Корені многочленів довільного степеня

Зміст

Вступ

. Основна теорема алгебри

.1 Доведення основної теореми алгебри

.2 Наслідки з основної теореми алгебри. Формула Вієта

.3 Многочлени з дійсними коефіцієнтами

. Межі дійсних коренів

.1 Спосіб Ньютона встановлення меж дійсних коренів алгебраїчних рівнянь

.2 Число дійсних коренів

2.3 Відокремлення коренів методом Штурма

. Наближені методи обчислення коренів

3.1 Методи відокремлення коренів многочлена

.2 Метод Лобачевського

.2.1 Випадок дійсних коренів

.2.2 Випадок комплексних коренів

.Приклади розвязання задач

Висновки

Список використаних джерел

Вступ

Безліч математиків доклали багато зусиль, щоб знайти формули для розвязання рівнянь високих степенів. Формули для розвязання рівнянь третього і четвертого степеня були знайдені в 16 столітті. Після цього почались пошуки формул, які б виражали корені рівнянь пятої і вище степенів, але ці пошуки виявились безуспішними.

Центральним в алгебрі многочленів виявляється питання не про практичний пошук коренів многочлена, а питання про їх існування. Відомо, що існують квадратні рівняння з дійсними коефіцієнтами, які не мають дійсних коренів. А чи не знайдеться таке рівняння пятого чи більш високого степеня, яке не має жодного кореня навіть серед комплексних чисел, і чи не доведеться для пошуку коренів даних рівнянь переходити від комплексних чисел до більш широкого запасу чисел? Відповідь на це питання дає важлива теорема (основна теорема алгебри), яка стверджує, що будь-яке рівняння з будь-якими числовими коефіцієнтами, не лише з дійсними, але і з комплексними, має хоча б один комплексний корінь.

Твердження, близьке до основної теореми алгебри висловили ще в 17 столітті Жерар (1629) і Декарт (1637). Воно полягало в тому, що кожне алгебраїчне рівняння -го степеня має коренів; якщо ж дійсних коренів менше , при цьому решту коренів слід вважати «уявними». При цьому термін «уявний» не збігався з сучасним поняттям комплексного числа, а означав просто, що потрібну кількість коренів можна собі уявити існуючою.

Більш обережно формулював основну теорему алгебри Ньютон (1707), але у 18 столітті Ейлер чітко сформулював основну теорему алгебри.

Перша спроба доведення теореми належить французькому математику Даламберу. Але були інші спроби доведення основної теореми алгебри видатними вченими, а саме, Ейлером, Лагранжем.

Прийнято вважати, що перше строге доведення основної теореми дав Гаусс у 1799. Однак з точки сучасного вчення про неперервність це доведення вимагає деяких доповнень і, крім того, воно стосується лише многочленів з дійсними коефіцієнтами. Але основний хід цього доведення цілком правильний.

Однією з найважливіших тем алгебри є : вивчення рівняння з однією невідомою довільного степеня та способи знаходження коренів таких рівнянь. Метою курсової роботи є розширення уявлення про корені многочленів довільного степеня.

1. Основна теорема алгебри

Розглянемо основні поняття, що стосуються даної теми.

Означення 1. Многочленом від однієї змінної над областю цілісністю називається вираз , де - довільне ціле невідємне число, - елементи області цілісності, а (або ), - деякі символи; називається -м степенем змінної (або невідомого ), а - -м коефіцієнтом многочлена

або коефіцієнтом при (=0,1,…, ).

Означення 2. Відмінний від нуля член многочлена, степінь якого більший за степінь усіх інших відмінних від нуля членів цього многочлена, називається старшим членом, його коефіцієнти - старшим коефіцієнтом, а його степінь - степенем многочлена.

Означення 3. Коренем многочлена називається елемент будь-якого розширення поля такий, що .

Означення 4. Елемент називається коренем многочлена , якщо ділиться на .

Головним результатом дослідження питання про існування коренів алгебраїчних рівнянь є так звана основна теорема алгебри.

Розглянемо питання про існування коренів многочлена з геометричного погляду. Нам треба показати, що для всякого многочлена ненульового степеня від комплексного змінного P(z) знайдеться на комплексній площині хоча б одна точка z0 така, що P(z0) = 0. Зауважимо, що зручніше досліджувати не самий многочлен P(z) , а його модуль, тобто функцію w = . Безпосередньо ясно, що функції P(z) і перетворюються в нуль в одних і тих самих точках, так що з точки зору існування коренів та їх розміщення на комплексній площині байдуже , чи ми розглядаємо P(z) , чи . Проте має ту перевагу, що вона набуває лише дійсних і притому невідємних значень, що полегшує застосування до неї методів математичного аналізу.

1.1 Доведення основної теореми алгебри

Теорема 1. Якщо P(z) - многочлен ненульового степеня, то для довільного додатного числа M можна знайти таке число N, що при

.

Саме це твердження і означає, що необмежено зростає, коли точка z необмежено віддаляється від початку координат, бо яким би великим не було число M, перевищуватиме M , як тільки віддаль точки z від початку координат буде більша відповідного N.

Доведення. Користуючись властивостями модуля комплексного числа, маємо :

= (1)

Але

(2)

де - найбільший з модулів коефіцієнтів Якщо накласти (яке до цього часу було довільним комплексним числом) додаткову умову :

(3)

То (4)

Підсилюючи за допомогою нерівностей (2) і (4) нерівність (1), маємо:

(5)

При необмеженому зростанні стане більше за число

(6)

Для таких значень справджується нерівність

і тому (7)

Коли , задовольняючи нерівність (3), задовольняють і нерівність (6), тобто коли

(8)

то на підставі (5) і (7) можна записати :

(9)

Покажемо тепер, що при достатньо великих величина буде більшою від наперед заданого додатного числа . Справді, при

(10)

Справедлива нерівність

(11)

Якщо при цьому також справджується нерівність (9), то з (9) і (11) випливає . Через те що нерівність (9) справедлива для тих , що задовольняють умову (8), а нерівність (11) - для тих, що задовольняють умову (10), то потрібна нам нерівність справджуватиметься для всіх , які задовольняють обидві ці умови, тобто для яких , де

.

Ясно, що таке можна знайти для довільного додатного Теорему доведено.

Зауваження. З нерівностей, встановлених при доведенні цієї теореми, можна безпосередньо дістати такий важливий наслідок : многочлен може мати лише такі корені, модуль яких менший від числа

(12)

де найбільший з модулів коефіцієнтів

Зауваження. При модуль старшого члена многочлена більший за модуль суми всіх інших членів цього многочлена.

Теорема 2. Для довільного многочлена існує хоча б одна точка комплексної площини, в якій функція набуває найменшого значення, тобто така, що для довільного комплексного числа .

Теорема 3. (основна теорема алгебри). Довільний многочлен ненульового степеня з комплексними коефіцієнтами має хоча б один комплексний корінь.

Доведення. З теореми 2 відомо, що функція хоч при одному комплексному набуває найменшого значення. Для доведення основної теореми алгебри досить встановити, що =0, тобто що і є коренем многочлена.

Припустимо супротивне, тобто що , і покажемо, що в цьому випадку не може бути точкою, в якій набуває найменшого значення. Для цього, очевидно, слід показати, що можна знайти таку точку , в якій або, що те саме, .

Застосуємо до многочлена формулу Тейлора :

(13)

Через те що за припущенням, очевидно, що й . Тому, щоб знайти потрібне нам відношення , поділимо почленно обидві частини рівності (13) на . Матимемо :

=

Позначимо в цій рівності для скорочення . І коефіцієнти при через ( дістанемо рівність

(14)

Зрозуміло, що в цій рівності ряд перших коефіцієнтів може дорівнювати нулю : Проте серед усіх коефіцієнтів повинен бути хоча б один коефіцієнт Справді, коли б усі коефіцієнти дорівнювали нулю, то це означало б, що , і для будь-якого за формулою (13) ми мали б , тобто многочлен є числом (многочленом нульового степеня), що суперечить умові теореми. Отже, припустимо, що , а . (Якщо вже , то ). Тоді рівність (14) можна записати в такому вигляді :

. (15)

Користуючись тим, що , далі маємо :

=

Нам треба показати існування таких значень , що , тому оцінимо відношення за модулем, скориставшись властивостями модуля суми і добутку :

(16)

Щоб показати, що при певному виборі права частина нерівності (16) буде менша за одиницю, накладемо на відповідні умови. Через те що , то ці умови можна накласти на число . Записуючи комплексне число у тригонометричній формі, бачимо, що для вибору можна накладати певні умови як на модуль так і на аргумент .

Насамперед звернемо увагу на те, що вираз

є многочленом від з вільним членом, що дорівнює нулю. Отже, маємо : . Це означає, що для довільного числа наприклад, , можна знайти таке число , що при

(17)

справджується нерівність . Отже, нехай на накладено умову (17). Тоді, , і нерівність (16) матиме вигляд :

(18)

Нам треба вибрати так, щоб було менше 1. Для цього знайдемо таке , щоб було дійсним відємним числом з модулем , меншим за одиницю. Покажемо, що такий вибір завжди можливий.

Розглянемо для цього число . Запишемо його у тригонометричній формі. Оскільки , де - відомі числа, то

(19)

Тобто , а Для того щоб було дійсним відємним числом, його аргумент повинен дорівнювати . Тому накладемо на умову , або

(20)

Ясно, що при довільному натуральному і при всякому комплексному таке можна знайти. Тепер для всякого комплексного числа з аргументом (20)дістаємо з (19) : , а нерівність (18) запишеться у вигляді

. (21)

Тепер залишається вибрати так, щоб було Легко бачити, що для цього досить взяти . Зауважимо, що на ми вже накладали умову (17). Щоб поєднати цю умову з останньою нерівністю, слід за взяти довільне число, яке менше

. (22)

При такому виборі справедлива нерівність (21) і, крім того, Тому

, (23)

бо .

Отже, при всякому , де - комплексне число, аргумент якого визначається умовою (20), а модуль менший за , яке визначається умовою (22), справедлива нерівність або .

Цей висновок суперечить умові, згідно з якою - найменше значення Отже =0, і теорему доведено.

1.2 Наслідки з основної теореми алгебри. Формули Вієта

З теореми 3 зразу дістаємо ряд важливих наслідків.

Теорема 4. Кожний многочлен,степінь якого вищий за одиницю, звідний у полі комплексних чисел.

Доведення. Нехай - многочлен степеня За основною теоремою алгебри існує хоча б один корінь цього многочлена. ділиться на , тобто Через те що степінь більший за 1, то є многочлен ненульового степеня. Цим і доведено звідність у полі комплексних чисел.

Наслідок. Для того щоб многочлен був незвідним у полі комплексних чисел, необхідно і достатньо, щоб його степінь дорівнював одиниці.

Теорема 5. Кожний многочлен -го степенем над полем комплексних чисел єдиним способом розкладається на лінійні множники в цьому полі

, (24)

де - корені, - старший коефіцієнт многочлена .

Теорема 6. Многочлен -го степеня має в полі комплексних чисел точно коренів.

Теорема 7 (Вієта). Для коренів алгебраїчного рівняння -го степеня

(25)

(26)

Формули (25) називаються формулами Вієта.

Доведення теореми Вієта зводиться до звичайної перевірки. Розкладаючи ліву частину рівняння (25) на незвідні множники за формулою (24), матимемо :

де - корені даного многочлена або рівняння (25). Виконуючи множення в правій частині цієї рівності, дістанемо :

Порівнюючи коефіцієнти при в обох частинах цієї рівності, матимемо формули Вієта (26). Теорему доведено.

1.3 Многочлени з дійсними коефіцієнтами

Рівняння з дійсними коефіцієнтами є поширеним і дуже важливим для практичних застосувань окремим випадком алгебраїчних рівнянь з комплексними коефіцієнтами. Оскільки дійсні числа утворюють підполе поля K комплексних чисел, всі результати цього параграфа, зокрема теореми про існування комплексних коренів та їх число, залишаються справедливими і для многочленів з дійсними коефіцієнтами, тобто будь-який многочлен n-го степеня з дійсними коефіцієнтами має точно n комплексних коренів.

Але в багатьох випадках особливий інтерес становлять саме дійсні корені рівнянь з дійсними коефіцієнтами. Ми знаємо, що рівняння з дійсними коефіцієнтами може взагалі не мати жодного дійсного кореня (наприклад, рівняння ). Проте виявляється, що основна теорема дозволяє зробити ряд висновків і щодо коренів рівнянь з дійсними коефіцієнтами.

Теорема 8. Якщо комплексне число z0 є коренем многочлена з дійсними коефіцієнтами

(27)

то спряжене комплексне число також є коренем цього многочлена.

Доведення. Обчислимо значення . Відокремивши дійсну і уявну частини, матимемо :

(28)

Але є коренем многочлена (26), тому , звідки . Обчислимо тепер вираз . Через те що всі коефіцієнти - дійсні числа, то = і тому

Порівнюючи (26) і (27), бачимо, що можна дістати з в результаті заміни всіх чисел спряженими . Оскільки над цими числами виконуються лише дії додавання і множення, то і є спряжені комплексні числа, тобто =. Але ми вже показали, що . Отже =0 , і тому є коренем даного рівняння. Теорему доведено.

Теорема 9. Якщо комплексне число є коренем -ї кратності ( многочлена з дійсними коефіцієнтами, то спряжене комплексне число є коренем многочлена тієї ж кратності .

Наслідок. Алгебраїчне рівняння непарного степеня з дійсними коефіцієнтами має хоча б один дійсний корінь.

Теорема 10. Кожний многочлен над полем , степінь якого перевищує 2, є звідним у цьому полі.

Теорема 11. Кожний многочлен над полем дійсних чисел допускає єдиний розклад на незвідні множники в цьому полі виду:

2. Межі дійсних коренів

Теореми попереднього параграфа розвязують ряд принципіальних питань щодо існування і числа коренів алгебраїчних рівнянь. Але, щоб знайти корені рівняння з достатнім степенем точності, треба знати, як ці корені розміщені на комплексній площині або на дійсній осі. Зауважимо, що іноді навіть немає потреби знаходити числові значення коренів, а досить зясувати їх розміщення на площині. Ми обмежимось розглядом питань, повязаних з розміщенням на дійсній осі коренів рівнянь з дійсними коефіцієнтами, що мають особливо важливе значення для задач практичного характеру.

Зробимо лише два зауваження щодо комплексних коренів многочленів. Ці зауваження є безпосередніми наслідками раніше зясованих фактів.

.Усі корені многочлена лежать всередині круга з центром у точці і радіусом

. Комплексні корені многочлена з дійсними коефіцієнтами розміщені симетрично відносно дійсної осі.

Переходячи тепер до розгляду дійсних коренів многочленів з дійсними коефіцієнтами, будемо позначати змінне буквою .

Теорема 12. Усі дійсні корені рівняння

містяться в інтервалі (), де

().

Справді, всі комплексні корені лежать у крузі , а тому, якщо серед них є дійсні, то вони повинні попасти в зазначений інтервал.

2.1 Спосіб Ньютона встановлення меж дійсних коренів алгебраїчних рівнянь

Зробимо деякі попередні зауваження.

Число, визначене теоремою 5, дає одночасно верхню межу додатних коренів многочлена і нижню межу його відємних коренів, бо вказує інтервал (), в якому лежать всі дійсні корені, якщо вони існують. Один із шляхів уточнень, звуження меж, між якими слід шукати дійсні корені, полягає в тому, щоб окремо знаходити нижню і верхню межі додатних коренів і нижню і верхню межі відємних коренів даного многочлена, тобто такі чотири числа , що всі додатні корені многочлена лежать в інтервалі (), а всі відємні - в інтервалі ().

Досить мати правило для знаходження верхньої межі додатних коренів многочлена.

Теорема 13 (Ньютона). Число є верхньою межею додатних коренів многочлена , якщо при многочлен має додатне значення, а всі його похідні - невідємні значення.

Доведення. Покладаючи у формулі Тейлора , дістанемо

,

звідки безпосередньо видно, що при , тобто всі дійсні корені многочлена менші за .

Оскільки знак многочлена і його похідних в точці збігаються із знаком відповідних коефіцієнтів Тейлора при розкладі за степенями , на практиці числа зручно підбирати з допомогою схеми Горнера. При цьому в більшості випадків немає потреби обчислювати всі коефіцієнти Тейлора : як тільки в процесі ділення на дістаємо рядок з невідємних чисел, - можна прийняти за верхню межу додатних коренів, бо наступне застування схеми Горнера ніколи не приведе до відємних коефіцієнтів. Зокрема, якщо заданий многочлен має невідємні коефіцієнти, можна покласти =0, тобто многочлен не має додатних коренів. Теорему доведено.

2.2 Число дійсних коренів

Знання числа і розміщення дійсних коренів многочлена є важливою передумовою застосування багатьох методів чисельного розвязування рівнянь. Число дійсних коренів з дійсними коефіцієнтами дорівнює степеню многочлена або на парне число менше. Іноді при знаходженні меж коренів виявляється, що многочлен не має додатних або відємних коренів. Однак для повної відповіді на питання про число дійсних коренів многочлена з дійсними коефіцієнтами потрібне більш глибоке дослідження.

У багатьох випадках число дійсних коренів рівняння з дійсними коефіцієнтами можна визначити за простим правилом, яке дав Декарт. Перш ніж формулювати це правило, зробимо деякі зауваження.

) Ми будемо розглядати кількість змін знаків у даній упорядкованій скінченній послідовності дійсних чисел

(29)

розуміючи під цим кількість пар сусідніх чисел цієї послідовності, які мають протилежні знаки.

Якщо які-небудь з чисел дорівнюють нулю, то при підрахунку числа змін знаків їх до уваги не беруть.

Зауважимо, що коли перше і останнє числа і даної послідовності мають однакові знаки, то кількість змін знаків у послідовності (29) парна; якщо ж і мають протилежні знаки, то кількість змін знаків - непарна.

Справді, члени послідовності, які безпосередньо йдуть за кожною зміною знаків, мають знак, протилежний до знака тих членів, які передували зміні знаків. Отже, якщо остання змінна знаків має непарний номер, то числа послідовності, що йдуть за нею, матимуть знак, протилежний до .

) Будемо припускати, що розглядуваний многочлен не має кратних коренів, оскільки завжди можна відокремити кратні множники.

3) Ми будемо користуватись для многочленів з дійсними коефіцієнтами , заданих на дійсній осі, відомо з математичного аналізу теоремою Ролля.

Теорема Ролля 14 (для многочленів). Між усякими двома дійсними коренями многочлена лежить хоча б один дійсний корінь похідної .

Наслідок. Якщо похідна многочлена має дійсних коренів, то многочлен має не більше як дійсних коренів.

Справді, якби многочлен мав або ще більше додатних коренів , то похідна мала б щонайменше додатний корінь, бо за теоремою Ролля між усякими двома додатними коренями лежить не менш як один додатний корінь .

) При розгляді правила Декарта , а також у дальшому викладі будемо користуватись такою лемою.

Лема. Знак многочлена , при збігається із знаком старшого члена .

Теорема 15 (Декарта). Число додатних коренів многочлена з дійсними коефіцієнтами

(30)

дорівнює або на парне число менше від числа змін знаків у послідовності його коефіцієнтів.

Доведення. 1) Спочатку доведемо, що число додатних коренів многочлена (30) має таку саму парність, що й число змін знаків у ряді його коефіцієнтів.

Позначимо число змін знаків у ряді коефіцієнтів через . Старший коефіцієнт . Можна також вважати, що вільний член , бо в протилежному випадку многочлен (30) мав би корінь , і можна було б розглядати многочлен, знайдений з (30) діленням на .

Розглянемо два випадки. Якщо - парне, то і одного знака. Але =, тобто дорівнює значенню многочлена в точці має той самий знак, що й старший член , тобто знак збігається із знаком . Отже, при парному значення і мають однакові знаки, тому неперервна крива перетинає вісь на сегменті обовязково в парному числі точок (зокрема, точок перетину може не бути зовсім), тобто на цьому сегменті є парне число додатних коренів.

Оскільки за теоремою 12 поза сегментом додатних коренів бути не може, то для випадку парного твердження доведено, тобто показано, що число додатних коренів має ту саму парність, що і число змін знаків у ряді коефіцієнтів. При непарному міркування аналогічні : і мають протилежні знаки, тому й та мають протилежні знаки, у звязку з чим число додатних коренів непарне.

Значить, в усіх випадках має ту саму парність, що й число додатних коренів .

) Отже залишається довести, що число додатних коренів многочлена (30) не може перевищувати число , або на парне число менше за нього.

Доведемо це методом індукції. Нехай . Для многочлена 1-го степеня число додатних коренів не може перевищувати числа змін знаків у послідовності . Справді, число змін знаків дорівнює нулю або одиниці. В першому випадку єдиний корінь відємний, у другому випадку корінь додатний. Отже, число додатних коренів цього многочлена дорівнює числу змін знаків .

Нехай тепер наше твердження справедливе для многочленів -го степеня. Доведемо його для многочлена -го степеня

Число змін знаків у послідовності коефіцієнтів цього многочлена, як і раніше, позначимо через , а число додатних коренів - через . Знайдемо похідну :

.

Похідна є многочленом -го степеня, причому число 1 змін знаків у послідовності коефіцієнтів

дорівнює або , або , бо множення коефіцієнтів многочлена на і т.д. не змінює їх знаків, а одного коефіцієнта немає.

За припущенням індукції число додатних коренів похідної не може перевищувати 1. Тому,згідно з наслідком з теореми Ролля, число додатних коренів многочлена не можна перевищувати 1+1, тобто 1+1. Але 1. Тому +1. Проте рівність неможлива, бо і числа однієї парності. Отже, , і для рівняння -го степеня число додатних коренів не перевищує числа змін знаків у послідовності його коефіцієнтів. Теорему доведено.

Зауваження . Правило Декарта можна застосовувати і для оцінки числа відємних коренів рівняння з дійсними коефіцієнтами.

Для цього в рівнянні =0 треба зробити заміну змінного . Ясно, що число відємних коренів даного рівняння дорівнює числу додатних коренів рівняння , яке можна оцінити за правилом Декарта.

Зауваження . Коли наперед відомо, що всі корені даного рівняння =0 дійсні, то правило Декарта дає точну відповідь на запитання про число дійсних коренів, а саме : число додатних коренів дорівнює числу змін знаків в ряді коефіцієнтів многочлена , а число відємних коренів - числу змін знаків в ряді коефіцієнтів многочлена .

2.3 Відокремлення коренів методом Штурма

Нехай дано рівняння =0. Насамперед побудуємо деяку послідовність многочленів, звязних з многочленом , - так званий ряд функцій Штурма, який відіграє основну роль в методі Штурма. Припустимо, що вже не має кратних коренів.

Знайдемо похідну і побудуємо для і алгоритм,подібний до алгоритму Евкліда :

(31)

Ми тут пишемо , не зазначаючи аргумента, бо і взаємно прості і тому =. Послідовність многочленів :

(32)

і називається рядом функцій Штурма або просто рядом Штурма для многочлена . Іноді для зручності ми позначатимемо =.

У методі Штурма нас цікавитимуть не самі функції ряду Штурма або їх значення, а лише знаки числових значень цих функцій. У звязку з цим функції даного ряду (31) можна знаходити з точністю до сталого додатного множника, тобто, виконуючи ділення з остачею, домножати на сталі множники; ці множники повинні бути додатні, щоб не змінювались знаки значень многочленів.

Розглянемо основні властивості ряду функцій Штурма.

Лема 1. Ніякі дві сусідні функції ряду Штурма (32) не мають спільних коренів.

Доведення. Припустимо супротивне : нехай є спільним коренем і , тобто . Тоді з (31) видно, що й

.

Так само переконаємось, що . Але рівність означає, що многочлен має кратний корінь , а за припущенням кратних коренів не має. Отже, ми прийшли до суперечності, яка й доводить лему 1.

Лема 2. Якщо є коренем однієї з проміжних функцій ряду Штурма, то значення сусідніх з нею функцій ряду Штурма мають у цій точці протилежні знаки.

Доведення. Нехай . Тоді за лемою 1 . Далі з (31) :

і лему 2 доведено.

Лема 3. Якщо , зростаючи, проходить через корінь якої-небудь проміжної функції ряду Штурма, але не проходить через корінь , то число змін знаків у ряді Штурма при цьому не змінюється.

Лема 4. Якщо , зростаючи, проходить через корінь многочлена , то число змін знаків у ряді Штурма зменшується на одиницю.

Теорема 16 (Штурма). Якщо і (довільні дійсні числа, які не є коренями многочлена , то число дійсних коренів многочлена в інтервалі ( дорівнює =, де є число змін знаків у ряді Штурма відповідно в точках і .

Доведення. Якщо , зростаючи від до , не пройде через жодний корінь , то за лемою 3 . Якщо ж , зростаючи, пройде через коренів многочлена , то при проходженні через кожний корінь число змін знаків зменшуватиметься на одиницю (за лемою 4), так що буде на одиниць менше, ніж , тобто =. Теорему доведено.

Теорема Штурма дозволяє розвязувати найрізноманітніші задачі щодо розміщення коренів многочлена на дійсній осі. Розглянемо дві такі задачі.

. За допомогою ряду Штурма для довільного многочлена над полем дійсних чисел можна точно визначити загальне число дійсних коренів, а також число його додатних і відємних коренів. Для цього досить застосувати теорему Штурма до інтервалів , де - межа модуля коренів, бо поза інтервалом многочлен дійсних коренів не має.

На практиці, щоб не підставляти чисел у функції ряду Штурма, замість інтервалів розглядають інтервали і . При цьому користуються лемою відповідно до якої при знак многочлена визначається знаком його старшого члена. Тому під знаком многочлена «при » розуміють знак його старшого члена при додатному , а під знаком многочлена «при » - знак його старшого члена при відємному .

. З допомогою методу Штурма можна здійснювати так зване відокремлення дійсних коренів. Відокремлення коренів полягає у знаходженні таких інтервалів, у кожному з яких лежить точно один дійсній корінь многочлена. Ця задача дуже вважлива, бо більшість наближеного обчислення коренів вимагає їх попереднього відокремлення. Практичне здійснення відокремлення коренів зводяться до підбору потрібних інтервалів.

. З допомогою ряду Штурма можна знайти просту ознаку того, що всі коренів многочлена -го степеня є дійсні різні числа. Для цього, очевидно, потрібно, щоб у ряді Штурма при зростанні від до число змін знаків зменшилось на . В свою чергу, для цього насамперед потрібно, щоб число функцій у ряді Штурма було не меншим за +1. Оскільки за самою побудовою цього ряду воно не може бути більшим за , то у випадку всіх дійсних коренів ряд Штурма складається точно з функцій, причому кожна наступна функція цього ряду є многочленом на одиницю нижчого степеня, ніж попередня. Тепер ясно, що всі корені будуть дійсними, якщо , а . Зрозуміло, що це має місце тоді і тільки тоді, коли старші коефіцієнти всіх функцій Штурма одного знака. Отже, для того щоб всі корені многочлена степеня були дійсні і різні, необхідно і достатньо, щоб відповідний ряд Штурма складався з многочленів, старші коефіцієнти яких всі одного і того ж знака.

3. Наближені методи обчислення коренів

Знайти точні значення коренів рівняння можна лише для найпростіших функцій : алгебраїчних многочленів не вище четвертого степеня, деяких многочленів степеня і деяких трансцендентних функцій.

Універсальних методів для знаходження точних значень коренів алгебраїчних рівнянь степеня і трансцендентних рівнянь не існує. Крім того, розвязуючи практичні задачі, часто дістають рівняння з коефіцієнтами, які є наближеними числами. Тоді постановка задачі знаходження точних коренів не має смислу. Тому важливого значення набувають наближені методи знаходження коренів рівняння з достатньою для практики точністю. Задача знаходження коренів рівняння вважається розвязаною, якщо корені обчислені з наперед заданою точністю.

3.1 Методи відокремлення коренів многочлена

Відокремлюють корені графічним і аналітичними методами.

Для відокремлення коренів графічним методом будують графік функції і знаходять точки перетину графіка з віссю абсцис та кінці відрізків ізоляції коренів. Часто рівняння записують у вигляді і будують графіки функцій і , потім знаходять межі, в яких містяться абсциси точок перетину графіків функцій і .

Аналітичний метод відокремлення коренів ґрунтується на теоремах з курсу математичного аналізу.

Теорема 17. Якщо функція неперервна на і набуває на кінцях цього відрізка значень протилежних знаків, тобто , то в середині відрізка існує хоча б один корінь рівняння .

Зазначимо, що теорема не дає відповіді на питання про кількість рівняння , які належать. При виконанні умов теореми рівняння може мати й кілька коренів.

Теорема 18. Якщо функція , неперервна і диференційована на , набуває на кінцях цього відрізка значень різних знаків, а похідна зберігає сталий знак всередині відрізка , то рівняння на цьому відрізку має корінь, причому єдиний.

У відповідності з теоремами 17 і 18 алгоритм відокремлення коренів рівняння можна сформулювати так :

. Знайти область визначення функції.

. Знайти критичні точки функції .

. Записати інтервал монотонності функції .

. Визначити знак функції на кінцях інтервалів монотонності.

. Визначити відрізки, на кінцях яких функція набуває значень протилежних знаків.

. Знайдені відрізки ізоляції коренів при необхідності звузити.

корінь алгебра теорема рівняння

3.2 Метод Лобачевського

Метод Лобачевського є фактично майже єдиним практичним способом знаходження не тільки дійсних, а й комплексних коренів алгебраїчних рівнянь з дійсними коефіцієнтами. По-друге, що також дуже важливо, при застосуванні методу Лобачевського немає потреби спочатку визначати межі коренів, їх число, відокремлювати корені один від одного. По-третє, застосовуючи цей метод, всі корені многочлена дістаємо одночасно, не застосовуючи обчислювальної схеми окремо до кожного кореня. У звязку з цим метод Лобачевського є одним з найзручніших практичних способів обчислення коренів алгебраїчних рівнянь з дійсними коефіцієнтами.

Ідея методу Лобачевського полягає ось у чому.

Нехай дано алгебраїчне рівняння з дійсними коефіцієнтами

(33)

яке має дійсних коренів, Припустимо, що якимось способом ми склали рівняння

(34)

з коренями , де - досить велике натуральне число. Тоді за формулами Вієта маємо :

Ці рівності можна подати так :

(35)

Якщо корені рівняння (33) всі різні за модулем, тобто, наприклад,

то при досить великому дроби як завгодно близькі до нуля. Тому з певним степенем точності можна вважати, що

(36)

звідки дістаємо :

І, нарешті,

(37)

Отже, ми знайшли модулі коренів рівняння (33). Знаки кожного з коренів можна визначити підставлянням у рівняння (33).

У випадку, коли серед дійсних коренів рівняння (33) є рівні за модулем, або у випадку, коли це рівняння має комплексні корені, викладки ускладнюються. Проте ідея методу залишається незмінною : щоб знайти корені алгебраїчного рівняння (33), треба скласти рівняння (34) з коренями при досить великому і потім на основі аналізу коефіцієнтів знайденого рівняння встановити наближені значення коренів.

Розглянемо тепер методику побудови рівняння (34) з рівнянням (33). Для цього спочатку поставимо собі завдання за заданим рівнянням

з коренями скласти рівняння

(38)

Що має корені Це можна зробити так.

Насамперед складемо многочлен Очевидно

(39)

Через те що многочлен має корені , то многочлен має корені . Отже, ці многочлени можна подати в такому вигляді :

При перемноженні дістанемо многочлен :

а покладаючи в ньому , матимемо :

.

Це означає, що многочлен -го степеня є шуканий, бо має корені

Практично многочлен можна дістати перемноживши у вигляді (33) і (39), а саме :

*()=

Звідси

І тому

(40)

Порівнюючи (38) і (40), бачимо, що коефіцієнти обчислюються за формулами :

Отже, коефіцієнт , рівняння (40), що відповідає коефіцієнту рівняння (33), дістаємо так. Знаходимо . Потім знаходимо всі можливі подвоєні добутки коефіцієнтів, симетрично розташованих відносно коефіцієнта . Ці подвоєні добутки додаємо до , послідовно чергуючи знаки : - , +, -, +, …, тобто

Цей процес закінчиться, коли в попарні добутки увійде старший коефіцієнт (одиниця) або вільний член .

.2.1 Випадок дійсних коренів

Нехай рівняння має дійсних коренів і різних за модулем коренів , зокрема можна вважати, що

. Цей випадок ми вже розглянули коротко і дістали формули (37) :

Виникає питання, на якому кроці слід припинити кадрування рівнянь.

Величина ( нагадаємо, що ) визначається, очевидно, умовою, щоб у рівностях (35) числа в квадратних дужках були близькими до одиниці з достатнім степенем точності. Іншими словами, з достатнім степенем точності повинні бути справедливі рівності (36). Якщо ця умова справджуватиметься, то коефіцієнти наступного рівняння після кадрування будуть дорівнювати квадратам коефіцієнтів попереднього рівняння. Справді, нехай на -му кроці ми дістали рівняння

коренями якого є числа .

Нехай вже на цьому кроці рівності (36) справджуються з достатнім степенем точності. Отже,

Зробивши тоді - те кадрування, тобто побудувавши рівняння

з коренями , ми матимемо ще точніші рівності (36)

Порівнюючи коефіцієнти і , ми бачимо, що

(41)

Отже, ми довели таке твердження : якщо число кроків кадрування рівнянь досить велике, то коефіцієнти наступного рівняння дорівнюють квадратам коефіцієнтів попереднього рівняння (в межах заданої точності). Справедливе і обернене твердження, а саме :

Якщо при квадруванні рівнянь коефіцієнти наступного рівняння з заданим степенем точності є квадратами коефіцієнтів попереднього рівняння, то число проведених кадрувань достатнє, бо наступні кадрування не підвищать точності обчислення коренів.

Це твердження випливає з формул (41) і (37). Воно і є тим критерієм, за допомогою якого встановлюють момент, коли слід припиняти процес кадрування рівнянь.

Зауважимо, що вже після кількох кадрувань коефіцієнти рівнянь дуже зростають, і тому при застосуванні методу Лобачевського треба користуватись або арифмометром, або таблицями логарифмів сум і різниць. Обчислення в логарифмічній формі особливо зручні тому, що момент припинення процесу кадрування характеризується подвоєнням логарифмів відповідних коефіцієнтів.

Ми розглянули найпростіший випадок, коли всі рівняння дійсні і різні за модулем. Ми встановили, що поступове кадрування рівнянь приводить у цьому випадку до того,що коефіцієнти наступних рівнянь стають рівними квадратам всіх коефіцієнтів всіх попередніх рівнянь. До того ж вони весь час зростають і додатні. Таку зміну коефіцієнтів називатимемо далі нормальною.

Розглянемо тепер випадок, коли всі корені рівняння дійсні, але серед них є рівні за модулем.

Коренів, рівних між собою за модулем, може бути лише два, бо ми умовилися, що рівняння не має кратних коренів. Наприклад, може бути , а значить, . Звичайно, таких пар коренів, які рівні між собою за модулем, може бути кілька. Але ми розглянемо найпростіший випадок, коли серед дійсних коренів є лише одна пара рівних між собою за модулем. Нехай це будуть корені і . Отже, вважатимемо, що корені рівняння задовольняють нерівності :

.

У цьому випадку, як і раніше, при досить великому вирази в квадратних дужках у рівностях (35) для коефіцієнтів будуть близькими до одиниці. Але для коефіцієнта вираз у квадратних дужках буде близький до двох. Справді,

В результаті дістанемо :

, звідки

,

а можна знайти за однією з формул :

. (42)

Як правило користуються останньою формулою.

Ці дослідження показують, що коли рівняння має одну пару рівних за модулем дійсних коренів, то це можна встановити, аналізуючи поведінку коефіцієнтів уході кадрування. Наприклад, при квадруванні рівняння, в якому , коефіцієнт буде порушувати нормальний хід зміни коефіцієнтів. Замість рівності (41) він задовольнятиме рівність

. (43)

Очевидно, що коли б рівними за модулем були корені і , то нормальний хід змін коефіцієнтів порушував би коефіцієнт .

Якщо нормальний хід зміни коефіцієнтів порушують кілька коефіцієнтів, причому це порушення відбувається відповідно до рівності (43), то серед дійсних коренів рівняння є кілька пар рівних між собою за модулем.

3.2.2 Випадок комплексних коренів

Нехай тепер рівняння (33) з дійсними коефіцієнтами має комплексний корінь. Тоді його задовольняє і число, спряжене з цим коренем. Взагалі рівняння (33) може мати кілька пар спряжених комплексних коренів. Але ми спинимось на найпростішому випадку, коли многочлен має одну пару комплексних коренів. Для конкретності вважатимемо, що

Через те що

то

У звязку з цим наближені рівності (36) матимуть вигляд :

(44)

і, отже,

. (45)

Ми знайшли абсолютні значення всіх дійсних коренів і величину модуля комплексних коренів. Аргумент можна знайти так. За формулою Вієта для рівняння (33) маємо :

Або ,

Звідки

. (46)

Комплексні корені рівняння можна виявити також на основі аналізу зміни коефіцієнтів у процесі кадрування рівнянь. Рівності (44) показують, що у випадку, коли рівняння має пару комплексно спряжених коренів і , коефіцієнт буде порушувати нормальний хід зміни коефіцієнтів. Ця ненормальність буде, так би мовити, ще більшою, ніж у випадку наявності рівних за модулем дійсних коренів. Коефіцієнт може не тільки правильно збільшуватись, а й зменшуватись, ставати відємними тощо. Це маємо внаслідок того, що до його складу входить множником , величина якого може ставати близькою до нуля, відємною і т. д.

Звернемо увагу на те, що модуль комплексного кореня і абсолютну величину дійсного кореня у випадку рівних за модулем коренів рівняння визначають за одними й тими самими формулами . Спостерігаючи порушення нормального ходу зміни коефіцієнтів, іноді не можна встановити, які саме корені має дане рівняння : два рівних за модулем дійсних чи два комплексних спряжених корені. У цьому випадку можна рекомендувати таке. Знайшовши значення , підставити його в рівняння (33). Якщо рівняння задовольняється, то маємо випадок двох дійсних, рівних за модулем, коренів. Якщо ж рівняння (33) не задовольняється, то маємо випадок комплексних коренів і тому далі знаходимо .

Якщо неправильність помічена не в коефіцієнті , а, наприклад, у коефіцієнті , то це означає, що комплексні корені мають модуль такий, що . Якщо рівняння (33) має не одну, а дві пари комплексних коренів, то неправильність зміни матимемо в двох коефіцієнтах. Знайти корені в цьому випадку дещо складніше, хоч методика їх обчислення залишається аналогічною.

4. Приклади розвязування задач

Приклад 1. Знайти корені рівняння методом Лобачевського.

Для цього проведемо ряд кадрувань цього рівняння, записуючи обчислені коефіцієнти в таку таблицю :

m0 1 2 3 41-3 7 55 3103 96343031 -3 -39 -2847 -95687680 4 40 2848 9568768-2 4 16 256 655364 5 66,98384 13,96764 27,935286,98085(-)

,96762 (-)

,93528 (-)6,98085

,96761

,935264,81648

,63296

19,26592

Починаючи 3 4-го кадрування, ми перейшли на обчислення в логарифмічній формі, користуючись логарифмами суми і різниці.

Аналіз знайдених результатів показує, що коефіцієнти змінюються нормально, а коефіцієнти весь час відємний (у таблиці для логарифмів коефіцієнтів це позначається знаком (-)). Отже, ми можемо зробити висновок, що дане рівняння має одну пару спряжених комплексних коренів. Інші два корені дійсні. Через те що після 6-го кадрування логарифми коефіцієнтів фактично подвоїлись, то на цьому етапі можна припинити процес кадрування.

Обчислимо тепер корені рівнянь. Аналізуючи таблицю, приходимо до висновку, що - корені дійсні, а =, причому Оскільки , то в даному випадку .

Маємо :

а) , тобто . Отже, . Підставляючи знайдене значення в дане рівняння, бачимо, що .

б) , тобто . Отже, . Підставляння в дане рівняння показує, що .

в)

Отже, .

. Отже, .

Таким чином дане рівняння має такі корені :

Приклад 2. Відокремити корені рівняння

Будуємо графік функцій і (рисунок).

З графіка видно, що дане рівняння має три корені, причому Оскільки для будь-яких , а для і для , то інших коренів дане рівняння не має.

Приклад 3. Відокремити корені рівняння

. Область визначення ;

. Звідси маємо критичні точки

. Запишемо інтервали монотонності

.Визначимо знаки функції на кінцях інтервалів монотонності

,

.Відрізком ізоляції кореня є проміжок

.Методом проб звузимо знайдений проміжок ізоляції кореня до одиничної довжини. Оскільки значення близьке до одиниці, то обчислимо Отже, корінь даного рівняння належить відрізку

Приклад 4. Знайти ряд Штурма для многочлена

Остача дорівнює -31, а , тобто можна покласти . Отже, остаточно маємо :

Знайдемо число дійсних (додатних і відємних) коренів многочлена

. Нагадаємо, що його функціями Штума є . Складемо таблицю :

-

+

++

+-

++

+

+3

0

З цієї таблиці видно, що многочлен має три дійсних корені, з них два додатних і один відємний. Це збігається з результатом дослідження цього многочлена за допомогою правила Декарта

Відокремимо дійсні корені многочлена . За теоремою 12 дійсні корені лежать на інтервалі , де . У даному разі . Отже за най лівішу точку дослідження можна взяти -7. Для маємо такі функції ряду Штурма : . Складемо таблицю :

Таблиця

-7 -3 -2 0 1 2 3 7- - + + - - + ++ + + - - + + +- - - - + + + ++ + + + + + + +3 3 2 2 1 1 0 0

З цієї таблиці видно, що один корінь лежить в інтервалі (-3;-2), другий - в інтервалі (0, 1), а третій - в інтервалі (2, 3). Корені відокремлено.

Висновки

Розглянувши дану тему, стає очевидно, що питання розглянуті в курсовій роботі були актуальні ще в 16 столітті, і не втрачають важливості до нашого часу.

В курсовій роботі ми детально розглянули такі питання : основна теорема алгебри (доведення та наслідки), формули Вієта, спосіб Ньютона відокремлення меж дійсних коренів, відокремлення коренів методом Штурма, наближені методи обчислень дійсних коренів, а також навели приклади розвязання рівнянь з допомогою розглянутих методів. Для себе я дізналась нові методи відокремлення коренів многочлена довільного степеня, а саме : відокремлення коренів методом Штурма та наближені методи обчислень дійсних коренів.

Список використаних джерел

1.Завало С.Т., Костарчук В.М., Хацет Б.І. Алгебра і теорія чисел. 2 том. - К.: Вища школа, 1976. - 384 с.

.Костарчук В.М., Хацет Б.І. Курс вищої алгебри. - К.: Рад. Школа, 1964. - 512 с.

.Курош А.Г. Курс высшей алгебры. - М.:Наука, 1968. - 432 с.

.Лященко М.Я., Головань М.С. Чисельні методи : Підручник. - К.: Либідь, 1996. - 288 с.