Теория вероятностей

Задача 1

В урне 5 белых и 5 черных шара. Из этой урны последовательно извлечены по одному все шары и разложены в ряд. Какова вероятность того, что все шары чередуются?

Решение

Пусть событие А - шары чередуются. Рассмотрим комбинации шаров как перестановки с повторениями, из которых событию А благоприятствуют 2 комбинации. Тогда искомая вероятность Р(A) = .

Ответ: Р = 0,0079.

Задача 2

Число грузовых автомашин, проезжающих по шоссе, на котором стоит бензоколонка, относится к числу легковых машин, проезжающих по шоссе, как 3 : 2. Вероятность того, что будет заправляться грузовая машина, равна 0,1; для легковой машины эта вероятность равна 0,2. К бензоколонке подъехала автомашина. Найти вероятность того, что это грузовая машина.

Решение

Пусть событие А - к бензоколонке подъехала машина. Можно сделать два предположения: В1 - машина грузовая, B2 - машина легковая. Вероятность появления грузовой машины равна а легковой - . Условная вероятность того, что, подъехавшая машина будет грузовой, , а для легковой - . Искомая вероятность того, что к бензоколонке подъехала грузовая машина, по формуле Бейеса равна .

Ответ: Р =

Задача 3

Найти математическое ожидание, дисперсию и вероятность попадания в интервал (1;2).

.

Решение

Найдем дифференциальную функцию распределения f(x) = F(x).

Математическое ожидание случайной величины Х находим по формуле:

М(Х) =

дисперсию D(x) определим по формуле D(x) = D(x) =

Вероятность попадания в интервал равна приращению интегральной функции на заданном интервале: Р(1<X<2) = F(2) - F(1) =

Ответ: М(Х) = 2.

D(X) = 0,5.

P =

Задача 4

Найти вероятность того, что при n испытания событие наступит ровно k раз.

n = 225, р = 0,64; k =158.

Решение

Воспользуемся локальной теоремой Лапласа: Вычислим определяемое данными задачи значение х:

По таблице

Ответ: Р = 0,0658.

Задача 5

Дана вероятность p появления события А в каждом из n независимых испытаний. Найти вероятность того, что в этих испытания событие А появиться не менее k1 раз и не более k2 раз. N = 625; p = 0,8; k1 =480; k2 = 500.

Решение

Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа:

, где ,.

; .

Р625 (480;500)=Ф(0) - Ф(- 2) = 0,4772.

Ответ: Р = 0,4772.

Задача 6

Задан закон распределения дискретной случайной величины Х (в первой указаны возможные значения величины Х, во второй строке даны вероятности р этих значений). Найти: 1) математическое ожидание М(Х); 2)дисперсию D(X); 3) среднее квадратическое отклонение .

Х21202226р0,50,20,20,1

Решение

1)М(Х) = = .

2)D(X) = М(Х2) - (М(Х))2 =

) .

Ответ: М(Х) = 21,5

Д(Х) = 2,65

Задача 7

Случайные отклонения размера детали от номинала распределены нормально. Математическое ожидание размера детали равно 200мм, среднее квадратическое отклонение равно 0,25 мм. Стандартными считаются детали, размер которых заключен между 199,5 мм и 200,6 мм. Из-за нарушения технологии точность изготовления деталей уменьшилась и характеризуется средним квадратическим отклонением 0,4 мм. На сколько повысился процент бракованных деталей?

Решение

а = 200, , .

Для найдем вероятность попадания в заданный интервал

или 95,44%.

Для или 78,88%.

,44%. - 78,88% = 16,56%

Ответ: на 16,56%

Задача 8

При выборочном опросе 1000 телезрителей, пользующихся услугами спутникового телевидения, получены следующие результаты распределения их по возрасту:

Возраст (лет)Менее 2020- 30 30 -40 40 -50 50-6060-70Более 70ИтогоКоличество пользователей (чел) 8 17 31 40 32 15 7 150

Найти: а) вероятность того, что средний возраст телезрителей отличается от среднего возраста, полученного по выборке, не более чем на 2 года (по абсолютной величине);

б) границы, в которых с вероятностью 0,97 заключена доля телезрителей, возраст которых составляет от 30 до 50 лет;

в) объем бесповторной выборки, при котором те же границы для доли можно гарантировать с вероятностью 0,9876; дать ответ на тот же вопрос, если никаких предварительных сведений о рассматриваемой доле нет.

Решение

Для решения задачи составим расчетную таблицу. В качестве ложного нуля выберем С = 45, h = 10.

Середина интервалаМенее 20158-3-247220 - 302517-2-346830 - 40 3531-1-313140 - 50 454000050 - 60 55321323260 - 70 651523060Более 7075732163150-6326

.

а) Вероятность того, что средний возраст телезрителей отличается от среднего возраста в выборке не более чем на 2 года (по абсолютной величине), найдем

б) Учитывая, что Ф(t) = 0,97 и по таблице t = 2,16, найдем предельную ошибку выборки для доли

, ,

Теперь или 0,391 < P < 0,555.

в) Объем бесповторной выборки

По условию Ф(t) = 0,9879. По таблице t = 2,5 и тогда

Если о доли ничего не известно, полагаем Тогда

.

Задача 9

По данным задачи 8, используя критерий - Пирсона, при уровне значимости проверить гипотезу о том, что случайная величина Х - возраст телезрителей - распределена по нормальному закону. Построить на одном чертеже гистограмму эмпирического распределения и соответствующую нормальную кривую.

Решение

. Вычислим теоретические частоты, учитывая, что h = 10.

Составим вспомогательную таблицу:

115- 2,010,05295,4225- 1,330,164716,8335- 0,650,323032,9445- 0,030,398840,65550,710,310131,66651,380,153915,77752,060,04784,9

Сравним эмпирические и теоретические частоты. Составим вспомогательную таблицу, но так как первая и седьмая группы малочисленные, то объединим их в одну, сложив их частоты.

()21155,44,722,092,1421716,80,20,040,00233132,9-1,93,610,1144040,6-0,60,360,00953231,60,40,160,00561515,7-0,70,490,03150

По таблице критических точек распределения по уровню значимости и числу степеней свободы k = 6 - 3 = 3 находим критическую точку правосторонней критической области . Так как , нет оснований отвергнуть гипотезу о нормальном распределении совокупности.

Гистограмма эмпирического распределения телезрителей по возрасту

Нормальная кривая распределения возраста телезрителей

Задача 10

Распределение 5 однотипных малых предприятий по основным фондам, Х (млн. руб.) и себестоимости выпуска единицы продукции У(тыс. руб.) представлено в таблице:

У Х1,25 1,5 1,75 2,0 2,25 Итого80-1301236130-1801438180-230483116230-28025411280-3303429Итого513169750

Необходимо: 1) вычислить групповые средние и , построить эмпирические линии регрессии; 2) предполагая, что между переменными Х и У существует линейная корреляционная зависимость: а) найти уравнения прямых регрессии и построить их графики на одном чертеже с эмпирическими линиями регрессии; б) вычислить коэффициент корреляции; на уровне значимости , оценить его значимость и сделать вывод о тесноте и направлении связи между переменными Х и У; в) используя соответствующее уравнение регрессии, определить количество выпускаемой продукции при стоимости одной единицы продукции, равной 2,5 тыс. руб.

Решение

1)Построим корреляционную таблицу, в которую внесем групповые средние:

1,251,51,752,02,25ВсегоГрупповые средние

80-13010512362,1130-18015514382,1180-2302054831161,8230-280255254111,5280-33030534291,5Всего5131697Групповые средние 285255221206141

. Построим эмпирические линии регрессии.

2)Составим корреляционную таблицу в условных вариантах, выбрав в качестве ложных нулей С1 = 205, С2 = 1,75, h1 =50, h2 = 0,5.

U V-2-1012-21236-114380483116125411234295131697n=50

Составим расчетную таблицу

U V-2-1012vU-2 0 1 -2 2 2 -46 3 -6 8 -16-1 0 1 -14 4 -46 3 -3 10 -100-4 4 00 8 03 3 02 1 0 1 01-4 2 2-5 5 -50 4 4 -9 -9 2-6 3 6-4 4 80 2 4 -10 -208135-8-9-55uV-16-130-8-18-55

Найдем и .

,

Найдем выборочный коэффициент корреляции.

.

Найдем .

.

Найдем : ;

Составим уравнение прямой линии регрессии: и . , ух = - 0,007х + 3,28.

, ху = 78,8у + 351,9.

Вычислим фактическое значение t - критерия: . По таблице tкр(0,05;48)=2,02.

У(2,5) =

Так как Тфакт > tкр, связь между признаками тесная, но обратная. (График прилагается).

Задача 11

На основании информации таблицы составить оптимальный план производства на максимум общей стоимости.

РесурсыНормы затрат на единицу продукцииЗатратыТруд1144Сырье4296Оборудование 191133Цена 2512Решение

Пусть х1, х2, - продукция соответственно 1-го, 2-го видов. Нам необходимо найти максимум целевой функции

F =25х1 + 12х2 при следующей системе ограничений:

Приведем систему неравенств к системе уравнений, введя свободные неотрицательные переменные х3, х4, х5. Выразим их через основные.

Из рассмотрения целевой функции видно, что ее наибольшее увеличение возможно за счет х1, т.к. она входит в выражение функции с наибольшим коэффициентом. Значит, переменную х1 переведем в число основных. Для того, чтобы выяснить, какую переменную перевести в число не основных, найдем: х1 = min= 7, т.е. х5 перейдет в число не основных.

Увеличим значение функции за счет х2.

, значит х4 перейдет в число не основных.

Дальнейшее увеличение функции F невозможно, т.к. все переменные в ней с отрицательными коэффициентами. Значит, критерий оптимальности достигнут. Наибольшая стоимость F = 581 ден. ед., при этом продукции 1-го вида надо выпустить 5 ед., 2-го вида - 38 ед.

Задача 12

Заполнить схему межотраслевого баланса при заданных матрицах коэффициентов прямых материальных затрат и конечной продукции.

,

Решение

Матрица А имеет неотрицательные коэффициенты и удовлетворяет критерию продуктивности: . Поэтому, для любого вектора конечного продукта У можно найти необходимый объем валового выпуска Х по формуле Х = (Е - А)-1. Найдем матрицу полных затрат

S = (E - A)-1.

(Е - А) = ,

значит, матрица (Е - А) невырожденная и имеет обратную матрицу. Построим матрицу (Е - А)/ транспонированную к (Е - А).

(Е - А)/ = . Построим матрицу присоединенную к (Е - А). Для этого найдем алгебраические дополнения.

(Е - А)-1 = ,

Х = .

Заполним схему межотраслевого баланса

Промежуточное потреблениеКонечное использование Всего использовано123Промежуточное потребление11108,8262,527720018482369,635055,41008753087,5166,2300554Валовая добавленная стоимость108,617555,4Всего ресурсов1848675554

Задача 13

Найти оптимальный план перевозок

Пункты отправленияПункты назначенияЗапасыВ1В2В3В4А1673290А2514390А33262170Потребности4545100160математическое ожидание регрессия

Решение

Пункты отправленияПункты назначенияЗапасыВ1В2В3В4А1673290А2514390А33261170Потребности4545100160350

Данная модель является закрытой. Исходное опорное решение получим по правилу «северо-западного» угла.

Пункты отправленияПункты назначенияЗапасыВ1В2В3В4А16 457 453290А251 04 90390А33 6 102 160170Потребности4545100160350Получили опорный вырожденный план. Число занятых клеток равно 5 не удовлетворяет условию m + n - 1 = 7 - 1 = 6. Поэтому в одну из клеток с наименьшим коэффициентом поместим ноль и будем считать клетку занятой.

Определим потенциалы запасов и потребностей и оценки свободных клеток. Составим уравнения:

Пусть , , .

Наиболее потенциальной является клетка (1;3). Построим для нее цикл. В результате смещения по циклу, получим новый опорный план.

Пункты отправленияПункты назначенияЗапасыВ1В2В3В4А16 457 45 -3 +290А251 0 +4 90 -390А33 6 102 160170Потребности4545100160350

Для нового опорного плана определим новые потенциалы и оценки свободных клеток.

Пусть тогда

Пункты отправленияПункты назначенияЗапасыВ1В2В3В4А16 45 -7 3 45 + 290А251 45 4 45 390А33 + 6 10 -2 160170Потребности4545100160350

Для нового опорного плана определим новые потенциалы и оценки свободных клеток.

Пусть тогда

Строим цикл для клетки (3;1). В результате смещения по циклу, получим новый опорный план.

Пункты отправленияПункты назначенияЗапасыВ1В2В3В4А16 35 7 3 55 290А251 45 4 45 390А33 10 2 6 2 160170Потребности4545100160350

Для нового плана определим новые потенциалы и оценки свободных клеток.

Пусть тогда

Строим цикл для клетки (1;4). В результате смещения по циклу, получим новый опорный план.

Пункты отправленияПункты назначенияЗапасыВ1В2В3В4А16 7 3 55 2 3590А251 45 4 45 390А33 452 6 2 125170Потребности4545100160350

Для нового плана определим новые потенциалы и оценки свободных клеток.

Пусть тогда

Оценки свободных клеток неотрицательны, следовательно, полученный план является оптимальным.

Минимальные транспортные издержки для этого плана: .