Методы оптимизации портфеля бескупонных облигаций

Содержание.
Введение. 2
Глава 1. Методика расчета доходности по простым и сложным процентам. 3
Глава 2. Расчет доходности портфеля к погашению и к приобретению. 4
Глава 3. Оценка эффективности вложений. 6
Глава 4. Формулировка и экономическая интерпретация задачи о перевложениях.
9
Заключение. 13
Приложение 1. СОЛ-индекс ГКО. Методика расчета и рекомендации по использованию 14
Приложение 2. SOBI-GKO-yield (обобщенный индекс ГКО). Методика расчета и рекомендации по использованию 18
Приложение 3. Оценка между точным решением и приближенным значением.
21
Приложение 4. Проверка метода на случайной выборке. 23
Приложение 5. Последние цены и эффективная доходность к погашению на рынке
РКО с 1 по 30 апреля 1997 г. 31
Список литературы. 34

Введение.

Данная работа посвящена оптимизации, в смысле увеличения стоимости, портфеля ГКО(РКО). ГКО - государственная краткосрочная бескупонная облигация( соответственно, РКО - республиканская краткосрочная бескупонная облигация), источником дохода по ней является разница между ценой покупки и ценой продажи(дисконт). Первичное размещение облигаций производится
Минфином РФ(Минфином РТ). В настоящее время это наиболее ликвидные и доходные ценные бумаги. За время своей «жизни» эти облигации проходят 3 этапа: первичное размещение(аукцион), вторичные торги, погашение. На вторичных торгах устанавливается рыночная цена облигации на каждый день.
Колебания курсов облигаций различных серий в зависимости от экономической конъюнктуры спроса-предложения бывают значительны, что позволяет получить дополнительную прибыль путем спекуляции на фондовой бирже.

В предложенной работе рассмотрены общие принципы «игры» на вторичном рынке путем покупки наиболее доходных серий и продажи наименее доходных.
Предлагаемая здесь методика является всего лишь гипотезой, которая на практике обычно дает положительный эффект, но связана с некоторыми трудностями при формировании оптимального портфеля. Сначала будут изложены общие сведения о методах определения доходности с помощью простых и сложных процентов и оценке эффективности вложений, затем будет сформулирована задача «О перевложениях» и дана ее экономическая интерпретация.

Глава 1. Методика расчета доходности по простым и сложным процентам.

Простые проценты

[pic]

(1.1)

[pic] - первоначальная сумма

[pic] - сумма к концу срока

[pic] - ставка процентов

[pic] - количество периодов(в годах)

Следовательно, годовая ставка [pic]
(1.1’)

Сложные проценты.[pic]

[pic]

(1.2)

[pic] - первоначальная сумма

[pic] - сумма к концу срока

[pic] - ставка процентов

[pic]- количество периодов(в годах)

Годовая ставка по сложным процентам [pic]
(1.2’)

Формула сложных процентов с учетом реинвестирования

[pic] (1.3)

Следовательно, [pic]
(1.3’)

[pic] - первоначальная сумма

[pic] - сумма к концу срока

[pic] - ставка процентов(эффективная годовая приведенная к периоду T)

[pic] - период инвестирования(в днях)

[pic]- период реинвестирования(в днях)

Данная формула является основной при финансовых расчетах. Если положить
T=30 дней, то она представляет собой эффективную доходность, приведенную к месяцу. Это дает возможность сравнивать эффективность операций с облигациями с операциями по другим источникам доходов.

Глава 2. Расчет доходности портфеля к погашению и к приобретению.

Доходностью к погашению i-ой серии назовем годовую ставку i из формулы
(1.1’), обозначим Дi

Эффективной доходностью к погашению, приведенную к периоду T, назовем эффективную ставку из формулы (1.3’), обозначим Дiэф

Доходность портфеля к погашению R определим из уравнения.

[pic]
(2.1) где [pic]

[pic] - совокупные вложения

[pic]- количество облигаций i-ой серии

[pic]- цена облигации i-ой серии

[pic]- стоимость облигаций i-ой серии по номиналу

[pic]=[pic] * номинал номинал = 1 000 000 рублей(для ГКО и РКО)

[pic]- количество дней до погашения от даты приобретения

N - количество серий облигаций

Тогда, решив нелинейное уравнение (2.1) , получим R - доходность портфеля к погашению.

Уравнение (2.1) - это точный метод определения доходности портфеля к погашению, но можно пользоваться другим методом, который, с точки зрения применения, является более удобным и дает приемлемые результаты (Разница между точным решением и приближенном на практике составляет не более 0,05%; см. Приложение 3).

Таким образом определим средневзвешенную доходность портфеля к погашению. Взвешивание произведем по объему и времени по простым процентам.

[pic]
(2.2)

[pic] - средневзвешенная доходность к погашению

[pic] - количество бумаг i-ой серии в портфеле

[pic] - число дней от даты приобретения до даты погашения i-ой серии

[pic] - доходность к погашению i-ой серии от даты приобретения( по простым процентам).

Соответственно, расчет по сложным процентам(по эффективной ставке).

[pic] (2.3)

Определим дюрацию портфеля - средневзвешенное время погашения портфеля, как:

[pic] (2.4)

[pic] - доходность к погашению i-ой серии

[pic] - число дней до погашения i-ой серии от даты приобретения

[pic] - количество бумаг i-ой серии

[pic] - цена покупки облигации i-ой серии

Формулы для расчета доходности к приобретению(какая будет доходность от даты приобретения, если продать облигацию в текущий момент по рыночной цене) аналогичны (2.2) и (2.3), за исключением того, что здесь ti - период(в днях) от даты приобретения до текущей даты.

Примечание.

Облигации одной и той же серии могут быть приобретены в разные моменты времени, поэтому в расчетных формулах необходимо учитывать их как отдельные серии, следовательно, количество серий в расчетных формулах может быть больше, чем реальное количество выпусков, находящихся в обращении.

Глава 3. Оценка эффективности вложений.

Непременным атрибутом формирования оптимального портфеля является оценка эффективности вложений. Эта методика может быть различной в зависимости от целей инвестирования. К примеру, одной из целей является получение определенного дохода в каждый период всего срока инвестирования; в этом случае нужно подходить к оценке вложений с точки зрения дюрации портфеля - здесь дюрация играет значительную роль, хотя и не главную; другая из целей инвестирования - получение максимального дохода к концу срока инвестирования - в этом случае дюрацией можно пренебречь и исходить только из доходности. В первом случае обычно производится инвестирование на длительный срок с целью получения постоянного дохода, а во втором случае - инвестирование на более короткий срок - цель: максимизация дохода. Хотя эти
2 варианта инвестирования кажутся различными, но, фактически, 2-ой метод включает первый: можно в короткий срок получить доход и реинвестировать его еще раз и так далее. Здесь видны преимущества второго метода - можно пренебречь дюрацией портфеля, которая уменьшает доходность за счет того, что часть средств находится в менее доходных сериях.

Приведем три различные методики оценки эффективности вложений.
1. Расчет доходности к приобретению за определенный срок.
Расчет доходности к приобретению за определенный срок с учетом ввода-вывода денежных средств.
3. Расчет доходности к приобретению за определенный срок с учетом ввода- вывода денежных средств(метод предложен в журнале РЦБ, см. Список литературы (3)).

Каждая методика состоит из двух этапов:
1. Нахождение величины доходности портфеля к приобретению на текущий день от некоторой зафиксированной даты.
2. Сравнение доходности портфеля к приобретению с некоторым рыночным показателем. В качестве такого показателя можно брать СОЛ-индекс рынка или обобщенную доходность рынка к погашению(см. Приложения 1 и 2).

Для простоты сначала рассмотрим первую методику:
Определим стоимость портфеля следующим образом:

[pic]

(3.1)

[pic]
(3.2) где:

[pic] - стоимость портфеля на начало периода

[pic] - цена i-ой серии облигации на начало периода

[pic] - количество облигаций i-ой серии на начало периода
[pic] - денежные средства в момент [pic] соответственно

[pic] - момент начало периода

[pic] - момент окончания периода

[pic] - соответственно на конец периода

Тогда доходность вложений можно определить по следующей формуле:

[pic] (по формуле простых процентов) (3.3)

Рассмотрим методику расчета доходности портфеля к приобретению с учетом ввода-вывода. Сложность заключается в том, что в течение периода инвестирования происходит ввод-вывод средств в портфель. Этот случай часто встречается на практике, поэтому данный метод оценки является с практической точки зрения наиболее актуальным.

Разобьем весь период инвестирования на периоды, границами которых являются моменты ввода-вывода средств. Пусть вводу-выводу средств соответствует время t0,...,tn+1, где t1,...,tn - моменты ввода-вывода средств в середине периода инвестирования, t0=t,tn+1=T - начальный и конечный моменты периода инвестирования.

Тогда определим стоимость портфеля в каждый момент ввода-вывода средств как:

[pic]
(3.4)

[pic]
(3.5) где:

[pic] - рыночная цена облигации i-ой серии в момент tj

[pic] - количество бумаг i-ой серии в портфеле соответственно до ввода- вывода средств и после

[pic] - денежные средства в момент [pic] соответственно

[pic] - стоимость портфеля соответственно до ввода-вывода средств и после

Определим доходность к приобретению между моментами ввода-вывода средств как:

[pic] [pic] (3.6)

Тогда доходность всего портфеля можно определить следующим образом:

[pic] (3.7)

Рассмотрим методику оценки эффективностью управления портфелем, предложенную в журнале РЦБ(см. Список литературы(3)).

Предлагаемая методика рассматривает доходность портфеля(с учетом потоков ввода-вывода средств) в сравнении со среднерыночной доходностью, рассчитанной методом индексов. Расчетные формулы выглядят следующим образом:

[pic]
(3.8) где I - сводный индекс рынка ГКО нарастающим итогом(например, по методике расчета СОЛ-индекса);T0 - длительность отчетного периода.

Доходность портфеля за отчетный период с учетом ввода-вывода средств, % годовых.

[pic] (3.9)

[pic] - соответственно конечная и начальная сумма активов в портфеле
ГКО, рассчитанная по средневзвешенным ценам выпусков(включая остаток лицевого счета)

[pic]- сумма ввода(вывода), при вводе средств mi>0, при выводе mi