Расчет вероятности катастрофы и надежности системы энергоснабжения самолета

Департамент по авиации

Министерства транспорта и коммуникации Республики Беларусь

Минский государственный высший авиационный колледж

Кафедра ЕНД


Контрольная работа

по дисциплине: Теория вероятностей и математическая статистика

Специальность: «Техническая эксплуатация авиационного оборудования (приборное и электросветотехническое оборудование)»


студента группы ЗПВ107

Рыжко Дмитрия Александровича


Минск-2012 г.


Содержание


. Сравнительный анализ вероятностей катастрофы летательного аппарата

.1 Постановка задачи задания 1

.2 Решение. Математическая часть

.3 Расчетная часть

. Определение надежности элементов системы энергоснабжения самолета

.1 Постановка задачи задания 2

.2 Решение. Математическая часть

.3 Расчетная часть

Список использованной литературы

вероятность катастрофа отказ система надежность


Задание 1. Сравнительный анализ вероятностей катастрофы летательного аппарата


.1 Задача


Летательный аппарат (ЛА) состоит из:двигателей с вероятностью отказа P1 , P2 , …, Pm ; дублирующих систем энергоснабжения с вероятностью отказа

P1э , P2э , …,;вспомогательных подсистем с вероятностью отказа PС

каждая.

Катастрофа наступает, если выходят из строя:

любые (r+1) и более двигателей;

все системы энергоснабжения;

хотя бы одна из N вспомогательных подсистем.

В случае отказа любого r из m двигателей катастрофа наступает с вероятностью PD .

Определить вероятность катастрофы ЛА и сравнить ее с вероятностью катастрофы ЛА без дублирующих систем (один двигатель с вероятностью катастрофы P1, одна система энергоснабжения с вероятностью отказа P1э и N вспомогательных подсистем с вероятностью отказа PС каждая), предполагая, что все упомянутые выше системы и подсистемы ЛА функционируют независимо друг от друга.

В обоих случаях сравнить вероятности катастроф, связанных с отказом:

двигателей;

систем энергоснабжения;

вспомогательных подсистем.


Дано

mrnNP1P2P3P4PDP1эP2эP3эPС4332?1035?10-44·10-46·10-42?10-40,32?10-46·10-34?10-44?10-9

Решение:

Математическая часть

Введем обозначения событий:, D2, D3, D4 - отказ 1-го, 2-го, 3-го и 4-го двигателей соответственно;, B2, B3 - отказ 1-й, 2-й и 3-й системы энергоснабжения соответственно;

Ci - отказ i-й вспомогательной подсистемы, i = ;

ЕК - катастрофа;

ЕKD, ЕKЭ, ЕKC - катастрофы, связанные с отказом двигателей, систем энергоснабжения и вспомогательных подсистем соответственно.

Вероятность катастрофы ЛА с дублирующими системами

В этом случае


. (1.1)


Перейдем к противоположным событиям и будем иметь:


. (1.2)


Вследствие соотношения двойственности из равенства (1.2) получим:


. (1.3)


Тогда вероятность катастрофы будет определяться по формуле:


. (1.4)


Вследствие независимости событий из равенства (1.4) получим:


(1.5)

Рассмотрим структуру событий ЕKD, ЕKЭ, ЕKC и найдем их вероятности катастроф, связанных с отказом:

двигателей ЕKD;

систем энергоснабжения ЕKЭ;

вспомогательных подсистем ЕKC .

Рассмотрим структуру событий ЕKD и найдем P(ЕKD) = PKD .

Так как событие ЕKD - это событие, состоящее в том, что катастрофа произошла из-за отказа двигателей, а по условию задачи катастрофа, связанная с отказом двигателей, наступает, если выходят из строя любые (r + 1) и более двигателей из m двигателей, а в случае отказа любого r из m двигателей катастрофа наступает с вероятностью PD .

Значит,


.


Так как в нашем случае число двигателей m = 4, а r = 3; то


r + 1 = 3 + 1 = 4.


Следовательно,


,


где ЕKD3 - событие, состоящее в том, что катастрофа произошла из-за отказа любого r = 3 из m = 4 двигателей;

ЕKD?4 - событие, состоящее в том, что катастрофа произошла в

связи с выходом из строя любых (r+1) = 4 и более двигателей, а в нашем случае ЕKD?4 = ЕKD4 - это событие, состоящее в том, что катастрофа произошла из-за отказа всех четырех двигателей. Из этого следует, что


. (1.6)


В свою очередь, катастрофа, связанная с отказом r = 3 двигателей (при работающих остальных), не обязательно влечет за собой катастрофу (а с вероятностью PD), значит,


, (1.7)


тогда


.


Так как события ЕKD3 и ЕKD ? 4 несовместны, то


а для нашего случая, учитывая выражение (1.6), получим:


С другой стороны, катастрофа, связанная с отказом r = 3 двигателей (при работающих остальных) из четырех имеющихся у ЛА по условию задачи, есть следующее событие:


(1.8)


то есть работает только 4-й, либо 3-й, либо 2-й, либо 1-й двигатель из четырех имеющихся у ЛА.

Доказать, что события EKD3 и ЕKD ? 4 несовместны, можно следующим образом:

Согласно равенствам (1.7) и (1.6) имеем:


в соответствии с выражением (1.8) находим далее:



Используя тот факт, что и , получим:



Но если произведение двух событий равно невозможному событию (пустому множеству), то такие события являются несовместными.

______________________

Примечание - и - прерванное и продолженное преобразование текущего выражения.

По определению условной вероятности имеем:


а вследствие независимости событий далее находим:



Используя равенство (1.7) и несовместимость его слагаемых, получим:



Вследствие независимости всех событий и так как , будем далее иметь:


Так как P (Di) = Pi , i = 1,4 и P (EK / ED3) = PD , то


Если выполняется условие


(1.9)


для всех и учитывая, что значение вероятности случайного события меньше единицы, то


,


а также значит, что


.


Тогда имеем


(1.1(1.10)


Подставив значения, данные из условия задания, получим:


(1.11)


Рассмотрим структуру событий ЕКЭ и найдем Р(ЕКЭ) = РКЭ .


ЕКЭ ? В1 · В2 · В3 - катастрофа, связанная с отказом всех трех систем энергоснабжения (n = 3 по условию задачи).

Так как все события В1 , независимы, имеем:


.12)


Подставив значения, данные из условия задания, получим


P(EKЭ) ? P(B1 ? B2 ? B3) = P(B1) ? P(B2) ? P(B3) = P1Э ? P2Э ? P3Э = = 2 ? 10-4 ? 6 ? 10-3 ? 4 ? 10-4 = 48 ? 10-11 (1.13)

Рассмотрим структуру событий ЕКС и найдем Р(ЕКС) = РКС . Событие ЕКС наступает, если отказывает хотя бы одна из вспомогательных подсистем. Значит,


По закону двойственности



Так как события независимы, получим:


Поскольку, получим:



Тогда



Если выполняется условие:


то


(1.14)


Подставив значения, данные из условия задания, получим:


(1.15)


Расчетная часть


Переходим к числовым расчетам. Вычислим вероятность катастрофы по выведенной нами формуле (1.5). Так как в нашем случае выполняется условие (1.9), то


Если выполняется условие и и , то будем далее иметь



Видно, что PKD ? PKЭ ?PKC, так как ??.

Из этого следует, что вероятность катастрофы, связанной с отказом вспомогательных подсистем, является определяющей.


.2 Вероятность катастрофы ЛА без дублирующих систем


Вероятность катастрофы ЛА без дублирующих систем (один двигатель с вероятностью катастрофы , одна система энергоснабжения с вероятностью отказа и N вспомогательных подсистем с вероятностью отказа каждая) с учетом, что все упомянутые выше системы и подсистемы ЛА функционируют независимо друг от друга, будет определяться по формуле:


(1.16)


где - вероятность катастрофы ЛА без дублирующих систем;

- вероятность катастрофы, связанной с отказом двигателя, системы энергоснабжения соответственно в случае без дублирующих систем.

Исходя из исходных данных будем иметь:


PKD = P1 = 5?10-4 ; PKЭ = P1Э = 2?10-4,


а как уже подсчитано ранее, PKC = , то, подставив эти значения в формулу (1.16), получим:


P(EK)=PKD+PKЭ+PKC=P1+P1Э+NPc=5?10-4+2?10-4+8 ?10-6=

-4(5+2+8?10-2)=7,08?10-4

Так как


?,


то из этого следует, что вероятность катастрофы, связанной с отказом двигателя и систем энергоснабжения, является определяющей.

И, наконец, сравним вероятности и :


(EK)/P(EK)= 7,08?10-4/8.00016?10-6=88(раз)


Вывод


Наиболее вероятной является катастрофа, связанная с отказом одной из вспомогательных подсистем, а отсутствие дублирующих систем увеличивает вероятность катастрофы в 88 раз, при этом определяющим фактором становится отказ двигателя или системы энергоснабжения.


. Определение надежности элементов системы энергоснабжения самолета


.1 Задача


Испытываются m элементов системы энергоснабжения самолета, которые работают независимо один от другого. Длительность времени безотказной работы элементов распределена по показательному закону с функциями распределения для каждого из m элементов.

Определить вероятность того, что в интервале (0; ) часов откажут:

только один элемент;

только два элемента;

все m элементов;

ни один из m элементов не откажет.


2.2 Типовой пример решения задачи


Дано:


Номер вариантаm?1830,370,470,175

Решение

Математическая часть


Введем обозначения:

- события, состоящие в том, что отказал только один элемент, только два, все три элемента, ни один элемент не отказал;

- вероятности отказа 1-го, 2-го, 3-го элемента в заданном интервале (0; 5) соответственно.

Тогда

- вероятности безотказной работы 1-го, 2-го, 3-го элемента в заданном интервале (0; 5) соответственно.

Так как время безотказной работы элемента определяется его функцией надежности, которая равна



вероятность безотказной работы i-го элемента будет



Таким образом, вероятность безотказной работы 1-го элемента в заданном интервале (0; 5) будет

=e-0,37?5=e-1,85=0,1572


Вероятность отказа 1-го элемента в заданном интервале (0; 5) будет


p1=1-q1=1-0,1572=0,8428

_________________________

Примечание - Значения функции у = е-х взяты из приложения Б.

Вероятность безотказной работы 2-го элемента в заданном интервале (0; 5) будет


q2=e-0,47?5=0,09537


Вероятность отказа 2-го элемента в заданном интервале (0; 5) будет

=1-q2=1-0,09537=0,90463


Вероятность безотказной работы 3-го элемента в заданном интервале (0; 5) будет

=e-0,17?5=e-0,85=0,4274


Вероятность отказа 3-го элемента в заданном интервале (0; 5) будет

=1-q3=1-0,4274= 0,5726


Расчетная часть


Переходим к расчету искомых вероятностей, которые находятся следующим образом:

Вероятность отказа только одного элемента в заданном интервале (0; 5) будет

(A1)=p1 ? q2 ? q3 + p2 ? q1 ? q3 + p3 ? q1 ? q2 = 0,8428 ? 0,09537 ? 0,4274 + 0,90463 ? 0,1572 ? 0,4274 + 0,5726 ? 0,1572 ? 0,09537 = 0,103717


вероятность отказа только двух элементов в заданном интервале (0; 5) будет(A2)= p1p2 q3 +p1p3q2 +p2p3q1 = 0,8428 ? 0,90463 ? 0,4274 + 0,8428 ? ?0,5726 ? 0,09537 + 0,90463 ? 0,5726 ? 0,1572 = 0,45311


вероятность отказа всех трех элементов в заданном интервале (0; 5) будет

(A3)=p1p2p3= 0,8428 ? 0,90463 ? 0,5726 = 0,43656


вероятность безотказной работы всех трех элементов во время испытаний в заданном интервале (0; 5) будет

(A4)=q1?q2?q3 = 0,4274 ? 0,09537 ? 0,1572 = 0,0064


Вывод


При заданных данных во время испытаний в заданном интервале (0; 5) наиболее вероятным является отказ только двух элементов, а наименее вероятным - отказ всех трех элементов, так как


P(A1) = 0,103717 < P(A3) = 0,43656 < P(A2) = 0,45311


Вероятность же того, что все три элемента безотказно отработают во время испытаний в заданном интервале (0; 5) является небольшой, а именно P(A4) = 0,0064 ? 0,006


Список используемой литературы


Н. Нарольская «Методическое руководство по выполнению курсовой работы» «Минск-2010».

Л.С. Барковская «Теория вероятностей : практикум»/ Л.В. Станишевская, Ю.Н Черторицкий - Минск: БГЭУ, 2004.

А.П. Рябушко «Индивидуальные задания по высшей математике» Часть4 Минск «Высшая школа».

1.


Теги: Расчет вероятности катастрофы и надежности системы энергоснабжения самолета  Контрольная работа  Математика
Просмотров: 7018
Найти в Wikkipedia статьи с фразой: Расчет вероятности катастрофы и надежности системы энергоснабжения самолета
Назад