Департамент по авиации
Министерства транспорта и коммуникации Республики Беларусь
Минский государственный высший авиационный колледж
Кафедра ЕНД
Контрольная работа
по дисциплине: Теория вероятностей и математическая статистика
Специальность: «Техническая эксплуатация авиационного оборудования (приборное и электросветотехническое оборудование)»
студента группы ЗПВ107
Рыжко Дмитрия Александровича
Минск-2012 г.
Содержание
. Сравнительный анализ вероятностей катастрофы летательного аппарата
.1 Постановка задачи задания 1
.2 Решение. Математическая часть
.3 Расчетная часть
. Определение надежности элементов системы энергоснабжения самолета
.1 Постановка задачи задания 2
.2 Решение. Математическая часть
.3 Расчетная часть
Список использованной литературы
вероятность катастрофа отказ система надежность
Задание 1. Сравнительный анализ вероятностей катастрофы летательного аппарата
.1 Задача
Летательный аппарат (ЛА) состоит из:двигателей с вероятностью отказа P1 , P2 , …, Pm ; дублирующих систем энергоснабжения с вероятностью отказа
P1э , P2э , …,;вспомогательных подсистем с вероятностью отказа PС
каждая.
Катастрофа наступает, если выходят из строя:
любые (r+1) и более двигателей;
все системы энергоснабжения;
хотя бы одна из N вспомогательных подсистем.
В случае отказа любого r из m двигателей катастрофа наступает с вероятностью PD .
Определить вероятность катастрофы ЛА и сравнить ее с вероятностью катастрофы ЛА без дублирующих систем (один двигатель с вероятностью катастрофы P1, одна система энергоснабжения с вероятностью отказа P1э и N вспомогательных подсистем с вероятностью отказа PС каждая), предполагая, что все упомянутые выше системы и подсистемы ЛА функционируют независимо друг от друга.
В обоих случаях сравнить вероятности катастроф, связанных с отказом:
двигателей;
систем энергоснабжения;
вспомогательных подсистем.
Дано
mrnNP1P2P3P4PDP1эP2эP3эPС4332?1035?10-44·10-46·10-42?10-40,32?10-46·10-34?10-44?10-9
Решение:
Математическая часть
Введем обозначения событий:, D2, D3, D4 - отказ 1-го, 2-го, 3-го и 4-го двигателей соответственно;, B2, B3 - отказ 1-й, 2-й и 3-й системы энергоснабжения соответственно;
Ci - отказ i-й вспомогательной подсистемы, i = ;
ЕК - катастрофа;
ЕKD, ЕKЭ, ЕKC - катастрофы, связанные с отказом двигателей, систем энергоснабжения и вспомогательных подсистем соответственно.
Вероятность катастрофы ЛА с дублирующими системами
В этом случае
. (1.1)
Перейдем к противоположным событиям и будем иметь:
. (1.2)
Вследствие соотношения двойственности из равенства (1.2) получим:
. (1.3)
Тогда вероятность катастрофы будет определяться по формуле:
. (1.4)
Вследствие независимости событий из равенства (1.4) получим:
(1.5)
Рассмотрим структуру событий ЕKD, ЕKЭ, ЕKC и найдем их вероятности катастроф, связанных с отказом:
двигателей ЕKD;
систем энергоснабжения ЕKЭ;
вспомогательных подсистем ЕKC .
Рассмотрим структуру событий ЕKD и найдем P(ЕKD) = PKD .
Так как событие ЕKD - это событие, состоящее в том, что катастрофа произошла из-за отказа двигателей, а по условию задачи катастрофа, связанная с отказом двигателей, наступает, если выходят из строя любые (r + 1) и более двигателей из m двигателей, а в случае отказа любого r из m двигателей катастрофа наступает с вероятностью PD .
Значит,
.
Так как в нашем случае число двигателей m = 4, а r = 3; то
r + 1 = 3 + 1 = 4.
Следовательно,
,
где ЕKD3 - событие, состоящее в том, что катастрофа произошла из-за отказа любого r = 3 из m = 4 двигателей;
ЕKD?4 - событие, состоящее в том, что катастрофа произошла в
связи с выходом из строя любых (r+1) = 4 и более двигателей, а в нашем случае ЕKD?4 = ЕKD4 - это событие, состоящее в том, что катастрофа произошла из-за отказа всех четырех двигателей. Из этого следует, что
. (1.6)
В свою очередь, катастрофа, связанная с отказом r = 3 двигателей (при работающих остальных), не обязательно влечет за собой катастрофу (а с вероятностью PD), значит,
, (1.7)
тогда
.
Так как события ЕKD3 и ЕKD ? 4 несовместны, то
а для нашего случая, учитывая выражение (1.6), получим:
С другой стороны, катастрофа, связанная с отказом r = 3 двигателей (при работающих остальных) из четырех имеющихся у ЛА по условию задачи, есть следующее событие:
(1.8)
то есть работает только 4-й, либо 3-й, либо 2-й, либо 1-й двигатель из четырех имеющихся у ЛА.
Доказать, что события EKD3 и ЕKD ? 4 несовместны, можно следующим образом:
Согласно равенствам (1.7) и (1.6) имеем:
в соответствии с выражением (1.8) находим далее:
Используя тот факт, что и , получим:
Но если произведение двух событий равно невозможному событию (пустому множеству), то такие события являются несовместными.
______________________
Примечание - и - прерванное и продолженное преобразование текущего выражения.
По определению условной вероятности имеем:
а вследствие независимости событий далее находим:
Используя равенство (1.7) и несовместимость его слагаемых, получим:
Вследствие независимости всех событий и так как , будем далее иметь:
Так как P (Di) = Pi , i = 1,4 и P (EK / ED3) = PD , то
Если выполняется условие
(1.9)
для всех и учитывая, что значение вероятности случайного события меньше единицы, то
,
а также значит, что
.
Тогда имеем
(1.1(1.10)
Подставив значения, данные из условия задания, получим:
(1.11)
Рассмотрим структуру событий ЕКЭ и найдем Р(ЕКЭ) = РКЭ .
ЕКЭ ? В1 · В2 · В3 - катастрофа, связанная с отказом всех трех систем энергоснабжения (n = 3 по условию задачи).
Так как все события В1 , независимы, имеем:
.12)
Подставив значения, данные из условия задания, получим
P(EKЭ) ? P(B1 ? B2 ? B3) = P(B1) ? P(B2) ? P(B3) = P1Э ? P2Э ? P3Э = = 2 ? 10-4 ? 6 ? 10-3 ? 4 ? 10-4 = 48 ? 10-11 (1.13)
Рассмотрим структуру событий ЕКС и найдем Р(ЕКС) = РКС . Событие ЕКС наступает, если отказывает хотя бы одна из вспомогательных подсистем. Значит,
По закону двойственности
Так как события независимы, получим:
Поскольку, получим:
Тогда
Если выполняется условие:
то
(1.14)
Подставив значения, данные из условия задания, получим:
(1.15)
Расчетная часть
Переходим к числовым расчетам. Вычислим вероятность катастрофы по выведенной нами формуле (1.5). Так как в нашем случае выполняется условие (1.9), то
Если выполняется условие и и , то будем далее иметь
Видно, что PKD ? PKЭ ?PKC, так как ??.
Из этого следует, что вероятность катастрофы, связанной с отказом вспомогательных подсистем, является определяющей.
.2 Вероятность катастрофы ЛА без дублирующих систем
Вероятность катастрофы ЛА без дублирующих систем (один двигатель с вероятностью катастрофы , одна система энергоснабжения с вероятностью отказа и N вспомогательных подсистем с вероятностью отказа каждая) с учетом, что все упомянутые выше системы и подсистемы ЛА функционируют независимо друг от друга, будет определяться по формуле:
(1.16)
где - вероятность катастрофы ЛА без дублирующих систем;
- вероятность катастрофы, связанной с отказом двигателя, системы энергоснабжения соответственно в случае без дублирующих систем.
Исходя из исходных данных будем иметь:
PKD = P1 = 5?10-4 ; PKЭ = P1Э = 2?10-4,
а как уже подсчитано ранее, PKC = , то, подставив эти значения в формулу (1.16), получим:
P(EK)=PKD+PKЭ+PKC=P1+P1Э+NPc=5?10-4+2?10-4+8 ?10-6=
-4(5+2+8?10-2)=7,08?10-4
Так как
?,
то из этого следует, что вероятность катастрофы, связанной с отказом двигателя и систем энергоснабжения, является определяющей.
И, наконец, сравним вероятности и :
(EK)/P(EK)= 7,08?10-4/8.00016?10-6=88(раз)
Вывод
Наиболее вероятной является катастрофа, связанная с отказом одной из вспомогательных подсистем, а отсутствие дублирующих систем увеличивает вероятность катастрофы в 88 раз, при этом определяющим фактором становится отказ двигателя или системы энергоснабжения.
. Определение надежности элементов системы энергоснабжения самолета
.1 Задача
Испытываются m элементов системы энергоснабжения самолета, которые работают независимо один от другого. Длительность времени безотказной работы элементов распределена по показательному закону с функциями распределения для каждого из m элементов.
Определить вероятность того, что в интервале (0; ) часов откажут:
только один элемент;
только два элемента;
все m элементов;
ни один из m элементов не откажет.
2.2 Типовой пример решения задачи
Дано:
Номер вариантаm?1830,370,470,175
Решение
Математическая часть
Введем обозначения:
- события, состоящие в том, что отказал только один элемент, только два, все три элемента, ни один элемент не отказал;
- вероятности отказа 1-го, 2-го, 3-го элемента в заданном интервале (0; 5) соответственно.
Тогда
- вероятности безотказной работы 1-го, 2-го, 3-го элемента в заданном интервале (0; 5) соответственно.
Так как время безотказной работы элемента определяется его функцией надежности, которая равна
вероятность безотказной работы i-го элемента будет
Таким образом, вероятность безотказной работы 1-го элемента в заданном интервале (0; 5) будет
=e-0,37?5=e-1,85=0,1572
Вероятность отказа 1-го элемента в заданном интервале (0; 5) будет
p1=1-q1=1-0,1572=0,8428
_________________________
Примечание - Значения функции у = е-х взяты из приложения Б.
Вероятность безотказной работы 2-го элемента в заданном интервале (0; 5) будет
q2=e-0,47?5=0,09537
Вероятность отказа 2-го элемента в заданном интервале (0; 5) будет
=1-q2=1-0,09537=0,90463
Вероятность безотказной работы 3-го элемента в заданном интервале (0; 5) будет
=e-0,17?5=e-0,85=0,4274
Вероятность отказа 3-го элемента в заданном интервале (0; 5) будет
=1-q3=1-0,4274= 0,5726
Расчетная часть
Переходим к расчету искомых вероятностей, которые находятся следующим образом:
Вероятность отказа только одного элемента в заданном интервале (0; 5) будет
(A1)=p1 ? q2 ? q3 + p2 ? q1 ? q3 + p3 ? q1 ? q2 = 0,8428 ? 0,09537 ? 0,4274 + 0,90463 ? 0,1572 ? 0,4274 + 0,5726 ? 0,1572 ? 0,09537 = 0,103717
вероятность отказа только двух элементов в заданном интервале (0; 5) будет(A2)= p1p2 q3 +p1p3q2 +p2p3q1 = 0,8428 ? 0,90463 ? 0,4274 + 0,8428 ? ?0,5726 ? 0,09537 + 0,90463 ? 0,5726 ? 0,1572 = 0,45311
вероятность отказа всех трех элементов в заданном интервале (0; 5) будет
(A3)=p1p2p3= 0,8428 ? 0,90463 ? 0,5726 = 0,43656
вероятность безотказной работы всех трех элементов во время испытаний в заданном интервале (0; 5) будет
(A4)=q1?q2?q3 = 0,4274 ? 0,09537 ? 0,1572 = 0,0064
Вывод
При заданных данных во время испытаний в заданном интервале (0; 5) наиболее вероятным является отказ только двух элементов, а наименее вероятным - отказ всех трех элементов, так как
P(A1) = 0,103717 < P(A3) = 0,43656 < P(A2) = 0,45311
Вероятность же того, что все три элемента безотказно отработают во время испытаний в заданном интервале (0; 5) является небольшой, а именно P(A4) = 0,0064 ? 0,006
Список используемой литературы
Н. Нарольская «Методическое руководство по выполнению курсовой работы» «Минск-2010».
Л.С. Барковская «Теория вероятностей : практикум»/ Л.В. Станишевская, Ю.Н Черторицкий - Минск: БГЭУ, 2004.
А.П. Рябушко «Индивидуальные задания по высшей математике» Часть4 Минск «Высшая школа».
1.