они дают будущему специалисту необходимые знания для решения инженерных задач.

Начертательная геометрия, как прикладная математическая наука находит особо большое применение в конструкторской практике, где рассматривается большой комплекс технических задач с широким использованием математического аппарата. Начертательная геометрия является тем разделом геометрии, который изучает теоретические основы методов построений изображений (проекций) геометрических фигур на какой-либо поверхности и способы решения различных позиционных и метрических задач, относящихся к этим фигурам, при помощи их изображений.

Начертательная геометрия является грамматикой "языка техники" (чертежа), построенного по определенным геометрическим правилам. Чертеж - это своеобразный язык, с помощью которого, используя лишь точки, линии и ограниченное число геометрических знаков букв и цифр, человек имеет возможность изобразить на поверхности (в частности на плоскости) геометрические фигуры или их сочетания (машины, приборы, инженерные сооружения и т.д.) Причем этот графический язык является интернациональным, понятным любому технически грамотному человеку, независимо от того, на каком языке он говорит.

Начертательная геометрия служит наилучшим средством развития у человека его пространственного воображения, без которого немыслимо никакое творчество.

Задача этой науки - создание оптимальных геометрических форм объектов машиностроения, архитектуры и строительства, разработка геометрических основ их воспроизведения в процессе производства, оптимизация технологических процессов на основе их геометрических моделей, разработка теории графического отображения объектов и процессов при их проектировании в промышленности и строительстве.

1. Общие требования и рекомендации к выполнению графических работ


Каждый студент при изучении курса "Начертательная геометрия" должен выполнить расчетно-графические работы (работы), состоящие из нескольких типовых задач различных разделов курса. Работа выполняется по вариантам, варианты задания выдаются преподавателем. Целью каждого задания - закрепление знаний студентов по основным разделам курса и возможность приобрести определенные практические навыки в решении позиционных и метрических задач. Перечень работ смотри приложение А.

Прежде чем приступить к выполнения работы, необходимо ознакомиться с лекционным материалом и с краткими пояснениями решений геометрических задач и графических построений практикума.

Все работы выполняются на листах чертежной бумаги формата А3 (297*420).

Изображения графических элементов, указанных в условии задач, рекомендуется выполнять в масштабе 1: 1.

Все построения должны быть выполнены чертежным инструментом, тип и толщины линий должны соответствовать ГОСТ 2.303. Смотри приложение Б. При этом толщину сплошной толстой основной линии, применяемой для изображения линии видимого контура, видимых линий пересечения, линий входящих в графическую часть определителя поверхности, рекомендуется выполнять для данных работ толщиной S= (0,8 - 1,0) мм. Линии невидимого контура и невидимые линии пересечения поверхности выполнять толщиной S/2. Линии проекционной связи, вспомогательные линии построения, осевые, линии симметрии - толщиной S/3. (В данных работах разрешается результат конечного построения выполнять цветными карандашами, элементы геометрических фигур покрывать бледными тонами или наносить штриховку).

начертательная геометрия аксонометрическая проекция

Изображение всех точек, используемых для выполнения чертежей, а также промежуточные результаты построений должны быть выполнены в виде окружности, диаметр которых больше S.

Наименование точек следует выполнять заглавными буквами латинского алфавита (А; В; С…) или арабскими цифрами (1; 2; 3 …), линий - заглавными буквами греческого алфавита (А; В; Г; ?…?), а проекции, указанных выше элементов - этими же знаками с соответствующим подстрочным индексом. Например: А ? П11; А ? П2 = А2; А ? П3 = А3

Наименование и правописание букв латинского и греческого алфавитов смотри в приложении Б

Буквенные обозначения, цифры, буквы и другие надписи необходимо выполнять шрифтом №5 или №7 в соответствии с ГОСТ 2.304. Смотри приложение В

На чертежах необходимо сохранять те построения, которые дают возможность проверки правильности решения задачи и контроля графической точности построений.

В правом нижнем углу чертежа должна быть выполнена основная надпись по ГОСТ 2.104. В графе обозначение (в учебных целях) должна быть выполнена запись по типу: НГ. РГР№2.600521.08, где НГ - дисциплина "Начертательная геометрия", РГР№2 - номер очередной работы, 600521 - номер зачетной книжки, 08 - номер варианта.

В графе наименование записываем наименование графической работы взятые из приложения А

Каждое задание рассматривается и принимается преподавателем по бальной системе.

Выполненные работы студент должен хранить у себя и в конце семестра зачтенные (положительно оцененные) расчетно-графические работы сброшюровываются в альбом размером 297*420, первым листом которого должен быть титульный лист. Как выполнять титульный лист смотри методическое пособие "Шрифты чертежные" (разработка кафедры ТМС). Образец титульного листа в приложении Г. Альбом предъявляется на зачете, а затем во время сдачи экзамена.

В случае невыполнения установленного количества графических работ студент не допускается к сдаче экзамена по "Начертательной геометрии".

Терминологию и обозначения используемую в данных методических указаниях смотри в приложении Д.

2. Расчетно-графическая работа по теме "Комплексный чертеж плоскости"


Целью данной работы является изучение способа ортогонального проецирования точек, отрезков прямых линий и плоских фигур. Построение плоскости общего положения, главных линий плоскости, следов плоскости. Определение натуральной величины отрезка и плоской фигуры.


2.1 Задание


Для плоскости ?, заданной треугольником АВС:

построить проекции следов плоскости ? (АВС);

определить углы ? и ? наклона плоскости ? (АВС) к плоскостям проекций ?1 и ?2;

поворотом вокруг горизонтали или фронтали определить натуральную величину треугольника АВС.

Координаты точек А, В и С выбираем из таблицы 2.1 по вариантам. Образец выполнения работы смотри в приложении Е.


Таблица 2.1 - координаты точек. В миллиметрах

№ вариантаАВСxyzxyzxyz12345678910168130313054145220131821905882108294216297133150501793378050130104153131562309838682511598156232038162183114161148218352013619873471973113023414554441813816014012723030232151779682275271506122304410141621385251191882521111632315624016238784111121111561033387019511181390121401783030181771514778258160423010513971515018822291362065347161151311835331361981234172511316218011925722125181081601829401361921534191051561327389819011252015310156230703868181112345678910221051850162803720510130231501816022913640653415241839782271492912810251571813023513633733412268781226392181801035276848754022040122661428170122821418927835102910418501618037204101303068327540141401224214

2.2 Теоретический раздел


2.2.1 Построение следов плоскости

Для построения следов плоскости достаточно определить следы двух прямых линий (отрезков), принадлежащих этой плоскости. Рассмотрим построение следов прямой g на эпюре Монжа (смотри рисунок 2.1). Для решения этой задачи пользуемся следующим алгоритмом: чтобы найти горизонтальный след М прямой g сначала необходимо найти его фронтальную проекцию М2 как точку пересечения фронтальной проекции g2 прямой g с осью; недостающая горизонтальная проекция М1 совпадает с горизонтальным следом прямой g, то есть М?М1; для нахождения фронтального следа N прямой сначала находим его горизонтальную проекцию N1, как точку пересечения горизонтальной проекции прямой g с осью; недостающая фронтальная проекция N2 совпадает с фронтальным следом N, то есть N ? N2


Рисунок 2.1


2.2.2 Определение угла наклона плоскости к плоскостям П1 и П2

Прямые линии наибольшего наклона плоскости к плоскостям проекций П1 и П2 перпендикулярны соответственно горизонталям или фронталям этой плоскости. Рассмотрим случай определения угла наклона плоскости ?, заданной прямой а и точкой С к горизонтальной плоскости проекций. Прямой угол, составленный линией наибольшего ската плоскости с ее горизонталью проецируется на горизонтальную плоскость проекций П1 без искажений. Для решения данной задачи (смотри рисунок 2.2):

проведем через точку С горизонталь h (h1, h2);

из любой точки, принадлежащей прямой а, восстанавливаем перпендикуляр к горизонтали h. Получаем А1К1 и А2К2 проекции перпендикуляра (А1К1 ? h);

натуральную величину отрезка АК и угол его наклона к плоскости П1 находим по методу треугольника (смотри рисунок 2.2).


Рисунок 2.2


Как найти угол наклона плоскости к фронтальной плоскости проекций смотри на рисунке 2.3


Рисунок 2.3


2.2.3 Определение натуральной величины треугольника методом вращения

При решении метрических задач связанных с определением истинных размеров изображенных на эпюре (комплексном чертеже) фигур, могут встретиться значительные трудности, если заданные проекции не подвергнуть специальным преобразованиям. Для этой цели обычно применяют один из двух способов: вращения или замены плоскостей проекций. Для решения задачи по определению натуральной величины треугольника воспользуемся способом вращения его вокруг одной оси. Если задаться целью: одним поворотом расположить треугольник параллельно плоскости П1, то за ось вращения следует принимать такую в плоскости треугольника, которая еще до вращения была бы параллельна горизонтальной плоскости проекций, то есть одну из ее горизонталей (смотри рисунок 2.4).


Рисунок 2.4


Построения выполняются в следующей последовательности:

через точку С проведем горизонталь h (h2? х1,2);

из точек А1 и В1 восстанавливаем перпендикуляры к h1;

строим проекции радиуса вращения одной из них (например А), это будут проекции А1О1 и А2О2;

по двум проекциям определяем истинную величину радиуса вращения RА. В настоящем примере радиус определен методом вращения (его также можно определить методом треугольника);

отрезок RА откладываем от точки О вдоль той прямой, по которой перемещается горизонтальная проекция вершины А;

через полученную точку и неподвижную D1 проводим прямую до пересечения с прямой, по которой перемещается горизонтальная проекция вершины В и на их пересечении отмечаем точку ;

соединяя найденные точки и друг с другом и с неподвижной вершиной С1, получаем горизонтальную проекцию треугольника. Эта проекция определяет натуральную величину треугольника АВС;

фронтальная проекция треугольника окажется преобразованной в прямую линию, совпадающую с С2D2.


2.3 Указания к выполнению задания


Указания к выполнению задания по координатам точек А, В и С, взятым с таблицы 2.1 по вариантам, изображаем комплексный чертеж плоскости ? (АВС), при этом выбираем ось х, начало координат и масштаб так, чтобы изображение заняло большую часть поля чертежа (смотри приложение Е);

для построения следов плоскости ? (АВС) находим горизонтальные и фронтальные следы двух прямых (отрезков) плоскости ?. В нашем примере выбираем отрезки СВ и СА. Как определить следы прямых смотри теоретический раздел 2.2.1;

найдя горизонтальные и фронтальные следы двух прямых, соединяем одноименные прямой и получаем следы плоскости;

определяем углы наклона плоскости ? (АВС) к плоскостям П1 и П2 (смотри раздел 2.2.2). В нашем примере горизонталь и фронталь проведены через точку А.


2.4 Контрольные вопросы


Что мы называем следом плоскости и как его определить на комплексном чертеже.

Как определить углы наклона плоскости к плоскостям проекций.

Определение натуральной величины треугольника методом вращения.

3. Расчетно-графическая работа по теме "Взаимное пересечение плоскостей"


Цель работы: приобрести навыки в решении позиционных задач на точку, прямую и плоскость. Научиться строить точки пересечения прямой общего положения с плоскостью и определять видимость геометрических элементов способом конкурирующих точек.


3.1 Задание


Найти линию пересечения призмы плоскостью. (Призма задана координатами точек К, L, M, N и плоскость сигма задана координатами точек А, В, С). Координаты точек выбираем из таблицы 3.1.


Таблица 3.1 - Координаты точек. В миллиметрах

№ варABCKLMNxyzxyzxyzxyzxyzxyzxyz1240615008012020017501901500255250145500115251652010011811030165240803418011002252501382308690160301241802253502502081302501280182801345801161451504601641844054782388073165950230340116190114981845205951420223522600196701002166135183011268116624050421800160541261805670168015902450867213572400862001609578048236108015610020070435521268240503501151601401501902336973199331517188611141239230150110104154150820402286142228611015302516410415510511530212138176248541487696405205944721286125113545160204170025396981330115942238345510520612878122500456513813000901162397070194109591651340334415413115160180046144245108542467035210209817313016236209814255105120062644018012835432810055760018015015415003023410213023420636501358801515216521518215152162406080137016201401320808064165064165802408580170304525811612201161286012658709601216814015018250160125001512801751915450060862101401906081900152508070110138138013811511013813848138122500138200909026010410595002200054601100015014514021245755506412001382223816010019816001281608568063220120452426711501615410816880168856168102134076230901102581521101785201100000000801501758324001301682518525812490258160701981600146160050011425230080230128158285001751751651151751652309016508302624014080052107681460114170102561705017010218407027165145180060752441502000121250503501212515418528205951400203522500195701021564035208011070115

3.2 Теоретический раздел


3.2.1 Пересечение прямой линии с плоскостью

При решении данной задачи необходимо четко различать следующие этапы ее выполнения (алгоритм):

проведение анализа прямой и плоскости, участвующих в пересечении, выяснить какое положение они занимают в пространстве и если общее, то выполнить построение вспомогательной плоскости дельта (D), которую проводят через прямую а (а Ì D). В качестве вспомогательной плоскости рекомендуется брать одну из проецирующих (D ^ Õ1 Ú D ^ Õ2);

построение линии пересечения вспомогательной плоскости дельта с заданной плоскостью сигма (n = DÇå);

определение точки К как точки пересечения данной прямой а и построенной прямой n (аÇn = К)

определение видимости прямой на плоскостях проекций.

На рисунке 3.1 дано аксонометрическое изображение прямой а, пересекающейся с плоскостью сигма, заданной треугольником АВС (å (АВС)). Точка пересечения К найдена с помощью вспомогательной (горизонтально-проецирующей) плоскости дельта (D^Õ1), которая с заданной плоскостью сигма пересекается по прямой (n = D Ç å). Искомая точка К пересечения прямой а с плоскостью треугольника определена как точка пересечения прямых а и n (К = а Ç n).


Рисунок 3.1


Как решается эта задача на эпюре Монжа (комплексном чертеже), смотри на рисунке 3.2


Рисунок 3.2


На рисунке 3.3 рассмотрен еще один пример решения подобной задачи: определить точку пересечения прямой а с плоскостью сигма, заданной двумя параллельными прямыми в и с (а Ç å|| с) =К).


Рисунок 3.3


Порядок (алгоритм) решения данной задачи выглядит следующим образом:

через прямую а проведем вспомогательную фронтально-проецирующую плоскость дельта (D^Õ2);

вспомогательная плоскость дельта пересекает заданную плоскость сигма по прямой 12;

находим проекции этой прямой сначала 12 22 (1222 º а1ºD2), потом11 и 21 (точка 1 принадлежит прямой в а точка 2 прямой с, следовательно их проекции принадлежат одноименным проекциям этих прямых);

находим точку К пересечения прямой 12 с прямой а; 1121Ç а11, К1 ® К2 (а Ç12) = К.

При выполнении эпюрных построений необходимо проявлять особое внимание к последней стадии решения, когда определяются проекции искомой точки. Следует иметь в виду, что если в качестве вспомогательной секущей плоскости взята горизонтально - проецирующая плоскость, то первой из двух будет определена фронтальная проекция искомой точки (смотри рисунок 3.2). Применяя же фронтально-проецирующую плоскость, сначала находят горизонтальную проекцию К1, а затем К2 (смотри рисунок 3.3).

3.2.2 Определение видимости геометрических элементов способом конкурирующих точек

Видимость для каждой плоскости проекций устанавливаем самостоятельно (рисунок 3.3). Начнем с фронтальной плоскости проекций. Рассмотрим фронтальную проекцию 12 точки 1. В ней как бы пересекаются прямые а и в, но они попали в одну точку на фронтальную плоскость проекций лишь потому, что в пространстве точки, принадлежащие прямым а и в находятся на одном перпендикуляре к плоскости Õ2. Если пройтись лучом сверху вниз, то мы увидим, что ближе к нам расположена прямая а, а прямая в за ней, следовательно, на Õ2 видим сначала а2, а потом в2. Видимость для горизонтальной плоскости проекций устанавливаем с помощью точки 3, принадлежащей прямой а и с (). Пройдемся лучом снизу вверх и увидим, что точка 3, принадлежащая прямой с, ниже, чем точка 3 принадлежащая прямой а, следовательно, прямая а на данном участке выше и мы ее видим.


3.2.3 Пересечение двух плоскостей произвольного положения

Линией пересечения двух плоскостей является прямая, для построения которой достаточно определить две точки, общие для обеих плоскостей, либо одну точку и направление линии пересечения двух плоскостей.

Для того чтобы определить эти точки нужно найти точки пересечения любых двух прямых одной плоскости с другой плоскостью, или точки пересечения прямой на каждой плоскости с другой плоскостью.

При решении этой задачи (вторая позиционная задача) пользуются алгоритмом, который составлен на основании общей схемы решения второй позиционной задачи. Общий вид алгоритма следующий:

проводится вспомогательная поверхность, пересекающая заданные поверхности;

определяется линия пересечения вспомогательной поверхности с каждой из заданных поверхностей (m и n);

отмечают точки пересечения построенных линий, которые и являются искомыми, так как они принадлежат одновременно заданным поверхностям.

Если пересекающиеся плоскости (или одна из плоскостей) заданы многоугольниками (смотри рисунок 3.4), то построение линии их пересечения значительно упрощается, если вспомогательные проецирующие плоскости провести не произвольно, а через какие - либо две из сторон многоугольников. В нашем примере вспомогательные плоскости дельта перпендикулярны горизонтальной плоскости проекций и проведены через стороны ЕD и EK, то есть решаем две задачи на пересечение прямой и плоскости (алгоритм решения этой задачи рассмотрен выше). Находим линию 12 пересечения плоскости дельта (D) с плоскостью треугольника АВС (DÇå (АВС) = 12). Точка М есть точка пересечения линии 12 со стороной DE (М = 12 Ç ЕD), а точка N результат пересечения прямой ЕК с линией 34. Прямая МN является линией пересечения двух треугольников. Видимость определяем с помощью конкурирующих точек (смотри 3.2.2).


Рисунок 3.4

3.2.4 Пересечение плоскости с многогранником

Построение сечения многогранника требует многократного решения задачи о пересечении прямой с плоскостью. Точки, в которых ребра многогранника пересекаются с заданной плоскостью, будут вершинами исходного сечения. Тот же результат можно получить, сведя задачу к построению прямых пересечения плоскости с гранями тела (как пересечение двух плоскостей). Рассмотрим задачу, когда необходимо определить линию пересечения трехгранной призмы плоскостью сигма, заданной двумя пересекающимися прямыми (рисунок 3.5).


Рисунок 3.5


Каждая из вершин построенного треугольника (МNL), определена как точка пересечения соответствующего ребра, с заданной плоскостью сигма.


N = АА1 Ç å


Для нахождения точки N проводим вспомогательную, горизонтально-проецирующую плоскость дельта, проходящую через ребро АА1.

Она пересекает плоскость å по прямой 12. Построив 1222 определяем точку N2 и с помощью линии проекционной связи находим вторую проекцию точки N-N1. Аналогичные построения выполняем для нахождения точек M и L.


L = ВВ1Çå, M = СС1Çå


.3 Указания к выполнению задания (образец выполнения работы смотри в приложении Ж)


На листе формата А3, расположение книжное, по координатам точек А В и С строим комплексный чертеж плоскости сигма.

По координатам точек К, М,N и L выполняем комплексный чертеж призмы. Все построения выполняются в тонких линиях. Определяем видимость ребер призмы и сторон треугольника.

Если призму пересечь плоскостью, то в сечении получится многогранник, число вершин которого зависит от того, сколько ребер пересекает секущая плоскость. В нашем задании секущая плоскость пересекает три ребра, следовательно, в сечении получится треугольник, каждая вершина которого находится как точка пересечения ребра с плоскостью å (АВС).


Р = КК1 Ç å= ММ1Ç å= NL Ç å


Рассмотрим нахождение точки Р: через ребро КК1 проведем вспомогательную горизонтально-проецирующую секущую плоскость дельта. Эта плоскость пересекает плоскость сигма по прямой 12, горизонтальная проекция которой совпадает с горизонтальной проекцией ребра и вспомогательной плоскости дельта (1121 º К1К'1ºD2). С помощью проекции линии связи находим 12 и 22. Искомая точка Р находится на пересечении прямой АВ и 12 (Р=АВÇ 12). Точки R и S находим аналогично. По точкам Р, R, S строим треугольник, который получается при пересечении призмы плоскостью сигма, но так как плоскость сигма ограничена треугольником АВС, то и линии пересечения будут ограничены сторонами треугольника. Отмечаем эти точки D и Е, G и F и определяем видимость (приложение Ж).

Следует обратить внимание на то, что данный способ решения не является единственным. Данную задачу можно решить методом замены плоскостей проекций.


3.4 Контрольные вопросы


Алгоритм решения задачи на пересечение прямой и плоскости;

Алгоритм решения задачи на пересечение двух плоскостей;

Алгоритм решения задачи на пересечение многогранных поверхностей плоскостями.

4. Расчетно-графическая работа по теме "Взаимная перпендикулярность и параллельность прямых и плоскостей"


Цель работы: закрепить знания и навыки в построении проекций точек, прямых и плоскостей в соответствии с координатным способом их задания, приобрести навыки в решении позиционных задач на прямую и плоскость, научиться строить прямые и плоскости, параллельные и перпендикулярные заданным плоскостям, а также приобрести умение определять натуральную величину отрезка прямой по его комплексному чертежу.


.1 Содержание работы


Определить расстояние от точки D до плоскости сигма заданной треугольником АВС.

Построить плоскость тэта, параллельную плоскости сигма и находящуюся на половине расстояния от точки D до плоскости сигма.

Через вершину В плоскости сигма провести плоскость дельта перпендикулярно отрезку АС и построить линию пересечения двух плоскостей (сигма и дельта).

Данные для выполнения задания берем по вариантам из таблицы 4.1


Таблица 4.1 - Координаты точек, в миллиметрах

№ Вар. 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

4.2 Теоретический раздел работы


4.2.1 Определение расстояния от точки до плоскости

Так как расстояние от точки до плоскости есть ни что иное, как перпендикуляр, проведенный из этой точки к плоскости, то наша задача сводится к проведению этого перпендикуляра. Прямая линия перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна любым двум взаимно пересекающимся прямым этой плоскости. Если в качестве этих прямых взять две любые взаимно пересекающиеся горизонталь и фронталь, то мы можем сказать, что если прямая перпендикулярна плоскости, то ее горизонтальная проекция перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали, а фронтальная проекция - перпендикулярна фронтальной проекции фронтали той же плоскости (l ^? (h; f) ? l1^h1 Ù l2^f2). При этом справедлива и обратная теорема, то есть, если проекция прямой перпендикулярна одноименным проекциям главных линий плоскости, то такая прямая перпендикулярна плоскости (смотри рисунок 4.1)


Рисунок 4.1


Рассмотрим применение этих теорем при решении практических задач.

Задача 4.1 Определить расстояние от точки D до плоскости тэта, заданной треугольником АВС.

Ход решения задачи (смотри рисунок 4.2):

как бы не была задана плоскость, проводим в ней любую фронталь (f1; f2) и горизонталь (h1; h2);

из точки D1 восстанавливаем перпендикуляр к h1, а из точки D2 - перпендикуляр к f2 и получаем направление перпендикуляра l (l1 l2);

находим точку К = l?? (как найти эту точку, смотри задачи на пересечение прямой и плоскости);

D1К1 и D2 К2 проекции перпендикуляра. Его натуральную величину находим любым известным способом. В данной задаче его натуральная величина найдена методом треугольник


Рисунок 4.2


Часто приходится решать задачу обратную - строить плоскость, которая проходит через заданную точку А перпендикулярно данной прямой (рисунок 4.3). Как правило, эту плоскость задают главными линиями плоскости (горизонталью и фронталью), так как известно направление этих главных линий плоскости. Через точку А проводим горизонталь (ее горизонтальная проекция перпендикулярна горизонтальной проекции прямой и через эту же точку А проводим фронталь плоскости (ее фронтальная проекция перпендикулярна фронтальной проекции прямой).


Рисунок 4.3


4.2.2 Параллельность плоскостей

Две плоскости взаимно параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости, параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости. Через точку пространства можно провести пучок прямых линий параллельных данной плоскости.

На комплексном чертеже (эпюре Монжа) (смотри рисунок 4.4) плоскость сигма задана двумя параллельными прямыми и через точку пространства К проведена плоскость, параллельная заданной, при этом прямая g параллельна с, а прямая е параллельна прямым а и в


Рисунок 4.4


У параллельных плоскостей их главные линии (следы) соответственно параллельны. На рисунке 4.5 плоскость сигма задана следами и дана точка К, через которую нужно провести плоскость, параллельную плоскости сигма. Для этого через точку К проведем одну из главных линий плоскости (например горизонталь). Через след горизонтали будет проходить новая плоскость сигма.


Рисунок 4.5


4.3 Указания к выполнению задания


Задание должно быть выполнено на листе формата А3, расположение альбомное и образец его выполнения смотри приложение И. Лист условно делится на две части, и в левой части выполняется задание 4.1.1 и 4.1.2, в правой части - задание 4.1.3 По координатам точек А, В, С и D выполняем комплексный чертеж плоскости сигма, заданной треугольником АВС и точки D.

Порядок выполнения задания 4.1.1

В плоскости сигма проводим фронталь и горизонталь (для удобства данного чертежа фронталь и горизонталь проводим через вершину С, через вершину D проведем прямую l, перпендикулярную плоскости сигма, для этого проводим l2^ f2 и l1^ h1; находим точку пересечения построенной прямой l с заданной плоскостью сигма (алгоритм решения данной задачи смотри в разделе 3.2.1 данного методического указания) l??=К К1D1 и К2D2 - проекции перпендикуляра КD или расстояние от точки а до плоскости сигма; для нахождения натуральной величины отрезка DК можно воспользоваться любым известным способом. В нашем примере использован метод прямоугольного треугольника. Для этого из конца (любого) отрезка К1D1 восстановим перпендикуляр, на котором отложим DY = Y к - Y D и тогда К1 = ? DК?

×åðåç середину отрезка DК необходимо провести плоскость сигма, параллельную плоскости сигма. Для этого отрезок DК делим на две части, получаем точку L (находим L1 и L2) и через точку L проводим плоскость тэта, которую задаем двумя пересекающимися прямыми m и n ? (n?m), при этом m??ÀÑ, а n ??ÀÂ.

На поле чертежа справа выполняем комплексный чертеж плоскости сигма, заданной треугольником АВС и через вершину В проводим плоскость дельта, перпендикулярную стороне АС (плоскость дельта задаем горизонталью и фронталью). При этом строим f2^А2С2, а h1^А1С1. Чтобы найти линию пересечения этих двух плоскостей, нам достаточно найти точку пересечения плоскости дельта прямой АС, так как одна точка пересечения (В) у нас уже есть. Для этого через отрезок АС проводим фронтально-проецирующую плоскость Ф и найдем прямую 12, по которой плоскость дельта пересекается плоскостью фи (12=??Ф). точка К находится на пересечении прямых АС и 12 (К= АС?12). Проводим линию пересечения двух плоскостей и определяем видимость. (В примере точка К найдена другим способом).


4.4 Êîíòðîëüíûå âîïðîñû


Íàçîâèòå àëãîðèòì ðåøåíèÿ çàäà÷è íà ïîñòðîåíèå ïåðïåíäèêóëÿðà èç òî÷êè ê ïëîñêîñòè.

Íàçîâèòå àëãîðèòì ðåøåíèÿ çàäà÷è íà ïîñòðîåíèå ïëîñêîñòè, ïåðïåíäèêóëÿðíîé ê äàííîé ïðÿìîé;.

Íàçîâèòå àëãîðèòì ðåøåíèÿ çàäà÷è íà ïîñòðîåíèå ïëîñêîñòè, ïàðàëëåëüíîé çàäàííîé.

5. Ðàñ÷åòíî-ãðàôè÷åñêàÿ ðàáîòà ¹ 5 "Ñå÷åíèå ïîâåðõíîñòè ñôåðû ïëîñêîñòÿìè"


Öåëü ðàáîòû: èçó÷èòü ñïîñîáû è ïðèîáðåñòè óìåíèå â ïîñòðîåíèè ëèíèé ïåðåñå÷åíèÿ ïîâåðõíîñòè ñôåðû ïëîñêîñòÿìè ÷àñòíîãî ïîëîæåíèÿ.

5.1 Ñîäåðæàíèå ðàáîòû: âûïîëíèòü ëèíèè ïåðåñå÷åíèÿ ïîâåðõíîñòè ñôåðû ïëîñêîñòÿìè ÷àñòíîãî ïîëîæåíèÿ (ôðîíòàëüíî-ïðîåöèðóþùèìè). Äàííûå äëÿ âûïîëíåíèÿ çàäàíèÿ áåðåì ïî âàðèàíòàì èç òàáëèöû 5.1, îáðàçåö âûïîëíåíèÿ çàäàíèÿ ñìîòðè ïðèëîæåíèå Ê.


Òàáëèöà 5.1 Çàäàíèÿ ïî âàðèàíòàì. Â ìèëëèìåòðàõ

¹ âàð. ÀÂÑD????????1234567891857547110201108550285705010025408540327459045100606090470351007035954535510308080608535306906560952540904073525100506585358581054065902540904099040907035903540108510535653545854511807550753035803512854085105358525651390404590309030401440351007035854085157030105808580403016354010040909060901735258570858535851234567891875251008550853070198520858060803550202580653085308580211007560903045110452210590409040657530238586508620404525244025906590854025258550659525752550

Äëÿ âñåõ âàðèàíòîâ öåíòð ñôåðû Î (50; 60; 60), è ðàäèóñ ñôåðû ðàâåí 40 ìì.


5.2 Òåîðåòè÷åñêèé ðàçäåë


Ïðè ïîñòðîåíèè ëèíèè ïåðåñå÷åíèÿ îäíà èç ïðîåêöèé ëèíèè ïåðåñå÷åíèÿ çàäàíà (ýòî ôðîíòàëüíàÿ, òàê êàê èçâåñòíû êîîðäèíàòû X è Z).  óñëîâèè íàøåãî çàäàíèÿ ñåêóùèå ïëîñêîñòè ÿâëÿþòñÿ ôðîíòàëüíî - ïðîåöèðóþùèìè, ïîýòîìó ðåøåíèå çàäà÷è çíà÷èòåëüíî óïðîùàåòñÿ.  ñëó÷àå, åñëè ñåêóùàÿ ïëîñêîñòü îáùåãî ïîëîæåíèÿ, ñëåäóåò âîñïîëüçîâàòüñÿ îäíèì èç ñïîñîáîâ ïðåîáðàçîâàíèÿ åå â ïëîñêîñòü ÷àñòíîãî ïîëîæåíèÿ (ïðîåöèðóþùóþ). Åñòåñòâåííî, ÷òî ïðåîáðàçîâàíèÿì íàäî ïîäâåðãíóòü è çàäàííóþ ñôåðè÷åñêóþ ïîâåðõíîñòü.


5.2.1 Ñå÷åíèå ñôåðû ïëîñêîñòüþ

Ñå÷åíèå ñôåðû ïëîñêîñòüþ ðàññìîòðèì íà ïðèìåðå ðåøåíèÿ çàäà÷è. Ïóñòü äàíà ñôåðà è ôðîíòàëüíî - ïðîåöèðóþùàÿ ïëîñêîñòü äåëüòà (ñìîòðè ðèñóíîê 5.1). îêðóæíîñòü, ïî êîòîðîé ïëîñêîñòü äåëüòà ïåðåñåêàåò ñôåðó ïðîåöèðóåòñÿ íà Ï1 â âèäå ýëëèïñà. Äâå âåðøèíû ýòîãî ýëëèïñà òî÷êè 1 è 2 ÿâëÿþòñÿ âûñøåé è íèçøåé òî÷êàìè (ãëàâíûå òî÷êè ëèíèè ïåðåñå÷åíèÿ ñôåðû ïîâåðõíîñòüþ) ñå÷åíèÿ. Äëÿ èõ íàõîæäåíèÿ ïîëüçóþòñÿ òåì, ÷òî îíè ÿâëÿþòñÿ î÷åâèäíûìè, òî åñòü íàõîäÿòñÿ íà ïåðåñå÷åíèè ñåêóùåé ïëîñêîñòè ñ ãëàâíûì ìåðèäèàíîì ñôåðû. Íàõîäèì 12 è 22 è ïî ëèíèè ñâÿçè è ïî ïðèíàäëåæíîñòè î÷åðêîâîé îáðàçóþùåé îïðåäåëÿåì ãîðèçîíòàëüíûå ïðîåêöèè òî÷åê 1 è 2 (11; 21). Òî÷êè 3 è 4 òîæå ÿâëÿþòñÿ ãëàâíûìè òî÷êàìè ëèíèè ïåðåñå÷åíèÿ - ýòî òî÷êè ñìåíû âèäèìîñòè íà ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòè ïðîåêöèé è ïðèíàäëåæàò ýêâàòîðó ñôåðû, òî÷êè 5 è 6 îïðåäåëÿþò áîëüøóþ îñü ýëëèïñà (1252 = 5222; 5161 = 122).


Ðèñóíîê 5.1


Ïðèìåð ðåøåíèÿ çàäà÷è, êîãäà ñôåðà ïåðåñåêàåòñÿ ïëîñêîñòüþ îáùåãî ïîëîæåíèÿ, ñìîòðè íà ðèñóíêå 5.2


Ðèñóíîê 5.2


 íàøåì ïðèìåðå h (h1,h2) - ãîðèçîíòàëü, f (f 1,f2) - ôðîíòàëü

Ðàññìàòðèâàåìûé ñëó÷àé ìîæíî ñâåñòè ê ïðåäûäóùåìó, ïðîäåëàâ çàìåíó ïëîñêîñòåé ïðîåêöèé (Ï2 íà Ï4).  íîâîé ñèñòåìå Ï1Ï4 çàäàííàÿ ïëîñêîñòü ñòàëà ïðîåöèðóþùåé è ãîðèçîíòàëüíóþ ïðîåêöèþ ñå÷åíèÿ ìîæíî ïîñòðîèòü àíàëîãè÷íî òîìó, êàê ýòî áûëî ñäåëàíî íà ðèñóíêå 5.1 Âûñøàÿ è íèçøàÿ òî÷êè ñå÷åíèÿ îáîçíà÷åíû ñîîòâåòñòâåííî ÷åðåç 1è 2 (11; 14) è (21; 24). Öèôðàìè 3 (31; 34) è 4 (41; 44) îáîçíà÷åíû òî÷êè, ðàñïîëîæåííûå íà êîíòóðå ãîðèçîíòàëüíîé ïðîåêöèè ñôåðû è îòäåëÿþùèå âèäèìóþ ÷àñòü ãîðèçîíòàëüíîé ïðîåêöèè îò íåâèäèìîé (òî÷êè âèäèìîñòè). Çàìåòèì, ÷òî ýòè òî÷êè (3 è 4) ìîæíî îïðåäåëèòü è íåïîñðåäñòâåííî â ñèñòåìå Ï21 ïðè ïîìîùè ïëîñêîñòè ?, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç öåíòð ñôåðû || Ï1. Ïîñòðîåíèå ôðîíòàëüíîé ïðîåêöèè ñå÷åíèÿ ìîæíî âûïîëíèòü íåçàâèñèìî îò óæå ïîñòðîåííîé ïðîåêöèè ñå÷åíèÿ íà ïëîñêîñòè Ï1. Äëÿ ýòîãî ñëåäóåò ïåðåéòè îò ñèñòåìû Ï21 ê ñèñòåìå Ï5/ Ï25^ Ï2) è äàëüíåéøèå ïîñòðîåíèÿ íè÷åì íå îòëè÷àþòñÿ îò ïðåäûäóùèõ. Çàìåòèì, ÷òî ÷åðåç 5 è 6 îáîçíà÷åíû òî÷êè ñîîòâåòñòâåííî íàèáîëåå è íàèìåíåå óäàëåííûå îò ïëîñêîñòè Ï2. Òî÷êè 7 è 8 ðàñïîëîæåíû íà ìåðèäèàíå ñôåðû è îïðåäåëÿþò ãðàíèöû âèäèìîñòè ôðîíòàëüíîé ëèíèè ñå÷åíèÿ. Åñëè íàéäåííûõ òî÷åê íåäîñòàòî÷íî äëÿ ïîñòðîåíèÿ ïðîåêöèé ñå÷åíèÿ (ïðè áîëüøèõ ðàçìåðàõ ÷åðòåæà), òî ïðîìåæóòî÷íûå òî÷êè ìîãóò áûòü îïðåäåëåíû ïðè ïîìîùè âñïîìîãàòåëüíûõ ñåêóùèõ ïëîñêîñòåé (ïàðàëëåëåé ñôåðû).

Ðàññìîòðèì åùå îäèí ïðèìåð ðàññå÷åíèÿ ñôåðû ïëîñêîñòÿìè.

Ñôåðà ðàññåêàåòñÿ ïëîñêîñòÿìè ïî îêðóæíîñòÿì, êîòîðûå ïðîåöèðóþòñÿ â íàòóðàëüíóþ âåëè÷èíó íà ïëîñêîñòè, ïàðàëëåëüíûå ñåêóùèì ïëîñêîñòÿì, è â îòðåçêè ïðÿìûõ - íà ïëîñêîñòè, ïåðïåíäèêóëÿðíûå ñåêóùèì ïëîñêîñòÿì. Íà ðèñóíêå 1 ïîêàçàí ïðèìåð - óñå÷åííàÿ ïîëóñôåðà ??Ï1, à è ??Ï3). Îòñå÷åííàÿ (îòáðîøåííàÿ) ÷àñòü ïîëóñôåðû ïîêàçàíà ñïëîøíîé òîíêîé ëèíèåé.


Ðèñóíîê 5.3


5.3 Óêàçàíèÿ ê âûïîëíåíèþ ÐÃÐ5


Íà ëèñòå ôîðìàòà À3, ðàñïîëîæåíèå àëüáîìíîå, âûïîëíÿåì â òîíêèõ ëèíèÿõ òðåõïðîåêöèîííûé êîìïëåêñíûé ÷åðòåæ ñôåðû, âûáðàâ òî÷êó Î (50; 60; 60) ñôåðû ïî êîîðäèíàòàì è ðàäèóñó ñôåðû 40ìì. Íà ôðîíòàëüíîé ïëîñêîñòè ïðîåêöèé ïî êîîðäèíàòàì òî÷åê À; Â; Ñ è D (òàáëè÷êó ñ êîîðäèíàòàìè òî÷åê æåëàòåëüíî ðàçìåñòèòü íà ñâîáîäíîì ïîëå ÷åðòåæà âíèçó ñëåâà), âçÿòûì ñîãëàñíî âàðèàíòó èç òàáëèöû 5.1, âûïîëíÿåì ôðîíòàëüíóþ ëèíèþ ñå÷åíèÿ ñôåðû ôðîíòàëüíî-ïðîåöèðóþùèìè ïëîñêîñòÿìè.  íàøåì îáðàçöå â ïðèëîæåíèè Ê ýòî ëèíèÿ 1DÀ5À' D'1. Ôðîíòàëüíàÿ ïðîåêöèÿ ëèíèè ïåðåñå÷åíèÿ ó íàñ óæå åñòü, à êàê íàéòè îñòàëüíûå ïðîåêöèè ñìîòðè ðàçäåë 5.2.1 äàííîãî ïîñîáèÿ.


5.4 Êîíòðîëüíûå âîïðîñû


Êàêàÿ ôèãóðà ïîëó÷àåòñÿ â ñå÷åíèè ïðè ïåðåñå÷åíèè ñôåðû ïëîñêîñòüþ óðîâíÿ?

Êàêàÿ ôèãóðà ïîëó÷àåòñÿ â ñå÷åíèè ïðè ïåðåñå÷åíèè ñôåðû ïðîåöèðóþùåé ïëîñêîñòüþ?

Ïåðå÷èñëèòå ãðàôè÷åñêèå îïåðàöèè ïðè ïîñòðîåíèè ïëîñêèõ ñå÷åíèé ëþáîé ïîâåðõíîñòè.

Êàêèå òî÷êè ëèíèè ïåðåñå÷åíèÿ ïîâåðõíîñòè âðàùåíèÿ ïëîñêîñòüþ íàçûâàþòñÿ ãëàâíûìè (îïîðíûìè).

6. Ðàñ÷åòíî-ãðàôè÷åñêàÿ ðàáîòà ¹ 6 "Âçàèìíîå ïåðåñå÷åíèå ïîâåðõíîñòåé"


Öåëüþ äàííîãî çàíÿòèÿ ÿâëÿåòñÿ èçó÷åíèå ñïîñîáîâ ïîñòðîåíèÿ ëèíèè ïåðåñå÷åíèÿ ïîâåðõíîñòåé.

Çàäàíèå: â ðàñ÷åòíî-ãðàôè÷åñêîé ðàáîòå ¹6 íåîáõîäèìî âûïîëíèòü äâå çàäà÷è íà ïîñòðîåíèå ëèíèè ïåðåñå÷åíèÿ ïîâåðõíîñòåé. Çàäà÷ó ¹6.1 ñìîòðè â òàáëèöå 6.1, çàäà÷ó ¹6.2 òàáëèöå 6.2, à âàðèàíòû çàäàíèÿ â òàáëèöå 6.3.


Òàáëèöà 6.1 - Çàäà÷à 6.1


Òàáëèöà 6.2 - Çàäà÷à 6.2


Òàáëèöà 6.3 - Âàðèàíòû çàäàíèÿ

¹ âàð. Çàäà÷à ¹ 6.1Çàäà÷à ¹6.2¹ âàðÇàäà÷à ¹ 6.1Çàäà÷à ¹6.2Òàáëèöà 6.1Òàáëèöà 6.2Òàáëèöà 6.1Òàáëèöà 6.21Ðèñóíîê1Í ?125 90°Ðèñóíîê1h À30 4016Ðèñóíîê1Í ?120 135°Ðèñóíîê3À ?30 90°2Ðèñóíîê3Í ?100 90°Ðèñóíîê2À Â55 6017Ðèñóíîê2Í ?60 45°Ðèñóíîê2À Â0 403Ðèñóíîê2Í ?55 60°Ðèñóíîê3À ?60 60°18Ðèñóíîê3Í ?120 120°Ðèñóíîê1h À55 204Ðèñóíîê4Í ?60 45°Ðèñóíîê4À Â50 5019Ðèñóíîê4Í ?70 60°Ðèñóíîê2À Â60 605Ðèñóíîê5Í ?110 90°Ðèñóíîê5?1 ?245° 45°20Ðèñóíîê5Í ?80 90°Ðèñóíîê3À ?0 45°6Ðèñóíîê6À 10 Ðèñóíîê6À Â30 021Ðèñóíîê6À 0 Ðèñóíîê4À Â0 207Ðèñóíîê7À ?10 45°Ðèñóíîê7? 90° 22Ðèñóíîê7À ?10 60°Ðèñóíîê5?1 ?290° 0°8Ðèñóíîê8Í À65 165Ðèñóíîê8À Â20 4023Ðèñóíîê8Í À65 120Ðèñóíîê6À Â0 10 9Ðèñóíîê7À ?5 90°Ðèñóíîê9À Â20 4024Ðèñóíîê8Í À60 130Ðèñóíîê7? 45° 10Ðèñóíîê6À 20 Ðèñóíîê8À Â0 5025Ðèñóíîê6À 50 Ðèñóíîê8À Â30 3011Ðèñóíîê5Í ?110 120°Ðèñóíîê7? 60° 26Ðèñóíîê5Í ?55 90°Ðèñóíîê9À Â30 3012Ðèñóíîê8Í À65 80Ðèñóíîê6À Â50 1527Ðèñóíîê4Í ?50 30°Ðèñóíîê1h À0 5513Ðèñóíîê4Í ?60 90°Ðèñóíîê9À Â0 5028Ðèñóíîê3Í ?150 110°Ðèñóíîê2À Â0 6014Ðèñóíîê3Í ?100 135°Ðèñóíîê5?1 ?260° 30°29Ðèñóíîê2Í ?70 60°Ðèñóíîê3À ?60 9015Ðèñóíîê2Í ?50 90°Ðèñóíîê4À Â60 6030Ðèñóíîê1Í ?120 75°Ðèñóíîê4À Â

6.2 Òåîðåòè÷åñêèé ðàçäåë


Ëèíèÿ ïåðåñå÷åíèÿ ïîâåðõíîñòåé ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñîâîêóïíîñòü

òî÷åê îáåèõ ïîâåðõíîñòåé.  îáùåì ñëó÷àå äëÿ íàõîæäåíèÿ ëèíèè ïåðåñå÷åíèÿ ïîâåðõíîñòåé èñïîëüçóåòñÿ ñëåäóþùèé àëãîðèòì ïîñòðîåíèÿ ëèíèè ïåðåñå÷åíèÿ ïîâåðõíîñòåé:

Ïðîâåñòè àíàëèç âèäà ïîâåðõíîñòåé è èõ âçàèìíîãî ðàñïîëîæåíèÿ. Àíàëèç âçàèìíîãî ðàñïîëîæåíèÿ ïîâåðõíîñòåé ïîçâîëÿåò ñäåëàòü âûâîä î êîëè÷åñòâå çàìêíóòûõ êîíòóðîâ â ëèíèè ïåðåñå÷åíèÿ.  ñëó÷àå ïðîíèöàíèÿ, êîãäà îäíà èç ïîâåðõíîñòåé ïîëíîñòüþ ïåðåñåêàåòñÿ âòîðîé, ëèíèÿ ïåðåñå÷åíèÿ ñîñòîèò èç äâóõ êîíòóðîâ. Åñëè ïåðåñå÷åíèå ÷àñòè÷íîå (ñëó÷àé âðåçêè), ëèíèÿ ïåðåñå÷åíèÿ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îäèí ïðîñòðàíñòâåííûé êîíòóð. Ïðè êàñàíèè ïîâåðõíîñòåé äâà êîíòóðà ëèíèè ïåðåñå÷åíèÿ èìåþò îáùóþ òî÷êó.

Ïðîâåñòè àíàëèç âèäà ëèíèè ïåðåñå÷åíèÿ ïîâåðõíîñòåé. Íåîáõîäèìî ïðîàíàëèçèðîâàòü è âîçìîæíûé âèä ëèíèè ïåðåñå÷åíèÿ (åå êîíòóðà): ïðîñòðàíñòâåííûé èëè ïëîñêèé, ãëàäêèé èëè ñ èçëîìàìè, ñèììåòðè÷íûé èëè íåñèììåòðè÷íûé. Ëèíèÿ ïåðåñå÷åíèÿ ìíîãîãðàííèêîâ â îáùåì ñëó÷àå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïðîñòðàíñòâåííóþ çàìêíóòóþ ëîìàíóþ, â ÷àñòíûõ ñëó÷àÿõ - ïðîñòðàíñòâåííûå ëèáî ïëîñêèå ìíîãîóãîëüíûå êîíòóðà.

Ëèíèÿ ïåðåñå÷åíèÿ ïîâåðõíîñòåé âòîðîãî ïîðÿäêà â îáùåì ñëó÷àå - ïðîñòðàíñòâåííàÿ ãëàäêàÿ êðèâàÿ ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêà. Åñëè òàêèå ïîâåðõíîñòè èìåþò îáùóþ ïëîñêîñòü ñèììåòðèè, òî è ëèíèÿ ïåðåñå÷åíèÿ áóäåò ñèììåòðè÷íîé êðèâîé. Ëèíèÿ ïåðåñå÷åíèÿ ïîâåðõíîñòè âðàùåíèÿ ëèáî ïîâåðõíîñòè âòîðîãî ïîðÿäêà ñ ìíîãîãðàííèêîì â îáùåé ñëó÷àå - ïðîñòðàíñòâåííàÿ êðèâàÿ ñ òî÷êàìè èçëîìà â òî÷êàõ ïåðåñå÷åíèÿ ðåáåð ñ ïîâåðõíîñòüþ âòîðîãî ïîðÿäêà.

Íàéòè òî÷êè ëèíèè ïåðåñå÷åíèÿ, îïðåäåëÿåìûå íåïîñðåäñòâåííûì îáðàçîì. Ëèíèÿ ïåðåñå÷åíèÿ äâóõ ïîâåðõíîñòåé â îáùåì ñëó÷àå èìååò õàðàêòåðíûå (îïîðíûå) òî÷êè, ñ êîòîðûõ è ñëåäóåò íà÷èíàòü ïîñòðîåíèå ëèíèè ïåðåñå÷åíèÿ. Îïîðíûìè òî÷êàìè ÿâëÿþòñÿ:

òî÷êè, ïðèíàäëåæàùèå ðåáðàì ìíîãîóãîëüíèêà, ó÷àñòâóþùèì â ïåðåñå÷åíèè;

òî÷êè, â êîòîðûõ ëèíèÿ ïåðåñå÷åíèÿ ïåðåñåêàåò ëèíèþ âèäèìîãî êîíòóðà ïîâåðõíîñòè îòíîñèòåëüíî òîé èëè èíîé ïëîñêîñòè ïðîåêöèé (ïðîåêöèè ýòèõ òî÷åê ïðèíàäëåæàò î÷åðêîâîé ëèíèè ñîîòâåòñòâóþùåé ïðîåêöèè ïîâåðõíîñòè è íàçûâàþòñÿ î÷åðêîâûìè, îíè äåëÿò ñîîòâåòñòâóþùóþ èì ïðîåêöèþ ëèíèè ïåðåñå÷åíèÿ íà âèäèìóþ è íåâèäèìóþ, èõ åùå íàçûâàþò òî÷êàìè ñìåíû âèäèìîñòè), íî íå êàæäàÿ èç î÷åðêîâûõ ÿâëÿåòñÿ òî÷êîé ñìåíû âèäèìîñòè;

ýêñòðåìàëüíûå òî÷êè, òî åñòü òî÷êè íàèáîëåå è íàèìåíåå óäàëåííûå îò òîé èëè èíîé ïëîñêîñòè ïðîåêöèé (ïî îòíîøåíèþ ê ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòè ïðîåêöèé ýòî âûñøàÿ è íèçøàÿ òî÷êè).

Âûáðàòü âñïîìîãàòåëüíûå ïëîñêîñòè - ïîñðåäíèêè äëÿ ïîñòðîåíèÿ ïðîìåæóòî÷íûõ òî÷åê. Îñíîâíûì ñïîñîáîì ïîñòðîåíèÿ ëèíèè ïåðåñå÷åíèÿ ïîâåðõíîñòåé ÿâëÿåòñÿ ñïîñîá âñïîìîãàòåëüíûõ ïîâåðõíîñòåé. Ñóùíîñòü åãî çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî êàæäàÿ èç èñêîìûõ òî÷åê ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê ðåçóëüòàò ïåðåñå÷åíèÿ äâóõ ëèíèé, îäíà èç êîòîðûõ ðåçóëüòàò ïåðåñå÷åíèÿ âñïîìîãàòåëüíîé ïîâåðõíîñòè ñ îäíîé èç çàäàííûõ, äðóãàÿ - òîé æå âñïîìîãàòåëüíîé ïîâåðõíîñòè ñ äðóãîé çàäàííîé.

Âûáîð âèäà è ïîëîæåíèÿ âñïîìîãàòåëüíîé ñåêóùåé ïëîñêîñòè îïðåäåëÿåòñÿ â îñíîâíîì ñëåäóþùèìè ñîîáðàæåíèÿìè: íåîáõîäèìîñòüþ îïðåäåëåíèÿ ïîëîæåíèÿ ðÿäà îïîðíûõ òî÷åê, òàê êàê îïîðíûå òî÷êè ðàñïîëàãàþòñÿ íà âïîëíå îïðåäåëåííûõ ëèíèÿõ, òî âñïîìîãàòåëüíûå ïîâåðõíîñòè âûáðàòü òàê, ÷òîáû îíè ïåðåñåêëè çàäàííûå èìåííî ïî ýòèì ëèíèÿì (ñëåäóåò îïðåäåëèòü âíèìàíèå, ÷òî ïðè ðåøåíèè êîíêðåòíûõ çàäà÷ êàæäàÿ èç îïîðíûõ òî÷åê òðåáóåò ñîñòàâëåíèÿ ñâîåãî îñîáîãî àëãîðèòìà ïîñòðîåíèÿ, â òî âðåìÿ êàê ïðîìåæóòî÷íûå òî÷êè ìîãóò áûòü ïîñòðîåíû íà îñíîâàíèè îäíîãî è òîãî æå àëãîðèòìà); ëþáàÿ èç ïðîâåäåííûõ âñïîìîãàòåëüíûõ ñåêóùèõ ïëîñêîñòåé äîëæíà ïåðåñåêàòü êàæäóþ èç çàäàííûõ ïî ëèíèÿì, ïðîåêöèè êîòîðûõ äîëæíû áûòü ãðàôè÷åñêè ïðîñòûìè (ïðÿìàÿ, îêðóæíîñòü); âñå âñïîìîãàòåëüíûå ïîâåðõíîñòè äîëæíû ïðîâîäèòüñÿ â ïðåäåëàõ çîíû âîçìîæíîãî ðàñïîëîæåíèÿ (çîíà íàëîæåíèÿ) ëèíèè ïåðåñå÷åíèÿ.

Âñïîìîãàòåëüíûå ñåêóùèå ïëîñêîñòè-ïîñðåäíèêè ÷àñòî âûáèðàþò ïðîåöèðóþùèìè èëè âðàùàþùèìè âîêðóã ïðÿìîé (ñîáñòâåííîé èëè íåñîáñòâåííîé). Èç ïðîåöèðóþùèõ ïëîñêîñòåé ÷àùå èñïîëüçóþò ïëîñêîñòè óðîâíÿ. Ïðè îïðåäåëåíèè ëèíèè ïåðåñå÷åíèÿ äâóõ ïîâåðõíîñòåé âðàùåíèÿ, ïðè èõ îñîáîì âçàèìíîì ïîëîæåíèè, íå âñåãäà ðàöèîíàëüíî ïðèìåíÿòü âñïîìîãàòåëüíûå ñåêóùèå ïëîñêîñòè, à èñïîëüçîâàòü ñïîñîá âñïîìîãàòåëüíûõ ñåêóùèõ ñôåð (êîíöåíòðè÷åñêèõ è ýêñöåíòðè÷åñêèõ). Êîíöåíòðè÷åñêèå ñôåðû-ïîñðåäíèêè ïðèìåíÿþòñÿ äëÿ îïðåäåëåíèÿ ëèíèè ïåðåñå÷åíèÿ äâóõ ïîâåðõíîñòåé âðàùåíèÿ ñ ïåðåñåêàþùèìèñÿ îñÿìè. Êàæäàÿ èç ýòèõ ïîâåðõíîñòåé èìååò ñåìåéñòâî îêðóæíîñòåé, ÿâëÿþùèõñÿ ëèíèÿìè ñå÷åíèÿ èõ êîíöåíòðè÷åñêèìè ñôåðàìè.

Îáúåäèíèòü ïîëó÷åííûå òî÷êè â ëèíèþ ïåðåñå÷åíèÿ. Îáúåäèíåíèå íàéäåííûõ òî÷åê â ëèíèþ ïåðåñå÷åíèÿ ëåã÷å âñåãî ïðîèçâîäèòñÿ ïóòåì îáõîäà.

Îïðåäåëèòü âèäèìîñòü ëèíèè ïåðåñå÷åíèÿ è âèäèìîñòü ïîâåðõíîñòåé íà ïëîñêîñòÿõ ïðîåêöèé.

Äëÿ íàãëÿäíîñòè ÷åðòåæà íà ïëîñêîñòÿõ ïðîåêöèé îïðåäåëÿþò âèäèìîñòü ëèíèè ïåðåñå÷åíèÿ è ñàìèõ ïîâåðõíîñòåé. Ïðè ýòîì âèäèìîé òî÷êîé ïåðåñå÷åíèÿ ÿâëÿåòñÿ òî÷êà, ïðèíàäëåæàùàÿ âèäèìûì ÷àñòÿì îáåèõ ïîâåðõíîñòåé.


6.2.1 Ïîñòðîåíèå ëèíèé ïåðåñå÷åíèÿ ïîâåðõíîñòè ñ ïîìîùüþ âñïîìîãàòåëüíûõ ñåêóùèõ ïëîñêîñòåé

Ïðè ðåøåíèè çàäà÷ íà ïîñòðîåíèå ëèíèé ïåðåñå÷åíèÿ ïîâåðõíîñòåé âñïîìîãàòåëüíûå ñåêóùèå ïëîñêîñòè îáû÷íî âûáèðàþò â âèäå ïëîñêîñòåé óðîâíÿ (ïëîñêîñòåé, ïàðàëëåëüíûõ ïëîñêîñòÿì ïðîåêöèé). Ëèíèè äâóõ ïîâåðõíîñòåé èìåþò õàðàêòåðíûå (îïîðíûå, ãëàâíûå) òî÷êè, ñ êîòîðûõ è ñëåäóåò íà÷èíàòü ïîñòðîåíèå ëèíèé ïåðåñå÷åíèÿ. Îíè ïîçâîëÿþò âèäåòü, â êàêèõ ãðàíèöàõ ìîæíî èçìåíÿòü ïîëîæåíèå âñïîìîãàòåëüíûõ ñåêóùèõ ïëîñêîñòåé äëÿ îïðåäåëåíèÿ ïðîèçâîëüíûõ òî÷åê.

Ñïîñîá îïðåäåëåíèÿ ëèíèè ïåðåñå÷åíèÿ ïîâåðõíîñòè ñ ïîìîùüþ ïëîñêîñòåé, - îñü êîòîðîãî - ñîáñòâåííàÿ ïðÿìàÿ.

Ýòîò ñïîñîá ïðèìåíÿåòñÿ äëÿ ïîñòðîåíèÿ ëèíèé ïåðåñå÷åíèÿ:

à) äâóõ êîíè÷åñêèõ ïîâåðõíîñòåé;

á) êîíè÷åñêîé è öèëèíäðè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè;

â) êîíè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè ñ ïîâåðõíîñòüþ ïèðàìèäû èëè ïðèçìû;

ã) äâóõ öèëèíäðè÷åñêèõ ïîâåðõíîñòåé;

ä) öèëèíäðè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè ñ ïîâåðõíîñòüþ ïèðàìèäû èëè ïðèçìû.

Ðàññìîòðèì íåñêîëüêî ñëåäóþùèõ çàäà÷.

. Ïîñòðîèòü ëèíèè ïåðåñå÷åíèÿ öèëèíäðà è êîíóñà, îñè êîòîðûõ

ïåðåñåêàþòñÿ (ðèñóíîê 6.1).

Îáå äàííûå ïîâåðõíîñòè ðàññå÷åíû âñïîìîãàòåëüíûìè ïëîñêîñòÿìè I2, II2, III2 è ò.ä., êîòîðûå ïàðàëëåëüíû ïëîñêîñòè Ï1. Íà ãîðèçîíòàëüíîé ïðîåêöèè êîíóñà ïîëó÷èòñÿ ðÿä êîíöåíòðè÷åñêèõ îêðóæíîñòåé, îáîçíà÷åííûõ òåìè æå íîìåðàìè, à íà ïðîåêöèè öèëèíäðà - ðÿä îáðàçóþùèõ.

 ïåðåñå÷åíèè îáðàçóþùèõ ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè îêðóæíîñòÿìè îïðåäåëÿþòñÿ ãîðèçîíòàëüíûå ïðîåêöèè òî÷åê èñêîìîãî ñå÷åíèÿ à, â, ñ è ïðî÷èå, ïî êîòîðûì çàòåì íàõîäÿò èõ ôðîíòàëüíûå ïðîåêöèè.

Íàéäåííûå ïðîåêöèè òî÷åê ñîåäèíÿþò ïëàâíûìè êðèâûìè. Íåâèäèìûå ÷àñòè ëèíèè ïåðåñå÷åíèÿ ïðîâåäåíû øòðèõàìè íà îáåèõ ïðîåêöèÿõ.

Ãðàíèöåé ìåæäó âèäèìîé è íåâèäèìîé ÷àñòÿìè ëèíèé ïåðåñå÷åíèÿ ÿâëÿþòñÿ êðàéíèå îáðàçóþùèå öèëèíäðà.


Ðèñóíîê 6.1


Òàêèå íàèáîëåå õàðàêòåðíûå òî÷êè ëèíèé ïåðåñå÷åíèÿ êðèâûõ ïîâåðõíîñòåé ñëåäóåò ñòðîèòü â ïåðâóþ î÷åðåäü, ò.å. íà÷èíàòü ðàáîòó ñ îïðåäåëåíèÿ òî÷åê, â êîòîðûõ êðàéíèå (î÷åðêîâûå) îáðàçóþùèå êàæäîé ïîâåðõíîñòè, îãðàíè÷èâàþùèå êîíòóð âèäèìîñòè íà Ï1, Ï2, ïåðåñåêàþò äðóãóþ ïîâåðõíîñòü. Ïîñëå ýòîãî íàõîäÿò ïðîåêöèè íåñêîëüêèõ ïðîìåæóòî÷íûõ òî÷åê.

Åñëè êðèâàÿ ïîâåðõíîñòü ïåðåñåêàåòñÿ ñ ìíîãîãðàííèêîì, òî êîíòóð ëèíèè ïåðåñå÷åíèÿ ñîñòîèò èç íåñêîëüêèõ êðèâûõ ÷àñòåé, ïåðåñåêàþùèõñÿ ìåæäó ñîáîé íà ðåáðàõ ìíîãîãðàííèêà, ñëåäîâàòåëüíî, â ýòèõ òî÷êàõ êðèâîëèíåéíûé êîíòóð èìååò ðåçêèå èçëîìû. Ýòè õàðàêòåðíûå òî÷êè ñëåäóåò îïðåäåëÿòü â ïåðâóþ î÷åðåäü. Íà ðèñóíêå 6.2 òàêîâûìè ÿâëÿþòñÿ òî÷êè (11,12), (21, 22), (31, 32), (41, 42), â êîòîðûõ ðåáðà ïðèçìû ïðîíèçûâàþò ïîâåðõíîñòü êîíóñà.

 îáîèõ ðàññìîòðåííûõ ïðèìåðàõ ëåãêî âûáðàòü âñïîìîãàòåëüíûå ñåêóùèå ïëîñêîñòè òàê, ÷òîáû â ïåðåñå÷åíèè èõ ñ êàæäîé èç äàííûõ ïîâåðõíîñòåé ïîëó÷èëèñü ïðîñòûå ëèíèè - îêðóæíîñòè èëè ïðÿìûå. Îñîáåííîñòü ýòèõ ïðèìåðîâ ñîñòîÿëà â òîì, ÷òî îäíà èç äàííûõ ïîâåðõíîñòåé áûëà ïðîåöèðóþùåé (ò.å. åå îáðàçóþùèå èëè ðåáðà áûëè ïåðïåíäèêóëÿðíû ê îäíîé èç ïëîñêîñòåé ïðîåêöèé).


Ðèñóíîê 6.2


 òàêèõ ñëó÷àÿõ îäíà èç ïðîåêöèé èñêîìîé ëèíèè óæå èìååòñÿ íà ýïþðå: îíà ñîâïàäàåò ñ ñîîòâåòñòâóþùåé ïðîåêöèåé òîé èç äàííûõ ïîâåðõíîñòåé, êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ ïðîåöèðóþùåé (íàïðèìåð, ñ ïðîôèëüíîé öèëèíäðà íà ðèñóíêå 6.1 èëè ñ ôðîíòàëüíîé ðèñóíêå 6.2).

Âñÿ çàäà÷à, â ñóùíîñòè, ñâîäèòñÿ ê íàõîæäåíèþ ïî îäíîé èçâåñòíîé çàðàíåå ïðîåêöèè ëèíèè ïåðåñå÷åíèÿ äðóãèõ åå ïðîåêöèé.

Çàòåì íàéäåíû åùå äâå õàðàêòåðíûå òî÷êè (51, 52) è (61, 62), â êîòîðûõ êðàéíÿÿ îáðàçóþùàÿ êîíóñà ïåðåñåêàåò ãðàíè ïðèçìû. Ïîñëå ýòîãî ìîæíî íàéòè ïðîåêöèè íåñêîëüêèõ ïðîìåæóòî÷íûõ òî÷åê, â êîòîðûõ äðóãèå îáðàçóþùèå êîíóñà ïåðåñåêàþò ãðàíè ïðèçìû (71, 72; 81, 82; 91, 92; 101, 102).

Ïðèìåð. Ïîñòðîèòü ëèíèþ ïåðåñå÷åíèÿ äâóõ ïîâåðõíîñòåé - êîíè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè ? è ñôåðû Ò (ðèñóíîê 6.3).

Çàäàííûå ïîâåðõíîñòè èìåþò îáùóþ (ôðîíòàëüíóþ) ïëîñêîñòü ñèììåòðèè, îïðåäåëÿåìóþ îñüþ êîíóñà i è îñüþ ñôåðû i ?.

Ïîñòðîåíèå ëèíèè ïåðåñå÷åíèÿ íà÷íåì ñ îïðåäåëåíèÿ îïîðíûõ òî÷åê. Ñíà÷àëà îòìå÷àåì î÷åâèäíûå îáùèå 1 è 7 òî÷êè ïîâåðõíîñòåé â ïåðåñå÷åíèè èõ ãëàâíûõ ìåðèäèàíîâ ? ? ?, òàê êàê ïîâåðõíîñòè èìåþò îáùóþ ôðîíòàëüíóþ ïëîñêîñòü ñèììåòðèè Ô (Ô1). Ôðîíòàëüíûå ïðîåêöèè òî÷åê 12 (72) = ?2 ? ?2

Ãîðèçîíòàëüíûå ïðîåêöèè òî÷åê 11= 1211??1, 71= 7271??1. Ýòè îïîðíûå òî÷êè ÿâëÿþòñÿ íàèâûñøåé 1 è íàèíèçøåé 7 òî÷êàìè ëèíèè ïåðåñå÷åíèÿ, à òàêæå òî÷êàìè âèäèìîñòè íà ïëîñêîñòè Ï2.

Áðàòü âñïîìîãàòåëüíûå ôðîíòàëüíûå ïëîñêîñòè ïàðàëëåëüíûå Ï äëÿ ïîñòðîåíèÿ ñëåäóþùèõ òî÷åê íåóäîáíî, òàê êàê îíè áóäóò ïåðåñåêàòü êîíóñ ïî ãèïåðáîëàì. Ãðàôè÷åñêè ïðîñòûå ëèíèè (îêðóæíîñòè ïàðàëëåëåé) íà äàííûõ ïîâåðõíîñòÿõ ïîëó÷àþòñÿ îò ïåðåñå÷åíèÿ èõ ãîðèçîíòàëüíûìè ïëîñêîñòÿìè óðîâíÿ Ã. Ïåðâóþ òàêóþ âñïîìîãàòåëüíóþ ïëîñêîñòü à (Ã2) áåðåì íà óðîâíå ýêâàòîðà ñôåðû h (h2). Ýòà ïëîñêîñòü ïåðåñåêàåò êîíóñ ïî ïàðàëëåëè n.  ïåðåñå÷åíèè n è h, ïàðàëëåëåé êîíóñà è ñôåðû, íàõîäÿòñÿ òî÷êè âèäèìîñòè ëèíèè ïåðåñå÷åíèÿ íà ïëîñêîñòè Ï1 h1?n1 = 41 (4?1); 4142 ?h2 (èëè n2) = 42 (4?2).

Ïðîìåæóòî÷íûå òî÷êè 6 è 6? ëèíèè ïåðåñå÷åíèÿ ïîñòðîåíû ñ ïîìîùüþ ïëîñêîñòè Ã? (Ã?2), ïåðåñåêàþùåé ïîâåðõíîñòè ïî ïàðàëëåëÿì h? è m.

?1 ?m1 = 61 (6?1); 6162 ? h?2 = 62 (6?2).


Àíàëîãè÷íî ïîñòðîåíû òî÷êè 2 (2') è 3 (3') ñ ïîìîùüþ âñïîìîãàòåëüíûõ ïëîñêîñòåé Ã'' (Ã2'') è Ã"' (Ã2'").

Âèäèìîñòü çàäàííûõ ïîâåðõíîñòåé è òî÷åê ëèíèè ïåðåñå÷åíèÿ íà ïëîñêîñòè ïðîåêöèé Ï2 îïðåäåëÿåò ôðîíòàëüíàÿ ïëîñêîñòü Ô (Ô1). Ïëîñêîñòü Ô äåëèò ïîâåðõíîñòè êîíóñà è ñôåðû íà äâå ñèììåòðè÷íûå ÷àñòè. Òå ÷àñòè çàäàííûõ ïîâåðõíîñòåé, êîòîðûå ðàñïîëîæåíû ïåðåä ïëîñêîñòüþ Ô íà ïëîñêîñòè Ï2 âèäèìû, à çíà÷èò âèäèìû è òî÷êè 2' 3', 4', 5', 6' èì ïðèíàäëåæàùèå. Òî÷êè 2, 3, 4, 5, 6 - íåâèäèìû íà Ï2. Òàê êàê ëèíèÿ ïåðåñå÷åíèÿ - êðèâàÿ, ñèììåòðè÷íàÿ îòíîñèòåëüíî ïëîñêîñòè Ô, òî íà ïëîñêîñòè Ï2 âèäèìàÿ åå ÷àñòü è íåâèäèìàÿ ñîâïàäàþò. Èçîáðàæàåì íà ÷åðòåæå âèäèìóþ ÷àñòü ëèíèè ïåðåñå÷åíèÿ ñïëîøíîé îñíîâíîé ëèíèåé. Ãðàíèöû âèäèìîñòè - òî÷êè 1 è 7. Âèäèìîñòü çàäàííûõ ïîâåðõíîñòåé è ëèíèè ïåðåñå÷åíèÿ íà ïëîñêîñòè ïðîåêöèé Ï1,îïðåäåëÿåò ïëîñêîñòü à (Ã2) è ïîâåðõíîñòü ñôåðû: òà ÷àñòü ñôåðû, êîòîðàÿ ðàñïîëîæåíà íàä ïëîñêîñòüþ à íà Ï1, áóäåò âèäèìà, çíà÷èò è òî÷êè 1, 2', 2, 3, 3' íà Ï1 âèäèìû, êàê åé ïðèíàäëåæàùèå. Òî÷êè 5, 5', 6, 6', - íåâèäèìû íà Ï1. Ãðàíèöû âèäèìîñòè - òî÷êè 4 è 4'.

Ñîåäèíÿåì îäíîèìåííûå ïðîåêöèè ïîñòðîåííûõ òî÷åê ñ ó÷åòîì èõ âèäèìîñòè ïëàâíûìè êðèâûìè è ïîëó÷àåì ïðîåêöèè èñêîìîé ëèíèè ïåðåñå÷åíèÿ.


Ðèñóíîê 6.3


6.2.2 Ïîñòðîåíèå ëèíèé ïåðåñå÷åíèÿ ïîâåðõíîñòåé ñ ïîìîùüþ âñïîìîãàòåëüíûõ ñôåðè÷åñêèõ ïîâåðõíîñòåé

Ïîñòðîåíèå ëèíèé ïåðåñå÷åíèÿ ïîâåðõíîñòåé ñ ïîìîùüþ âñïîìîãàòåëüíûõ ñåêóùèõ ñôåð ìîæíî äâóìÿ ñïîñîáàìè:

ñïîñîáîì êîíöåíòðè÷åñêèõ ñôåð;

ñïîñîáîì ýêñöåíòðè÷åñêèõ ñôåð.

Ðàññìîòðèì ïåðâûé ñïîñîá ïîñòðîåíèÿ ëèíèè ïåðåñå÷åíèÿ. Ýòîò ñïîñîá ïðèìåíÿåòñÿ äëÿ ïîñòðîåíèÿ ëèíèé ïåðåñå÷åíèÿ äâóõ ïîâåðõíîñòåé âðàùåíèÿ, îñè êîòîðûõ ïåðåñåêàþòñÿ. Äëÿ óïðîùåíèÿ ãðàôè÷åñêîãî ðåøåíèÿ íåîáõîäèìî, ÷òîáû ïëîñêîñòü, îïðåäåëÿåìàÿ îñÿìè ïîâåðõíîñòè âðàùåíèÿ, áûëà ïàðàëëåëüíîé êàêîé-ëèáî ïëîñêîñòè ïðîåêöèè.

Ïðèìåð. Ïîñòðîèòü ëèíèþ ïåðåñå÷åíèÿ ïîâåðõíîñòè êîíóñà ? è öèëèíäðè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè Ò ñ ïåðåñåêàþùèìèñÿ âî ôðîíòàëüíîé ïëîñêîñòè Ô (Ô1) îñÿìè âðàùåíèÿ i i? (ðèñóíîê 6.4). Çàäàííûå ïîâåðõíîñòè ? è Ò èìåþò îáùóþ ôðîíòàëüíóþ ïëîñêîñòü ñèììåòðèè Ô (Ô1). Ñëåäîâàòåëüíî, ãëàâíûå ìåðèäèàíû ýòèõ ïîâåðõíîñòåé ïåðåñåêàþòñÿ è äàþò â ñâîåì ïåðåñå÷åíèè òî÷êè âèäèìîñòè ëèíèè ïåðåñå÷åíèÿ íà ïëîñêîñòè Ï2 èëè ñàìóþ âûñîêóþ 1 è ñàìóþ íèçêóþ 7 òî÷êè.


Ðèñóíîê 6.4


 äàííîì ïðèìåðå âûïîëíåíû óñëîâèÿ, ïîçâîëÿþùèå ïðèìåíåíèå âñïîìîãàòåëüíûõ ñåêóùèõ ñôåð äëÿ ïîñòðîåíèÿ òî÷åê ëèíèè ïåðåñå÷åíèÿ. Îñè ïîâåðõíîñòåé âðàùåíèÿ ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êå 0 (01; 02), êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ öåíòðîì âñïîìîãàòåëüíûõ ñåêóùèõ ñôåð. Ðàäèóñ ñôåð èçìåíÿåòñÿ â ïðåäåëàõ Rmin< R <Rmax. Ðàäèóñ ìàêñèìàëüíîé ñôåðû îïðåäåëÿåòñÿ ðàññòîÿíèåì îò öåíòðà 0 äî íàèáîëåå óäàëåííîé òî÷êè 1 (Rmax = 0212).

Ðàäèóñ ìèíèìàëüíîé ñôåðû îïðåäåëÿåòñÿ êàê ðàäèóñ ñôåðû, êàñàþùåéñÿ îäíîé ïîâåðõíîñòè è ïåðåñåêàþùåé äðóãóþ ïîâåðõíîñòü ïî îêðóæíîñòè.  äàííîì ïðèìåðå ñôåðà ðàäèóñà R êàñàåòñÿ ïîâåðõíîñòè êîíóñà ïî îêðóæíîñòè h (h2, h1) è ïåðåñåêàåò ïîâåðõíîñòü öèëèíäðà ïî îêðóæíîñòè n (n1, n2). Ïëîñêîñòè ýòèõ îêðóæíîñòåé ïåðïåíäèêóëÿðíû îñÿì âðàùåíèÿ ïîâåðõíîñòåé.  ïåðåñå÷åíèè îêðóæíîñòåé h è n îòìå÷àåì òî÷êè 4 è 4', ïðèíàäëåæàùèå ëèíèè ïåðåñå÷åíèÿ ïîâåðõíîñòåé:


2 (4?2) = h2?n2; 41 (4?1) =42 41?h1.


Ïðîìåæóòî÷íàÿ ñôåðà ðàäèóñà R ïåðåñåêàåò ïîâåðõíîñòè ? è Ò ïî îêðóæíîñòÿì h?1 è m, â ïåðåñå÷åíèè êîòîðûõ îïðåäåëÿþòñÿ òî÷êè 3 è 3'.32 (3?2) = h?2?m2; 31 (3?1) =32 31?h1. Àíàëîãè÷íî îïðåäåëåíû òî÷êè 6 (6') è 2 (2?).

Îïðåäåëèì âèäèìîñòü òî÷åê ëèíèè ïåðåñå÷åíèÿ íà ïëîñêîñòè ïðîåêöèé Ï2.

Ïëîñêîñòüþ âèäèìîñòè ÿâëÿåòñÿ ïëîñêîñòü Ô. Îíà äåëèò êðèâóþ íà äâå ñèììåòðè÷íûå ÷àñòè, êîòîðûå íà Ï2 ñîâïàäàþò. Âèäèìàÿ ÷àñòü ëèíèè ïåðåñå÷åíèÿ 1, 2?, 3?, 4?, 5?, 6?, 7 - çàêðûâàåò íåâèäèìóþ 1, 2, 3, 4, 5, 6,7. Íà ïëîñêîñòè Ï2 èçîáðàæàåì âèäèìóþ ÷àñòü êðèâîé ñïëîøíîé îñíîâíîé ëèíèåé. Ãðàíèöû âèäèìîñòè - òî÷êè 1 è 7.

Âèäèìîñòü íà ïëîñêîñòè ïðîåêöèé Ï1 îïðåäåëÿåò ïîâåðõíîñòü öèëèíäðà. Ïëîñêîñòü ? (?2) äåëèò ïîâåðõíîñòü öèëèíäðà íà äâå ÷àñòè. Òà ÷àñòü ïîâåðõíîñòè öèëèíäðà, êîòîðàÿ ðàñïîëîæåíà íàä ïëîñêîñòüþ ?, íà ïëîñêîñòè Ï1 âèäèìà, à çíà÷èò è òî÷êè 4, 3, 2, 1, 2?, 3?,4? âèäèìû, êàê åé ïðèíàäëåæàùèå. Ãðàíèöû âèäèìîñòè òî÷êè 5 è 5'. Òî÷êè 51, 61, 71, 6'1,5'1 ñîåäèíÿåì ëèíèåé íåâèäèìîãî êîíòóðà. Ñîåäèíÿÿ îäíîèìåííûå ïðîåêöèè ïîñòðîåííûõ òî÷åê ñ ó÷åòîì èõ âèäèìîñòè, ïîëó÷àåì ïðîåêöèè ëèíèè ïåðåñå÷åíèÿ ïîâåðõíîñòåé.

Ñïîñîá ýêñöåíòðè÷åñêèõ ñåêóùèõ ñôåð

Ñïîñîá ýêñöåíòðè÷åñêèõ ñåêóùèõ ñôåð ïðèìåíÿåòñÿ, êîãäà îäíà èç îñåé - ïðîåöèðóþùàÿ ïðÿìàÿ, âòîðàÿ ëèíèÿ óðîâíÿ.

Ïðèìåð. Ïîñòðîèòü ëèíèþ ïåðåñå÷åíèÿ ïîâåðõíîñòè êîíóñà âðàùåíèÿ Ô è ïîâåðõíîñòè òîðà Ô', èìåþùèõ îáùóþ ôðîíòàëüíóþ ïëîñêîñòü ñèììåòðèè. Îñè i è i? íå ïåðåñåêàþòñÿ (ðèñóíîê 6.5). Îïîðíûå òî÷êè ëèíèè ïåðåñå÷åíèÿ (âûñøàÿ 1, íèçøàÿ 6) îïðåäåëÿþòñÿ ïåðåñå÷åíèåì ãëàâíûõ ìåðèäèàíîâ íà ïëîñêîñòè Ï2. Äëÿ îïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõ òî÷åê, ïðèíàäëåæàùèõ ëèíèè ïåðåñå÷åíèÿ òîðà ñ êîíóñîì, ìîæíî ïðèìåíèòü âñïîìîãàòåëüíûå ñåêóùèå ñôåðû, öåíòðû êîòîðûõ áóäóò ðàñïîëîæåíû íà îñè êîíóñà. Ñôåðû íåîáõîäèìî ïîäáèðàòü òàê, ÷òîáû îíè ïåðåñåêàëè òîð ïî îêðóæíîñòÿì.

Äëÿ îïðåäåëåíèÿ öåíòðà è ðàäèóñà âñïîìîãàòåëüíîé ñåêóùåé ñôåðû ïðîâåäåì ïðîèçâîëüíóþ ïëîñêîñòü ? (?2), ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç îñü òîðà (ò. e. ?2). Ïëîñêîñòü ? ïåðåñå÷åò òîð ïî îêðóæíîñòè ðàäèóñà L2,C2 ñ öåíòðîì â òî÷êå Ñ2. ×åðåç öåíòð Ñ2 ïðîâåäåì ïðÿìóþ ïåðïåíäèêóëÿðíóþ ? è ïåðåñåêàþùóþ îñü êîíóñà â òî÷êå Î2, ò.å. ëèíèÿ Ñ2Î2 (êàñàòåëüíàÿ ê îñåâîé îêðóæíîñòè òîðà). Òî÷êà Î2 åñòü öåíòð âñïîìîãàòåëüíîé ñåêóùåé ñôåðû, à ïðÿìàÿ O2L2 - ðàäèóñ ýòîé ñôåðû R. Îïðåäåëèì ëèíèè ïåðåñå÷åíèÿ âñïîìîãàòåëüíîé ñåêóùåé ñôåðû ñ êîíóñîì è òîðîì. Ñ êîíóñîì ñôåðà ïåðåñåêàåòñÿ ïî îêðóæíîñòè, äèàìåòð êîòîðîé À2Â2. Ñ òîðîì ñôåðà ïåðåñåêàåòñÿ ïî îêðóæíîñòè, äèàìåòð êîòîðîé L2N22Â2 ?L2N2 = 22. Òî÷êà 22 îäíà èç òî÷åê èñêîìîé ëèíèè ïåðåñå÷åíèÿ. Àíàëîãè÷íî ïîñòðîåíû òî÷êè 52, 32, 42, 62.

Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ãîðèçîíòàëüíûõ ïðîåêöèé òî÷åê ëèíèè ïåðåñå÷åíèÿ èñïîëüçóåì ïàðàëëåëè òîðà, êàê ïîêàçàíî íà ðèñóíêå 6.5, äëÿ òî÷åê 51 è 61. Òàê êàê òî÷êè 1 è 6 ïðèíàäëåæàò ìåðèäèàíàì ïîâåðõíîñòåé, íà Ï1 îíè ïðîåöèðóþòñÿ íà ãîðèçîíòàëüíóþ îñü òîðà è êîíóñà, êîòîðûå ñîâïàäàþò.

Ïîëó÷åííûå òî÷êè ñîåäèíÿåì ñ ó÷åòîì âèäèìîñòè ïëàâíîé êðèâîé ëèíèåé. Íà ïëîñêîñòè Ï1 âèäèìîñòü ëèíèè ïåðåñå÷åíèÿ îïðåäåëÿåò ïëîñêîñòü à (Ã2). ×àñòü ëèíèè 21, 11, 2'1, - âèäèìà. ×àñòü ëèíèè 31, 41, 51, 61, 5'1, 4'1, 3'1, - íåâèäèìà. Íà ïëîñêîñòè Ï2 âèäèìîñòü îïðåäåëÿåò ïëîñêîñòü Ò (Ò1). Îòíîñèòåëüíî ýòîé ïëîñêîñòè ëèíèÿ ïåðåñå÷åíèÿ - ñèììåòðè÷íàÿ ëèíèÿ. Âèäèìàÿ ÷àñòü ëèíèè 62, 5'2, 4'2, 3'2, 22, 1'2, ñîâïàäàåò ñ íåâèäèìîé åå ÷àñòüþ 62, 52, 42, 32, 22,12. Íà ÷åðòåæå èçîáðàæàåì âèäèìóþ ÷àñòü ëèíèè ïåðåñå÷åíèÿ ñïëîøíîé îñíîâíîé ëèíèåé


Ðèñóíîê 6.5


6.3 Óêàçàíèÿ ê âûïîëíåíèþ ðàáîòû


Ëèñò ôîðìàòà À3 (ðàñïîëîæåíèå àëüáîìíîå) óñëîâíî ðàçäåëÿåì íà äâå ÷àñòè.  ëåâîé ÷àñòè ëèñòà âûïîëíÿåì çàäà÷ó 6.1, à â ïðàâîé 6.2 Ñïîñîá íàõîæäåíèÿ ëèíèè ïåðåñå÷åíèÿ âûáèðàåì â çàâèñèìîñòè îò òîãî, êàêèå òåëà ïåðåñåêàþòñÿ.  íàøåì ïðèìåðå çàäà÷à 6.1 âûïîëíåíà ñïîñîáîì êîíöåíòðè÷åñêèõ ñôåð, ñìîòðè ïðèìåð íà ðèñóíêå 6.4 â ðàçäåëå 6.2.2 Çàäà÷à 6.2 âûïîëíåíà ñïîñîáîì ýêñöåíòðè÷åñêèõ ñôåð. Ïðèìåð ðåøåíèÿ òàêîé çàäà÷è ïðèâåäåí íà ðèñóíêå 6.5 â òîì æå ðàçäåëå ïîñîáèÿ.


6.4 Êîíòðîëüíûå âîïðîñû


Íàçâàòü îáùèé àëãîðèòì ïåðåñå÷åíèÿ ïîâåðõíîñòåé.

Íàçîâèòå ñïîñîáû îïðåäåëåíèÿ ëèíèè ïåðåñå÷åíèÿ ïîâåðõíîñòåé.

Îõàðàêòåðèçóéòå õàðàêòåðíûå òî÷êè ëèíèè ïåðåñå÷åíèÿ.

Êàêàÿ ëèíèÿ ïîëó÷àåòñÿ ïðè ïåðåñå÷åíèè ìíîãîãðàííûõ ïîâåðõíîñòåé.

 êàêîì ñëó÷àå ïåðåñå÷åíèÿ ïîâåðõíîñòåé ïðèìåíÿåòñÿ ìåòîä êîíöåíòðè÷åñêèõ ñôåð.

7. Ðàñ÷åòíî-ãðàôè÷åñêàÿ ðàáîòà ¹7"Àêñîíîìåòðè÷åñêèå ïðîåêöèè"


Öåëü ðàáîòû íàó÷èòüñÿ âûïîëíÿòü àêñîíîìåòðè÷åñêèå ïðîåêöèè ïî êîìïëåêñíîìó ÷åðòåæó.

Çàäàíèå: âûïîëíèòü àêñîíîìåòðè÷åñêóþ ïðîåêöèþ òåëà ñ âûåìêîé èëè ãðóïïû ïåðåñåêàþùèõñÿ òåë. Äàííûå äëÿ ðàáîòû âçÿòü ñ ÐÃÐ5 èëè ÐÃÐ 6.

Òåîðåòè÷åñêèé ðàçäåë.

Àêñîíîìåòðè÷åñêèå ïðîåêöèè ïðèìåíÿþòñÿ â êà÷åñòâå âñïîìîãàòåëüíûõ ïðîåêöèé ê êîìïëåêñíîìó ÷åðòåæó, êîãäà òðåáóåòñÿ ïîÿñíÿþùåå íàãëÿäíîå èçîáðàæåíèå ôîðìû äåòàëè èëè ïðåäìåòà.

Ñóùíîñòü ìåòîäà àêñîíîìåòðèè çàêëþ÷àåòñÿ â ñëåäóþùåì: îáúåêò îòíîñÿò ê ïðÿìîóãîëüíîé äåêàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò è ïðîåöèðóþò åãî âìåñòå ñ îñÿìè êîîðäèíàò ïó÷êîì ïàðàëëåëüíûõ ëó÷åé íà íåêîòîðóþ ïëîñêîñòü ïðîåêöèé, íàçûâàåìóþ àêñîíîìåòðè÷åñêîé. (Ñìîòðè ðèñóíîê 7.1) Ïîëó÷åííîå íà íåé èçîáðàæåíèå íàçûâàþò àêñîíîìåòðè÷åñêèì (èëè ïðîñòî àêñîíîìåòðèÿ), à ïðîåêöèè êîîðäèíàò îñåé - àêñîíîìåòðè÷åñêèìè îñÿìè êîîðäèíàò. Ñëîâî "àêñîíîìåòðèÿ" - ãðå÷åñêîå, ñîñòîèò èç äâóõ ñëîâ axon - îñü, metreo - èçìåðÿþ, ÷òî â ïåðåâîäå îçíà÷àåò "èçìåðåíèå ïî îñÿì".


Ðèñóíîê 7.1


 çàâèñèìîñòè îò íàïðàâëåíèÿ ïðîåöèðóþùèõ ëó÷åé è èñêàæåíèÿ ëèíåéíûõ ðàçìåðîâ âäîëü îñåé àêñîíîìåòðè÷åñêèå ïðîåêöèè äåëÿòñÿ íà ïðÿìîóãîëüíûå è êîñîóãîëüíûå. Ïðÿìîóãîëüíûå àêñîíîìåòðè÷åñêèå ïðîåêöèè äàþò áîëåå íàãëÿäíîå èçîáðàæåíèå è ïîýòîìó ÷àùå ïðèìåíÿþòñÿ â ìàøèíîñòðîåíèè. Íà ðèñóíêå 7.2 äàíî íàèìåíîâàíèå âèäîâ àêñîíîìåòðè÷åñêèõ ïðîåêöèé, ðàñïîëîæåíèå îñåé è ïîêàçàòåëè èñêàæåíèÿ ëèíåéíûõ ðàçìåðîâ ïî îñÿì â ñîîòâåòñòâèè ñ ÃÎÑÒ 2.317.


Ïðÿìîóãîëüíûå ïðîåêöèè èçîìåòðè÷åñêàÿ äèìåòðè÷åñêàÿ


Êîñîóãîëüíûå ïðîåêöèè ôðîíòàëüíàÿ èçîìåòðè÷åñêàÿ ãîðèçîíòàëüíàÿ èçîìåòðè÷åñêàÿ


Ôðîíòàëüíàÿ äèìåòðè÷åñêàÿ

Ðèñóíîê 7.2


Ïîêàçàòåëåì èñêàæåíèÿ íàçûâàåòñÿ îòíîøåíèå äëèí çâåíüåâ íà àêñîíîìåòðè÷åñêîé ïðîåêöèè ê ñîîòâåòñòâóþùåé íàòóðàëüíîé âåëè÷èíå çâåíà è îíè â ñîîòâåòñòâèè ñ îñÿìè îáîçíà÷àþòñÿ U; V; W, åñëè U=V=W, òî ýòîò âèä àêñîíîìåòðèè íàçûâàåòñÿ èçîìåòðèÿ; åñëè U=2V=W èëè 2U=V=W, òî ýòî - äèìåòðèÿ è åñëè U?V ?W?U, òî ýòî - òðèìåòðèÿ.

Ñëåäóåò îáðàòèòü âíèìàíèå íà òî, ÷òî â òåõíè÷åñêîì ÷åð÷åíèè äëÿ óïðîùåíèÿ ïîñòðîåíèé èñêàæåíèå ïî îñÿì íå ó÷èòûâàåòñÿ, à ðàçìåðû ïî îñÿì â èçîìåòðèè âûïîëíÿþòñÿ â íàòóðàëüíóþ âåëè÷èíó, à â äèìåòðèè ñ ñîîòíîøåíèåì 1: 0,5: 1, òî åñòü ñàìî èçîáðàæåíèå â èçîìåòðèè óâåëè÷èâàåòñÿ â 1,22 ðàçà, à äèìåòðèè â 1,06 ðàç, îäíàêî íàãëÿäíîñòü ïðè ýòîì íèêàê íå èçìåíÿåòñÿ.


7.1 Àêñîíîìåòðè÷åñêàÿ ïðîåêöèÿ òî÷êè è ïðÿìîé


Èçâåñòíî, ÷òî âñå ïîâåðõíîñòè ïðåäìåòîâ ñîñòîÿò èç ëèíèé, à ëèíèè èç òî÷åê, ïîýòîìó ðàññìîòðèì ïîñòðîåíèå àêñîíîìåòðè÷åñêîé ïðîåêöèè òî÷êè íà ðèñóíêå 7.3 Òî÷êà À çàäàíà ñâîèìè êîîðäèíàòàìè X,Y è Z.


Ðèñóíîê 7.3


Àêñîíîìåòðè÷åñêàÿ ïðîåêöèÿ îòðåçêà ìîæåò áûòü ëåãêî ïîñòðîåíà ïî äâóì òî÷êàì (êîíöàì ýòîãî îòðåçêà).

7.2 Àêñîíîìåòðè÷åñêèå ïðîåêöèè ïëîñêèõ ôèãóð è ãåîìåòðè÷åñêèõ òåë


Íà ïðèìåðå, èçîáðàæåííîì íà ðèñóíêå 7.4 ðàññìîòðèì ïîñòðîåíèå ïëîñêîé ôèãóðû íà òðåõ ïëîñêîñòÿõ ïðîåêöèé. Äëÿ óïðîùåíèÿ ïîñòðîåíèé ñ÷èòàåì, ÷òî ôèãóðà ðàñïîëîæåíà â ïëîñêîñòÿõ Ï1, Ï2, è Ï3.


Ðèñóíîê 7.4


Íà ïðèìåðå, èçîáðàæåííîì íà ðèñóíêå 7.5, ðàññìîòðèì ïîñòðîåíèå ïðÿìîóãîëüíîé èçîìåòðè÷åñêîé ïðîåêöèè ïðèçìû íà òðåõ ïëîñêîñòÿõ ïðîåêöèé. Åñëè îñíîâàíèåì ïðèçìû ÿâëÿåòñÿ ïðàâèëüíûé ìíîãîóãîëüíèê, íàïðèìåð øåñòèóãîëüíèê, òî ïîñòðîåíèå âåðøèí îñíîâàíèÿ ïî êîîðäèíàòàì ìîæíî óïðîñòèòü, ïðîâåäÿ îäíó èç îñåé ÷åðåç öåíòð îñíîâàíèÿ. Ïîñòðîèâ èçîìåòðèþ îñíîâàíèÿ ïðèçìû, èç âåðøèí åãî îñíîâàíèÿ ïðîâîäèì ïðÿìûå, ïàðàëëåëüíûå ñîîòâåòñòâóþùèì îñÿì ; ; (â çàâèñèìîñòè îò òîãî, êàê ðàñïîëîæåíà ïðèçìà) è íà ýòèõ ïðÿìûõ îò âåðøèí îòêëàäûâàåì âûñîòó ïðèçìû, òåì ñàìûì ïîëó÷àÿ èçîìåòðèþ øåñòè òî÷åê âåðøèí äðóãîãî îñíîâàíèÿ. Äàëüíåéøåå ïîñòðîåíèå ñâîäèòñÿ ê òîìó, ÷òî îòäåëÿåì âèäèìûå ëèíèè îò íåâèäèìûõ è íàâîäèì ïîëó÷åííîå èçîáðàæåíèå.


Ðèñóíîê 7.5


Íà ðèñóíêå 7.6 ïîêàçàíî âûïîëíåíèå èçîìåòðèè ïðàâèëüíîé øåñòèãðàííîé ïèðàìèäû, çàäàííîé âûñîòû. Ðèñóåì èçîìåòðè÷åñêèå îñè, ïðè÷åì íà÷àëî èõ ïîìåùàåì â öåíòð øåñòèãðàííèêà è âûïîëíÿåì èçîìåòðèþ íèæíåãî îñíîâàíèÿ. Äàëüøå îò öåíòðà îòêëàäûâàåì ââåðõ âûñîòó ïèðàìèäû è îòìå÷àåì òî÷êó, ñîåäèíÿåì åå ñ âåðøèíàìè íèæíåãî îñíîâàíèÿ. Ñïëîøíîé òîëñòîé ëèíèåé îáâîäèì âèäèìûé êîíòóð, ëèíèè íåâèäèìîãî êîíòóðà èçîáðàæàåì øòðèõîâîé.


Ðèñóíîê 7.6


 òàêîé æå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè âûïîëíÿþòñÿ àêñîíîìåòðè÷åñêèå ïðîåêöèè öèëèíäðîâ è êîíóñîâ (ñìîòðè ðèñóíîê 7.7). Ïðè ýòîì ïðèõîäèòñÿ ðèñîâàòü ýëëèïñû, â âèäå êîòîðûõ îáû÷íî ïðîåöèðóþòñÿ îêðóæíîñòè.

Ðèñóíîê 7.7 - Èçîìåòðèÿ öèëèíäðà è êîíóñà ñ òî÷êîé À íà ïîâåðõíîñòè.


7.3 Ïðÿìîóãîëüíàÿ èçîìåòðè÷åñêàÿ ïðîåêöèÿ îêðóæíîñòè


Åñëè ïîñòðîèòü èçîìåòðè÷åñêóþ ïðîåêöèþ êóáà (ñòîðîíà ðàâíà D), â ãðàíè êîòîðîãî âïèñàíû îêðóæíîñòè äèàìåòðà D, òî êâàäðàòíûå ãðàíè êóáà áóäóò èçîáðàæàòüñÿ â âèäå ðîìáîâ, à îêðóæíîñòè â âèäå ýëëèïñîâ (ñìîòðè ðèñóíîê 7.8). Ñëåäóåò çàïîìíèòü, ÷òî ìàëàÿ îñü êàæäîãî ýëëèïñà âñåãäà äîëæíà áûòü ïåðïåíäèêóëÿðíà áîëüøîé îñè. Áîëüøèå îñè âñåõ òðåõ ýëëèïñîâ íàïðàâëåíû ïî áîëüøèì äèàãîíàëÿì ðîìáîâ. Ïðè ïîñòðîåíèè èçîìåòðè÷åñêîé ïðîåêöèè îêðóæíîñòè áåç ñîêðàùåíèé ïî îñÿì U=V=W=1 äëèíà áîëüøîé îñè ýëëèïñà áåðåòñÿ 1,22 D, à ìàëîé 0,71 D.


Ðèñóíîê 7.8


Ïðèìå÷àíèå: âìåñòî ýëëèïñîâ, ðåêîìåíäóåòñÿ ïðèìåíÿòü îâàëû, î÷åð÷åííûå äóãàìè îêðóæíîñòåé (ðèñóíîê 7.9).

7.4 Èçîìåòðèÿ øàðà (ðèñóíîê 7.10)


Èçîìåòðèÿ øàðà âûïîëíÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: èç íàìå÷åííîãî öåíòðà ïðîâîäèì îêðóæíîñòü, äèàìåòð êîòîðîé ðàâåí 1,22 D (D äèàìåòð øàðà) - ýòî áóäåò èçîáðàæåíèå øàðà â èçîìåòðèè. Åñëè íåîáõîäèìî ïîñòðîèòü ïîëîâèíó, ÷åòâåðòü èëè òðè ÷åòâåðòè øàðà, òî íåîáõîäèìî ñíà÷àëà âû÷åðòèòü îäèí, äâà èëè òðè îâàëà è òîãäà îâàëû è òî÷êè K; M; L îïðåäåëÿþò ãðàíèöû òðåõ ÷åòâåðòåé øàðà. Íà ÷òî ñëåäóåò îáðàòèòü âíèìàíèå ïðè øòðèõîâêå, ÷òî ëèíèè øòðèõîâêè ñå÷åíèé íàíîñÿò ïàðàëëåëüíî îäíîé èõ äèàãîíàëåé ïðîåêöèé êâàäðàòîâ, ëåæàùèõ â ñîîòâåòñòâóþùèõ êîîðäèíàòíûõ ïëîñêîñòÿõ, ñòîðîíû êîòîðîãî ïàðàëëåëüíû àêñîíîìåòðè÷åñêèì îñÿì.


Ðèñóíîê 7.9


Ðèñóíîê 7.10


7.5 Óêàçàíèÿ ê âûïîëíåíèþ çàäàíèÿ


Íà ëèñòå ôîðìàòà À3, ðàñïîëîæåíèå àëüáîìíîå, âûïîëíÿåì ðàìêó ÷åðòåæà è îòìå÷àåì ìåñòî äëÿ îñíîâíîé íàäïèñè. Äëÿ âûïîëíåíèÿ àêñîíîìåòðè÷åñêîé ïðîåêöèè áåðåì êîìïëåêñíûé ÷åðòåæ èç ÐÃÐ5 èëè èç ÐÃÐ6 (ïî âûáîðó ñòóäåíòà). Íàìå÷àåì íà÷àëî êîîðäèíàò àêñîíîìåòðè÷åñêèõ îñåé è ïðèñòóïàåì ê âûïîëíåíèþ àêñîíîìåòðè÷åñêîé ïðîåêöèè. Åñëè âûáèðàåì êîìïëåêñíûé ÷åðòåæ ïåðåñåêàþùèõñÿ òåë, òî ñíà÷àëà â òîíêèõ ëèíèÿõ èçîáðàæàþò îáà òåëà, à çàòåì ïî êîîðäèíàòàì òî÷åê, âçÿòûõ ñ êîìïëåêñíîãî ÷åðòåæà, âûïîëíÿåì ëèíèþ ïåðåñå÷åíèÿ ïîâåðõíîñòåé. Ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî ïðåæäå ÷åì íàâåñòè ëèíèþ ïåðåñå÷åíèÿ ïîâåðõíîñòåé, íåîáõîäèìî ïðåäñòàâèòü ñåáå ýòó ëèíèþ â ïðîñòðàíñòâå.  çàâèñèìîñòè îò âèäà ïåðåñåêàþùèõñÿ ïîâåðõíîñòåé è ñïîñîáà èõ ïåðåñå÷åíèÿ õàðàêòåð è ÷èñëî ëèíèé ïåðåñå÷åíèè ìîæåò áûòü ðàçëè÷íûì. Íà ðèñóíêå 7.11 ïðèâåäåíî íåñêîëüêî ñëó÷àåâ ïåðåñå÷åíèÿ ïîâåðõíîñòåé.


Ðèñóíîê 7.11


Íà îáðàçöå, âûïîëíåííîì â ïðèëîæåíèè Ì äàííîãî ïîñîáèÿ, âûïîëíåíà àêñîíîìåòðè÷åñêàÿ ïðîåêöèÿ (èçîìåòðèÿ) äâóõ ïåðåñåêàþùèõñÿ òåë (òîðà è êîíóñà).


7.6 Êîíòðîëüíûå âîïðîñû


Íàçîâèòå âèäû àêñîíîìåòðè÷åñêèõ ïðîåêöèé.

Êàê ðàñïîëàãàþòñÿ îñè â ïðÿìîóãîëüíîé èçîìåòðèè.

Êàêîâû ïîêàçàòåëè èñêàæåíèÿ äëÿ ïðÿìîóãîëüíîé äèìåòðèè.

Êàê ïîñòðîèòü àêñîíîìåòðè÷åñêóþ ïðîåêöèþ òî÷êè, ïðÿìîé.

Êàê ïîñòðîèòü àêñîíîìåòðè÷åñêóþ ïðîåêöèþ ïðèçû.

Êàê ïîñòðîèòü àêñîíîìåòðè÷åñêóþ ïðîåêöèþ ïèðàìèäû.

Êàê ïîñòðîèòü àêñîíîìåòðè÷åñêóþ ïðîåêöèþ øàðà.

Ëèòåðàòóðà


1. Áóáåííèêîâ À. Â, Íà÷åðòàòåëüíàÿ ãåîìåòðèÿ. Ó÷åáíèê äëÿ ÂÒÓçîâ, Ì, Âûñøàÿ øêîëà, 1985ã.

. Ãîðäîí Â.Î., Èâàíîâ Þ.Á., Ñîëíöåâà Ò.Å. Ñáîðíèê çàäà÷ ïî êóðñó "Íà÷åðòàòåëüíàÿ ãåîìåòðèÿ". Âûñøàÿ øêîëà, 2000ã

. Ëåâèöêèé Â.Ñ. Ìàøèíîñòðîèòåëüíîå ÷åð÷åíèå è àâòîìàòèçàöèÿ âûïîëíåíèÿ ÷åðòåæåé. Ó÷åáíèê äëÿ ÂÒÓçîâ, Ì, Âûñøàÿ øêîëà, 2001

. Ëóïàøêî Ã.Ï., Áóðìåíêî Ô.Þ. Íà÷åðòàòåëüíàÿ ãåîìåòðèÿ. Êîíñïåêò ëåêöèé. Òèðàñïîëü. ÏÃÓ, 2005 ã.

. ÅÑÊÄ - ñáîðíèê ñòàíäàðòîâ 2.100 è 2.300 ïî ñîñòîÿíèþ íà 01.02.97 ã.


Ïðèëîæåíèÿ


Ïðèëîæåíèå À (ñïðàâî÷íîå)


Ñàìîñòîÿòåëüíàÿ ðàáîòà (âûïîëíåíèå ðàñ÷åòíî-ãðàôè÷åñêèõ ðàáîò) äëÿ ñòóäåíòîâ ñïåöèàëüíîñòè 311300 "Ìåõàíèçàöèÿ ñåëüñêîãî õîçÿéñòâà"


Íîìåð ðàáîòûÍàçâàíèå ðàáîòûÐÃÐ1Òèòóëüíûé ëèñòÐÃÐ2Êîìïëåêñíûé ÷åðòåæ ïëîñêîñòèÐÃÐ3Âçàèìíîå ïåðåñå÷åíèå ïëîñêîñòåéÐÃÐ4Âçàèìíàÿ ïàðàëëåëüíîñòü è ïåðïåíäèêóëÿðíîñòü ïðÿìûõ è ïëîñêîñòåéÐÃÐ5Ïåðåñå÷åíèå ïîâåðõíîñòè (ãåîìåòðè÷åñêèõ òåë) ïëîñêîñòÿìè ÐÃÐ6Âçàèìíîå ïåðåñå÷åíèå ïîâåðõíîñòåéÐÃÐ7Àêñîíîìåòðè÷åñêèå ïðîåêöèè

Ïðèëîæåíèå Á


Òèïû ëèíèé è èõ íà÷åðòàíèå

Ïðèëîæåíèå Â


Íàèìåíîâàíèå è íàïèñàíèå áóêâ ãðå÷åñêîãî è ëàòèíñêîãî àëôàâèòîâ

Ãðå÷åñêèé àëôàâèòËàòèíñêèé àëôàâèòáóêâàíàèìåíîâàíèåáóêâàíàèìåíîâàíèå??àëüôàAaà??áåòàBbáå??ãàììàCcñå??äåëüòàDdäå??ýïñèëîíEeå??äçåòàFfýô??ýòàGgãå??òýòàHhàø²?éîòàIiè??êàïïàJjéîò??ëàìáäàKkêà??ìþLlýëü??íþMmýì??êñèNnýí??îìèêðîíOoî??ïèPpïý??ðîRrýð??ñèãìàSsýñ??òàóTtòý??èïñèëîíUuó??ôèVvâå??õèWwäóáëü âå??ïñèXxèêñ??îìåãàYyèãðåêZzçåò

Ïðèëîæåíèå Ã


Îáðàçåö âûïîëíåíèÿ òèòóëüíîãî ëèñòà


Ïðèäíåñòðîâñêèé ãîñóäàðñòâåííûé

Óíèâåðñèòåò èì. Ò.Ã. Øåâ÷åíêî

Àãðàðíî-òåõíîëîãè÷åñêèé ôàêóëüòåò


Ãðàôè÷åñêèå ðàáîòû

Ïî íà÷åðòàòåëüíîé ãåîìåòðèè


Ñòóäåíòà ãðóïïû 202À Ïëóê÷è Ñ.Ã.

Ïðèíÿë ïðåïîäàâàòåëü Ðûáàëîâà Ò.Ô.


-2008 ó÷åáíûé ãîä

Ïðèëîæåíèå Ä


Ïðèíÿòûå îáîçíà÷åíèÿ è òåðìèíîëîãèÿ

Òî÷êè îáîçíà÷àþòñÿ ïðîïèñíûìè áóêâàìè ëàòèíñêîãî àëôàâèòà: À, Â, Ñ …

Âñïîìîãàòåëüíûå òî÷êè îáîçíà÷àþò àðàáñêèìè öèôðàìè: 1, 2, 3…

Ëèíèè (ïðÿìûå è êðèâûå) - ñòðî÷íûå áóêâû ëàòèíñêîãî àëôàâèòà: a, b, c.

Ïðÿìûå, èìåþùèå ñïåöèàëüíûå îáîçíà÷åíèÿ: ãîðèçîíòàëü - h, ôðîíòàëü - f.

Óãëû â ïðîñòðàíñòâå - ñòðî÷íûå áóêâû ãðå÷åñêîãî àëôàâèòà: ?, ?, ?…

Ïëîñêîñòè è ïîâåðõíîñòè â ïðîñòðàíñòâå - ïðîïèñíûå áóêâû ãðå÷åñêîãî àëôàâèòà: ?, ?, ?…

Ïëîñêîñòè ïðîåêöèé:

ãîðèçîíòàëüíàÿ ïëîñêîñòü ïðîåêöèé - Ï1,ôðîíòàëüíàÿ ïëîñêîñòü ïðîåêöèé - Ï2,ïðîôèëüíàÿ ïëîñêîñòü ïðîåêöèé - Ï3.

Äîïîëíèòåëüíûå ïëîñêîñòè ïðîåêöèé: Ï4, Ï5, Ï6

Ïðîåêöèè òî÷åê, ïðÿìûõ è ïëîñêîñòåé: íà Ï1 - À1, à1,?1…, íà Ï2 - À2, à2, ?2.

Ñëåäû ïðÿìîé: ãîðèçîíòàëüíûé ñëåä - h, ôðîíòàëüíûé ñëåä - f

Ñïîñîá çàäàíèÿ ãåîìåòðè÷åñêîé ôèãóðû:(ÀÂ) - ïðÿìàÿ m çàäàíà åå òî÷êàìè À è Â,

? (c?d) - ïëîñêîñòü ? çàäàíà ïåðåñåêàþùèìèñÿ ïðÿìûìè c è d,

? (?1, ?2) - ïëîñêîñòü ? çàäàíà ñâîèìè ïðîåêöèÿìè,

???? - äëèíà îòðåçêà ÀÂ.

Àêñîíîìåòðè÷åñêàÿ ïëîñêîñòü ïðîåêöèé îáîçíà÷àåòñÿ êàê Ï? - áóêâà Ï

ãðå÷åñêîãî àëôàâèòà ñ äîáàâëåíèåì çíà÷êà "øòðèõ".

Àêñîíîìåòðè÷åñêèå îñè: õ ?, y?, z?.

Îðòîãîíàëüíîå (ïðÿìîóãîëüíîå) ïðîåöèðîâàíèå - ïðîåöèðîâàíèå ïàðàëëåëüíûìè ëó÷àìè èç áåñêîíå÷íîñòè ïîä ïðÿìûì óãëîì ê ïëîñêîñòè ïðîåêöèé.

Îñü ïðîåêöèé - ëèíèÿ ïåðåñå÷åíèÿ ïëîñêîñòåé ïðîåêöèé. Îñü õ12 ðàçäåëÿåò ïëîñêîñòè Ï1 è Ï2, îñü y13 ðàçäåëÿåò ïëîñêîñòè Ï1 è Ï3, îñü z23 ðàçäåëÿåò ïëîñêîñòè Ï2 è Ï3. ×àñòî îñü ïðîåêöèé íà ÷åðòåæå íå ïðîâîäèòñÿ, íî åå ðàñïîëîæåíèå âñåãäà èçâåñòíî. Òàê, îñü õ12 âñåãäà ãîðèçîíòàëüíà.

Ëèíèÿ ïðîåêöèîííîé ñâÿçè (ëèíèÿ ñâÿçè) - ëèíèÿ, ïåðïåíäèêóëÿðíàÿ ê îñè ïðîåêöèé. Íà ëèíèè ñâÿçè ðàñïîëîæåíà ïàðà ïðîåêöèé òî÷êè.

Ãåîìåòðè÷åñêàÿ ôèãóðà - ëþáîå ìíîæåñòâî òî÷åê. Ê ôèãóðàì îòíîñèòñÿ òî÷êà (ìíîæåñòâî, ñîñòîÿùåå èç îäíîãî ýëåìåíòà), ïðÿìàÿ ëèáî êðèâàÿ ëèíèÿ, ïëîñêîñòü, ïîâåðõíîñòü, òåëî.

Êîíêóðèðóþùèå òî÷êè - òî÷êè, ïðîåêöèîííî ñîâïàäàþùèå íà îäíîé èç ïëîñêîñòåé ïðîåêöèé. Ãîðèçîíòàëüíî êîíêóðèðóþùèå òî÷êè èìåþò ñîâïàäàþùèå ïðîåêöèè íà ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòè ïðîåêöèé; ôðîíòàëüíî êîíêóðèðóþùèå òî÷êè èìåþò ñîâïàäàþùèå ïðîåêöèè íà ôðîíòàëüíîé ïëîñêîñòè ïðîåêöèé.

Îïîðíûå òî÷êè - êðàéíèå òî÷êè (âåðõíÿÿ, íèæíÿÿ, ëåâàÿ, ïðàâàÿ, äàëüíÿÿ, áëèæíÿÿ) è òî÷êè ïåðåõîäà âèäèìîñòè.

Ïðÿìàÿ îáùåãî ïîëîæåíèÿ - ïðÿìàÿ, íå ïàðàëëåëüíàÿ è íå ïåðïåíäèêóëÿðíàÿ íè îäíîé èç ïëîñêîñòåé ïðîåêöèé.

Ïðÿìàÿ óðîâíÿ - ïðÿìàÿ, ïàðàëëåëüíàÿ îäíîé èç ïëîñêîñòåé ïðîåêöèé.

Ãîðèçîíòàëü (ãîðèçîíòàëüíàÿ ïðÿìàÿ óðîâíÿ) ïàðàëëåëüíà ïëîñêîñòè Ï1.

Ôðîíòàëü ïëîñêîñòè ïàðàëëåëüíà ïëîñêîñòè Ï2.

Ïðîôèëüíàÿ ïðÿìàÿ - ïàðàëëåëüíà ïëîñêîñòè Ï3.

Ïðîåöèðóþùàÿ ïðÿìàÿ - ïðÿìàÿ, ïåðïåíäèêóëÿðíàÿ îäíîé èç ïëîñêîñòåé ïðîåêöèé. Íàïðèìåð, ôðîíòàëüíî ïðîåöèðóþùàÿ ïðÿìàÿ ïåðïåíäèêóëÿðíà ôðîíòàëüíîé ïëîñêîñòè ïðîåêöèé. Íà ýòó ïëîñêîñòü ïðÿìàÿ ïðîåöèðóåòñÿ â âèäå òî÷êè.

Ñëåäû ïðÿìîé - òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ ïðÿìîé ñ ïëîñêîñòÿìè ïðîåêöèé.

Ïëîñêîñòü îáùåãî ïîëîæåíèÿ - ïëîñêîñòü, íå ïàðàëëåëüíàÿ è íå ïåðïåíäèêóëÿðíàÿ íè îäíîé èç ïëîñêîñòåé ïðîåêöèé.

Ïðîåöèðóþùàÿ ïëîñêîñòü - ïëîñêîñòü, ïåðïåíäèêóëÿðíàÿ îäíîé èç ïëîñêîñòåé ïðîåêöèé. Íà êîìïëåêñíîì ÷åðòåæå èìååò âûðîæäåííóþ â ïðÿìóþ ïðîåêöèþ íà òîé ïëîñêîñòè ïðîåêöèé, êîòîðîé îíà ïåðïåíäèêóëÿðíà. Òàê, ãîðèçîíòàëüíî ïðîåöèðóþùàÿ ïëîñêîñòü ?Ï1 èìååò ïðîåêöèþ íà Ï1 â âèäå ïðÿìîé.

Ïëîñêîñòü óðîâíÿ - ïëîñêîñòü, ïàðàëëåëüíàÿ îäíîé èç ïëîñêîñòåé ïðîåêöèé. Òàêèå ïëîñêîñòè ÿâëÿþòñÿ äâàæäû ïðîåöèðóþùèìè, òàê êàê íà äâóõ ïëîñêîñòÿõ ïðîåêöèé èìåþò âèä ïðÿìîé, ðàñïîëîæåííîé ïîä ïðÿìûì óãëîì ê ëèíèÿì ñâÿçè.

Ìíîãîãðàííèê - çàìêíóòàÿ ãðàííàÿ ïîâåðõíîñòü, èìåþùàÿ íå ìåíåå ÷åòûðåõ ãðàíåé (ïèðàìèäà, ïðèçìà, òåòðàýäð è ò.ä.).

Ïîâåðõíîñòü âðàùåíèÿ îáðàçóåòñÿ âðàùåíèåì îáðàçóþùåé l âîêðóã îñè âðàùåíèÿ i.

Ïîâåðõíîñòè 2-ãî ïîðÿäêà - ïîâåðõíîñòè, çàäàííûå àëãåáðàè÷åñêèì óðàâíåíèåì 2-é ñòåïåíè (ýëëèïñîèäû, ïàðàáîëîèäû, ïàðàáîëè÷åñêàÿ öèëèíäðè÷åñêàÿ ïîâåðõíîñòü è ò.ä.).

Î÷åðê ïîâåðõíîñòè - ïðîåêöèÿ êîíòóðà ïîâåðõíîñòè íà ïëîñêîñòü ïðîåêöèé.

Àêñîíîìåòðè÷åñêàÿ ïðîåêöèÿ - ïàðàëëåëüíàÿ ïðîåêöèÿ ïðåäìåòà, äîïîëíåííàÿ èçîáðàæåíèåì êîîðäèíàòíûõ îñåé ñ íàòóðàëüíûìè ìàñøòàáíûìè îòðåçêàìè, îòëîæåííûìè íà ýòèõ îñÿõ.

Ïðèëîæåíèå Å


Îáðàçåö âûïîëíåíèÿ ÐÃÐ2

Ïðèëîæåíèå Æ


Îáðàçåö âûïîëíåíèÿ ÐÃÐ3

Ïðèëîæåíèå È


Îáðàçåö âûïîëíåíèÿ ÐÃÐ4

Ïðèëîæåíèå Ê


Îáðàçåö âûïîëíåíèÿ ÐÃÐ5

Ïðèëîæåíèå Ì


Îáðàçåö âûïîëíåíèÿ ÐÃÐ7

Ðàçìåùåíî íà Allbest.ru


Теги: Графическое отображение объектов и процессов при их проектировании в промышленности и строительстве  Методичка  Математика
Просмотров: 10183
Найти в Wikkipedia статьи с фразой: Графическое отображение объектов и процессов при их проектировании в промышленности и строительстве
Назад