Построение фазовых портретов динамических систем

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ, МОЛОДЕЖИ И СПОРТА УКРАИНЫ

ХАРЬКОВСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ЭКОНОМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра экономической кибернетики

Дисциплина: «Моделирование экономической динамики»

Лабораторная работа№5

«Построение фазовых портретов динамических систем»

Выполнила студентка гр. 5-1

Факультета экономической информатики

Пимонова Г.В.

Проверила к.э.н., доцент

Чернова Н.Л.

Харьков, 2012

Цель: получение студентами навыков построения фазовых портретов двумерных автономных динамических систем и анализа характера устойчивости точек равновесия системы.

Вариант 13

определим выражения для правых частей системы уравнений:

>

определим начальные условия:

>

Фазовый портрет(совокупность всех фазовых траекторий системы) будет иметь вид:

Рис. 1 Фазовый портрет системы 1

Попробуем изменить начальные условия:

Фазовый портрет примет следующий вид:

Рис. 2 Фазовый портрет системы 2

Классификация состояний равновесия динамических систем второго порядка

Определение правых частей автономной системы:

>

Определение автономной системы дифференциальных уравнений:

>

Получение уравнений равновесия (функция subst осуществляет подстановку новых значений или переменных в указанное выражение):

>

Поиск координат точек равновесия (функция solve осуществляет поиск решений заданной системы уравнений относительно заданных переменных, функция convert преобразует массив выражений в систему уравнений):

>

Вычисление матрицы линеаризации системы (функция jacobian из пакета линейной алгебры linalg вычисляет Якобиан векторной функции, в данном случае матрицу устойчивости для заданной системы):

>

Вычисление характеристического многочлена (вычисление проведено в символьном виде):

>

Вычисление корней характеристического многочлена - собственных чисел матрицы А в символьном виде:

>

Выделение из множества равновесий их координаты:

>

>

Вычисление собственных чисел матрицы устойчивости для обеих точек равновесия подстановкой в выражения для собственных чисел - eig_eq - значений координат точек равновесия (функция simplify обеспечивает максимально возможное упрощение получаемых выражений):

>

Построение фазового портрета системы Лотки - Вольтерра:

>

>

Рис. 3 Глобальный фазовый портрет системы Лотки - Вольтерра 1

Корни - чисто мнимые числа. Соответственно состояние равновесия - центр.

Изменим условие:

>

Рис. 43 Глобальный фазовый портрет системы Лотки - Вольтерра 2

динамический система матрица равновесие

На фазовом портрете центр с точкой устойчивости (0;0).

Вывод: получены навыки построения фазовых портретов двумерных автономных динамических систем и анализа характера устойчивости точек равновесия системы.